专题06 概率（期末真题汇编，云南专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 汇编云南多地期末真题，聚焦概率核心考点，通过基础计算、提升辨析、综合应用三层设计，融入算盘文化、BMI健康、新高考选科等真实情境。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|约20题|事件关系、古典概型基础|结合生日日期、抽奖等生活场景| |多选|约10题|概率性质、独立事件判断|通过多项选择考查互斥对立概念辨析| |解答题|约8题|古典概型提升、独立事件应用|设计知识竞赛、电路开关等综合问题，需分层抽样与概率结合计算|

专题06 概率 概率在高考中重点考查概率的计算及事件的关系，在云南高一统测试卷中，重点考查事件的关系，古典概型和相互独立事件的概率求解. 高频考点概览 考点01事件的关系（互斥和对立事件） 考点02古典概型的计算（计算） 考点03古典概型的计算（提升） 考点04 概率的基本性质 考点05 事件的相互独立性 考点06 相互独立事件的应用 ( 考点01 事件的关系（互斥和对立事件） ) 1．（23-24高一下·云南玉溪·期末）下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（ ） A．① B．② C．③ D．①② 【答案】A 【分析】根据必然事件，随机事件和不可能事件的定义得到答案. 【详解】①是必然事件；②是随机事件； ③时，，无解，故③是不可能事件． 故选：A． 2．（24-25高一下·云南楚雄·期末）从1～5这5个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于3的数”，事件“抽到大于2的数”，事件“抽到大于1的奇数”，则（ ） A．和不互斥 B．和互斥且不对立 C．和不互斥 D．和互斥且不对立 【答案】D 【分析】由题意可得样本空间，进而求得的样本点，可得结论. 【详解】这个试验的样本空间为， 则和互斥且对立，和互斥且但不对立． 故选：D. 3．（24-25高一下·云南昭通·期末）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或2”，事件C表示“向上的点数大于2”，则下列说法正确的是（ ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【答案】B 【分析】根据题意，利用互斥事件和对立事件的概念，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，当向上的点数为3时，事件A与B同时不发生，所以A错误； 对于B中，事件B与C不能同时发生，且事件B与C必有一个发生，所以B正确； 对于C中，当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，所以C错误； 对于D中，当向上的点数是2时，事件A与事件B能同时发生，所以D错误. 故选：B． 4．（24-25高一下·云南·期末）连续抛一枚硬币三次，事件“至多有一次硬币正面朝上”的对立事件是（ ） A．至少有一次硬币正面朝上 B．至少有两次硬币正面朝上 C．至少有一次硬币反面朝上 D．至少有两次硬币反面朝上 【答案】B 【分析】根据对立事件定义判断求解. 【详解】因为事件“至多有一次硬币正面朝上”是“0次或1次硬币正面朝上”， 对立事件是“2次或3次硬币正面朝上”，即“至少有两次硬币正面朝上”. 故选：B. 5．（22-23高一下·云南昭通·期末）从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（ ） A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球 C．都是黄球 D．至多2个红球 【答案】C 【分析】根据对立事件的定义判断即可. 【详解】从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，只有三红、两红一黄、一红两黄、三黄这四种情况， 则“至少有1个红球”的对立事件是“都是黄球”. 故选：C. 6．（23-24高二下·云南大理·期末）（多选）小华到大理旅游，对于是否选择崇圣寺三塔与蝴蝶泉这两个景点，下列各事件关系中正确的是（ ） A．事件“至少选择其中一个景点”与事件“至多选择其中一个景点”为互斥事件 B．事件“两个景点均未选择”与事件“至多选择其中一个景点”互为对立事件 C．事件“只选择其中一个景点”与事件“两个景点均选择”为互斥事件 D．事件“两个景点均选择”与事件“至多选择其中一个景点”互为对立事件 【答案】CD 【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案. 【详解】对于是否选择崇圣寺三塔与蝴蝶泉这两个景点， 可能的结果有，两个景点都不选择，选择一个景点，选择两个景点， 事件“至少选择其中一个景点”包括选择一个景点和选择两个景点， 事件“至多选择其中一个景点”包括两个景点都不选择和选择一个景点， 所以事件“至少选择其中一个景点”与事件“至多选择其中一个景点”两事件可能同时发生， A错误； 事件“两个景点均未选择”与事件“至多选择其中一个景点”两事件可能同时发生，B错误； 事件“只选择其中一个景点”与事件“两个景点均选择”不能同时发生，C正确； 事件“两个景点均选择”与事件“至多选择其中一个景点”不能同时发生， 并且必有一个发生，D正确. 故选：CD ( 考点0 2 古典概型的计算 （基础） ) 1．（2026高二上·云南·学业考试）为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将4罐这种饮料装成一箱，其中2罐是中奖饮料，若从一箱中随机一次性抽出2罐饮料（每罐饮料被抽出的概率相等），则抽出的饮料中有中奖饮料的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设中奖的2罐为，不中奖的2罐为，再列举求概率即可． 【详解】根据题意，设中奖的2罐为，不中奖的2罐为， 从一箱中随机一次性抽出2罐饮料， 则有共6种情况， 符合题意的有5种， 抽出的饮料中有中奖饮料的概率． 故选：A． 2．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）某同学抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷10次，都是反面朝上，则第11次正面朝上的概率是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面朝上的概率都是，即可求得所求概率． 【详解】因为抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面朝上的概率都是，如果连续抛掷10次，那么第11次出现正面朝上的概率仍是． 故选：B. 3．（25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）甲、乙两人有三个不同的学习小组，，可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组（两人参加各小组的可能性相同），则两人参加不同学习小组的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列出所有情况和满足条件的情况，再利用古典概型概率公式求解. 【详解】以表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B， 则试验的基本事件有,,,,,,,,，共9种， 其中两人参加不同学习小组的基本事件有,,,,,，共6种， 所以两人参加不同学习小组的概率为. 故选：C 4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）从大于1且小于50的整数中任意选取1个，则被选取的整数是质数的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件确定大于1且小于50的整数个数和质数个数，即可解出. 【详解】大于1且小于50的整数共有48个， 其中质数包含2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，共15个， 因此所求概率为. 故选：C. 5．（24-25高一下·云南昆明·期末）某地区公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了下面两个问题： 问题一：你的生日日期是不是奇数？ 问题二：你是否经常吸烟？ 调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，最后收集回来60个小石子，则可以估计出该地区经常吸烟的中学生所占的百分比约为（假设一年为365天，其中日期为奇数的天数为186天）（ ） A．9% B．14% C．16% D．32% 【答案】A 【分析】根据摸到白球和红球的概率都为，再结合一年365天中，阳历为奇数的有186天，即可估计对应人数. 【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中，随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为， 因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人， 而一年365天中，阳历为奇数的有186天，所以对第一个问题回答“是”的概率为， 所以这100个回答第一个问题的学生中，约有51人回答了“是”， 从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有9人回答了“是”， 所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为.故A正确. 故选：A. 6．（24-25高一下·云南保山·期末）一个盒子中装有6个除颜色外都相同的小球，其中3个白球，2个红球，1个黑球．若从中任取2个球，那么至少取到1个红球的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用，，表示3个白球，用，表示2个红球，用c表示黑球，列举法求解古典概型的概率. 【详解】用，，表示3个白球，用，表示2个红球，用c表示黑球， 则该试验的样本空间可表示为 ，共有15个样本点． 其中至少取到1个红球包含9个样本点，分别为 ， 故所求概率为， 故选：D． 7．（22-23高一下·云南文山·期末）算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国传统的计算工具：现有一种算盘（如图2），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图乙中算盘表示整数51）．如果拨动图甲算盘中的两枚算珠，则表示的数字小于50的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果，从而得到表示不同整数的个数和表示的数字小于50的个数，再根据古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】拨动图甲算盘中的两枚算珠，有两类办法， 第一类，只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为2，6，20，60； 第二类，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为11，15，51，55，所以表示不同整数的个数为8， 其中表示的数字小于50的有2，6，20，11，15共5个， 所以表示的数字小于50的概率为， 故选：C． 8．（20-21高一下·云南昆明·期末）人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa（假设ai、aa出现的概率相等），B型的基因类型为bi或bb（假设bi、bb出现的概率相等），AB型的基因类型为ab，其中a和b是显性基因，i是隐性基因．一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，则他们的子女的血型是AB型的概率为____________． 【答案】 【分析】列举出子女血型的基因类型的可能结果，数出子女血型的基因类型是的结果，进而由古典概型计算公式可得概率. 【详解】依题意可得子女血型的基因类型的可能结果为：，共16个，且每个结果发生的可能性都相等，其中型的基因类型有9个，所以，子女血型是的概率为. 故答案为：. ( 考点0 3 古典概型的计算（提升） ) 1．（23-24高二上·云南昆明·期末）（多选）多项选择题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．小乐同学在面对一道多项选择题时，仅能明确的排除一个错误选项A，于是她选择在B、C、D三个选项中随机填涂答案提交，若该题在B、C、D中只有两个选项正确，则（ ） A．若小乐填涂三个选项，则该题得2分的概率为 B．若小乐随机填涂一个选项，则该题得0分的概率为 C．若小乐随机填涂两个选项，则该题得5分的概率为 D．若小乐随机填涂两个选项，则该题得0分的概率为 【答案】BC 【分析】对选项逐个分析，分别计算出对应的概率，即可得出答案. 【详解】对于A，若小乐填涂三个选项，则为，而该题在B、C、D中只有两个选项正确， 故该题得2分的概率为，故A错误； 对于B，若小乐随机填涂一个选项，共有种方法， 该题得0分的概率为，故B正确； 对于C，若小乐随机填涂两个选项，共有种方法， 该题得5分的概率为，故C正确； 对于D，若小乐随机填涂两个选项，共有种方法， 则该题得0分的概率为，故D错误. 故选：BC. 2．（21-22高二下·云南文山·期末）（多选）抛一枚质地均匀的骰子两次.记事件两次的点数均为偶数两次的点数之和小于7，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用古典概率模型求解即可. 【详解】由题可得基本事件有： ， 共有36个， 记事件两次的点数均为偶数，共包含9个样本点， 则A正确； 两次的点数之和小于7， 事件包含的基本事件有：，，共15个， ，B正确，D错误，； 对于，事件包含的基本事件有：， 共3个，C错误. 故选:. 3．（20-21高一下·云南昆明·期末）（多选）将一枚质地均匀且各面分别标有数字，，，的正四面体骰子连续抛掷次，观察底面上的数字，则下列说法正确的是（ ） A．三次都出现相同数字的概率为 B．没有出现数字的概率为 C．至少出现一次数字的概率为 D．三个数字之和为的概率为 【答案】BCD 【分析】利用古典概型的概率公式与对立事件的概率性质逐一验证即可 【详解】由题意知：实验发生所包含的事件为3个均匀的正四面体与底面接触，共有种结果； 三次都出现相同数字的事件为：111,222,333,444，共4种结果，三次都出现相同数字的概率为，故A错误； 没有出现数字，即这3次抛掷出的均为2，3，4中的其中一个，共有种，没有出现数字的概率为，故B正确； 至少出现一次数字的概率为，故C正确； 三个数字之和为的事件为：441，414，144，333，432，423，234，243，342，324共10种，三个数字之和为的概率为，故D正确； 故选：BCD 4．（24-25高二上·云南曲靖·期中）（多选）连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，，记，则下列说法错误的是（ ） A．事件“”的概率为 B．事件“是奇数”的概率为 C．事件“”与“”互为对立事件 D．事件“是奇数”与“”互为互斥事件 【答案】AC 【分析】利用列举法和古典概型概率公式可得A错误，B正确，再由互斥事件、对立事件的概念可知C错误，D正确. 【详解】连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数有： ，， ，， ，，共36种； 对于A，事件“”所包含的基本事件为，，，，，，，，共8个， 所以事件“”的概率为，即A错误； 对于B，事件“是奇数”的共有18个，因此事件“是奇数”的概率为，可得B正确； 对于C，易知的所有取值为， 当时，可知事件“”与“”可以同时发生，因此C错误； 对于D，若，则，此时是偶数， 因此“是奇数”与“”不可能同时发生，互为互斥事件，可得D正确. 故选：AC 5．（23-24高一下·云南昆明·期末）（多选）掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次骰子点数为奇数”，“第二次骰子点数为偶数”，“两次骰子点数之和为奇数”，“两次骰子点数之和为偶数”，则（ ） A．C与D互为对立事件 B．A与D相互独立 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据对立事件的定义即可求解A，利用列举法，求解对应事件包含的样本点，即可根据古典概型的概率公式求解CD，结合独立事件的定义即可求解B. 【详解】对于A,事件与事件不能同时发生，且并起来是全部的样本空间，故互为对立事件，A正确； 对于B，抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种， 事件A的样本点为 共18种， 事件的样本点为 ,共有18种， 事件的样本点为共有9种， 所以,由于，故相互独立，B正确， 对于C，事件的样本点为共9种，故,C正确， 对于D，事件的样本点为 共27种， 故， 故选：ABC 6．（23-24高一下·云南曲靖·期末）（多选）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现的点数大于3”，“第一枚出现的点数小于3”，“第一枚出现的点数小于4”，“第二枚出现的点数小于5”，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先分别求的概率再应用互斥事件独立事件分别判断各个选项. 【详解】设M=“第一枚出现的点数大于3”，N=“第一枚出现的点数小于3”，S=“第一枚出现的点数小于4”，Q=“第二枚出现的点数小于5”， 则 对于A:是互斥事件，所以，A错误； 对于B:是必然事件，,B正确； 对于C:是独立事件，,C正确； 对于D:是独立事件，, ,D正确. 故选：BCD. 7．（24-25高一下·云南·期末）近年来，我国肥胖人群的规模急剧增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是. 中国成人的BMI数值标准为：为偏瘦：为正常：为偏胖；为肥胖. 为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用随机抽样方法抽取了100名员工的身高和体重数据，计算得到他们的BMI值，绘制成如下的频率分布直方图： (1)求图中的值，并估计该公司员工BMI值的平均数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表） (2)根据需要，在偏胖和肥胖的员工中用分层随机抽样的方法抽取5名员工，再从抽取的5名员工中随机选取2名员工进行采访，求采访的2名员工均为偏胖的概率. 【答案】(1)，22.4 (2) 【分析】（1）利用频率和为1可求的值，再利用评率分布直方图估算平均数.； （2）先利用分层抽样求出抽取的偏胖和肥胖的员工人数，再利用列举法求概率. 【详解】（1）， 的频率为， 的频率为， 的频率为， 的频率为， 的频率为， 平均数为. （2）由题意可知，偏胖在，频数为， 肥胖在，频数为， 抽取偏胖的人数为，用，，表示， 抽取肥胖的人数为，用，表示， 从5人中任选2人，样本空间为： ， 共有10种不同的结果，每个样本点都是等可能发生的. 记事件“采访的2名员工均为偏胖”， ，共有3种不同的结果， 所以. 8．（24-25高一下·云南保山·期末）某校高一年级学生参加了“同心筑梦，爱我中华”知识竞赛，学生知识竞赛成绩均在内（单位：分），现从这些学生的成绩中随机抽取了100名学生的成绩，按照，…，分成4组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计全体参赛学生的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)规定成绩较高的前20%的学生获奖，请根据频率分布直方图估计获奖学生的最低分数线（保留到整数）； (3)现从样本成绩在与两个分数段内，按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2人，且2人的成绩之差的绝对值大于20的概率． 【答案】(1)，平均分为 (2) (3) 【分析】（1）由频率和为可求出的值，再用加权平均公式即可求出平均分； （2）分析频率分布，内通过线性插值即可求出最低分数线； （3）依题意可得，根据分层抽样在选取4人；在选取2人，再根据列举法可得从这6人中选取2人的方法共有15种，其中2人的成绩之差的绝对值大于20的方法有8种，进而即可求出其概率． 【详解】（1）由频率分布直方图可知，，解得， 用样本估计总体，估计全体参赛学生的平均分为： ． （2）由频率分布直方图易知： 的频率为， 的频率为， 所以获奖学生最低分数线落在内，不妨设为， 则，解得， 所以获奖学生最低分数线为． （3）由图可知成绩在与的频率之比为， 则根据分层抽样在选取4人，记为，，，； 在选取2人，记为，． 所以从这6人中选取2人的所有选取方法：，，，，，，，，，，，，，，，共15种， 记“这2人成绩之差的绝对值大于20”为事件，则事件M所包含的基本事件有：，，，，，，，，共8种． 故所求概率为． ( 考点0 4 概率的基本性质 ) 1．（20-21高一下·云南昆明·期末）已知一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，那么下列事件概率错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用古典概型概率计算公式分别计算出相应事件的概率即可作出判断. 【详解】对于选项A：，所以，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，所以，故C正确； 对于选项D：，所以，故D错误. 故选：D. 2．（23-24高一下·云南大理·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】分和的情况分别考虑四个选项. 【详解】当时，表示一正一反，故，故A正确； 表示两个正面，此时，故B正确； 当时，表示既有正面朝上又有反面朝上， 故，故C正确； 当时，表示既有正面朝上又有反面朝上， 故，故D错误. 故选：D. 3．（23-24高一下·云南·期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（ ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 【答案】D 【分析】列举出样本空间、事件和事件，即可判断A；对于BD：根据互斥事件、对立事件的概念分析判断；对于C：根据事件概率乘法公式分析判断. 【详解】用每次取球的结果，分别表示甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号， 由题意可知：样本空间； 事件；事件，； 对于选项A：因为，所以事件A和不相等，故A错误； 对于选项BD：因为事件， 所以事件A和互斥，事件A和不互相对立，故B错误，D正确； 对于选项C：因为， 则， 显然，所以事件A和不相互独立，故C错误； 故选：D. 4．（23-24高二上·云南·期中）（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，则下列说法正确的是（ ） A．如果事件与事件互斥，那么 B．如果事件与事件互斥，那么 C．如果事件与事件对立，那么 D．如果事件与事件对立，那么 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用对立事件、互斥事件的概率公式逐项判断即得. 【详解】对于A，事件与事件互斥，则，A正确； 对于B，事件与事件互斥，事件不一定是必然事件，即不一定为1，B错误； 对于C，事件与事件对立，则事件与事件互斥，有，C正确； 对于D，事件与事件对立，事件是必然事件，则，D正确. 故选：ACD 5．（22-23高一下·云南大理·期末）（多选）若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据对立事件的概率公式判断A，由于无法确定、是否相互独立及，即可判断B、C、D. 【详解】因为，，所以，故A正确； 由于无法确定、是否相互独立，故无法确定的值，但是，故B错误； 又，故C正确，D错误； 故选：AC 6．（25-26高二上·云南大理·期末）（多选）设A，B为两个随机事件，且，，下列说法正确的有（ ） A．若A，B互斥，则 B．若，则 C．若，则A，B独立 D．若，则A，B独立 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件的定义可判断A；根据事件的包含关系可判断B；根据独立事件的概念可判断C；根据和事件的概率计算公式结合独立事件的概念可判断D. 【详解】对于A，若A，B互斥，则，A正确； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则，所以A，B独立，C正确； 对于D，若， 则， 所以， 又因为， 所以，故事件，独立，从而A，B也独立，D正确， 故选：ACD. 7．（25-26高二上·云南玉溪·期末）（多选）已知随机事件、发生的概率分别为，，则（ ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若，则 D．若，则事件与相互独立 【答案】ABD 【分析】根据事件互斥以及事件的运算性质计算，即可判断A、B、C；根据对立事件概率公式以及事件的独立性即可判断D. 【详解】对于A项，因为与互斥， 所以，故A正确； 对于B项，因为与相互独立， 所以， 所以，.故B正确； 对于C项，因为， 所以，.故C错误； 对于D项，由，可得， 所以，， 所以，事件与相互独立.故D正确. 故选：ABD. ( 考点0 5 事件的相互独立性 ) 1．（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则（ ） A．A包含B B．A与B互斥 C．A与B互为对立 D．A与B相互独立 【答案】D 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及事件的概率求法逐一判断即可. 【详解】A不包含B，A与B不互斥，也不互为对立. 又因为，，，， 所以A与B相互独立. 2．（21-22高二上·云南临沧·期末）甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后至多有一人通过的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得两人都不通过的概率以及只有一人通过的概率，即可得到结果. 【详解】由题知，两人都不通过的概率为，只有一人通过的概率为， 则所求概率. 故选：D 3．（22-23高一下·云南保山·期末）有一组电路开关如图所示，现在开关、、、、是处于断开状态，任意闭合其中的两个，则电路接通的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】任意闭合两个，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共种， 其中，事件“闭合两个开关，电路接通”所包含的基本事件有：、、、、、，共种， 故所求概率为. 故选：C. 4．（23-24高二上·云南迪庆·期末）2023年11月26日丽江至香格里拉铁路（丽香铁路）正式开通运营，至此，平均海拔高度3380米的云南省迪庆藏族自治州结束不通铁路的历史，正式迈入“动车时代”.若甲、乙、丙三位同学在寒假期间从香格里拉坐动车到丽江游玩的概率分别为，，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内恰好有1人从香格里拉坐动车到丽江游玩的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的和事件、相互独立事件同时发生的概率公式求解即得. 【详解】记事件“甲从香格里拉坐动车到丽江游玩”，“乙从香格里拉坐动车到丽江游玩”，“丙从香格里拉坐动车到丽江游玩”，事件“恰好有1人从香格里拉坐动车到丽江游玩”， 则由题意可知，事件相互独立，， 且事件两两互斥，其中， 则有， 故由互斥事件的和事件概率公式与相互独立事件同时发生的概率公式可得 . 故这段时间内恰好有1人回老家过节的概率为. 故选：A 5．（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）（多选）镇沅县某中学高二（1）班甲、乙两名同学独立解答一道空间向量与立体几何题，他们能解答出这道题的概率分别为和，记事件“甲独立解答出这道题”，事件“乙独立解答出这道题”，则（ ） A．A与B为相互独立事件 B．A与B为对立事件 C．两人都解答出这道题的概率为 D．恰有一人解答出这道题的概率为 【答案】ACD 【分析】根据题意及独立事件、对立事件的定义判断A、B；应用独立事件乘法公式求概率判断C；应用独立事件乘法、互斥事件加法公式求概率判断D. 【详解】因为事件是否发生对事件发生没有影响，故与为相互独立事件，不为对立事件，故A正确，B错误； 记事件两人都解答出这道题，则，故C正确； 记事件“恰有一人解答出这道题”， 则，故D正确． 故选：ACD 6．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）袋中有3个大小、质地相同的球，分别标有数字1，2，3，从中随机抽取3次，每次取1个球，规则如下：第一次若抽到1号球，则不放回，否则放回；第二次若抽到2号球，则不放回，否则放回.则第三次抽到3号球的概率为_____________． 【答案】 【分析】根据第一次和第二次的取球情况，进行分类讨论第三次抽到3号球的概率，再利用互斥事件概率加法公式即可求解. 【详解】（1）第一次抽到1号球（概率为），不放回，剩下球2，3， ①第二次抽到2号球（概率为），不放回，则第三次抽到3号球的概率为1； ②第二次抽到3号球（概率为），放回，则第三次抽到3号球的概率为． 则第三次抽到3号球的概率为； （2）第一次抽到2或3号球（概率为），放回，球仍为， ①第二次抽到1或3号球（概率为），放回，则第三次抽到3号球的概率为； ②第二次抽到2号球（概率为），不放回，则第三次抽到3号球的概率为． 则第三次抽到3号球的概率为； 所以第三次抽到3号球的总概率为． 故答案为： 7．（22-23高三上·云南德宏·期末）高三某位同学准备参加物理、化学、政治科目的等级考．已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的概率分别为、、，假定这三门科目考试成绩的结果互不影响，那么这位同学恰好得个的概率是_______． 【答案】 【分析】设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的事件分别为，则，，，这位考生至少得2个的概率：． 【详解】设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的事件分别为， 以为这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的概率分别为、、， 所以，，， 这三门科目考试成绩的结果互不影响， 则这位考生至少得2个的概率： ． 故答案为：． ( 考点0 6 相互独立事件的 应用 ) 1．（22-23高一下·云南昆明·期末）新高考实行“3+1+2”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考：“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科：“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科.某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科. (1)从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率； (2)甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果； （2）根据对立事件概率公式和独立事件的乘法公式可求出结果. 【详解】（1）依题意，样本空间为{物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，史化生，史化地，史化政，史生地，史生政，史地政}，， 记事件“所选组合符合该大学某专业报考条件”，则{物化生，物化地，物化政，物生地，物生政}，，所以. （2）记事件“甲符合该大学某专业报考条件”，事件“乙符合该大学某专业报考条件”，事件“甲、乙两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件”， 由（1）可知，， . 2．（22-23高二下·云南大理·期末）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰.已知甲选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，乙选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且两位选手各轮问题能否正确回答互不影响. (1)求甲选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求至少有一名选手通过全部考核的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设事件表示“甲选手能正确回答第轮问题”，设事件表示“甲选手进入第三轮才被淘汰”，由独立事件概率的乘法公式，计算可得答案； （2）利用独立事件的概率乘法公式求出甲选手通过全部考核的概率与乙选手通过全部考核的概率，然后利用对立事件的概率公式求解． 【详解】（1）设事件表示“甲选手能正确回答第轮问题”， 由已知， 设事件表示“甲选手进入第三轮才被淘汰”，即甲选手第一、二轮的问题回答正确，而第三轮的问题回答错误， 则； （2）设表示“甲选手通过全部考核”， 则． 设事件表示“乙选手能正确回答第轮问题”， 由已知， 设表示“乙选手通过全部考核”， 则． 则至少有一名选手通过全部考核的概率为. 3．（22-23高一下·云南文山·期末）甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，，，，各项目的比赛结果相互独立，甲得0分的概率是，甲得6分的概率是 (1)求，的值； (2)甲、乙两人谁获得最终胜利的可能性大?并说明理由． 【答案】(1) (2)甲获得最终胜利的可能性大． 【分析】（1）根据题意列出等式联立求解即可； （2）根据题意计算甲得4分或者6分的概率，进而可判断胜负可能性. 【详解】（1）由题意可得，即，则. 又，故，解得 （2）由题意可得3个项目一共6分，总共4分或6分者即可取胜，又甲得4分的概率， 所以甲得4分或6分的概率. 故乙得4分或6分的概率为， 因为，所以甲获得最终胜利的可能性大． 4．（24-25高一下·云南昭通·期末）某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． (1)求的值； (2)分别求甲、乙两轮都胜出的概率； (3)求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 【答案】(1)． (2) (3) 【分析】（1）设事件“第一轮比赛中甲胜出”，事件“第二轮比赛中甲胜出”，设事件“第一轮比赛中乙胜出”，事件“第二轮比赛中乙胜出”，根据题意，得到相互独立，结合相互独立事件的概率计算公式，即可求解； （2）设事件“甲两轮都胜出”，事件“乙两轮都胜出”，结合独立事件的概率乘法公式，即可求解； （3）设事件“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”，结合对立事件的概率公式，即可求解. 【详解】（1）解：设事件“第一轮比赛中甲胜出”，事件“第二轮比赛中甲胜出”， 设事件“第一轮比赛中乙胜出”，事件“第二轮比赛中乙胜出”， 由题意，可得相互独立，且， 事件“甲，乙各有一轮胜出”，事件“甲，乙两轮都胜出”， 则， ，可得则，解得：或， 当时，，由，所以舍去，所以． （2）解：设事件“甲两轮都胜出”，事件“乙两轮都胜出”， 则． （3）解：设事件“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”， 则． 5．（25-26高二上·云南曲靖·期中）为庆祝中华人民共和国成立76周年，某中学举办“赓续中华文脉·厚植文化自信”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关中华优秀传统文化知识的问题.已知甲同学回答正确这道题的概率是，甲、丙两位同学都回答错误的概率是，乙、丙两位同学都回答正确的概率是.若各位同学回答是否正确互不影响. (1)求乙、丙两位同学各自回答正确这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三位同学中不少于2位同学回答正确这道题的概率 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）记“甲同学答对这道题”、“乙同学答对这道题”、“丙同学答对这道题”分别为事件，，，由题意得，可解出，． （2）先得出和，由对立事件概率公式可得结果． 【详解】（1）记“甲同学答对这道题”，“乙同学答对这道题”，“丙同学答对这道题”，分别为事件，，， 则，且有，即 ， 则解得，． （2）由题意得有个同学回答正确的概率如下， 为， 有个同学回答正确的概率如下， 为 ， 故这道题不少于个同学回答正确的概率为. 6．（25-26高二上·云南大理·阶段检测）每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)在第一轮比赛中，求甲，乙至少有一人胜出的概率； (2)若甲，乙两轮都失败的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）根据互斥事件和独立事件的概率公式求解即可； （2）①根据互斥事件和独立事件的概率公式列方程组求参数即可；②利用互斥事件和独立事件的概率公式求出甲、乙两人都没有两轮都胜出的概率，再根据互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）根据题意可知在第一轮比赛中甲，乙两人都失败的概率， 所以在第一轮比赛中，甲，乙至少有一人胜出的概率. （2）①记事件为甲在第轮胜出，事件为乙在第轮胜出，， 由题意相互独立，且，，，， 若甲，乙两轮都失败的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为， 则 ， ， 整理得， 所以， 将代入得，解得或， 当时；当时，不满足， 综上，； ②甲没有两轮都胜出的概率， 乙没有两轮都胜出的概率， 所以甲、乙两人都没有两轮都胜出的概率， 所以至少有一人两轮都胜出的概率为. 7．（24-25高一下·云南楚雄·期末）员工甲有两辆自行车．若上班不下雨，他就会骑自行车上班；若下班不下雨，只要公司有他的自行车，他也会骑自行车回家；其他情况下，他均会坐公交上下班．假设甲每天上班、下班下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且每天上下班下雨与否互不影响．已知第一天上班前甲的两辆自行车均在家里． (1)求甲第一天下班回到家里，骑行了一次自行车的概率； (2)求甲第一天下班回到家里，家里有两辆自行车的概率； (3)求甲第一天第二天连续上班两天后回到家里，家里只有一辆自行车的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得甲上班不下雨，下班下雨，求解即可； （2）分甲上班不下雨，下班不下雨与甲上班下雨两种情况求解即可； （3）分他只骑过一次自行车去公司，但是一直没有骑回来与他骑过两次自行车去公司，但是只骑回来一次两种情况求解即可. 【详解】（1）由题意得甲上班不下雨，下班下雨，则所求概率为． （2）第一种情况，甲上班不下雨，下班不下雨，此时概率为． 第二种情况，甲上班下雨，此时概率为． 故所求概率为． （3）甲第一天第二天连续上班两天后回到家里，要出行四次，家里只有一辆自行车，有两种情况． 第一种情况：他只骑过一次自行车去公司，但是一直没有骑回来． ①第一天上班不下雨，下班下雨，第二天上班下雨，下班下雨，此时概率为． ②第一天上班下雨，第二天上班不下雨，下班下雨，此时概率为． 第二种情况：他骑过两次自行车去公司，但是只骑回来一次． ①第一天上班不下雨，下班下雨，第二天上班不下雨，下班不下雨，此时概率为． ②第一天上班不下雨，下班不下雨，第二天上班不下雨，下班下雨，此时概率为． 故所求的概率为． 8．（24-25高二上·云南·阶段检测）某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已知甲答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为；乙答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为.甲、乙每次作答正确与否相互独立. (1)设. ①求甲答对一道题的概率； ②求甲、乙一共答对三道题的概率. (2)求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值. 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）设出事件，①根据独立事件概率乘法公式运算求解；②分析可知，结合独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率求法运算求解； （2）由已知，整理得，即可得当时，概率最小，求解可得. 【详解】（1）①设“甲答对一道题”为事件，则， 则甲答对一道题的概率为； ②设“甲答对两道题”为事件，“乙答对一道题”为事件， “乙答对两道题”为事件，“甲、乙一共答对三道题”为事件， 则， ， ， ， 故甲、乙一共答对三道题的概率为； （2）由题知，， 设“甲、乙一共答对三道题”为事件， 则 ， 当时，甲、乙一共答对三道题的概率最小，且最小值为. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 概率 概率在高考中重点考查概率的计算及事件的关系，在云南高一统测试卷中，重点考查事件的关系，古典概型和相互独立事件的概率求解. 高频考点概览 考点01事件的关系（互斥和对立事件） 考点02古典概型的计算（计算） 考点03古典概型的计算（提升） 考点04 概率的基本性质 考点05 事件的相互独立性 考点06 相互独立事件的应用 ( 考点01 事件的关系（互斥和对立事件） ) 1．（23-24高一下·云南玉溪·期末）下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（ ） A．① B．② C．③ D．①② 2．（24-25高一下·云南楚雄·期末）从1～5这5个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于3的数”，事件“抽到大于2的数”，事件“抽到大于1的奇数”，则（ ） A．和不互斥 B．和互斥且不对立 C．和不互斥 D．和互斥且不对立 3．（24-25高一下·云南昭通·期末）在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或2”，事件C表示“向上的点数大于2”，则下列说法正确的是（ ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 4．（24-25高一下·云南·期末）连续抛一枚硬币三次，事件“至多有一次硬币正面朝上”的对立事件是（ ） A．至少有一次硬币正面朝上 B．至少有两次硬币正面朝上 C．至少有一次硬币反面朝上 D．至少有两次硬币反面朝上 5．（22-23高一下·云南昭通·期末）从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（ ） A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球 C．都是黄球 D．至多2个红球 6．（23-24高二下·云南大理·期末）（多选）小华到大理旅游，对于是否选择崇圣寺三塔与蝴蝶泉这两个景点，下列各事件关系中正确的是（ ） A．事件“至少选择其中一个景点”与事件“至多选择其中一个景点”为互斥事件 B．事件“两个景点均未选择”与事件“至多选择其中一个景点”互为对立事件 C．事件“只选择其中一个景点”与事件“两个景点均选择”为互斥事件 D．事件“两个景点均选择”与事件“至多选择其中一个景点”互为对立事件 ( 考点0 2 古典概型的 计算 （基础） ) 1．（2026高二上·云南·学业考试）为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将4罐这种饮料装成一箱，其中2罐是中奖饮料，若从一箱中随机一次性抽出2罐饮料（每罐饮料被抽出的概率相等），则抽出的饮料中有中奖饮料的概率为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）某同学抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷10次，都是反面朝上，则第11次正面朝上的概率是（ ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）甲、乙两人有三个不同的学习小组，，可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组（两人参加各小组的可能性相同），则两人参加不同学习小组的概率为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·云南曲靖·期末）从大于1且小于50的整数中任意选取1个，则被选取的整数是质数的概率为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·云南昆明·期末）某地区公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了下面两个问题： 问题一：你的生日日期是不是奇数？ 问题二：你是否经常吸烟？ 调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，最后收集回来60个小石子，则可以估计出该地区经常吸烟的中学生所占的百分比约为（假设一年为365天，其中日期为奇数的天数为186天）（ ） A．9% B．14% C．16% D．32% 6．（24-25高一下·云南保山·期末）一个盒子中装有6个除颜色外都相同的小球，其中3个白球，2个红球，1个黑球．若从中任取2个球，那么至少取到1个红球的概率为（ ） A． B． C． D． 7．（22-23高一下·云南文山·期末）算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国传统的计算工具：现有一种算盘（如图2），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图乙中算盘表示整数51）．如果拨动图甲算盘中的两枚算珠，则表示的数字小于50的概率为（ ） A． B． C． D． 8．（20-21高一下·云南昆明·期末）人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa（假设ai、aa出现的概率相等），B型的基因类型为bi或bb（假设bi、bb出现的概率相等），AB型的基因类型为ab，其中a和b是显性基因，i是隐性基因．一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，则他们的子女的血型是AB型的概率为____________． ( 考点0 3 古典概型的 计算（提升） ) 1．（23-24高二上·云南昆明·期末）（多选）多项选择题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．小乐同学在面对一道多项选择题时，仅能明确的排除一个错误选项A，于是她选择在B、C、D三个选项中随机填涂答案提交，若该题在B、C、D中只有两个选项正确，则（ ） A．若小乐填涂三个选项，则该题得2分的概率为 B．若小乐随机填涂一个选项，则该题得0分的概率为 C．若小乐随机填涂两个选项，则该题得5分的概率为 D．若小乐随机填涂两个选项，则该题得0分的概率为 2．（21-22高二下·云南文山·期末）（多选）抛一枚质地均匀的骰子两次.记事件两次的点数均为偶数两次的点数之和小于7，则（ ） A． B． C． D． 3．（20-21高一下·云南昆明·期末）（多选）将一枚质地均匀且各面分别标有数字，，，的正四面体骰子连续抛掷次，观察底面上的数字，则下列说法正确的是（ ） A．三次都出现相同数字的概率为 B．没有出现数字的概率为 C．至少出现一次数字的概率为 D．三个数字之和为的概率为 4．（24-25高二上·云南曲靖·期中）（多选）连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，，记，则下列说法错误的是（ ） A．事件“”的概率为 B．事件“是奇数”的概率为 C．事件“”与“”互为对立事件 D．事件“是奇数”与“”互为互斥事件 5．（23-24高一下·云南昆明·期末）（多选）掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次骰子点数为奇数”，“第二次骰子点数为偶数”，“两次骰子点数之和为奇数”，“两次骰子点数之和为偶数”，则（ ） A．C与D互为对立事件 B．A与D相互独立 C． D． 6．（23-24高一下·云南曲靖·期末）（多选）掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现的点数大于3”，“第一枚出现的点数小于3”，“第一枚出现的点数小于4”，“第二枚出现的点数小于5”，则（ ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·云南·期末）近年来，我国肥胖人群的规模急剧增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是. 中国成人的BMI数值标准为：为偏瘦：为正常：为偏胖；为肥胖. 为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用随机抽样方法抽取了100名员工的身高和体重数据，计算得到他们的BMI值，绘制成如下的频率分布直方图： (1)求图中的值，并估计该公司员工BMI值的平均数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表） (2)根据需要，在偏胖和肥胖的员工中用分层随机抽样的方法抽取5名员工，再从抽取的5名员工中随机选取2名员工进行采访，求采访的2名员工均为偏胖的概率. 8．（24-25高一下·云南保山·期末）某校高一年级学生参加了“同心筑梦，爱我中华”知识竞赛，学生知识竞赛成绩均在内（单位：分），现从这些学生的成绩中随机抽取了100名学生的成绩，按照，…，分成4组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计全体参赛学生的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)规定成绩较高的前20%的学生获奖，请根据频率分布直方图估计获奖学生的最低分数线（保留到整数）； (3)现从样本成绩在与两个分数段内，按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2人，且2人的成绩之差的绝对值大于20的概率． ( 考点0 4 概率的基本性质 ) 1．（20-21高一下·云南昆明·期末）已知一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，那么下列事件概率错误的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南大理·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 3．（23-24高一下·云南·期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（ ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 4．（23-24高二上·云南·期中）（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，则下列说法正确的是（ ） A．如果事件与事件互斥，那么 B．如果事件与事件互斥，那么 C．如果事件与事件对立，那么 D．如果事件与事件对立，那么 5．（22-23高一下·云南大理·期末）（多选）若，，则（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·云南大理·期末）（多选）设A，B为两个随机事件，且，，下列说法正确的有（ ） A．若A，B互斥，则 B．若，则 C．若，则A，B独立 D．若，则A，B独立 7．（25-26高二上·云南玉溪·期末）（多选）已知随机事件、发生的概率分别为，，则（ ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若，则 D．若，则事件与相互独立 ( 考点0 5 事件的相互独立性 ) 1．（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则（ ） A．A包含B B．A与B互斥 C．A与B互为对立 D．A与B相互独立 2．（21-22高二上·云南临沧·期末）甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后至多有一人通过的概率是（ ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·云南保山·期末）有一组电路开关如图所示，现在开关、、、、是处于断开状态，任意闭合其中的两个，则电路接通的概率是（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·云南迪庆·期末）2023年11月26日丽江至香格里拉铁路（丽香铁路）正式开通运营，至此，平均海拔高度3380米的云南省迪庆藏族自治州结束不通铁路的历史，正式迈入“动车时代”.若甲、乙、丙三位同学在寒假期间从香格里拉坐动车到丽江游玩的概率分别为，，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内恰好有1人从香格里拉坐动车到丽江游玩的概率为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）（多选）镇沅县某中学高二（1）班甲、乙两名同学独立解答一道空间向量与立体几何题，他们能解答出这道题的概率分别为和，记事件“甲独立解答出这道题”，事件“乙独立解答出这道题”，则（ ） A．A与B为相互独立事件 B．A与B为对立事件 C．两人都解答出这道题的概率为 D．恰有一人解答出这道题的概率为 6．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）袋中有3个大小、质地相同的球，分别标有数字1，2，3，从中随机抽取3次，每次取1个球，规则如下：第一次若抽到1号球，则不放回，否则放回；第二次若抽到2号球，则不放回，否则放回.则第三次抽到3号球的概率为_____________． 7．（22-23高三上·云南德宏·期末）高三某位同学准备参加物理、化学、政治科目的等级考．已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的概率分别为、、，假定这三门科目考试成绩的结果互不影响，那么这位同学恰好得个的概率是_______． ( 考点0 6 相互独立事件的 应用 ) 1．（22-23高一下·云南昆明·期末）新高考实行“3+1+2”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考：“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科：“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科.某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科. (1)从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率； (2)甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率. 2．（22-23高二下·云南大理·期末）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰.已知甲选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，乙选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且两位选手各轮问题能否正确回答互不影响. (1)求甲选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求至少有一名选手通过全部考核的概率. 3．（22-23高一下·云南文山·期末）甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，，，，各项目的比赛结果相互独立，甲得0分的概率是，甲得6分的概率是 (1)求，的值； (2)甲、乙两人谁获得最终胜利的可能性大?并说明理由． 4．（24-25高一下·云南昭通·期末）某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． (1)求的值； (2)分别求甲、乙两轮都胜出的概率； (3)求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 5．（25-26高二上·云南曲靖·期中）为庆祝中华人民共和国成立76周年，某中学举办“赓续中华文脉·厚植文化自信”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关中华优秀传统文化知识的问题.已知甲同学回答正确这道题的概率是，甲、丙两位同学都回答错误的概率是，乙、丙两位同学都回答正确的概率是.若各位同学回答是否正确互不影响. (1)求乙、丙两位同学各自回答正确这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三位同学中不少于2位同学回答正确这道题的概率 6．（25-26高二上·云南大理·阶段检测）每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)在第一轮比赛中，求甲，乙至少有一人胜出的概率； (2)若甲，乙两轮都失败的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 7．（24-25高一下·云南楚雄·期末）员工甲有两辆自行车．若上班不下雨，他就会骑自行车上班；若下班不下雨，只要公司有他的自行车，他也会骑自行车回家；其他情况下，他均会坐公交上下班．假设甲每天上班、下班下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且每天上下班下雨与否互不影响．已知第一天上班前甲的两辆自行车均在家里． (1)求甲第一天下班回到家里，骑行了一次自行车的概率； (2)求甲第一天下班回到家里，家里有两辆自行车的概率； (3)求甲第一天第二天连续上班两天后回到家里，家里只有一辆自行车的概率． 8．（24-25高二上·云南·阶段检测）某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已知甲答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为；乙答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为.甲、乙每次作答正确与否相互独立. (1)设. ①求甲答对一道题的概率； ②求甲、乙一共答对三道题的概率. (2)求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $