精品解析：云南昆明市2025-2026学年高一下学期期末质量检测数学试题

高一期末质量检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，， 所以. 3. 已知则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据解分式不等式的方法，结合充分不必要条件的定义进行判断即可. 【详解】或， 显然由p一定能推出q，但是由q不一定能推出p， 所以p是q的充分不必要条件， 故选：A 4. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由函数的单调性及零点存在性定理即可得解. 【详解】由题意，函数在R上单调递增， 且，，， 所以函数的零点所在的一个区间是. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由， 所以. 6. 自动流水线包装的袋装食盐，每袋标准质量是，规定质量误差为测量质量与标准质量之差．在一次产品检验中，随机抽取若干袋食盐，记录质量误差，绘制如图所示的“质量误差”与“对应频率”的频率分布直方图，则其中位数是（ ） A. -1 B. -0.5 C. 0 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】利用频率累计到所对应的误差值，即是中位数. 【详解】频率分布直方图中， 区间：频率，累计频率， 区间：频率，累计频率， 区间：频率，累计频率， 因此中位数落在区间内。 设中位数为，累计到的频率为，则： ，  解得：， 所以中位数为. 7. 在等腰梯形中，，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用为基底，表示，利用向量数量积的运算法则求值即可. 【详解】如图： 等腰梯形中，，所以， 又，， 所以. 8. 原样本，8，，，的平均数是8，方差是，原样本添加一个数据8组成新样本的方差为，原样本剔除一个数据8组成新样本的方差为，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用方差的公式进行求解判断即可. 【详解】因为原样本共个数据，其平均数，所以方差， 添加数据8后的新样本共个数据，新平均数仍为， 因此： ， 剔除数据8后的新样本共个数据，新平均数仍为， 因此： ， 因为，所以， 即，当且仅当时，取等号. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，是奇函数且在上是增函数，A正确； 对于B，是奇函数且分别在和上是增函数，B错误； 对于C，是奇函数且在上是增函数，C正确； 对于D，是偶函数，D错误． 10. 抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，观察落地时朝上的面的点数，记随机事件“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数小于3”，“点数大于3”，则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. 是必然事件 D. 与相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】由古典概型的概率公式得到各个事件的概率，利用对立事件的性质判断A，利用互斥事件的性质判断B，利用必然事件的性质判断C，利用独立事件的性质判断D即可. 【详解】由题意得抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，共有6种等可能情况， 由已知随机事件“点数为奇数”，可得， “点数为偶数”，可得， “点数小于3”，可得， 而“点数大于3”，可得， 对于A，而，则与不互为对立事件，故A错误， 对于B，由已知事件是不可能事件， 结合互斥事件的定义可得与互斥，故B正确， 对于C，由题意得， 则，可得是必然事件，故C正确， 对于D，由题意得，满足， 由独立事件的性质得与相互独立，故D正确. 11. 圆锥的轴截面是边长为的正三角形，，是底面圆的两条相互垂直的直径，A，B分别为线段，的中点，球O是圆锥内可放入的最大的球，则（ ） A. 圆锥的母线与底面的所成角是 B. 异面直线与所成角为 C. 球的表面积为 D. 平面截球所得的截面周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出线面角，利用定义法判断A，连接，证得平面，得到，进而得到线线角大小可判定B，结合题意求解球的半径，进而求解表面积判断C，利用等体积法求出到面的距离，再利用勾股定理求出截面的半径，最后求出周长即可. 【详解】对于A，如图，作出符合题意的图形，连接， 由三线合一性质得底面圆，且， 由线面角的定义可得圆锥的母线与底面的所成角是， 由三角函数的定义得，可得，故A正确， 对于B，如图，作出符合题意的图形，连接， 可得，异面直线与所成角为或其补角， 且， 由，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以为等腰直角三角形，所以，故B正确， 对于C，由已知得，由题意得是等边三角形的中心， 则，设球的半径为，则， 可得，解得，由球的面积公式得面积为，故C错误， 对于D，如图，作出符合题意的图形，连接， 由题意得到面的距离为，且的面积为， 由棱锥的体积公式得， 而的面积为，设到面的距离为， 则，解得，由勾股定理得截面圆的半径为， 由圆的弧长公式得截面的周长为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，若，则________． 【答案】10 【解析】 【详解】因为，所以，所以. 13. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且的面积为9，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先用正弦定理求出边，再由三角形面积公式求出，结合锐角三角形条件得，最后用余弦定理求. 【详解】，由正弦定理得，，解得. 三角形面积，代入，解得： 为锐角三角形，故， ， 故. 14. 已知且，函数若的图象与直线有两个交点，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】分、，结合交点个数及函数特性求参数的范围即可． 【详解】当时， 时，单调递减，且，此时的图象与直线有一个交点； 时，单调递减，且， 此时的图象与直线没有交点； 时，单调递增，且， 又的图象与直线有两个交点， 所以，此时的图象与直线有一个交点， ，解得，又， ， 当时， 时，单调递增，且，此时的图象与直线没有交点； 时，单调递增，且，， 此时的图象与直线有一个交点， 时，单调递增，则， 又的图象与直线有两个交点， 所以，此时的图象与直线有一个交点， ，解得， 综上，． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，M是的中点． （1）求证：平面； （2）若平面，，求证：． 【答案】（1）连接交于点O，连接， 因为底面是矩形，所以O为中点， 又M是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2）因为平面，平面，所以， 因为是矩形，所以， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且M是的中点，所以， 因为，且平面，所以平面， 又平面，所以． 【解析】 【分析】（1）利用矩形对角线中点特性，连接交点，构造中位线，证，结合线面平行判定定理完成证明； （2）先由垂直底面证平面得，再由，且为中点得，推出平面，最终证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 某商场对购物的顾客提供一次抽奖机会．在不透明盒子中装入6个小球，其中4个黄球，2个红球，小球除颜色外其它均相同．顾客选择下面两种抽取方式中的一种，从盒子中抽取2个球． 方式一：一次性抽取2个球； 方式二：先抽取1个球，记录颜色后，放回盒子中，再抽取一次． 中奖规则为：抽取的2个小球至少有一个红球则中奖，否则不中奖． （1）若顾客选择方式一，求中奖的概率； （2）哪种抽取方式的中奖概率更大，请说明理由． 【答案】（1） （2）方式一中奖概率更大，理由如下： 采用方式二抽取，所有等可能的结果，． 记“顾客选择方式二且中奖”为事件B，则 ，， 所以． 因为， 所以顾客选择方式一中奖概率更大． 【解析】 【详解】将四个黄球编号为1，2，3，4，两个红球编号为5，6． （1）采用方式一抽取，所有等可能的结果 ，． 记“顾客选择方式一且中奖”为事件A，则 ，， 所以， 所以顾客选择方式一中奖的概率为． （2）略 17. 已知函数（，）图象的相邻两个对称中心之间的距离为，． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，（）且满足，求实数m的取值范围，及的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）正弦函数相邻对称中心间距为半个周期，先求得；再代入结合范围求初相； （2）先利用平移法则求出，换元划分单调区间，算出区间端点函数值；结合图像有两交点得范围，由对称轴性质求. 【小问1详解】 由题，得，所以， 又，故，所以． 由于，所以，又，所以， 即． 【小问2详解】 由题． 当时，则， 由，得，故函数在上单调递增； 由，得，故函数在上单调递减． 又，， ， 由于，（）且， 即在内的图象与直线有两个不同的交点，所以． 由于的图象关于直线对称，所以． 18. 已知函数，． （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求的最小值； （3）若，在的最大值与最小值之和不大于，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式，结合对数函数的定义域与单调性，将对数不等式转化为一元一次不等式求解，注意定义域对解集的限制. （2）将代入函数表达式化简，得到的定值关系，结合基本不等式即可求得的最小值，注意验证等号成立的条件. （3）首先根据对数函数的单调性确定在上的最大值与最小值，将题设不等式转化为关于的恒成立问题，求解对勾函数在上的最大值，再解关于的一元二次不等式，结合的限定条件得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，的定义域为，因为，所以是增函数， 即，所以，解得， 所以的解集为． 【小问2详解】 ，所以，（） ， ，因为，所以，， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2． 【小问3详解】 因为，所以是增函数，所以在上的最小值为，最大值为， ，在的最大值与最小值之和不大于，即 等价转化为恒成立， 因为，所以的最大值为，所以，化简得， 解得，又因为， 所以． 19. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，所有半正多面体均可由正多面体切割而来，体现了数学的对称美．如图，是一个棱长为4的正方体，点，，，，…，，，均在正方体的棱上，设（），同时用平面，平面，…，平面去截正方体，由这八个平面和正方体的六个面所围成的十四面体记为． （1）若几何体是由正三角形和正八边形构成的半正多面体，求x； （2）当时，若几何体的表面积为，判断并说明是否为半正多面体； （3）当时，是否存在x使得几何体为半正多面体，若存在，求出的体积；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）是，说明如下： 时，， ， 则的表面积为， 所以，解得， 此时，、重合，、重合，、重合，、重合， 八边形退化成边长为的正方形，是边长为的正三角形， 根据对称性，的所有棱长均为，且由6个正方形、8个正三角形围成，故为半正多面体． （3）存在，32 【解析】 【分析】（1）使用等边三角形的性质求解； （2）使用三角形的面积公式求解； （3）使用点线面的位置关系分析几何图形，并用棱锥的体积公式计算. 【小问1详解】 依题意：八边形为正八边形， 为正三角形，则， 因为，所以，故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，设， ，， ，， 如图，取中点O，连接，， 根据对称性可知，，均为等腰直角三角形，四边形为正方形， 则，，，， 所以， 要使得为半正多面体，则，即，解得， 此时，由八个正六边形和六个正方形围成，故是半正多面体， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一期末质量检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 自动流水线包装的袋装食盐，每袋标准质量是，规定质量误差为测量质量与标准质量之差．在一次产品检验中，随机抽取若干袋食盐，记录质量误差，绘制如图所示的“质量误差”与“对应频率”的频率分布直方图，则其中位数是（ ） A. -1 B. -0.5 C. 0 D. 0.5 7. 在等腰梯形中，，，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 原样本，8，，，的平均数是8，方差是，原样本添加一个数据8组成新样本的方差为，原样本剔除一个数据8组成新样本的方差为，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，观察落地时朝上的面的点数，记随机事件“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数小于3”，“点数大于3”，则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. 是必然事件 D. 与相互独立 11. 圆锥的轴截面是边长为的正三角形，，是底面圆的两条相互垂直的直径，A，B分别为线段，的中点，球O是圆锥内可放入的最大的球，则（ ） A. 圆锥的母线与底面的所成角是 B. 异面直线与所成角为 C. 球的表面积为 D. 平面截球所得的截面周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，若，则________． 13. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且的面积为9，则________． 14. 已知且，函数若的图象与直线有两个交点，则a的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，M是的中点． （1）求证：平面； （2）若平面，，求证：． 16. 某商场对购物的顾客提供一次抽奖机会．在不透明盒子中装入6个小球，其中4个黄球，2个红球，小球除颜色外其它均相同．顾客选择下面两种抽取方式中的一种，从盒子中抽取2个球． 方式一：一次性抽取2个球； 方式二：先抽取1个球，记录颜色后，放回盒子中，再抽取一次． 中奖规则为：抽取的2个小球至少有一个红球则中奖，否则不中奖． （1）若顾客选择方式一，求中奖的概率； （2）哪种抽取方式的中奖概率更大，请说明理由． 17. 已知函数（，）图象的相邻两个对称中心之间的距离为，． （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，（）且满足，求实数m的取值范围，及的值． 18. 已知函数，． （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求的最小值； （3）若，在的最大值与最小值之和不大于，求的取值范围． 19. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，所有半正多面体均可由正多面体切割而来，体现了数学的对称美．如图，是一个棱长为4的正方体，点，，，，…，，，均在正方体的棱上，设（），同时用平面，平面，…，平面去截正方体，由这八个平面和正方体的六个面所围成的十四面体记为． （1）若几何体是由正三角形和正八边形构成的半正多面体，求x； （2）当时，若几何体的表面积为，判断并说明是否为半正多面体； （3）当时，是否存在x使得几何体为半正多面体，若存在，求出的体积；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $