专项训练6 平行四边形-【暑假大串联】2025-2026学年八年级数学暑假作业教材衔接（北师大版·新教材）

第二部分 融汇跃升 专项训练六平行四边形 【题型1】利用平行四边形的性质求解 1.如图，平行四边形ABCD的周长为20cm,AB≠AD,AC,BD相交于点O,EO⊥BD交AD 于点E,则△ABE的周长为 () A.4cm B.6cm C.8cm D.10 cm D B 0 D∠ C (第1题) (第2题) 2.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC⊥BC,AB=10,BC=8,则OB的长为 () A.√73 B.6 C.7 D.√58 3.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(一1，一2)，D(1,1), C(5,2),则顶点B的坐标为 () A.(3,-1) B.(4,-1) c.(- D.(-1 (第3题) (第4题) 4.如图，在□ABCD中，AD=5cm,CD=3cm,AE平分∠BAD,则EC= 【题型2】利用平行四边形的性质证明 5.如图，在口ABCD中，∠ABC,∠BCD的平分线分别交AD于点E,F,BE,CF相交于点G. (1)求证：BE⊥CF; (2)若AB=5,CF=6,求BE的长. 回 暑假大串联 八年级数学B一 6.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E,交BC于点M,CF平分 ∠BCD交BD于点F (1)若∠ABC=70°，求∠AMB的度数； (2)求证：AE=CF. 7.如图，在四边形ABCD中，AD=12,DO=OB=5,AC=26,∠ADB=90°. (1)求BC的长； (2)求四边形ABCD的面积. 0 【题型3】平行四边形的性质与判定 8.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是AB,DC边上的中点，连接DE,BF,AF. (1)求证：四边形DEBF是平行四边形； (2)若AF平分∠DAB,BC=3,求EB的长. 9.如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE∥DC. (1)求证：四边形AECD是平行四边形； (2)若∠B=30°，AE平分∠BAC,AB=8√5，求AD的长. 阅 第二部分 融汇跃升 10.如图，在□ABCD中，E,F分别为CD,AB上两点，且DE=BF,连接AE,CF分别与对角线 BD交于点G,H. (1)求证：四边形AFCE为平行四边形； (2)若∠ABD=30°，DH=4,求点G到AB的距离. ) 【题型4】利用三角形的中位线求解 如图，△ABC中，∠BAD=/CAD,BE=CE,AD LBD,DF=AB=4,则AC的值为 A.7 B. 13 2 C.6 D.5 D 7H F G (第11题) (第12题) (第13题) 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D,E分别为CA,CB的中点，AF平分∠BAC,交DE于点 F,若AC=6,BC=8,则EF的长为 () A.2 B.1 C.4 n 13.如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=8,AB=4,点H,G分别是边CD,BC上的 动点.连接AH,HG,点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF,则EF的最小 值为 14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E,F分别是BC,AC的中点，延长BA到点D,使AD= AB.连接DE,DF. 1 (1)求证：AF与DE互相平分； (2)若∠ABC=60°，BC=4,求DF的长.(b-1)2=0,解得：a=1,b=1. 24.(1)(a+2b)(a+b); (2)① ②3,1,4；③(3a+b)(a+b) 25.解：(1)(y+3)(y-5)； (2)①.BC=8,AB=6,.8÷2=46÷1=6, .0<t≤4，由题意得：AP=tcm,BQ=2tcm, .BP=AB-AP=(6-t)cm,,∠ABC=90°， △BPQ的面积为S=号Q·BP=号×21× (6-t)=-t2+6t(0<t≤4)；②由①知S -t2+6t=-(t2-6t+9)+9=-(t-3)2+ 9(0<t≤4)，.-(t-3)2≤0，∴.当t=3时，S 的值最大，最大值是9. 15 专项训练五分式与分式方程 1.B2.D3.14.15.-3 6.-1,(答案不唯一) x’2 7.(1)无解(2)x=1 7 8.(1)x=1(2)x=6 9.C10.A11.C12.A 13.(1)康乃馨花束的单价为70元，玫瑰花束的单价 为50元： 1. (2)依题意得：70-2m=50-m 1800900 ×1.5,解得： 5. m=5. 14.解：设A型充电柱的单价为x万元，则B型充电 桩的单价为(x+0.3)万元.根据题意，得15 x十0.3解得x=0.9.经检验，x=0.9是所列 20 分式方程的解且符合题意.则x十0.3=1.2.所 9 以A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩 的单价为1.2万元： (2)解：设购买A型充电柱m个，则购买B型充 电桩(25一m)个 0.9m+1.2(25-m)26, 根据题意，得 。1 解得 25-m≥之m, 40 6<m≤50，：m为整数，“m=14,15或16 .该停车场有3种购买方案.方案一：购买A型 充电桩14个、B型充电桩11个；方案二：购买A 型充电桩15个、B型充电桩10个；方案三：购买A 型充电桩16个，B型充电柱9个.，A型充电柱的 单价低于B型充电桩的单价，.方案三所需购买总 费用最少，最少费用=16×0.9十1.2×9=25.2（万 元) 解：(1)设B型汽车的进价为每辆x万元，则A 型汽车的进价为每辆1.5x万元，依题意得： 1200-1500=20,解得：x=10,经检验x=10是 x1.5x 方程的解，答：B型汽车的进价为每辆10万元； (2)设购买m辆A型汽车，则购买(100一m)辆 B型汽车，A型车每辆进价：1.5×10=15（万 元)，依题意得：15m十10(100-m)≤1182，解 得：m≤36.4，答：最多可以购买36辆A型 汽车 专项训练六平行四边形 D 2.A 3.A 4.2cm (1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,.∠ABC+∠BCD=180°， ,∠ABC,∠BCD的平分线BE,CF分别与AD相 交于点E,F,∴∠EBC+∠PCB=号∠ABC+ 3∠XB=90,BELc (2)解：如图，过A作AM∥FC,交AE于点O, (2),四边形ABCD是平行四边形，∠ADB= 90,.∠DBC=90°，S四ǜ表D= BD· 2 M AD+7BD·BC=BD·AD=10X12=120, AM∥FC,.∠AOB=∠FGB,BE⊥CF, 8.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .∠FGB=90°，.∠AOB=90°，BE平分 ∴.AB=CD,AB∥CD,E,F分别是AB,DC ∠ABC,.∠ABE=∠EBC,AD∥BC, .∠AEB=∠CBE,.∠ABE=∠AEB,.AB= 边上的中点，.AE=BE=2AB,CF=DF= AE=5,.AO⊥BE,.BO=EO,在△AOE和 ∠AEO=∠MBO, 2CD,DF=BE,:DF∥BE,四边形 △MOB 中， EO=BO, .△AOE≌ DEBF是平行四边形； ∠AOE=∠MOB, (2)解：四边形ABCD是平行四边形，.AD △MOB(ASA),∴.AO=MO,.AF∥CM,AM∥ BC=3,AB∥CD,∴.∠DFA=∠FAB,AF平 CF,.四边形AMCF是平行四边形，.AM= 分∠DAB,∴∠DAF=∠BAF,·∠DAF= CF=6,∴.AO=3,.E0=√JAE-AO=4, ∠DFA,∴.DF=AD=3,:四边形DEBF是平 行四边形，∴.EB-DF=3. .BE=8. 9.(1)证明：，∠ACB=∠CAD=90°，.AD∥BC, 6.(1)解：四边形ABCD是平行四边形， 又AE∥DC,∴.四边形AECD是平行四边形； ∠ABC=70°，.∠BAD=180°-70°=110°，又 (2)解：∠B=30°，AB=8√3，∠ACB=90°， ,AE平分∠BAD,.∠DAM=∠BAM= 吉∠BAD=5,又：四边形ACD是平行四边 ·AC= 2AB=43,∠BAC=60°，：AE平分 形，∴.AD∥BC,.∠AMB=∠DAM=55°； ∠BAC.∠EAC=号∠BAC=30,2EC (2)证明：，四边形ABCD是平行四边形， AE,由勾股定理得AC2+EC2=AE,即 ∴.∠BAD=∠BCD,又，CF平分∠BCD,AE平分 (4√5)+EC2=(2EC)2,解得EC=4,:四边形 ∠BAD.&∠F=专 ∠BCD,∠BAE= AECD是平行四边形，AD=EC=4. 10.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， 2∠BAD,品∠BAE=∠DCF,又：四边形ACD AB∥CD,CD=AB,E,F分别为CD,AB 是平行四边形，AB∥DC,.∠ABE=∠CDF, 上两点，且DE=BF,.CD-DE=AB-BF, ∠ABE=∠CDF, ∴.CE∥AF,CE=AF,∴.四边形AFCE为平行 在△ABE和△CDF中，{AB=CD, 四边形； ∠BAE=∠DCF, (2)解：作GL⊥AB于点L, .△ABE≌△CDF,.AE=CF. 7.解：(1)∠ADB=90°，.AO=√AD2十OD= √122+5=13..C0=AC-A0=13..C0= AO.又，DO=BO,∴.四边形ABCD是平行四边 则∠BLG=90°，，AB∥CD,.∠ABG= 形..BC=AD=12: ∠CDH,:AE∥CF,.∠AGB=∠CHD,在 10 ∠AGB=∠CHD, △AGB和△CHD中， ∠ABG=∠CDH, AB=CD. .△AGB≌△CHD(AAS),.BG=DH=4, 1 ∠ABD=30°，GL=2BG=2,点G到 AB的距离是2. 11.A12.A13.√3 14.(1)证明：连接EF,AE. 14. 点E,F分别为BC,AC的中点，.EF∥AB, EF=AB.又：AD=AB,EF=AD.又 EF∥AD,.四边形AEFD是平行四边形. .AF与DE互相平分； (2)解：在Rt△ABC中，∠ABC=60°，BC=4,E 为BC的中点.BE=2BC=2,∠ACB=30, 15 ∴AB=BC=2.∴AB=BE,△ABE为等 边三角形，.AE=BE=2,又，四边形AEFD 是平行四边形，.DF=AE=2. 第三部分探究先飞 特殊平行四边形 1.菱形的性质与判定 1.D2.C3.D4.B5.C6.D 7.1058159.4cm10.4山.60 12.(3,4) 13.解：：∠ABC=120°，.∠BCD=∠BAD= 7 60°；，菱形ABCD中，AB=AD,.△ABD是 等边三角形；又，E是AB边的中点，B关于 12 AC的对称点是D,连接DE,DE与AC交于 P,DE⊥AB,PB=PD;DE的长就是PB+PE 的最小值√5；设AE=x,AD=2x,DE= √(2x)2-x=√5x=√5，所以x=1,AB= 2.x=2. D E B 解：四边形BFDE是菱形，理由：AD⊥BD, ∴.△ABD是直角三角形，且AB是斜边，E 为AB的中点DE=AB=BE,:四边形 ABCD是平行四边形，∴.DC∥AB,DC=AB, :F为DC中点，E为AB中点，DF=2DC BE=号AB,DF=BE,DF∥BE,∴四边形 DFBE是平行四边形，DE=EB,四边形 BFDE是菱形. (1)证明：，∠ABC=90°，BD为AC的中线， BD=号AC,:AG/BD,BD=FG四边形 BGFD是平行四边形，CF⊥BD,∴.CF⊥ AG,又：点D是AC中点.DF=名AC .BD=DF; (2)证明：，BD=DF,.四边形BGFD是菱形； (3)解：设GF=x,则AF=13-x,AC=2.x, 在Rt△ACF中，∠CFA=90°，.AF2+ CF2=AC2,即(13-x)2+62=(2x)2,解得：x= 5,∴.四边形BDFG的周长=4GF=20. 2.矩形的性质与判定 2.B3.B4.D5.D6.A 558980 11.3 12