专项训练4 因式分解-【暑假大串联】2025-2026学年八年级数学暑假作业教材衔接（北师大版·新教材）

名×3X2=3:(《③)由旋转的性质得BE=BE' 专项训练四 因式分解 1,CE=AE'=√3，∠EBE'=90°，△BEC≌ 1.C2.B3.B4.B5.A6.A7.D △BE'A,∴.△EBE是等腰直角三角形， 8.(2x-1)29.x(.x+5)(x-5)10.-4 ∠AE'B=∠BEC,.∠BE'E=45°，∴.E'E= 11.y(.x-4)212.3(a+2)(a-2) √BE2+BET=√2，在△AEE中，AE2十 13.-(a-b)(a-5b)14.(x+5)(x-7) EE2=(√3)+（√2）=5=AE2,.∠AE'E= 15.(a+4)(a-3) 90°，.∠AE'B=∠AE'E+∠BE'E=135°= 16.(1)(x-3)(x-5); ∠BEC. (2)若x2十a.x一8可分解为两个一次因式的积， 11.(1)如图所示： 则整数a的所有可能的值：-8+1=-7；-1+ 8=7；-2+4=2;-4+2=-2,即整数a的所 有可能的值：±7，±2. 17.(1)(x+1)(x+4)(2)(x+1)(x-7) 18.(1)x2+7x+6=x2+(1+6)x+1×6=(.x+ 1)(.x+6) (2)x3+3.x-10=x2+(5-2)x+5×(-2)= (.x+5)(x-2) (3)x3-10.x+16=x2+(-2-8)x+(-2)× (2)如图所示： (-8)=(.x-2)(x-8) (4)x2-7x-18=x2+(-9+2)x+(-9)× 2=(x-9)(.x+2) 19.(m-1)(n+2) 20.(1)(x+a)(x-a+1)(2)(a-b)(x+a-b) 21.解：(1)(x-y+4)(x-y-4)； (2)a4-b4+b2c2-a2c2=0,.(a2+b2)(a2 b2)+c2(b2-a2)=0,∴.(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, (3)如图所示，点P即为所求作的点，其坐标是 ∴.a2-b2=0或a2+b2-c2=0,.a2=b2或a2+ (3,1).故答案为：(3,1) b2=c2,∴.△ABC是等腰三角形或直角三角形. 22.(2x+y)(4a-b) 23.解：(1)①x2-10x+9=(x-1)(x-9);②x2- 8xy+7y2=(x-y)(x-7y); (2)由题意得，-2x2-8.x十3=-2(x十2)2+ 11,∴.当x=-2时，多项式-2x2-8.x十3有最 大值11： (3)a2+2b2-2ab-2b+1=0,.(a2-2ab+ b2)+(b2-2b+1)=0,配方得(a-b)2十 8 (b-1)2=0,解得：a=1,b=1. 以A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电柱 24.(1)(a+2b)(a+b): 的单价为1.2万元： (2)① (2)解：设购买A型充电柱m个，则购买B型充 电柱(25-m)个。 0.9m+1.2(25-m)26, 根据题意，得 1 解得 ②3,1,4；③(3a+b)(a+b). 25-m≥2m, 25.解：(1)(y+3)(y-5)； 40 3≤m≤50，：m为整数，m=14,5或16 (2)①.BC=8,AB=6,.8÷2=46÷1=6, .0<t≤4，由题意得：AP=tcm,BQ=2tcm, ∴.该停车场有3种购买方案.方案一：购买A型 .BP=AB-AP=(6-t)cm,∠ABC=90°， 充电桩14个、B型充电桩11个；方案二：购买A △BPQ的面积为S=号Q·BP 型充电桩15个B型充电桩10个；方案三：购买A 2×21× 型充电桩16个，B型充电柱9个.，A型充电柱的 (6-t)=-t2+6t(0<t≤4)；②由①知S= 单价低于B型充电柱的单价，方案三所需购买总 -t2+6t=-(t2-6t+9)+9=-(t-3)2+ 费用最少，最少费用=16×0.9+1.2×9=25.2（万 9(0<t≤4)，.-(t-3)2≤0，.当t=3时，S 元) 的值最大，最大值是9. 15.解：(1)设B型汽车的进价为每辆x万元，则A 型汽车的进价为每辆1.5x万元，依题意得： 专项训练五分式与分式方程 12001500 x 1.5.x =20,解得：x=10,经检验，x=10是 1.B2.D3.14.15.-3 方程的解，答：B型汽车的进价为每辆10万元； 6.x-11 x,2(答案不唯一) (2)设购买m辆A型汽车，则购买(100-m)辆 B型汽车，A型车每辆进价：1.5×10-15（万 7.(1)无解(2)x=1 元)，依题意得：15m+10(100-m)≤1182，解 7 8.(1)x=1(2)x=6 得：m≤36.4，答：最多可以购买36辆A型 9.C10.A11.C12.A 汽车 13.(1)康乃馨花束的单价为70元，玫瑰花束的单价 专项训练六 平行四边形 为50元； 1.D2.A3.A4.2cm (2)依题意得：70-2m-50一m 1800 900 ×1.5,解得： 5.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， m=5. ∴.AB∥CD,.∠ABC+∠BCD=180°， 14.解：设A型充电柱的单价为x万元，则B型充电 ,∠ABC,∠BCD的平分线BE,CF分别与AD相 桩的单价为(x十0.3)万元.根据题意，得15 交于点E,R,∠EBC+∠FCB=号∠ABC十 十0.3解得：x=09.经检验，x=0.9是所列 20 ∠DCB=90,∴BELCF; 1 分式方程的解且符合题意.则x十0.3=1.2.所 (2)解：如图，过A作AM∥FC,交AE于点O,暑假大串联 八年级数学B 专项训练四 因式分解 【题型1】已知因式分解的结果求参数 1.若多项式x2+m.x十n能因式分解为(x一2)(x十3)，则mn的值是 A.-1 B.1 C.-6 D.6 2.若x2-ax-1可以因式分解为(x一2)(x+b),那么a一b的值为 () A.-1 B.1 C.-2 D.2 3.用因式分解法解方程x2一mx一6=0，若将左边因式分解后有一个因式是(x一3)，则m的 值是 () A.0 B.1 C.-1 D.2 【题型2】提公因式 4.把多项式2ab十4ab2分解因式，应提取的公因式是 A.ab B.2ab C.2ab2 D.4ab2 5.已知边长为a,b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为 A.70 B.60 C.35 D.24 6.已知a+b=4,ab=3,则a2b+ab2的值为 A.12 B.7 C.4 D.3 7.已知a十b=3,a-b=2,则a2-b2等于 A.3 B.4 C.5 D.6 【题型3】运用公式法分解因式 8.分解因式4x2-4x+1= 9.把多项式x3-25x分解因式的结果是 10.若a-b=2,则a2-b2-4a= 【题型4】提公因式与公式法分解因式 11.因式分解：x2y-8xy+16y= 12.因式分解：3a2-12= 13.因式分解：-a2-5b2+6ab. 第二部分 融汇跃升 【题型5】十字相乘法分解因式 14.因式分解：x2-2x-35= 15.因式分解：a2+a-12= 16.下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务， 2024年12月12日阴转晴今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介 绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式x2十（p十q)x十g的分解因式的方法叫“十字相乘 法”，因式分解二次三项式的公式为x2+(p十q)x十pg=(x十p)(x十q).例如：将二次三项式x2十 7x十10因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项10=2×5，一次项系数7=2十5，则x2十7x+ 10=(x十2)(x+5),如图所示！ 1×5+1×2=7 任务： 1)因式分解：x2-8x+15= (2)若二次三项式x2+ax一8可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能 的值 17.阅读下列材料： 将x2+2x一35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：x2=x·x,一35=（一5）×（十7）. ②交叉相乘，验中项： X737x-5x=2. ③横向写出两因式：x2+2x一35=(x+7)(x一5) 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫作十字相乘法 试用上述方法分解因式： (1)x2+5x+4; (2)x2-6x-7. 暑假大串联 八年级数学B 18.阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,即x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)是否可以分解因 式呢？当然可以，而且也很简单.如x2+5.x十4=x2十(1+4)x+1×4=(x+1)(x+4); x2-3x-4=x2+(1-4)x+1×(-4)=(x+1)(x-4). 请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式： (1)x2+7x+6; (2)x2+3x-10: (3)x2-10x+16; (4)x2-7x-18. 【题型6】分组分解法分解因式 19.分解因式：mn十2m-n-2= 20.八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a+3ab一4一6b分解因式 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式=(2a-4)+(3ab-6b) =2(a-2)+3b(a-2) =(a-2)(2+3b) 【类比】(1)请用分组分解法将x2一a2+x+a分解因式； 【挑战】(2)请用分组分解法将ax+a2-2ab-bx+b2分解因式. 第二部分 融汇跃升 21.常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法.但有更多的多项式只用上述方法无法分解， 如x2一4y2一2x十4y,细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取 公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的 分解因式了.过程如下： x2-4y2-2x+4y=(x-2y)(x+2y)-2(x-2y)=(x-2y)(z+2y-2). 这种分解因式的方法叫作分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：x2-2xy+y2-16; (2)已知△ABC的三边长a,b,c满足条件：a4-b4+b2c2-a2c2=0,判断△ABC的形状，并 说明理由. 22.因式分解：8ax-by+4ay-2bx. 【题型7】因式分解的应用 23.我们知道形如x2+(a十b)x+ab的二次三项式可以分解因式为(x十a)(x+b),所以x2+ 6x-7=x2+[7+(-1)]x+7×(-1)=(x+7)[x+(-1)]=(x+7)(x-1),但小明在学习 中发现，对于x2十6x一7还可以使用以下方法分解因式. x2+6x-7=x2+6.x+9-7-9=(x+3)2-16=(x十3)2-42=(x+3+4)(x十3-4)= (x十7)(x一1) 教科书中这样写道：“形如a2士2ab+b2的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全 平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个 项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法， 不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求 代数式最大值、最小值等问题， 例如：求代数式2x2+4x一6的最小值. 解：2x2+4x-6=2(x2+2x-3)=2(x2+2x+1-3-1)=2(x+1)2-8. 因为(x+1)2≥0，所以2(x+1)2-8≥-8， 47 暑假大串联 八年级数学B 以当x=一1时，2x2+4x一6有最小值，最小值是一8. 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：①x2-10x+9;②x2-8xy+7y2; (2)当x为何值时，多项式一2x2一8x十3有最大值？并求出这个最大值； (3)利用配方法，尝试求出等式a2+2b2-2ab-2b+1=0中a,b的值. 24.如图1，有正方形纸片A,B和长方形纸片C各若干张，小王用1张A纸片，2张B纸片，3张 C纸片拼出了如图2所示的一个大长方形.在拼图过程中他发现，图2所示大长方形的面积 可以用“拼图时用到的6张纸片的面积和”表示，也可以“按长方形面积公式长×宽”计算得 出，由此他得到了一个用纸片拼图分解因式的方法. A C b C b b 图1 图2 图3 (1)结合图1、图2试着分解因式：a2+3ab+2b2= (2)类比上述用纸片拼图分解因式的方法： ①请你利用图1中A,B,C三种纸片拼出面积为3a2+4ab+b2的一个长方形，在图3的 方框中画出拼好后的图形； ②你的拼图共用了 张A纸片， 张B纸片， 张C纸片； ③结合你的拼图过程，分解因式3a2+4ab+b2= 第二部分 融汇跃升 25.【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种 解题方法叫作配方法.配方法在因式分解、最值等问题中都有着广泛的应用. 例如：①用配方法分解因式： x2+4x-5 =x2+4x+4-4-5 =(x+2)2-9 =(y+2+3)(x+2-3) =(x+5)(x-1). ②求a2-6a十8的最小值 a2-6a+8=(a-3)2-1. .(a-3)2≥0， .(a-3)2-1≥-1， 即a2一6a+8的最小值为一1. 【解决问题】请根据上述材料，解答下列问题 (1)用配方法分解因式：y2-2y-15: (2)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8,AB=6,点P从点A出发，以每秒1个单位长 度的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动， 当其中任何一点到达终点时，两点均停止运动.设运动时间为t(s),△BPQ的面积为 S(cm2). ①用含有t的代数式表示S; ②当t为何值时，S的值最大，最大值是多少？