期末模拟卷（一）2025-2026学年度第二学期北师大版八年级下册数学

**基本信息** 2025-2026学年度北师大版初中数学期末模拟卷，以APEC会议机器人采购、密码生成等真实情境为载体，通过几何探究、项目式学习等设计，梯度覆盖代数、几何核心知识，培养抽象能力、推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|直角三角形判定、一次函数性质等|第8题结合路径与面积关系图象，考查几何直观| |填空题|5题15分|平行线性质、不等式组整数解等|第14题程序操作题，体现计算思维| |解答题|7题75分|分式方程、平行四边形证明、项目式学习等|第19题以机器人采购为情境，融合分式方程与不等式组；第23题几何探究通过构造平行四边形转化双动点问题，发展创新意识|

2025-2026学年度第二学期人教版八年级下初中数学期末模拟卷（一）参考答案 题号 2 3 4 61 P 9 10 答案 D C A B 11.3 12.160° 13.-3 14.33 15.x+1 16.解： 5=1+ 3x x-3x-3 两边同时乘以(x-3),得5=x-3+3x, 整理得4x=8, 解得x=2, 检验：当x=2时，x-3=-1≠0， 所以x=2是原分式方程的解. (2)解：原式= x+x-2 (x-2)(x+2) x-2x-2 (x-2)2 2x-2(x-2)2 x-2(x-2)(x+2) =2r-2 x+2 根据分式有意义的条件， 得x-2≠0，x2-4≠0， 即x≠±2， 因此只能选择x=4, 将x=4代入得：原式=2×4-2_6 =1. 4+26 17.证明：：四边形ABCD为平行四边形， DC∥AB,OD=OB, .∠FDO=∠EBO,∠DFO=∠BEO. △ODF≌OBE(AAS), :.OF=0E, :四边形BEDF是平行四边形. 答案第1页，共7页 18.(1)解：如图，△AB,C为所求 (2)解：如图，△4，B,C为所求 (3)解：如图，△4，B,C为所求. ⅓ 4 3 B B2 /B 4 B 4 19.(1)解：设B款机器人的单价为x万元，则A款机器人的单价为x+2)万元， 由题意可得60=50 x+2 x (2)解：设该项工程规定日期a天，则A机器人单独完成需要a天，B机器人单独完成需 要(a+10)天， “A机器人的工作效率为上，B机器人的工作效率为1 a+10 由题意可得8×+1】 (a-2-8x1=l, aa+10 a+10 解得a=20, 经检验，a=20是所列分式方程的解，且符合题意， .该项工程规定日期20天； (3)解：设A款机器人购买m台，则B款机器人购买(8-m)台， 48m+32(8-m≥320① 由题意可得12m+10(8-m)≤90②， 0≤m≤8③ 解不等式①得m≥4， 解不等式②得m≤5， .4≤m≤5， :m为整数， .m=4或m=5, 答案第1页，共7页 方案一：当m=4时，购买A款机器人4台，购买B款机器人4台，所花费用为 12×4+10×4=88（万元)， 方案二：当m=5时，购买A款机器人5台，购买B款机器人3台，所花费用为 12×5+10×3=90(万元)， :88<90, 有两种购买方案，方案一：购买A款机器人4台，购买B款机器人4台；方案二：购买A 款机器人5台，购买B款机器人3台；方案一更划算. 20.解：连接EF, M G D 由题意得，ABII CD,DM‖OE :.四边形0NDG是平行四边形， ∴.0N=GD=60cm :D,G分别为OF、OE的中点， .EF 2GD =120cm. 21.(1)解：由题意得：x2-16=(x+4)(x-4, .当x=15时，x+4=19,x-4=11, .密码为1911； 故答案为1911： (2)解：由题意得：x3-x=x(x-)(x+1), :x的取值为王老师的年龄，且王老师的手机锁屏密码是6位数字323130， ∴.密码323130是由三个连续的因式码x+1,x,x-1从大到小排列而成，故三个因式码为32、 31、30, .x=31; 答：王老师的年龄是31岁. (3)解：由题意得：4x4-x2=x2(2x+1(2x-1), 答案第1页，共7页 :x取正整数，且x2是完全平方数， 最小数为2x-1, :密码中最小的因式码为15， .2x-1=15, 解得：x=8, 其他的两个因式码分别为x2=82=64,2x+1=2×8+1=17. 22.(1)解：EF∥AD∥BC,EF=(AD+BC,理由如下， 如图，连接AF并延长，交BC的延长线于点G, ADI BC, ∠DAF=∠CGF,LD=LGCF, ·EF是梯形ABCD的中位线， :DF=CF, △ADF≌△GCF(AAS, AD=CG,AF=GF, EF是△ABG的中位线， BP-sc-c+cG-ac+0,EFRDG,即EF分Bc, ADII BC, .EFI ADI BC,EF=(AD+BC): 2 (2)解：：梯形的中位线长为7cm, :梯形两底和的一半等于7cm, S梯形=7×6=42cm2): (3)解：BE+DH=AF+CG, 证明：连接AC、BD相交于O,过点O作OP⊥1于P,如图， 答案第1页，共7页 G H N :四边形ABCD是平行四边形， .0A=0C,0B=0D, :OP⊥I,BE⊥I,DH⊥，AF⊥I,CG⊥I, :BE AF OP CGDH 过G作GM∥AC交AF、OP于M、Q,延长OP至点N,过F作FNI‖MQ交QP于N, 则四边形AMQO,OCGQ都是平行四边形， :MO=A0,GO=OC, :MO=GO, 又.FN‖MQ, ∴.四边形MFNQ是平行四边形，∠NFP=∠QGP, :FN=MO=GO, 又.∠FPN=∠GPQ, △NFP≌△QGP(AAS), .PF=PG, 同理可证PE=PH, :OP是梯形BEHD的中位线，OP是梯形AFGC的中位线， +D),OP-(FCC) :BE+DH=AF+CG. 23.（1)证明： CP∥MN,MP∥NC, :四边形CPMN是平行四边形， :MP=NC, 又：AM=CN, .AM =MP (2):四边形CPMN是平行四边形， 答案第1页，共7页 MN PC 当PC⊥AP最小时，线段MN也有最小值， :线段W最小值是： (3)如图，连接AD,过M、D作ED,MN的平行线，则四边形MNDP是平行四边形， 过点A作AG⊥DC交延长线于点G, :MN =DP,MP=DN :AM DN :MP AM DN .∠PAM=∠APM, :四边形BCDE是矩形， .BC∥DE,∠BCD=90, MP∥BC, ·∠PMC=∠ACB, :∠ACB=30, ∴.∠PMC=∠ACB=30, :∠PMC=∠PAM+∠APM, .∴∠PAM=∠APM=15, :当DP⊥AP时，DP最小，此时MN=DP最小， .LACD=120,AB=AC CD =2, :∠CAD=∠CDA=180-∠ACD=30, 2 ∠ACM=∠ACD-∠BCD=30, .∠PAD=∠CAD+∠PAM=45, ∠ACM=∠DAC=30°， .∠PAD=∠PDA=45,AM=CM, ∴.AP=DP, 答案第1页，共7页 “△APD为等腰直角三角形， :∠ACB=30,∠BCD=90, ∴∠ACG=60, 在Rt△ACG中，AC=2, CG=1,AG=5, 在Rt△ADG中，AD=2V5, 在Rt△ADP中，DP=AP=V. 答案第1页，共7页 2025-2026学年度北师大版初中数学期末模拟卷（一） 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1．下列条件不能判定为直角三角形的是（     ） A． B． C．，， D． 2．如图，在三角形纸片中，，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 3．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象与轴交于负半轴 C．当时， D．图象过点，若，则 5．下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 6．若，则x应满足的条件为（　　） A． B． C． D． 7．如图，有两个正方形A、B，边长分别为和．将A、B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．图甲、图乙中阴影的面积分别为与．若，则的值为（     ） A． B． C．2 D．4 8．如图1，点是边上一动点，沿→→→的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图2是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（     ） A．5 B．2 C．3 D．4 9．如图，在中，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，直线交于点，若的周长是，则的周长为（） A．23 B．24 C．32 D．40 10．如图，为平行四边形的对角线，，于点E，于点F，相交于点H，直线交线段的延长线于点G，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 第II卷（非选择题） 二、填空题（共15分） 11．如图，在中，于点，点在边上，且，，过点作于点．已知，则_____． 12．如图，一束平行光线照射在等边三角形上，若，则的度数为______． 13．已知关于，的方程组的解为整数，且关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为____． 14．按照如下程序，输入的值并计算规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为______． 15．已知（且），，，，，则的值为________． 三、解答题（共75分） 16．（本题8分）按要求解答下列各题： (1)解分式方程： (2)先化简，再求值：，并从，2，4中选一个合适的数作为的值代入求值． 17．（本题6分）如图，在中，，相交于点O，点E在上，点F在上，经过点O．求证：四边形是平行四边形． 18．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，． (1)将向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，画出． (2)画出绕原点O顺时针旋转得到的． (3)画出关于原点O对称的图形． 19．（本题9分）项目式学习问题：迎接的智能机器人采购与工程规划 背景：2026年亚太经合组织非正式高官会在深圳举行，某街道办拟购买智能机器人沿街巡逻．现有A、B两款巡逻机器人，需解决机器人单价、巡逻工程规定日期及采购方案等问题． 素材一 A款机器人单价比B款贵2万元．若用60万元单独采购A款，采购数量会与用50万元单独采购B款采购数量相等． 素材二 有一项巡逻工程，A机器人单独巡逻恰能在规定日期内完成，B机器人单独巡逻则需超出规定日期10天．若A、B两机器人合作8天，余下工作由B机器人单独完成，可提前2天完工． 素材三 已知A款机器人每日巡逻路程为48千米，每台单价12万元；B款机器人每日巡逻路程为32千米，每台单价10万元．街道办拟购买两种机器人共8台，要求每日巡逻总路程不低于320千米，且总费用不超过90万元．    (1)任务一：机器人单价计算 求A款机器人与B款机器人单价，设B款机器人的单价为x万元，请根据素材列出分式方程，不用求解 (2)任务二：巡逻工程规定日期 根据素材二，求该项工程规定日期多少天？ (3)任务三：机器人采购优化 根据素材三，问有多少种购买方案，A，B款机器人各购买多少台？哪种方案最划算？ 20．（本题9分）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与交于点．且与前支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，且，分别为、的中点，若．求前支架脚与后支架脚之间的距离． 21．（本题10分）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为．若取，，则有，，，其中12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从大到小的顺序排列就形成密码171312．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码． (1)根据上述方法，若多项式为，当时，请直接写出密码为______． (2)王老师想用年龄生成手机锁屏密码，选取的多项式为，x的取值为王老师的年龄，根据上述方法，王老师的手机锁屏密码是6位数字323130，请分析王老师的年龄是多少岁，并说明理由． (3)已知多项式，当x取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为15，请直接写出其他的两个因式码． 22．（本题12分）【知识回顾】本学期我们研究了三角形的中位线的性质，回顾研究的过程，我们知道：三角形中位线定理是：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． (1)【方法迁移】梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路： 如图②，连接并延长，交的延长线于点． ．．．．．． 经过你的分析，请写出梯形的中位线和两底、之间的关系，并说明理由． (2)【理解内化】已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是__________； (3)【拓展应用】如图③，直线为外的任意一条直线，过、、、分别作直线的垂线段、、、，请直接写出线段、、、之间的数量关系． 23．（本题12分）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点M，N分别在边，上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点C、M分别作、的平行线，并交于点P，作射线．请在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)填空： ______； (2)求线段长度的最小值； (3)方法应用：如图③，某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，． 是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在上，点N在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米？ 答案第8页，共8页 答案第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $