专题5.1 平面向量的概念、基本定理、共线定理及其应用-2027年高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量核心概念与运算，以"概念-定理-应用"为逻辑主线，系统整合线性运算、基本定理及共线定理，通过典例提炼通性通法，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念及线性运算|4例+9题|三角形/平行四边形法则，相反向量转化法|从向量定义（模、零向量等）到线性运算（加减、数乘），构建运算体系| |基本定理|4例+9题|基底分解法，唯一性应用|以不共线向量为基底，实现向量的唯一分解，衔接几何表示| |共线定理及应用|4例+9题|共线判定/性质定理，参数方程法|深化共线条件，关联三点共线问题，强化逻辑推理|

专题5.1平面向量的概念、基本定理、共线定理及其应用 5.1.1 平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 （1）向量的模：向量的大小叫向量的模. 模的特点：①向量a的模；②向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小. （2）零向量：长度为零的向量叫零向量.记作0，它的方向是任意的. （3）单位向量：长度等于1个单位的向量.将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量. （5）向量的共线或平行：方向相同或相反的非零向量.规定：0与任一向量共线. （6）共线向量与相等向量关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量. 2.向量共线 （1）向量共线的条件 ①当向量a=0时，a与任一向量b共线. ②当向量a≠0时，对于向量b，如果有一个实数，使b=a，那么由实数与向量的积 的定义知b与a共线.反之，已知向量b与a(a≠0)共线且b的长度是向量a的长度的倍，即，那么当b与a同时，b=a；当b与a反向时，b=a. （2）向量共线的判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数，使b=a，则向量b与非零向量a共线. （3）向量共线的性质定理：若向量b与非零向量a共线 ，则存在一个实数，使b=a. 3.向量的加法运算 （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. （2）三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. （3）平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作□OACB，对角线就是a与b的和. 注意：零向量与任一向量a的和都有a＋00＋a＝. （4）向量加法的运算律： 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 4.向量的减法运算 （1）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. ①规定：零向量的相反向量仍是零向量； ②(－a)＝a； ③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； ④若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. ⑤相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． （2）向量的减法 ①定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. ②几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则＝a－b，如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 5.向量的数乘运算 （1）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa， 它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． （2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. （3）线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 例1.给出下列命题： ①若，则与的方向相同或相反；②若，，则； ③若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等；④若，，则， 其中正确的________.（填序号） 例2.已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（ ） A. B. C. D. 例3.已知是平面上的三个点，直线上有一点，满足，则（ ） A. B. C. D. 例4.设是所在平面内的一点，，则（ ） A. B. C. D. 1.(多选)下列说法错误的有(　　) A.向量与向量的长度相等 B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C.零向量都是相等的 D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 2.如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为(　　) A.0 B. C. D. 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，正六边形中，（ ） A. B. C. D. 4.在△ABC中，若点D满足＝2，则等于(　 　) A.＋ B.－ C.－ D.＋ 5.设为平行四边形对角线的交点，为平行四边形所在平面任意一点，则等于(　 　) A. B. C. D. 6.已知是平面上的三个点，直线上有一点，且，则（ ） A. B. C. D. 7.已知分别是的边的中点，则( ) A. B. C. D. 8.设分别为的三边的中点，则( ) A. B. C. D. 9.给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是平行向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③（为实数），则必为零； ④为实数，若，则与共线； ⑤向量的大小与方向有关. 其中正确的命题的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 10.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及. 5.1.2 平面向量的基本定理 1.定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使. 2.基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3.对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向 量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则：当与共线时，；当与 共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 4.平面向量基本定理的应用 （1）平面向量基本定理唯一性的应用：设是同一平面内的两个不共线向量，若 ，则. （2）重要结论：设是平面内一个基底，若，则：当时，与共线；当时，与共线；当时，. 例1.下列各组向量中，能作为平面内所有向量基底的是（ ） A. B. C. D. 例2.在中，为边的中点，，则（ ） A. B. C. D. 例3.已知是平面内的一组基底，向量与共线，求实数的值. 例4.在平行四边形中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 1.设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题： ①给定向量，总存在向量，使； ②给定向量和，总存在实数和，使； ③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使； ④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使； 上述命题中的向量和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.中，边的高为，若，则（ ） A. B. C. D. 3.如图所示，已知在中，是边上的中点，则( ) A. B. C. D. 第3题图 第4题图 4.如下图，是线段的中点，设向量，那么能够表示为( ) A. B. C. D. 5.已知四边形ABCD是平行四边形，，记，则( ) A. B. C. D. 6.在中，为边上的中线，为的中点，则( ) A. B. C. D. 7.设是平面内不共线的向量，已知，若三点共线，求实数的值. 8.已知是平面内任意一点，是平面内不共线的三点，证明：三点共线的充要条件是存在实数，使得，且. 9.在中，点在上，且，点在上，且，与交于点，设，试用表示. 5.1.3 共线定理及其应用 1.向量共线的条件 ①当向量a=0时，a与任一向量b共线. ②当向量a≠0时，对于向量b，如果有一个实数，使b=a，那么由实数与向量的积 的定义知b与a共线.反之，已知向量b与a(a≠0)共线且b的长度是向量a的长度的倍，即，那么当b与a同时，b=a；当b与a反向时，b=a. 2.向量共线的判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数，使b=a，则向量b与非零向量a共线. 3.向量共线的性质定理：若向量b与非零向量a共线 ，则存在一个实数，使b=a. 例1.设分别是的三边上的点，且，与( ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 例2.已知向量与能作为平面向量的一组基底，若与共线()，则的值是( ) A. B. C. D. 例3.已知是两个不共线的单位向量，，若与共线， 则 . 例4.已知不共线，，，若与共线，则实数 . 1.已知三点不共线，且，若三点共线，则实数 . 2.已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则 . 3.已知三点共线，且，若，，则（ ） A.   B.   C.   D. 4.已知向量与，且，则一定共线的三点是( ) A.三点 B.三点 C.三点 D.三点 5.已知平面向量不共线，，则( ) A.三点共线 B.三点共线 C.三点共线 D.三点共线 6.设为非零向量，则“存在负数，使得“是”“的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知向量是平面上两个不共线的单位向量，且，则( ) A.三点共线 B.三点共线 C.三点共线 D.四点共线 8.已知是两个不共线的向量，命题甲：向量与共线；命题乙：，则甲是乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.已知不共线，向量，，，问是否存在实数，使得与共线？若存在，求出的关系；若不存在，说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1平面向量的概念、基本定理、共线定理及其应用 5.1.1 平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 （1）向量的模：向量的大小叫向量的模. 模的特点：①向量a的模；②向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小. （2）零向量：长度为零的向量叫零向量.记作0，它的方向是任意的. （3）单位向量：长度等于1个单位的向量.将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量. （5）向量的共线或平行：方向相同或相反的非零向量.规定：0与任一向量共线. （6）共线向量与相等向量关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量. 2.向量共线 （1）向量共线的条件 ①当向量a=0时，a与任一向量b共线. ②当向量a≠0时，对于向量b，如果有一个实数，使b=a，那么由实数与向量的积 的定义知b与a共线.反之，已知向量b与a(a≠0)共线且b的长度是向量a的长度的倍，即，那么当b与a同时，b=a；当b与a反向时，b=a. （2）向量共线的判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数，使b=a，则向量b与非零向量a共线. （3）向量共线的性质定理：若向量b与非零向量a共线 ，则存在一个实数，使b=a. 3.向量的加法运算 （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. （2）三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. （3）平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作□OACB，对角线就是a与b的和. 注意：零向量与任一向量a的和都有a＋00＋a＝. （4）向量加法的运算律： 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 4.向量的减法运算 （1）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. ①规定：零向量的相反向量仍是零向量； ②(－a)＝a； ③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； ④若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. ⑤相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． （2）向量的减法 ①定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. ②几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则＝a－b，如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 5.向量的数乘运算 （1）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa， 它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． （2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. （3）线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 例1.给出下列命题： ①若，则与的方向相同或相反； ②若，，则； ③若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等； ④若，，则， 其中正确的________.（填序号） 解：由于零向量的方向是任意的，且规定与任意向量平行，故取，则对于任意的向量，都有，知①错误；取，则对于任意的向量都有，知②错误；两个模相等的向量互相平行，方向可能相反，知③错误；由两个向量相等的概念可知④正确. 故答案为④. 例2.已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（ ） A. B. C. D. 解：是所在平面内一点，为边中点，∴，且， ∴，即.故选A. 例3.已知是平面上的三个点，直线上有一点，满足，则（ ） A. B. C. D. 解：方法1.由已知， 可得：， 点是线段的中点，设， 作平行四边形，由平行四边形法则可得. 方法2..所以.故选：A. 例4.设是所在平面内的一点，，则（ ） A. B. C. D. 解：，移项得，. 故选：B. 1.(多选)下列说法错误的有(　　) A.向量与向量的长度相等 B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C.零向量都是相等的 D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 解：两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个单位向量也可能反向，则不相等，故B，C，D都错误.故选：BCD. 2.如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为(　　) A.0 B. C. D. 解：＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝－＝0.故选：A. 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，正六边形中，（ ） A. B. C. D. 解：将平移到，平移到，故.故选D. 4.在△ABC中，若点D满足＝2，则等于(　 　) A.＋ B.－ C.－ D.＋ 解：示意图如图所示，由题意可得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. 故选：D. 5.设为平行四边形对角线的交点，为平行四边形所在平面任意一点，则等于(　 　) A. B. C. D. 解：由已知得，，， 而，，所以.故选D. 6.已知是平面上的三个点，直线上有一点，且，则（ ） A. B. C. D. 解：因为，所以，所以. 故选：A. 7.已知分别是的边的中点，则( ) A. B. C. D. 解：因为，所以，得.故选A. 8.设分别为的三边的中点，则( ) A. B. C. D. 解：根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在中，，同理：， 则.故选：A. 9.给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是平行向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③（为实数），则必为零； ④为实数，若，则与共线； ⑤向量的大小与方向有关. 其中正确的命题的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解：对于①，两个向量具有公共终点，但两向量的起点和终点可能不共线，则两向量不是平行向量，①错误；对于②，向量有大小和方向两个维度，无法比较大小；但向量模长仅有大小一个维度，可以比较大小，②正确；对于③，当时，可以为任意实数，③错误； 对于④，当时，，此时可以不共线，④错误；对于⑤，向量的大小即向量的模长，与方向无关，⑤错误.故选：A. 10.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及. 解：∵四边形ACDE是平行四边形， ∴＝＝c， ＝－＝b－a， ＝－＝c－a， ＝－＝c－b， ∴＝＋＝b－a＋c. 5.1.2 平面向量的基本定理 1.定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使. 2.基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3.对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向 量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则：当与共线时，；当与 共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 4.平面向量基本定理的应用 （1）平面向量基本定理唯一性的应用：设是同一平面内的两个不共线向量，若 ，则. （2）重要结论：设是平面内一个基底，若，则：当时，与共线；当时，与共线；当时，. 例1.下列各组向量中，能作为平面内所有向量基底的是（ ） A. B. C. D. 解：根据平面向量基本定理，基底的要求是两个向量不共线，且都不是零向量. 选项A：是零向量，零向量与任意向量共线，不能作为基底，排除A. 选项B：判断是否共线，用坐标法：若，共线的充要条件是.计算：，因此不共线，可作为基底，B正确. 选项C：，两向量共线，不能作为基底，排除C. 选项D：，计算，两向量共线，不能作为基底，排除D. 例2.在中，为边的中点，，则（ ） A. B. C. D. 解：因为为边的中点，， 所以故选：D. 例3.已知是平面内的一组基底，向量与共线，求实数的值. 解：设，则：， 对应系数相等：，解得. 例4.在平行四边形中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 解：因为为平行四边形，则有， ∴.故选：B. 1.设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题： ①给定向量，总存在向量，使； ②给定向量和，总存在实数和，使； ③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使； ④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使； 上述命题中的向量和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解：利用向量加法的三角形法则，易知①正确；利用平面向量的基本定理，易知②正确；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，故③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，所以④是假命题.故选：B. 2.中，边的高为，若，则（ ） A. B. C. D. 解：由，，可知.所以，所以.故选：D. 3.如图所示，已知在中，是边上的中点，则( ) A. B. C. D. 解：由于是边上的中点，则..故选：B. 第3题图 第4题图 4.如下图，是线段的中点，设向量，那么能够表示为( ) A. B. C. D. 解：由题意，.故选：B. 5.已知四边形ABCD是平行四边形，，记，则( ) A. B. C. D. 解：在□ABCD中，，，，.所以 .故选：A. 6.在中，为边上的中线，为的中点，则( ) A. B. C. D. 解：根据向量的运算法则， 可得 ，所以.故选A. 7.设是平面内不共线的向量，已知，若三点共线，求实数的值. 解：先求：. 因为三点共线，所以与共线，根据共线向量定理，存在实数，使得，即：， 根据平面向量基本定理的唯一性，对应系数相等：， 解得，代入得. 8.已知是平面内任意一点，是平面内不共线的三点，证明：三点共线的充要条件是存在实数，使得，且. 证明：必要性（若共线，则）： 若共线，则存在实数，使得. 因为，，代入得：， 整理得：. 令，则，必要性得证. 充分性（若，则共线）： 若，且，则， 代入得：， 整理得：，即. 因为与有公共点，所以三点共线，充分性得证. 所以三点共线的充要条件是且（为任意点）. 9.在中，点在上，且，点在上，且，与交于点，设，试用表示. 解：因为，则. 因为是中点，，则.设； 又因为在上，设.所以，解得：，. 因此. 5.1.3 共线定理及其应用 1.向量共线的条件 ①当向量a=0时，a与任一向量b共线. ②当向量a≠0时，对于向量b，如果有一个实数，使b=a，那么由实数与向量的积 的定义知b与a共线.反之，已知向量b与a(a≠0)共线且b的长度是向量a的长度的倍，即，那么当b与a同时，b=a；当b与a反向时，b=a. 2.向量共线的判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数，使b=a，则向量b与非零向量a共线. 3.向量共线的性质定理：若向量b与非零向量a共线 ，则存在一个实数，使b=a. 例1.设分别是的三边上的点，且，与( ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 解：， 同理：，， 所以， 所以与反向平行，故选：A. 例2.已知向量与能作为平面向量的一组基底，若与共线()，则的值是( ) A. B. C. D. 解：若与共线，则设， 因为向量与能作为平面向量的一组基底，所以，所以， 解得.故选：B. 例3.已知是两个不共线的单位向量，，若与共线， 则 . 解：因为，且与共线，所以，即，又是两个不共线的单位向量，所以 ，解得 .故答案为：. 例4.已知不共线，，，若与共线，则实数 . 解：因为为一组基底（不共线），， 由共线向量定理：存在实数，使.即. 由平面向量基本定理分解唯一性，对应系数相等：，代入，得. 故答案为. 1.已知三点不共线，且，若三点共线，则实数 . 解：三点共线向量结论：若共线，为平面内任意一点，满足， 则.题中，故，解得. 2.已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则 . 解：因为 是两个不共线的向量，， 若 与 是共线向量，设 ，则 ， 则 ，解得 .故答案为：. 3.已知三点共线，且，若，，则（ ） A.   B.   C.   D. 解：由向量减法：，， 代入条件：，则：.故选：B. 4.已知向量与，且，则一定共线的三点是( ) A.三点 B.三点 C.三点 D.三点 解：对于A，因为，所以，所以，所以三点不共线，故A错误； 对于B，因为，所以，所以三点不共线，故B错误； 对于C，因为所以，所以，又是与的公共点，所以三点共线，故C正确； 对于D，因为，所以，所以三点不共线，故D错误.故选：C. 5.已知平面向量不共线，，则( ) A.三点共线 B.三点共线 C.三点共线 D.三点共线 解：因为平面向量不共线，所以可以作为平面内的一组基底， 又， 所以， ， 对于A：因为，显然不存在实数使得，所以三点不共线，故A错误； 对于B：因为，不存在实数使得，所以三点不共线，故B错误； 对于C：因为，不存在实数使得，所以三点不共线，故C错误； 对于D：因为，所以，所以，故三点共线，故D正确.故选：D. 6.设为非零向量，则“存在负数，使得“是”“的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解：若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A. 7.已知向量是平面上两个不共线的单位向量，且，则( ) A.三点共线 B.三点共线 C.三点共线 D.四点共线 解：对A，因为，不存在实数使得，故三点不共线，故A错误；对B，因为，不存在实数使得，故三点不共线，故B错误；对C，因为，，则，故三点共线，故C正确；对D，因为，，不存在实数使得，故三点不共线，故D错误，故选：C. 8.已知是两个不共线的向量，命题甲：向量与共线；命题乙：，则甲是乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：对于命题甲，可设，即，则，所以； 对于命题乙，时，，则有向量与共线，故甲是乙的充要条件，故选：C. 9.已知不共线，向量，，，问是否存在实数，使得与共线？若存在，求出的关系；若不存在，说明理由. 解：存在，满足, 因为. 若与共线，且，则对应系数成比例：，化简得：， 故存在这样的实数，关系为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $