广东揭阳市普宁市华侨中学2025-2026学年高二下学期第二次月考数学试题

**基本信息** 普宁华侨中学高一级数学月考卷，以集合、统计、立体几何等为核心，通过潮汕英歌舞统计情境、复向量创新题型，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力，实现基础巩固与创新应用的有机统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、分位数、异面直线所成角|基础概念辨析，如第2题分位数考查统计应用| |多选题|3/18|复数性质、三角函数图像、三棱锥体积|多维度能力考查，如第11题结合面面垂直与体积计算| |填空题|3/15|分层抽样、向量模最值、二面角|空间想象与运算能力，如第14题二面角与线面角转化| |解答题|5/77|向量运算、英歌舞统计分析、解三角形、正三棱柱证明、复向量类比|情境化与创新性结合，如16题文化情境统计，19题复向量类比培养创新思维|

普宁市华侨中学2025—2026学年度第二学期高一级 第二次月考数学科试题 说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。 2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己姓名、试室号、座位号填写在答卷上。 3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（       ） A． B． C． D． 2． 数据3，4，5，6，7，8，9，10的80%分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 6.4 D.7 3．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 4．在中，角，B，所对的边分别是，，，，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 5．已知圆锥的底面半径为2，高为，则其侧面积为（ ） A. B. C. D. 6．已知平面，，和直线，，，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7．已知函数在区间单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 8． 已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是 （ ） A. B. 的模为 C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 10．已知函数，给出下列结论，其中正确结论有（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的最大值 C. 把函数的图象所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图 D. 在上是增函数 11．在三棱锥中，已知，，，平面平面，且，则　　 A． B．平面平面 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 12．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取　　件． 13．已知向量， 若，则的最小值为_____. 14．如图，二面角的大小是30°，线段，，与所成的角为60°，则与平面所成的角的正弦值是______． 四、解答题： 5道大题，共77分，要写过程． 15．（13分）已知平面向量，，． (1)若 ，求n的值； (2)求； (3)若，求的最小值． 16．（15分）潮汕英歌舞以其动作刚劲有力，节奏感强的特色，备受人们喜爱．某校组织英歌队进行训练并作了汇报表演，为了解训练成果，做了一次问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份的分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于50分的整数且在组内均匀分布）分成五段：，得到如下所示的频数分布表． 样本分数段 [90，100] 频数 10 30 30 10 频率 0.1 03 0.3 0.1 （1）求频数分布表中和的值，并估计样本成绩的平均数； （2）经计算，样本中分数在区间［50，60）内的平均数为56，方差为7；在区间[60，70）内的平均数为65，方差为4，求两组成绩的总平均数和总方差． 17．（15分）在锐角中，角所对的边分别为，且 （1）求角A； （2）若，求的取值范围. 18．（17分）如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求点到平面的距离． 19．（17分）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，我们有如下运算法则：①；②③；④． （1）设，求和； （2）类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论：，判断上述结论是否正确，并说明理由； （3）设，集合，求的最小值，并证明当取最小值时，对于任意的． 试题第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $普宁市华侨中学2025一2026学年度第二学期高一级 第二次数学科试题答案 答案： 1-4.BBBA 5-8.DCBA 9.ACD 10.AD 11.ABC 12. 18 13 9 14 4 15解析(1)：京1，：京·元=2×4+1×n=0 分 n=-8 3 分 2已如6=2.6-1-引则g2-+-5,12-2+(--而 a.b=2×1+1×-3)=-1, 5分 (（3a+26)(2a-5b)=6d-11ā-万-105=6x5-11×-1-10×10=-59 7分 (3)la+6=Va+25+2a-6=i0r2-21+5, 9分 二次函数y=10:-2z+5开口向上，对称轴1=10 1 1 -2x+5= /497V10 10 13分 10 10 1010 16.(1)由10+a+30+30+10=100, 2分 解得a=20, 3分 则b=0.2, 4分 平均数的估计值为55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.3+95x0.1=76. 7分 (2)由表可知，分数在区间[50,60)内的频数为10，在区间[60,70)内的频数为20， 故两组成绩的总平均数2=10十20×1 10 20 -×56+ ×65=62, 11分 10+20 两安总方装=0”如[7+(6-6@y门0”n4+65-包9门=23 10+20 所以两组成绩的总平均数是62，总方差是23. 15分 17解析(1)解由正弦定理可得 第1页共4页 a-b=c c-b a+b a2-b2=c2-bc b2+c2-a2=bc cosA=b'te-a2I 2be 2 Asπ 3 b =a-226 (2)sin B sinC sin A sin 7分 3 “b+c= 321 10分 0<B< 2 <B<， 12分 3 0 2π-B<“6 63 3 2 <nB+s1, 14分 V6<b+c≤2W2, 即b+c的取值范围为√6,2V2 15分 18.(1)连接A1C,交A1C点O,连接0D,则O是A1C的中点， A B B 因为D是BC的中点，所以OD//A1B, 3分 又0DC平面ADC1,A1B中平面ADC1,所以AB//平面ADC1 5分 第2页共4页 (2)因为△ABC为等边三角形，且D是BC的中点， 所以AD⊥BC,由正三棱柱的性质知，BB1⊥平面ABC, 因为ADC平面ABC,所以BB1⊥AD, 7分 又BCnBB1=B,BC、BB1C平面BCC1B1, 所以AD⊥平面BCC1B1,因为ADC平面ADC1, 10分 所以平面ADC1⊥平面BCC1B1 11分 (3),由(2)知AD⊥平面BCC1B1,所以点A到平面BDC1的距离为AD, 12分 而S△4DG,=AD·DC1=专×2W3×V42+22=2W15, S△BDC,=BD:CC1=专×2×4=4， 13分 设点B到平面ADC的距离为d, 因为VB-ADC=VA-BDC, 所以dSnG=有AD SG,即d-2店=有254，解得d=5 所以直线4，B到平面4DC,的距离为誓 17分 19.(1)由a=(1,2-i),b=(1+i,1-2i), 得a+b=(2+i,3-3i), a.b=1×(1-i)+(2-i)1+21)=1-i+2-i+4i-2i2=5+2i. 3分 1a+i=√(2+i)2-i)+(3-3i)(3+3i=√23. 4分 (2)设=(，2)，6=(23,4)，c=(z5,6,1,22,3,24,5,26∈C, b+c=(23+z5,z4+z6）,a.b=z23+224,c=2125+226, 6分 a.(6+©)=z23+23+224+26, 7分 因为z3+25=23+25,24+26=24+26’ 所以a(⑥+c)=z(+25)+z3(4+6)=z3+z,24+z2+z226=a.6+ac, 故正确。 10分 (3)不妨令b=(m+ni,m+3+ni),则a-b=(3-m+(3-n)i,-m-ni),11分 则1a-i=√3-m+(3-n)i[3-m-(3-m)]+(-m-ni(-m+ni) 第3页共4页 =V3-m)2+(3-n)2+m2+n2=V2m2-6m+9+2n2-6n+9 当m=n=。时，|a-b取得最小值3， 14分 -6-别5-民+别 设满足条件的C=(24,24+3),z4∈C, 6-层-小 a-列6--+0月-（店- +-+3+3+别+ 17分 第4页共4页