精品解析：安徽六安市裕安中学2025-2026学年八年级下学期5月阶段检测数学试题

安徽六安市裕安中学2025-2026学年八年级下学期 5月阶段检测数学试题 满分为150分，时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（ ） A. 4，1，3 B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，在中，的对边分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（ ） A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形 5. 如图，在中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，，分别以，为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点作射线交于点，若则（ ） A. 15 B. 2 C. 25 D. 3 6. 为响应“劳动教育进校园”号召，某校计划在校园直角墙角处打造“共享种植角”，用总长为10米的防腐木围栏围出一块面积为21平方米的矩形区域（墙体足够长，无需额外围栏）．设矩形的一边长为米，下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，与均为直角三角形，且，点是的中点，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，交于点．若四边形的对角线互相垂直，则线段与一定满足的关系为( ) A. 互相垂直平分 B. 互相平分且相等 C. 互相垂直且相等 D. 互相垂直平分且相等 9. 已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（ ） A. 0 B. C. D. 10. 如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别在边，上．将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，连接交于点，连接．下列结论：①点，，三点在同一直线上；②四边形是菱形；③点与点重合时，；④面积的最小值是．所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 代数式中的取值范围是___________． 12. 如图，是的边上一点，E，F分别是的中点，若的面积（图中阴影部分）为4，则的面积是___________． 如图，P是▱ABCD的边AD上一点，E、F分别是PB、PC的中点，若▱ABCD的面积为16cm2，则 13. 直线不经过第一象限，则关于的方程的实数解的个数为___________． 14. 利用图形移、补、分、合探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个小正方形，然后按图2重新摆放． （1）___________； （2）若，，则矩形的面积是___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于，求的长． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图． （1）在图1中，画一个正方形，使它的面积为10； （2）在图2中，画一个，使它的三边长分别为，，． 18. 观察下列等式，解答后面的问题． 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：… （1）按照此规律，第5个等式是：_________； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 20. 如图，在中，M，N是对角线上的点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若 ，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 勾股定理的证明方法中，面积法是最经典的思路．下面是基于“两个全等的直角三角形拼接”的证明． 【证法再现】如图1，把两个全等的直角和按图放置，已知 ． （1）请用含a，b，c的式子表示下列图形的面积： _________（用含a，b的代数式表示）； ________（用含a，b的代数式表示）； ________（用仅含的代数式表示）； （2）根据上述面积关系，完成勾股定理的证明过程． （3）【知识运用】如图2，南淝河北岸边有两点（看作直线上的两点）相距160米，为河两岸的两个便民取水点（看作两个点） ，垂足分别为 ，现要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个取水点的距离和最短．请在图中确定点的位置，并求出该最短距离和． 七、（本题满分12分） 22. 利用以下素材解决问题． 茶叶定价问题 素材1 安徽盛产茶叶，如黄山毛峰、六安瓜片、太平猴魁、祁门红茶等知名品牌．皖叶茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克． 素材2 经市场调研发现：单价每下降10元，平均每周的销售量可增加40千克；单价每上涨10元，平均每周的销售量要减少10千克． 任务1 若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请计算每千克茶叶应降价多少元？ 任务2 降价销售时，在平均每周获利41600元的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 任务3 若涨价销售，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到41600元吗？若能达到，请计算每千克茶叶应涨价多少元？若不能，请说明理由． 八、（本题满分14分） 23. 已知四边形是菱形，连接，点为上一点，过点作交于点，交于点，过点作交于点． （1）如图1，若，求证：四边形是正方形； （2）在（1）的条件下，如图2，连接，，判断线段与之间的关系（位置与数量），并证明； （3）如图3，在菱形中，，当，时，连接，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽六安市裕安中学2025-2026学年八年级下学期 5月阶段检测数学试题 满分为150分，时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（ ） A. 4，1，3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程一般式的概念，解题思路是将原方程展开，移项合并同类项整理为一般形式，即可对应得到，，的值． 【详解】解：把一元二次方程化成一般式：， 对比一般式，可得，，． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则和性质，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，故原计算正确； B、，故原计算错误； C、，故原计算错误； D、与不是同类二次根式，不能直接合并相加，故原计算错误． 3. 已知，在中，的对边分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，逐一判断各选项，即可得出结论． 【详解】解：对选项A，∵ ， ∴ ，符合勾股定理的逆定理，能判定是直角三角形，不符合要求； 对选项B，∵ ，三角形内角和为， ∴ 最大角，能判定是直角三角形，不符合要求； 对选项C，∵ ，且， ∴ ，即，能判定是直角三角形，不符合要求； 对选项D，∵ ，计算得，， ∴ ，不符合勾股定理的逆定理，不能判定是直角三角形，符合要求． 4. 已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（ ） A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形 【答案】C 【解析】 【分析】利用多边形外角和为，边形内角和公式，和题目给出的内角和外角的倍数关系列方程求解边数即可． 【详解】设这个多边形的边数为， ∵任意多边形的外角和为，且该多边形内角和是外角和的倍， ∴该多边形的内角和为 又∵边形的内角和公式为 ∴列方程得 两边同除以得 解得 ∴这个多边形是八边形． 5. 如图，在中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，，分别以，为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点作射线交于点，若则（ ） A. 15 B. 2 C. 25 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据尺规作图痕迹可知平分，利用平行四边形的性质和平行线的性质推导出，从而得到，最后利用线段的和差关系求出的长． 【详解】解：由作图可知，平分 四边形是平行四边形 ． 6. 为响应“劳动教育进校园”号召，某校计划在校园直角墙角处打造“共享种植角”，用总长为10米的防腐木围栏围出一块面积为21平方米的矩形区域（墙体足够长，无需额外围栏）．设矩形的一边长为米，下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】据题意可知，矩形在直角墙角处，说明矩形的两条邻边靠墙，另外两条邻边由围栏组成；设矩形的一边长为  米，根据围栏总长为 10 米表示出另一边长，利用矩形面积公式列出方程即可． 【详解】解：∵矩形在直角墙角处，且围栏总长为 10 米， ∴围栏构成了矩形的两条邻边（长和宽）， 设矩形的一边长为米，则另一边长为米， ∵矩形区域的面积为 21 平方米， ∴根据矩形面积公式可得方程： ． 7. 如图，与均为直角三角形，且，点是的中点，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，先证明，得出，，则，再在中利用勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 故选：C． 8. 在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，交于点．若四边形的对角线互相垂直，则线段与一定满足的关系为( ) A. 互相垂直平分 B. 互相平分且相等 C. 互相垂直且相等 D. 互相垂直平分且相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理与特殊四边形的判定，涉及的知识点是三角形中位线平行且等于第三边的一半、矩形的判定与性质，解题方法是利用中位线定理证明四边形为矩形，再逐一判断即可． 【详解】解：如图所示： 连接四边形的对角线， 根据三角形中位线定理，且，且， 且， 四边形是平行四边形， 同理，且， ， ， 平行四边形是矩形， ， 即线段与互相平分且相等， 故选：B． 9. 已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合一元二次方程根与系数的关系计算即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， 即， ∵是方程 的两根， ∴， ∴ ． 10. 如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别在边，上．将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，连接交于点，连接．下列结论：①点，，三点在同一直线上；②四边形是菱形；③点与点重合时，；④面积的最小值是．所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①证明，得到，等量代换得到，即可判断①；②由折叠的性质得到，，然后结合平行线的性质得到，然后结合全等三角形的性质得到，即可判断②；当点与点D重合时，利用勾股定理求出，然后利用菱形面积求出，即可判断③；根据题意可得，当点F和点重合时，的面积最小，此时四边形为正方形，得到，可判断④． 【详解】解：①由折叠得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点，，三点在同一直线上，故①正确； ②由折叠得，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故②正确； ③当点与点D重合时，如图， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵四边形是菱形， ∴， ∴当点F和点重合时，最短，此时的面积最小，如图， ∵， ∴菱形为正方形， ∴， ∴面积的最小值是4，故④错误． 综上所述，所有正确结论的序号是①②③． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 代数式中的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：要使代数式有意义，需满足二次根式的被开方数为非负数，且分式的分母不为零，因此可得不等式， 解得． 12. 如图，是的边上一点，E，F分别是的中点，若的面积（图中阴影部分）为4，则的面积是___________． 如图，P是▱ABCD的边AD上一点，E、F分别是PB、PC的中点，若▱ABCD的面积为16cm2，则 【答案】32 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理得出，，再利用相似三角形的判定与性质得出，进而利用平行四边形的面积求法得出答案． 【详解】解：，分别是，的中点， ∴是的中位线 ，， ， ， ， ∵的面积分别为4， ， 四边形是平行四边形， ． 13. 直线不经过第一象限，则关于的方程的实数解的个数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据一次函数的图象性质确定的取值范围，再分和两种情况，分别判断方程的类型，进而确定方程实数解的个数． 【详解】解：直线的比例系数，且直线不经过第一象限， 分两种情况讨论方程的解的情况， （1）当时，方程化为，为一元一次方程，有个实数解； （2）当时，方程为一元二次方程， 计算根的判别式， ， ， 可得， 此时一元二次方程有个不相等的实数解． 综上，方程的实数解的个数为或． 14. 利用图形移、补、分、合探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个小正方形，然后按图2重新摆放． （1）___________； （2）若，，则矩形的面积是___________． 【答案】 ①. ②. 36 【解析】 【分析】（1）首先求出，然后结合全等的性质求解； （2）设正方形的边长为，利用的面积得到，即可求出矩形面积． 【详解】解：（1）如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵将分割成两对全等的直角三角形， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：设正方形的边长为， ∴，， 由图1可得：， 整理得：， ∴矩形的面积为． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：移项、整理得：， 其中，， ， 代入一元二次方程求根公式，得 ， ∴，． 16. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质结合勾股定理求出的值，根据等面积法列方程求解即可． 【详解】解：在菱形中，，， ，，， ， ， ， 解得． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图． （1）在图1中，画一个正方形，使它的面积为10； （2）在图2中，画一个，使它的三边长分别为，，． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据网格利用勾股定理和正方形的面积即可在图1中，画一个正方形，使它的面积是10； （2）根据网格利用勾股定理即可按要求作出图形 【小问1详解】 解：如图，∵， ∴， ∴， ∴， ∴正方形即为所求作； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作；，，． 18. 观察下列等式，解答后面的问题． 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：… （1）按照此规律，第5个等式是：_________； （2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】（1）； （2）第个等式为：， 证明： 左边       ， 是正整数，，   原式，即． 【解析】 【分析】（1）观察已知等式中各部分与等式序号的关系，总结数字变化规律，据此写出第5个等式 （2）根据规律得出第个等式，再利用二次根式化简和完全平方公式证明猜想的等式成立. 【小问1详解】 解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式为：； 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】（1）证明：由题意得：， 则：， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2）的值为，方程的另一个根为 【解析】 【分析】（1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等的实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 20. 如图，在中，M，N是对角线上的点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若 ，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连结，交于点． 是平行四边形， ，， 又， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）连结，交于点，由平行四边形性质可知，，因为，可得，即可证明题目； （2）因为，可求，又由已知可求，利用勾股定理求得长，则题目可解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 勾股定理的证明方法中，面积法是最经典的思路．下面是基于“两个全等的直角三角形拼接”的证明． 【证法再现】如图1，把两个全等的直角和按图放置，已知 ． （1）请用含a，b，c的式子表示下列图形的面积： _________（用含a，b的代数式表示）； ________（用含a，b的代数式表示）； ________（用仅含的代数式表示）； （2）根据上述面积关系，完成勾股定理的证明过程． （3）【知识运用】如图2，南淝河北岸边有两点（看作直线上的两点）相距160米，为河两岸的两个便民取水点（看作两个点） ，垂足分别为 ，现要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个取水点的距离和最短．请在图中确定点的位置，并求出该最短距离和． 【答案】（1），， （2） 证明：由（1）得，，，， ∵， ∴ ∴ 整理得； （3），最短距离为米 【解析】 【分析】（1）根据图形中数据进行列式计算即可； （2）因为，将（1）中各式代入整理即可得勾股定理； （3）作点关于的对称点，连接，与的交点即为，作交的延长线于，在利用勾股定理求得即为所求． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ， ； 【小问2详解】 证明：略； 【小问3详解】 解：作点关于的对称点，连接，与的交点即为，长度即为所求最短距离，作交的延长线于， 在中，米，（米）， 由勾股定理得：（米． 答：该最短距离和为200米． 七、（本题满分12分） 22. 利用以下素材解决问题． 茶叶定价问题 素材1 安徽盛产茶叶，如黄山毛峰、六安瓜片、太平猴魁、祁门红茶等知名品牌．皖叶茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克． 素材2 经市场调研发现：单价每下降10元，平均每周的销售量可增加40千克；单价每上涨10元，平均每周的销售量要减少10千克． 任务1 若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请计算每千克茶叶应降价多少元？ 任务2 降价销售时，在平均每周获利41600元的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 任务3 若涨价销售，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到41600元吗？若能达到，请计算每千克茶叶应涨价多少元？若不能，请说明理由． 【答案】任务1：每千克茶叶应降价元或元；任务2：八折；任务3：不能，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 任务1：根据单价每下降10元，平均每周的销售量可增加40千克；其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，故列式得，再计算，即可作答． 任务2：由任务1得每周获利41600元，每千克茶叶应降价元或元；因为尽可能让利于顾客，则降价元，再列式运算得出按原售价的几折出售，即可作答． 任务3：计算每千克茶叶应涨价元，则每千克的销售利润为元，平均每周可售出千克，再列式计算，得，即可作答． 【详解】解：任务1：设每千克茶叶应降价元， 则每千克的销售利润为元， 平均每周可售出千克， 根据题意得， 整理得， 解得； ∴每千克茶叶应降价元或元； 任务2：由任务1得每周获利41600元，每千克茶叶应降价元或元； ∵尽可能让利于顾客 ∴每千克茶叶应降价元， 则， 即该店应按原售价的八折出售； 任务3：不能，理由如下： 设每千克茶叶应涨价元， 则每千克的销售利润为元， 平均每周可售出千克， 根据题意得， ∴ ∴ 则， 此方程无实数根， 故不能达到41600元． 八、（本题满分14分） 23. 已知四边形是菱形，连接，点为上一点，过点作交于点，交于点，过点作交于点． （1）如图1，若，求证：四边形是正方形； （2）在（1）的条件下，如图2，连接，，判断线段与之间的关系（位置与数量），并证明； （3）如图3，在菱形中，，当，时，连接，求线段的长． 【答案】（1）证明：四边形是菱形，， 四边形是正方形， ，，， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是正方形； （2），； 证明：如图，设与的交点为， 由（1）知，四边形、是正方形， ，，， ，，， 四边形是矩形， ， ， ，即， ，，， ， ，， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知可得四边形是正方形，由正方形的性质结合已知可证，从而可得四边形是平行四边形，进而证明四边形是矩形，再由，得到，即可得证； （2）设与的交点为，证明四边形是矩形，可得，进而根据线段和差关系结合等量代换证明，证明，得到，，由直角三角形的两锐角互余等量代换证明，即可得证； （3）过点作交延长线于点，证明四边形是平行四边形，可得，的长，在中，由含角直角三角形的性质结合勾股定理求得，，的长，在中，利用勾股定理即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作交延长线于点， 四边形是菱形， ，，，， ，，， ， ，， ，， 四边形是平行四边形，， ，，， ， ， 在中，，， ， 在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $