精品解析：安徽省六安市裕安区重点中学2024--2025学年八年级下学期月考数学试卷

2025年春学期学习能力诊断二 八年级数学学科 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能作为直角三角形边长的是（　　　） A. 1，2，3 B. 6，7，8 C. 1，1， D. 5，12，13 3. 关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 把方程 化成 的形式，则 m、n的值是：（ ） A. 4， B. 4，15 C. ， D. ，15 5. 若方程 的两根为，，则 的值为：（ ） A. 2 B. C. D. 6. 如图，平行四边形 的对角线相交于点O，M为边上一点，且，N为的中点，连接，若平分，则平行四边形的周长为（ ） A. 18 B. 24 C. 20 D. 22 7. 已知，则计算的正确结果是（ ） A. B. 1 C. D. 8. 如图，以Rt△ABC三条边作三个正三角形，∠ACB=90°，则的关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 9. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，且，的平分线和它的邻补角的平分线分别交直线于点F和G，连接，则下列结论错误的是（ ） A. 当时，则四边形为矩形 B. 当时，则四边形为矩形 C. 当时，则四边形为矩形 D. 当时，则四边形为菱形 10. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ） A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③ 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 如果一个正多边形的每个外角都是，那么这个多边形的内角和为_______ 12. 若为方程根，则多项式的值为________． 13. 如图，中，，点，分别在，边上，且，，分别连接，，点，分别是，的中点，连接，则线段的长为_________ ． 14. 如图，在正方形的对角线上取一点，使得，连接并延长到，使与相交于点，若，有下列四个结论：①；②；③；④．则其中正确的结论有_____________．(填序号) 三、解答题（15-18题每题8分，19、20题每题10分，21、22每题12分，23题14分，共90分） 15. 计算：． 16. 解一元二次方程． 17. 学校内有一块如图所示的三角形空地，计划开辟为生物园，测得米，米，米．如果沿修一条水渠且点在边上，水渠的造价为元米，当水渠的造价最低时，的长为多少米？最低造价是多少元？ 18. 已知关于x方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，求代数式的值． 19. 如图，网格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求： （1）请判断三角形是否是直角三角形，并说明理由； （2）点到边距离； （3）借助网格，利用无刻度直尺画出边上的中线． 20. 由镶嵌知识可知，边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺，观察图1、图2、图3，完成如下解答． （1）填写下表： 图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数 图1 1 6 6 图2 2 图3 3 （2）①图n中，正方形地砖数量为_______块、正三角形地砖的数量为_______块； ②求图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量． 21. 如图所示，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接，连接交于点． （1）求证：； （2）若菱形的边长为8，，求的长． 22. 磁器口陈麻花是重庆市非物质文化遗产，以酥脆香甜闻名．某特产店的蜂蜜与椒盐两种口味麻花最为畅销．该特产店分别用2000元、2400元购进相同数量的蜂蜜麻花和椒盐麻花，已知每袋椒盐麻花的进价比每袋蜂蜜麻花的进价多2元． （1）每袋蜂蜜麻花、椒盐麻花的进价分别是多少元？ （2）这批麻花很快都销售而空，该特产店计划再购进一批这两种口味麻花，由于五一假期将近，此时每袋椒盐麻花的进价上涨了m元，购进椒盐麻花的数量在第一次的基础上减少了袋；每袋蜂蜜麻花的进价不变，购进蜂蜜麻花的数量在第一次的基础上增加了，最终总花费和第一批一样，求m的值． 23. 如图，在正方形中，． （1）求证：， （2）如图，点、分别是线段、上的动点，，连接，探究三条线段、、之间满足的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在（2）条件下，，在、运动过程中，若，当取最小值 时， ．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春学期学习能力诊断二 八年级数学学科 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是明确二次根式中被开方数是非负数． 根据二次根式有意义的条件，列出关于的不等式，求解不等式得出的取值范围． 【详解】解：二次根式有意义的条件是， ， ． 故选：A． 2. 下列各组数中，能作为直角三角形边长的是（　　　） A. 1，2，3 B. 6，7，8 C. 1，1， D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理对四组数据进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵22 +12=5 ≠3 2 ，∴不能构成直角三角形； B、∵62 +72 =85≠82 ，∴不能构成直角三角形； C、∵ ，∴不能构成直角三角形； D、∵5 2 +12 2 =169=13 2 ，∴能构成直角三角形． 故选D． 【点睛】本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即只要三角形的三边满足a2 +b2 =c 2 ，则此三角形是直角三角形． 3. 关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义解方程求解以及不等式即可得出答案． 详解】解：根据题意可得出且 解得：， 故选：A． 4. 把方程 化成 的形式，则 m、n的值是：（ ） A. 4， B. 4，15 C. ， D. ，15 【答案】D 【解析】 【分析】把方程的常数项1移项后，左边配成完全平方式，右边化为常数．本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 【详解】解：， ， 故选：D． 5. 若方程 的两根为，，则 的值为：（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，根据方程 的两根为，得，，根据进行计算即可得；掌握一元二次方程根与系数的关系，代数式求值是解题的关键． 【详解】解：∵方程 的两根为， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，平行四边形 的对角线相交于点O，M为边上一点，且，N为的中点，连接，若平分，则平行四边形的周长为（ ） A. 18 B. 24 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形中位线性质定理、平行四边形的性质、等角对等边等知识，根据平行线性质得到，，证明是的中位线，则,由得到，，证明，则即可得到答案. 【详解】解：∵平行四边形 的对角线相交于点O， ∴， ∵N为的中点， ∴是的中位线， ∴, ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴平行四边形的周长为， 故选：C 7. 已知，则计算的正确结果是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式以及绝对值的化简，根绝未知数的值化简是解决本题的关键．根据的取值范围，判断，的正负，进行化简，合并同类项，得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 8. 如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，∠ACB=90°，则的关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】先推导出正三角形的面积公式，设Rt△ABC的三边为：AC=b，AB=C，BC=a，根据勾股定理有：，则根据上述所推出的正三角形的面积公式，可知△AGC、△AFB、△BCH的面积分别为：、、，则根据上图有：，，，结合，即可解答． 【详解】正△XYZ的边长为u，过顶点x作XV⊥YZ，V为垂足，如图， 在正△XYZ中，有∠Y=60°，XZ=XY=YZ=u， ∵XV⊥YZ， ∴，∠XVY=90°， ∴在Rt△XYV中，有， ∴正△XYZ的面积为：， 如图，可知△AGC、△AFB、△BCH是正三角形， 设Rt△ABC的三边为：AC=b，AB=C，BC=a，根据勾股定理有：， 则根据上述所推出的正三角形的面积公式，可知△AGC、△AFB、△BCH的面积分别为：、、， 则根据上图有：，，， 即有， ∵， ∴， 即， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的面积等知识，正确识别图形是解答本题的关键． 9. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，且，的平分线和它的邻补角的平分线分别交直线于点F和G，连接，则下列结论错误的是（ ） A. 当时，则四边形矩形 B. 当时，则四边形为矩形 C. 当时，则四边形为矩形 D. 当时，则四边形为菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得到，求得，得到，推出，当时，，根据全等三角形的性质得到，推出四边形为矩形，判断A选项；当时，由，得到四边形为平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形为矩形；判断B选项；当时，由，得到，求得，得到四边形为矩形；判断C选项；当时，则是等腰直角三角形，得到，但不能证得四边形是平行四边形，当时，四边形不一定为菱形，判断D选项． 【详解】解：如图，的平分线和它的邻补角的平分线分别交直线于点F和G， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 当时，， ， ， ， 四边形为矩形，故A选项不符合题意； 当时， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形；故B选项不符合题意； 当时， ， ， ， 四边形为矩形；故C选项不符合题意； 当时，则是等腰直角三角形， ， 但不能证得四边形是平行四边形， 当时，四边形不一定为菱形，故D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 10. 对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ） A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确； 若方程有两个不相等的实根，则：， 则：的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根；故②正确； 若是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； 若是一元二次方程的根，则：， ∴， ∴；故④正确； 故选B． 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 如果一个正多边形的每个外角都是，那么这个多边形的内角和为_______ 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了正多边形的内角和与外角和，先由每个外角都是，三角形外角和为求出正多边形的边上，再用多边形的内角和公式求解即可. 【详解】解：∵一个正多边形的每个外角都是，外角和为， ∴正多边形的边数为， ∴这个多边形内角和为， 故答案为： 12. 若为方程的根，则多项式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意得出，整体代入即可求解． 【详解】解：∵为方程的根， ∴即， ∴， 故答案为：． 13. 如图，中，，点，分别在，边上，且，，分别连接，，点，分别是，的中点，连接，则线段的长为_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线，勾股定理等知识，解题的关键是掌握三角形中位线的性质，勾股定理的应用，根据题意取的中点，连接，，根据三角形的中位线的性质，可得，，，，根据勾股定理，则，求出即可． 【详解】解：取的中点，连接，， ∵中，， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案：． 14. 如图，在正方形的对角线上取一点，使得，连接并延长到，使与相交于点，若，有下列四个结论：①；②；③；④．则其中正确的结论有_____________．(填序号) 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用正方形的性质证明△CBE≌△CDE可判断①， 作利用含的直角三角形的性质求解，利用相似三角形的性质可判断②， 过作于，利用等腰直角三角形求解高 计算面积可判断③， 在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，再通过条件证明△DEC≌△FGC就可以得出CE+DE=EF，从而可以判断④； 【详解】证明：①∵四边形ABCD是正方形， ∴CB=CD，∠BCA=∠DCA=45°， ∴△CBE≌△CDE（SAS）， ∴ 故①正确； 如图，作 则 由勾股定理得： 解得：（舍去）， 正方形， 故②正确． 如图，过作于， 由正方形得： 故③错误． 在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG， ∵△CBE≌△CDE， ∴∠CBE=∠CDE， ∵BC=CF， ∴∠CBE=∠F， ∴∠CBE=∠CDE=∠F． ∵∠CDE=15°， ∴∠CBE=15°， ∴∠CEG=60°． ∵CE=GE， ∴△CEG是等边三角形． ∴∠CGE=60°，CE=GC， ∴∠GCF=45°， ∴∠ECD=GCF． 在△DEC和△FGC中， ， ∴△DEC≌△FGC（SAS）， ∴DE=GF． ∵EF=EG+GF， ∴EF=CE+ED， 故④正确； 综上：①②④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质相似三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键． 三、解答题（15-18题每题8分，19、20题每题10分，21、22每题12分，23题14分，共90分） 15. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．根据负整数指数幂、乘方运算、零指数幂、算术平方根运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 16. 解一元二次方程． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，利用因式分解法进行求解即可． 【详解】解： 或， 解得，． 17. 学校内有一块如图所示的三角形空地，计划开辟为生物园，测得米，米，米．如果沿修一条水渠且点在边上，水渠的造价为元米，当水渠的造价最低时，的长为多少米？最低造价是多少元？ 【答案】当水渠的造价最低时，的长为米，最低造价是元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键．当时，水渠的造价最低．由勾股定理的逆定理推知，所以结合面积法来求的长度，然后求其造价即可． 【详解】解：米，米，米． ， ， ， 当时，水渠的造价最低． 米 (元) 答：当水渠的造价最低时，的长为米，最低造价是元． 18. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，求代数式的值． 【答案】（1）见解析 （2）0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，再整理代入即可求解． 小问1详解】 解：∵， ∴方程总有实数根； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可得，，， ∴ ． 19. 如图，网格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求： （1）请判断三角形是否是直角三角形，并说明理由； （2）点到边的距离； （3）借助网格，利用无刻度直尺画出边上的中线． 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3）图形见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的面积，中线的定义，掌握勾股定理的逆定理以及面积法是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出各个边长，然后再根据勾股定理的逆定理判断即可； （2）根据三角形的面积可求得结果； （3）根据矩形对角线互相平分找到的中点，即可找到中线； 【小问1详解】 解：不是直角三角形，理由： 由题可得， ， ， ∵， ∴三角形不是直角三角形； 【小问2详解】 解：设点到边的距离为h， 由（1）可得， ∵的面积为：， ∴， 解得：， ∴点到边的距离为； 【小问3详解】 解：根据的特点找到矩形，连接， 则与交于一点， 即为的中点，连接，如图所示： ， 则为边上的中线． 20. 由镶嵌知识可知，边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺，观察图1、图2、图3，完成如下解答． （1）填写下表： 图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数 图1 1 6 6 图2 2 图3 3 （2）①图n中，正方形地砖数量为_______块、正三角形地砖的数量为_______块； ②求图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量． 【答案】（1）见解析 （2）①，；②块 【解析】 【分析】本题考查了平面镶嵌(密铺)问题和用代数式表示规律，解题的关键是要注意分别找到三角形和正方形的个数的规律． （1）直接根据图像中各方块数量填表即可解题； （2）①根据图1、2、3正方形个数与正三角形个数寻找规律，即可解题； ②根据①中规律直接解题即可． 【小问1详解】 解：由图可得： 图序 正六边形个数 正方形个数 正三角形个数 图1 1 6 6 图2 2 11 10 图3 3 16 14 【小问2详解】 解：①由图可知： 图中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块； 图2中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块； 图3中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块； 在图n中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块， 故答案为，； ②由①可得： 在图10中，正方形地砖数量为块，正三角形个数为块， 在图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量为块． 21. 如图所示，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接，连接交于点． （1）求证：； （2）若菱形的边长为8，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理． （1）先证四边形是平行四边形，再证四边形是矩形即可； （2）由菱形的边长为8，可得是等边三角形，再求得的长，可得的长，最后用勾股定理求即可． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形 ， 即 四边形是平行四边形 四边形是矩形 ； 【小问2详解】 菱形的边长为8， 是等边三角形 由（1）知，四边形是矩形 ． 22. 磁器口陈麻花是重庆市非物质文化遗产，以酥脆香甜闻名．某特产店的蜂蜜与椒盐两种口味麻花最为畅销．该特产店分别用2000元、2400元购进相同数量的蜂蜜麻花和椒盐麻花，已知每袋椒盐麻花的进价比每袋蜂蜜麻花的进价多2元． （1）每袋蜂蜜麻花、椒盐麻花的进价分别是多少元？ （2）这批麻花很快都销售而空，该特产店计划再购进一批这两种口味麻花，由于五一假期将近，此时每袋椒盐麻花的进价上涨了m元，购进椒盐麻花的数量在第一次的基础上减少了袋；每袋蜂蜜麻花的进价不变，购进蜂蜜麻花的数量在第一次的基础上增加了，最终总花费和第一批一样，求m的值． 【答案】（1）每袋蜂蜜麻花的进价为元，每袋椒盐麻花的进价为元； （2）的值为1． 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用； （1）设每袋蜂蜜麻花的进价为元，每袋椒盐麻花的进价为元，结合题意可得，再解方程即可； （2）根据题意构建方程，再解方程即可． 【小问1详解】 解：设每袋蜂蜜麻花的进价为元，每袋椒盐麻花的进价为元， ， 解得， 经检验是方程的解且符合题意， ∴， 答：每袋蜂蜜麻花的进价为元，每袋椒盐麻花的进价为元； 【小问2详解】 第一次椒盐麻花（袋），第一次蜂蜜麻花袋， 根据题意可得，， ∴， 解得（不合题意，舍去）， 答：的值为1． 23. 如图，在正方形中，． （1）求证：， （2）如图，点、分别是线段、上的动点，，连接，探究三条线段、、之间满足的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，，在、运动过程中，若，当取最小值 时， ．（直接写出答案） 【答案】（1）见解析； （2），见解析； （3），． 【解析】 【分析】（1）根据得到平行四边形，继而得到，根据等角的余角相等证明即可． （2）将绕点Ｃ逆时针旋转得到，根据正方形的性质，证明证明即可． （3）设，则，，根据二次函数确定最小值，再利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 ∵正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：三条线段、、之间满足的数量关系为．理由如下： 如图，将绕点Ｃ逆时针旋转得到，则， ∴，，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，将绕点Ｃ逆时针旋转得到，则， ∴，，，， ∵正方形， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴， 设， ∵， 则 ∴ 故当时，取得最小值32，故也取得最小值， ∵四边形是平行四边形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 整理，得， 解得（舍去）． 故， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，构造二次函数求最值，熟练掌握勾股定理，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，构造二次函数求最值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$