专题05 图形的变化（4大考点）（重庆专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦图形变换四大核心考点，精选重庆多所重点中学2025-2026年二模/二诊真题，涵盖基础判断、综合证明与实际应用，适配中考二轮复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|26题|轴对称与中心对称（12题）、位似与相似（5题）|以新能源汽车标志、巴渝青铜纹样为情境，考查图形性质判断| |解答题|32题|平移与旋转（9题）、锐角三角函数（12题）|动态几何证明（如旋转线段构造全等）、实际应用题（无人机航拍、海岛距离计算），多问递进设计|

专题05 图形的变化 4大考点概览 考点01轴对称与中心对称 考点02平移与旋转 考点03图形位似与相似 考点04锐角三角函数 轴对称与中心对称 考点01 1．（2026·重庆十八中·二诊）请选出下列不同学科的图标中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2．（2026·重庆鲁能巴蜀中学·二模）下列音符图片是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故该选项不符合题意， B．是轴对称图形，故该选项符合题意， C．不是轴对称图形，故该选项不符合题意， D．不是轴对称图形，故该选项不符合题意． 3．（2026·重庆字水中学·二模）在一些中国新能源汽车品牌的标志中，有的标志是轴对称图形．下面4个标志中，可以看作是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此得到答案． 【详解】解：A符合轴对称图形的定义，是轴对称图形； B、C、D都不符合轴对称图形的定义，不是轴对称图形． 4．（2026·重庆京师实验学校·二模）下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是（       ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的定义“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”是解题的关键． 【详解】解：A.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； B.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D.图形不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 5．（2026·重庆巷口中学·二模）下列图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】轴对称图形是指一个图形沿着一条直线对折后，两侧的图形能够完全重合．解题的关键在于理解轴对称图形的定义．解答此类题目的通用方法是：先理解轴对称图形的定义，然后逐一判断每个图形是否具有对称性，有无对称轴，沿着一条直线对折后两侧的图形是否能够完全重合． 【详解】解：A选项中，没有对称轴，无论沿哪条直线对折，图形都不能完全重合，因此不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项中，有两条对称轴，即两线段的中垂线和两横线之间的一条平行线，沿对称轴对折后，两侧的图形能够完全重合，因此是轴对称图形，故B选项符合题意； C选项中，没有对称轴，无论沿哪条直线对折，图形都不能完全重合，因此不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项中，没有对称轴，无论沿哪条直线对折，图形都不能完全重合，因此不是轴对称图形，故D选项不符合题意． 6．（2026·重庆实验外国语学校·二模）在下列巴渝青铜纹样平面示意图中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A.是轴对称图形，不符合题意； B.是轴对称图形，不符合题意； C.不是轴对称图形，符合题意； D.是轴对称图形，不符合题意． 7．（2026·重庆铜梁一中·二模）以下四种传统纹样中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于选项A：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项B：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 对于选项C：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 8．（2026·重庆一中·二模）下列图案中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 9．（2026·重庆巴蜀中学·二模）下列图案中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 10．（2026·重庆西大附中·二模）下列图案中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意． 11．（2026·重庆大渡口·二模）下列几何图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 12．（2025·重庆八中·二诊）2．下列四种新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意， C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不合题意． 平移与旋转 考点02 1．（2026·重庆鲁能巴蜀中学·二模）在中，，，点D是边上一点（不与端点重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，交于点F． (1)如图1，，点D是的中点，求的度数； (2)如图2，，，点M为的中点，点N为的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系并证明； (3)如图3，点P为边上一动点，连接并延长至点G，连接，，过A作交于点H，请探究四边形的面积是否存在最大值？若存在，请直接写出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， 证明：在上取一点,使连接，， ∴， ∴， 由旋转得, ∵，， ∴ ， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 又， ∴ ， ∴， 又∵，， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴长度恒为的一半，即； (3) 【分析】（1）先证是等边三角形，是等腰直角三角形，证得 ，再求出的度数即可； （2）在上取一点,使连接，先证明，得到，，再证明，得到，最后利用中位线定理得到即可求证； （3）根据圆周角定理，点的轨迹是在以为弦，圆心角为的圆弧上运动且过，所以可以确定圆心为，半径为6的圆上运动，根据圆的最值问题计算和特殊位置关系得到，代入数值计算即可． 【详解】（1）解：由旋转性质得：， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， 是等腰直角三角形，     ∵是中点， ∴ 在中，， ∴． （2）略； （3）存在最大值，最大值为， 延长交于点，过作交于点，于， ∴ ∵当为的中点时，则， 又∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ，， ∴在中，，到的距离为， ∵， ∴根据圆周角定理，点的轨迹是在以为弦，圆心角为的圆弧上运动且过， ∵， 圆心在，半径为， ∴点到的最大距离为， ∴四边形的面积最大为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，中位线定理，圆的基本性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 2．（2026·重庆一中·二模）在等腰中，，，点为底边上一点，连接，点为线段上一点（），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．    (1)如图，若 ，且，，三点共线，求的度数； (2)如图，在上方作线段，连接交于点，已知 ，用等式表示，，之间的关系，并证明； (3)如图，若，点与点重合，，连接，以为直角边在上方作，，且满足．当最大时，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，当最小时，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) ． 证明：延长至点，使得 即 在和中    则， 又 ， 又由（1）知 且 则 在和中 则 ， 即 则 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，得出，等腰中，，进而在中，根据三角形内角和定理，即可求解； （2）延长至点，使得，证明得出，，进而证明，得出，进而结合图形可得； （3）根据等弦对等角得出、、、四点共圆，得出的轨迹，取中点，以点为圆心为半径作圆，连接并延长交于点，此时最大．过点作直线，过点作交直线于点，此时最小，接下来根据等腰三角形的性质，勾股定理求得的长，根据 即可求解． 【详解】（1）解：等腰中，， ， 等腰中，， 中， ； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴ 又∵， ∴、、、四点共圆， 如图，取中点，以点为圆心为半径作圆，连接并延长交于点，此时最大． ∵点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，      ∵ ∴四点共圆， ∴ ∴在与夹角为的直线上运动， 如图，过点作直线，过点作交直线于点，此时最小．    ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 3．（2026·重庆京师实验学校·二模）在中，，，点是平面内一点，连接，点为线段上一点． (1)如图1，若点在边上，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，，若、、三点共线，，求； (2)如图2，若点在边上，连接、，点为的中点，若．证明：； (3)如图3，点在外部，连接，，将沿所在直线翻折到，且始终满足、、三点共线，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，．当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可得和都是等腰直角三角形，则．容易证明，则，，结合可计算出，由三角形内角和定理可计算出； （2）延长至点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，通过等量代换可得，从而证明是等腰直角三角形，则，．容易证明，则，．通过等量代换可得，进而可证明，则，命题得证； （3）先分析点的轨迹，作的外接圆，圆心为点，连接，由旋转的性质和等腰三角形的性质可推断，因此、、、四点共圆，则．再分析点的轨迹，将绕点逆时针旋转得到，作于点，作直线交的延长线于点，连接，，容易证明，从而计算出，，因此点在定直线上．根据线段公理可得，当时，取得最小值，作于点，连接，利用三角函数可计算出，，，最后使用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理，是等腰直角三角形，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵、、三点共线， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，延长至点，使得，连接，过点作，交的延长线于点， 由（1）可得是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在直角中，， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：如图，作的外接圆，圆心为点，连接，设与交于点， ∵， ∴为圆的直径，即点为的中点， ∵， ∴， 在直角中，， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在圆上， ∴， 如图，将绕点逆时针旋转得到，作于点，作直线交的延长线于点，连接，， 由旋转的性质可知，，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴，即点为定点， ∴点在定直线上， ∵，即， 又∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值， 当时，如图，作于点，连接， ∵，， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质与勾股定理，掌握好“手拉手”模型，“倍长中线”模型和“瓜豆”原理是解题关键． 4．（2026·重庆巷口中学·二模）如图，在中，，点D为平面内一点，连接，将绕点D逆时针方向旋转得到线段． (1)如图1，点D在线段上，，，点E恰好在的延长线上，延长交于点F，求证：； (2)如图2，，点D在内部，，点E在线段上，连接，G为的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系并证明； (3)如图3，，，连接，G为的中点，连接，直线平分，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到，当点H到直线的距离最大时，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）因为绕D逆时针旋转α得到，所以，可先推导的内角角度；因为是等腰直角三角形，所以可得出的度数；要证，可通过推导和的度数相等来实现，利用三角形内角和定理及外角性质分析角度关系． （2）因为G是中点，考虑构造中位线或倍长中线；因为旋转得到，，可推导和的关系，可能用到相似三角形或全等三角形的判定定理；要找与的数量关系，可通过构造的辅助线将和转化到同一个三角形中，利用特殊三角形的性质分析． （3）延长至M，使，连接，，则垂直平分，由是等边三角形，，平分，得，由，可得，点D是在以为直径的圆上运动，设圆心为O，交于点K，连接，，当过点O时，最大，四边形是矩形，得，求出，，，得，由，得． 【详解】（1）解：由旋转可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：理由如下： 延长至M，使，连接， 由旋转可知：，， ∴， ∵G为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 即： ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． （3）解：延长至M，使，连接，， 由翻折知，垂直平分，设垂足为点J， 由（2）知，是等边三角形，， ∵平分，设直线交于点N， ∴， 由旋转知，， 当点D在左下方时，， 当点D在右上方时， ∵， ∴， ∴点D是在以为直径的圆上运动， 设圆心为O，交于点K，连接，， 当过点O时，为直径，最大， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·重庆西大附中·二模）在中，为上一点． (1)如图1，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，求的度数． (2)如图2，，将线段绕点逆时针旋转一定角度得到线段，连接交于点，，延长至点，使得，连接交于点，若且，用等式表示线段，，的数量关系并证明． (3)如图3，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，直线于点，为直线上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当面积取得最大值时，直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由旋转得，结合，可推导角相等，证明．由全等得对应角相等，结合推导的底角度数，再结合为等腰直角三角形性质，的外角性质求出的度数，即可计算的度数． （2）设，则，，由旋转性质得，得，得，即得，可证明，得．∵，∴,过点C作，交于点I，则，可证明，得，可得，得，由，，可得． （3）以点D为原点，所在直线为x轴，过点D垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，作，使，连接，取中点N，连接，，过点F、G作轴，轴,垂足为K、L，证明，得，得点G是在直线​上运动．证明，得，，由    ，可得，得，得点E是在以为圆周角的圆弧上运动．得的中点O为圆心，为直径，过点O作轴于点    Q，直线交于点P交直线于点R．可得，∵，得．当最大时最大，点E与P重合，由，得的最小值为． 【详解】（1）解：由旋转性质得：，． ∴， ， ， 又， ∴， ∴， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：，理由如下， 设，则， ∴， 由旋转性质得， ∴， ∴， 即， ∴， 又， ， ∴． ∵， ∴， 过点C作，交于点I， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵线段长都是正数， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：以点D为原点，所在直线为x轴，过点D垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系， ∵，， ∴， ∴， 作，使，连接，取中点N，连接，，过点F、G作轴，轴,垂足为K、L， 则，， ∴， 由旋转知，在直线上，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点G是在直线​上运动． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴    ， ∴， ∴， ∴， ∴点E是在以为圆周角的圆弧上运动． 设的中点为O， 则， ∴点B在的外接圆上， ∴点O为圆心，为直径， 过点O作轴于点Q，直线交于点P交直线于点R． 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵面积， ∴最大时最大， 当点E与P重合时， ​值最大． ∵， ∴的最小值为． 6．（2026·重庆綦江未来联盟·二诊）在中，，，点D为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图，，点D在上，且，与交于点G，若，求的长度； (2)如图，与交于点F，连接，在延长线上有一点P，，求证：； (3)如图，与交于点F，且平分，点M为线段上一点，点N为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在M，N运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，由旋转的性质可得，，据此利用勾股定理即可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可得，可得，可得结论； （3）先证明当点M，点，点D三点共线，且时，有最小值，再证明点Q，点B，点D三点共线，过点B作交的延长线于点R，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴； （2）证明：如图2，过点D作交于点H， ∵，， ∴，； ∵， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，即 （3）解：如图3，在上截取，连接， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点M，点，点D三点共线，且时，有最小值； 如图4， ∵，， ∴； 由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点B，点Q，点D三点共线； 如图4所示，过点B作交的延长线于点R， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·重庆大渡口·二模）在中，． (1)如图1，若，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，，求的度数： (2)如图2，若，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，．点是的中点，连接交于．用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若，将绕着点旋转得到线段，连接．当取最大值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．当取最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据等边三角形和旋转的性质，推导出两个等腰三角形的底角，再通过角的差直接计算出目标角的度数； （2）通过构造等腰直角三角形，利用三角形全等将线段进行转化，再结合等腰直角三角形的边的关系，推导出三条线段之间的数量关系； （3）先分析出取最大值和取最小值时的特殊位置，再通过设边长，分别计算两个三角形的面积，最后求出它们的面积比． 【详解】（1）由且，得为等边三角形， ∴，， 将绕逆时针旋转得， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 在中，，， ∴， ∴． （2）由,，得为等腰直角三角形， 将绕逆时针旋转得， ∴，，， ∵为中点，， ∴，且， ∴在等腰中：， 又∵ ， ∴在中：， ， ∴， 过作交于，则为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，即， 又∵，， ∴ ， 得，故，所以． （3）由，，所以， 当最大时，、、共线，，为等边三角形， ∴， 设，则，， 由翻折可知：，在以为圆心、为半径的圆上， 当最小时，、、共线，在、之间，故， 在中，，,， ，面积比：． 8．（2026·重庆铜梁一中·二模）在中，，，点是平面内一点，连接，点为线段上一点． (1)如图1，若点在边上，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，，若、、三点共线，，求； (2)如图2，若点在边上，连接、，点为的中点，若．证明：； (3)如图3，点在外部，连接，，将沿所在直线翻折到，且始终满足、、三点共线，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，．当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可得和都是等腰直角三角形，则．容易证明，则，，结合可计算出，由三角形内角和定理可计算出； （2）延长至点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，通过等量代换可得，从而证明是等腰直角三角形，则，．容易证明，则，．通过等量代换可得，进而可证明，则，命题得证； （3）先分析点的轨迹，作的外接圆，圆心为点，连接，由旋转的性质和等腰三角形的性质可推断，因此、、、四点共圆，则．再分析点的轨迹，将绕点逆时针旋转得到，作于点，作直线交的延长线于点，连接，，容易证明，从而计算出，，因此点在定直线上．根据线段公理可得，当时，取得最小值，作于点，连接，利用三角函数可计算出，，，最后使用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理，是等腰直角三角形，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵、、三点共线， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，延长至点，使得，连接，过点作，交的延长线于点， 由（1）可得是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在直角中，， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：如图，作的外接圆，圆心为点，连接，设与交于点， ∵， ∴为圆的直径，即点为的中点， ∵， ∴， 在直角中，， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在圆上， ∴， 如图，将绕点逆时针旋转得到，作于点，作直线交的延长线于点，连接，， 由旋转的性质可知，，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴，即点为定点， ∴点在定直线上， ∵，即， 又∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值， 当时，如图，作于点，连接， ∵，， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质与勾股定理，掌握好“手拉手”模型，“倍长中线”模型和“瓜豆”原理是解题关键． 9．（2025·重庆八中·二诊）过线段的端点B作射线l，使得射线．点C是射线l上一动点，连接，将绕点A逆时针旋转至的位置，旋转角为α． (1)如图1，当时，过点D作交的延长线于点E，连接．若，，求的长； (2)如图2，当时，点F是延长线上一点，，连接．点G是上一点，连接．若，求证：； (3)当时，作点A关于射线l的对称点，连接交射线l于点H．取的中点K，连接，直线与直线相交于点P．当是等腰三角形时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）通过证明求出，再求，最后利用勾股定理求解； （2）过点C作，交延长线于点M，过点A作交延长线于点N，通过证明，，，证明，再证明，即可证明； （3）通过证明是等边三角形和对称出，可知点、、在以C为圆心，长为半径的圆上，则，分两种情况：当点C在点H左侧时，只有满足；当点C在点H右侧时，是等边三角形，再分别计算即可． 【详解】（1）解：由旋转知，， ∴， ∵射线，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点C作，交延长线于点M，过点A作交延长线于点N， 由旋转知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，射线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：由旋转知，， ∴是等边三角形， ∴，， 由作点A关于射线l的对称点，可知， ∴， ∴点、、在以C为圆心，长为半径的圆上， ∴， ①如图，当点C在点H左侧时，只有满足， ∴， ∵， ∴， 过点作于点， 设， 则，， ∵K是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 即，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当点C在点H右侧时， ∵， 且要使是等腰三角形， ∴是等边三角形，此时如图， ∴，， ∵K是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点A关于射线l的对称点是， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 综上，或． 图形位似与相似 考点03 1．（2026·重庆巴蜀中学·二模）如图，与位似，点是它们的位似中心，若的面积为8，，则的面积为（   ） A．12 B．18 C．9 D．16 【答案】B 【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方求出的面积即可． 【详解】解：， 与的位似比是， ， ， ， ， ． 2．（2026·重庆十八中·二诊）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（     ） A．15 B．10 C．40 D．45 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质可知，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比，进而求出的长，最后根据计算即可． 【详解】解：与是位似图形， ， ， 相似比为，即， ， ， ． 故选：B． 3．（2026·重庆一中·二模）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据位似图形的性质，确定两个三角形的相似比，再利用相似三角形周长比等于相似比的性质，求出的周长． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∵， ∴与的相似比为， ∵的周长为2，相似三角形周长比等于相似比， ∴的周长为 4．（2026·重庆铜梁一中·二模）如图，与是位似图形，位似中心为点，且，的周长为8，则的周长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据位似图形的定义求出位似比，再根据位似图形的周长比等于位似比即可求解． 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点，且， ∴与的位似比为， ∴与的周长比为， ∵的周长为8， ∴的周长为． 5．（2025·重庆八中·二诊）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的面积之比是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似变换的概念得到，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：已知与位似， 则, ∵与的面积之比是， 则与的相似比是， 则． 6．（2026·重庆一中·二模）如图，正方形中，为边上一点，连接、交于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，连接，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，得到，，设，则，推出，，，证明，根据相似三角形的性质求出，，推出，证明，根据相似三角形的性质求出，，进而求出，由，推出，可求出，证明可得，即可求解． 【详解】解：设、交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设，则， ，，， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ，， ， ，即， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， 故选：D． 7．（2026·重庆字水中学·二模）如图，正方形中，点是对角线上一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，落在正方形内部，交于点，延长交于点，连接，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可通过正方形性质、翻折变换的性质，结合角度推导与三角形相似来求解．先利用正方形对角线性质证明 及相关角相等，再通过角度计算得到角的等量关系，最后证明三角形相似，结合边长比例求出 的值． 【详解】解：连接、， ∵ 四边形 是正方形， ∴ ，， 垂直平分 ，， ∴ ，， ∴， ∵, ∴ , ∴． ∵ 沿 翻折得到 ， ∴ ，，． 设 , 则 ， ∴， ∴, ∴, 又 ， ∴， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵， ∴ ， ∴ ． 8．（2026·重庆大渡口·二模）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点，连接．已知，则的长为___________，过点作，交的延长线于点，则的长为___________． 【答案】 6 【分析】连接，过点A作，先求出的长，利用勾股定理求出的长，最后再利用勾股定理求出的长；证，根据相似三角形的性质可求出的长． 【详解】解：如下图，连接，过点A作，得， ，为的直径， ， 平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ，， , ， ， ． 9．（2026·重庆铜梁一中·二模）如图，以为直径的与相切于点，连接，以为边作菱形，点在边上，连接，，与交于点，与交于点．若，．则______，______． 【答案】 / 【分析】先利用菱形的性质得到，，再根据切线的性质得到，所以，于是利用勾股定理可计算出，则， ，接着证明，利用相似比求出， 所以 ，然后证明，则利用相似三角形的性质可求出 ，然后计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵以为直径的与相切于点， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∴ 即， 解得， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质和圆周角定理，掌握知识点的应用解题的关键． 锐角三角函数 考点04 1．（2026·重庆十八中·二诊）如图，在边长为6的正方形中，为对角线上一点，延长线交边于点，已知，再过作于，连接．在上，且，则的值为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】证明，则可得，证明，可得，设，则，利用解直角三角形和勾股定理即可得到和，即可解答，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键． 【详解】解：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， ， ， 则， ， ， ， 2．（2025·重庆八中·二诊）如图，点是正方形外一点，连接交于，连接，．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作交于点，由，假设，，根据角度之间的等量代换可得到，故相对应的正切值相等，得出，，，由勾股定理解出的长度，最终得出答案即可． 【详解】解：过点作交于点，如下图所示： ∵， 假设，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ， ∴， ∴， ∴， 结合，， 解得，，， ∴， 由勾股定理得， ∴． 3．（2026·重庆鲁能巴蜀中学·二模）如图，正方形的边长为6，点是边上的一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，连接，过点作交于点，过点作交于点，延长交于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点F作于点H，设与交于点O，以B为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，得到，，，，解直角三角形求出，得到，然后得到，求出所在直线的表达式为，得到，求出所在直线的表达式为，联立得到，利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点F作于点H，设与交于点O，以B为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系， ∵正方形的边长为6， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 由折叠得，，，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴，即点G是的中点 ∴点G的坐标为，即 设所在直线的表达式为 将代入得， 解得 ∴所在直线的表达式为 ∵， ∴ ∴设所在直线的表达式为 将代入得， 解得 ∴所在直线的表达式为 当时， ∴，即 ∵， ∴同理可得，所在直线的表达式为 联立得， 解得 ∴ ∴ ∴． 4．（2026·重庆铜梁一中·二模）如图，在边长为2的正方形中，E在对角线上，且，连接并延长，交边于H点，过D作于F，连接．G为上一点，且，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理；证明，则可得，证明，可得，设，则，利用解直角三角形和勾股定理即可得到和，即可解答，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键． 【详解】解：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， ， ， 则， ， ， ， 故选：A． 5．（2026·重庆西大附中·二模）如图，在正方形中，点在线段上，连接，相交于点，点在的延长线上，连接，若，，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】如图，连接交于，过作于，证明，可得，结合，设，则，进一步求解，，，即可得到答案. 【详解】解：如图，连接交于，过作于， ∵正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 6．（2026·重庆鲁能巴蜀中学·二模）如图，以矩形的边为直径的与边相切，连接交于点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，连接交于点，连接，若，则的半径为________；的长度为________． 【答案】 【分析】连接，，设半径为，则，根据切线的性质和矩形的性质，可得，再根据直径所对的圆周角是直角，可得，从而，利用对应边成比例，代入计算即可求出半径； 作，，先利用“”，得，可求，根据锐角三角函数和垂径定理，求出，，再根据矩形的判定，得四边形是矩形，可求，，利用勾股定理，得，进而可得，最后根据平行线的性质和等腰三角形的性质以及圆周角定理，可得，，利用正弦值和等腰三角形的性质，代入计算即可求解． 【详解】解：如图，与相切于点，连接，， 设半径为，则， 与相切于点， ， 矩形， ，，即， ， 在中，， 为的直径， ， ， ， ， ，即，则， 的半径为； 如下图，与相交于点，连接，，过点作，交的延长线于，作，垂足为， ， ， 矩形， ，即， ， ，， ， ， ，， ， 在中，，， ， 在中，，， ，，即，， ，为的直径， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， 四边形是矩形， ，即， ， ，， ，， ， 在中，， 则， ， ． 7．（2026·重庆一中·二模）如图，四边形是菱形，点为边上的一点，与相切于点，与相交于点，连接并延长与相交于、两点，连接．若，，，则的长度为________，的长度为________． 【答案】 4 【分析】连接，，过点作，设半径为，在中，利用勾股定理求得；利用菱形的性质结合解直角三角形求得菱形对角线的长，作于点，利用垂径定理和相似三角形的判定和性质求得，，得到，最后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作，设半径为， ∵是的切线，∴， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， ∴， ∴菱形的边长为， ∴， 作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 作于点， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， 连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴． 8．（2026·重庆西大附中·二模）如图，平行四边形的顶点在上，与相切于点，延长交点，连接，，交于点的平分线交于点，连接，，，，则的半径为__________；若，则的长度为__________． 【答案】 / 【分析】本题主要考查圆的垂径定理、切线性质、圆周角定理、三角形内心、平行四边形性质、三角形内角和、特殊三角形判定与三角函数等知识点，垂径定理可知，为弧中点，为的角平分线，进而为的内心，再采用圆内接四边形对角互补，可知，再有，即可求证为等边三角形，再利用三角函数求解半径；通过角的证明，得到，即可得到，再根据三角形相似，得到，利用相似的性质即可求得，，即可解答． 【详解】解： 与相切于点，如图：连接，交于点，连接、 ， 平行四边形， ，且， ，， 由垂径定理可知，为弧中点， ， 为的角平分线， 为的角平分线， 为的内心， 为的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 所以半径为； 如图，延长交圆于点，再连接，， ，， 且，（同弧所对的圆周角相等） ， ， 直径所对的圆周角是， ，且， ， ，， ， ， ， ， 故答案为； 故答案为；． 9．（2026·重庆实验外国语学校·二模）如图，在中，为直径，延长至点C，过点C作的切线，切点为E，交延长线于点B，同时交于点G，连接，若，，则的长度为________． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，由是的切线，可得，则，则，则在中，可得，可得，在中，可得，在中，可得，，可得，在中即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 设，则，， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，，则， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 设，，则， ∴， ∴，， ∴， 在中，． 10．（2026·重庆十八中·二诊）如图，在中，点是边上一点（不与端点重合），连接． (1)如图1，，，线段的垂直平分线交于点，连接，若，求的度数； (2)如图2，若点是的中点，将线段绕点逆时针旋转至，使得，连接．以为斜边在上方作，且满足，连接，交的延长线于点．用等式表示线段、、的数量关系并证明； (3)如图3，，，，点是的中点，点是直线上一动点，连接，，将绕点顺时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质结合等腰三角形底角相等，以及三角形内角和定理即可求出； （2）延长构造，结合直角三角形斜边中线等性质，导出，从而得到，最后即可得出； （3）先确定点M的轨迹为直线，又注意到线段到的几何变换为绕点D逆时针旋转并且放大倍，因此构造辅助线得出点H轨迹为直线，结合锐角三角函数与勾股定理计算得出取最小值时，再根据三角形三边关系确定的最大值，即可求解出答案为． 【详解】（1）解：设， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 故． （2）解：如图，延长至点H，使得，连接、， 在与中， ， ， ，， D为的中点， 在中，，， ， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图，过点D作，在上取点F，使得，连接、、、， ，， ， ，， ， 与均为等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， 点在直线上， 当时，取得最小值， 点为中点，， ， ，， ，， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ，， ， 在中，， 当且仅当点D、A、三点共线时取得最大值， 最大值为． 11．（2026·重庆字水中学·二模）1．如图，已知在中，，点E在直线上，连接，过点C作于点D，交于点F． (1)如图1，若点E在线段上，平分，，，求的长度； (2)如图2，若点E在线段上，，延长至点G，连接，满足，请用等式表示线段，和的数量关系并证明． (3)如图3，若，将沿翻折至所在平面得到，连接，点P为的中点，连接，在E点运动过程中，当取最大值时，直接写出此时的值． 【答案】(1)4； (2)，证明见详解； (3) 【分析】（1）利用同角的余角相等得到，利用角平分线的定义和三角形的外角的性质得到，从而得到，从而得解； （2）根据题意可知是等腰三角形，，，再利用三角形的外角的性质证明，过点E作交的延长线于点H，从而证明，，得到，继而得证； （3）设，继而求得，，和，结合翻折的性质得到，过点P作交于点O，则点O为的中点，且，那么，点E在直线上运动过程中，始终有，则点的运动轨迹为以点A为圆心为半径的圆上运动，那么点P的运动轨迹为以点O为圆心为半径的圆上运动．当取最大值时，则点P、点O和点D共线时，求得此时，和，连接，则，进一步求得，求得即可． 【详解】（1）解：∵，， ∵ ， 又∵ 平分，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：，证明如下： 由（1）得：， ∵ ，， ∴，， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴， 过点E作交的延长线于点H，如图， 则 ， ， 在 与 中， ， ， 在 与 中， ， ， ， ， 即； （3）解：设， ∵ ,， ∴， 解得 ， ∴ ， ∵， 解得， ∴ ， ∵ 将沿翻折至所在平面得到， ∴ ， 过点P作交于点O，如图： ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∴，， ∵点E在直线上运动过程中，始终有， ∴点的运动轨迹为以点A为圆心，为半径的圆上运动， ∴点P的运动轨迹为以点O为圆心，为半径的圆上运动， 当取最大值时，则点P、点O和点D共线时，如图， 此时，，，， 连接，则， ∵ ， ∴， ∴． 12．（2026·重庆巷口中学·二模）小明和小红在某公园中游玩．如图，公园中的五个景点A、B、C、D、E在同一平面内．景点在景点的东偏南方向4千米处，且位于景点正北方向的千米处，景点位于景点的西南方向，景点D、E、C位于东西方向上且千米．（参考数据：） (1)求的长度（结果精确到0.1千米）； (2)若小明从景点出发沿的路线去景点，与此同时小红从景点出发，沿的路线去景点，已知小红的平均速度为0.5千米/分钟．若两人同时到达点，请比较谁的平均速度更快？请通过计算说明． 【答案】(1)9.8千米； (2)小明的平均速度更快，说明见解析． 【分析】（1）过点A作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，则四边形AFCG是矩形，利用锐角三角函数求解即可； （2）分别求出小明和小红的路程，再根据两人的时间相等，求出小明的平均速度比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，则四边形是矩形， ， 在中，千米， （千米），（千米）， （千米）． 千米， （千米）， （千米）． 在中，， （千米）， 答：的长度约为9.8千米； （2）解：千米，千米， （千米）， （千米）， 在中，，千米， 千米， ∴小明的路程为千米， 小红的路程为 （千米）， ∵小红的平均速度为0.5千米/分钟， ∴小红所用的时间为（分钟）， ∴小明所用的时间也是24分钟， ∴小明的平均速度为（千米/分钟）， ， ∴小明的平均速度更快． 13．（2026·重庆京师实验学校·二模）某景区使用无人机对观光热气球进行航拍．如图，A，B，C，D位于同一平面，B在A的正东方向2千米处，C在B的南偏东方向，且在A的南偏东方向，D在C的正西方向，且在A的南偏西方向．某一时刻，位于A的航拍无人机需要沿着的路线前往C处进行拍摄．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)航拍无人机从A出发的同时，观光热气球从B出发沿着飞往C处继续游览，无人机的速度是热气球速度的3倍．无人机的镜头仅在与热气球的直线距离不超过1千米时，能够保障清晰拍摄．请问热气球飞离B处多少千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球（结果保留一位小数）？ 【答案】(1) (2)1.6千米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用等，熟练掌握相关知识点，利用辅助线构建直角三角形是解题的关键． （1）过B作于点E，则，解求出，即可解答； （2）由题意可知，无人机在上飞行时，距气球超过1千米不能清晰拍摄，则令其距离恰好为1千米进行计算，设无人机在上的M处，距气球N刚好1千米，即，过N作于点K，设，则，利用解直角三角形和线段的和差，表示出，再利用勾股定理建立方程，即可得解． 【详解】（1）解：由题可知，千米，，， 则中，， ∴，千米， 如图，过B作于点E，则， 在中，（千米）， ∴（千米）， 答：的长度为千米； （2）解：由题意可知，无人机在上飞行时，距气球超过1千米不能清晰拍摄， 如图，设无人机在上的M处，距气球N刚好1千米，即，过N作于点K，则， 设， ∵无人机的速度是热气球速度的3倍 ∴， ∵B在A的正东方向，D在C的正西方向，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， 即 解得， ∵， ∴（千米）； 答：热气球飞离B处1.6千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球． 14．（2026·重庆鲁能巴蜀中学·二模）如图是同一平面内四座海岛的示意图，海岛在海岛的西北方向8海里处，海岛在海岛的正东方向，且在海岛的北偏东方向．海岛在海岛的东北方向，且在海岛的北偏西方向．（参考数据：，，） (1)求海岛和海岛之间的距离（结果保留根号）； (2)某一时刻，渔船甲从岛出发，沿某方向匀速直线行驶，同时，渔船乙从岛出发，向正西方向匀速直线行驶．渔船甲的速度与渔船乙的速度之比为，一段时间后两船相遇．相遇时渔船乙行驶了多少海里（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)海里 (2)6.6海里 【分析】（1）过点作于点，由题意得， 海里，根据直角三角形的性质得到 （海里），解直角三角形即可得到结论； （2）设两船在上的点处相遇，连接．过点作于点，先求得海里，海里．设海里，则海里．根据勾股定理列方程，再求解可得到结论． 【详解】（1）解：过点作于点． ∵海岛在海岛的西北方向，海岛在海岛的正东方向， 在中，海里， （海里）， （海里）， ∵海岛在海岛的北偏东方向，， 在中， 海里， （海里）， 答：海岛和海岛之间的距离为海里． （2）解：设两船在上的点处相遇，连接．过点作于点． ∵海岛在海岛的东北方向，海岛在海岛的北偏西方向， 设海里，在中，． 在中，． 解得． ∴海里，海里． ∵两船速度之比为，且时间相同， ∴设海里，海里． ∵渔船乙从向正西行驶，相遇点在上，且海里， ∴在中，． 根据勾股定理得：， 即， 整理得：． 解得：（负值舍去） ∴渔船乙行驶的路程（海里）， 答：相遇时渔船乙行驶了约6.6海里． 15．（2026·重庆一中·二模）为打造“15分钟便民生活圈”，某社区新建了、、、、五个服务点，分别是社区服务中心，健身广场，便民菜站，快递驿站和儿童游乐区．如图，在的正东方向，在的东北方向米处，在的正西方向，在的南偏西方向，在的南偏东方向，且在的西南方向．（参考数据：，） (1)求健身广场和便民菜站之间的距离（结果保留根号）； (2)某日，小聪从社区服务中心出发，沿路线去便民菜站买菜；同时，小明从儿童游乐区出发沿路线去快递驿站取快递．已知小明的速度是小聪的倍，当小明到的距离恰好是小聪到的距离的倍时，求小聪到的距离（结果保留一位小数）． 【答案】(1)米 (2)112.4米 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，利用45°锐角三角函数值解直角三角形求出长，利用60°锐角三角函数值解直角三角形求出长，根据求出结果； （2）根据速度关系，设，则，，过点作于点，利用45°、60°锐角三角函数值解直角三角形求出、、的长，根据勾股定理列方程求出x的值，进而求出结果． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点． 由题意得：，，； 在中，，， ∴， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：健身广场和便民菜站之间的距离为米． （2）解：设小聪走到点，小明走到点，连接， 小明的速度是小聪的倍， 设，则，， 过点作于点，     在中，，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得： ， （舍）， ∴ ， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴ (米）， 答：小聪到的距离为112.4米． 16．（2026·重庆字水中学·二模）重庆万州三峡科技馆于2026年元旦正式对外开放，其造型独特的“双鱼”设计吸引了大批市民打卡参观，并且它是重庆首座“近零能耗”公共建筑．周末，小明和小华相约去三峡科技馆参观．如图：、、、、四个参观点在同一平面内，点在点的正北方向米处，点在点的东北方向，点在点的正东方向，点在点的正南方向，且在点的北偏东方向米处，点在点南偏东方向．（参考数据：，，） (1)求、两参观点之间的距离（结果保留根号）； (2)小明沿的路线进行参观，小华沿的路线进行参观．两人同时出发，已知小明与小华的速度比是．求小明离出发地多少米时，两人之间的直线距离第一次达到米．（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点A作于R，延长，交于点N，解直角三角形求得,根据，即可求解； （2）设小明到达上M处、小华到达上N处时，即，作于H，设，，在中，勾股定理建立一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于R，延长，交于点N， 在中，， ， 根据题意得：， 在中，， ， 在中， 由 米 答：B，C两参观点之间的距离是米． （2）设小明到达上M处、小华到达上N处时，即， 作于H， 设，，则： 在中，，， 在中， 解得：（舍）， 答：小明离出发地 米时两人之间的直线距离第一次达到米． 17．（2026·重庆十八中·二诊）文旅局举办“盛春赏景”打卡活动，以鼓励市民多进行室外运动，参加此次活动的斐斐同学将园博园路线绘制如下：打卡点在打卡点的正南方向米处；打卡点在打卡点的北偏西方向；打卡点在打卡点的正东方，同时在的东南方向；打卡点在的正北方米处，且恰好位于的北偏东方向．（参考数据：，，） (1)求打卡点、之间的距离；（结果保留整数） (2)打卡活动中，小郭从打卡点出发，沿线段向匀速奔跑；小周从打卡点出发，沿某方向匀速直线奔跑．两人同时出发，小郭与小周的速度之比为，并在线段上某处相遇．当两人相遇时，小郭跑了多少米？（结果精确到） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点B作，交于点N，交于点J，过点C作，交于点M，过点N作于点L，过点A作于点H，在上取一点G，连接，使得，设，先证明，同理根据等角对等边可证明：，再证明四边形、四边形、四边形也是矩形，利用矩形的性质获得相等的线段，再利用直角三角形的知识在直角三角形中表示出、，进而有，根据，列方程，解方程即可求解； （2）设二者在V点相遇，过点V作于点R，利用表示出、，根据相同时间内行走的距离之比等于速度之比，得，在中，，据此列方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点B作，交于点N，交于点J，过点C作，交于点M，过点N作于点L，过点A作于点H，在上取一点G，连接，使得， 设， 根据方向角的描述可知：，，，， ∵，点在打卡点的正东方，， ∴，， ∴根据方向角描述：， ∵， ∴， ∴，即， 同理根据等角对等边可证明：， ∵，，， ∴四边形是矩形， 同理可证明：四边形 、四边形也是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴，， ∵在矩形中，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ，， ∴， ∵ ，， ∴ ， 解得，即， ∵，， ∴在中， （米）； （2）根据（1）可得：， ∴在中，， 如图，设二者在V点相遇，过点V作于点R， ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵小郭与小周的速度之比为， ∴根据相同时间内行走的距离之比等于速度之比，得， 即 ， ∵在中，， ∴， 解得： （米）（ ，不符合题意，舍去）， 答：当两人相遇时，小郭跑了米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，理清题中各个角度的关系，注意解答时不能先入为主的直接在给出的图形上作辅助线解答． 18．（2026·重庆巴蜀中学·二模）为了保证农作物的正常生产，需要定期对农田喷洒农药．利用无人机喷洒农药，能快速覆盖大面积农田，也能减少浪费与环境污染．如图，某农户操作甲、乙两架无人机从A点出发到三点处对三块农田喷洒农药．在同一平面内，B点位于A点的北偏西方向千米处，C点位于A点的东北方向，D点分别位于A点的正北方向、B点的东北方向和C点的北偏西方向上．（参考数据：，，） (1)求A点和D点之间的距离；（结果保留小数点后一位） (2)甲无人机先沿方向到点B处喷洒农药，乙无人机先沿方向到点C处喷洒农药．甲、乙两架无人机在两点处喷洒完农药后，再次同时分别从B、C出发沿着、方向到点D处喷洒农药，乙无人机的速度是甲无人机速度的2倍，请问当甲、乙两架无人机在到达D点前的距离恰好为千米时，乙无人机距离C点多少千米？（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)3.5千米 (2)1.2千米 【分析】（1）根据题意先得到角度，再添加辅助线，即过点A作，在中，可求解与的长，再得到为等腰直角三角形，由此可解； （2）先添加辅助线，过点D作于点F，得到为等腰直角三角形，求解出的长度，再添加辅助线，过点M作，设千米，利用直角三角形求出与，再结合勾股定理求解出x的值，由此可求解． 【详解】（1）解：由题意知：，，，， ∴，， 过点A作，如图， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得千米； 答：A点与D点之间的距离为千米； （2）解：过点D作于点F，如图， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵ ， ∴， 在中，， 在中， ， ， ∴，则， 在 中，，， ∴， 设乙无人机在M点，甲无人机在N点时，相距千米， 过点M作于点Q，如图， 设千米，则千米， 由（1）知，，，即， ∴千米，千米， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，即， 解得或， ∵，即， ∴， ∴千米， 答：当甲、乙两架无人机的距离为千米时，乙无人机距离C点1.2千米． 19．（2026·重庆綦江未来联盟·二诊）如图，某海警基地位于A处，在A的正北方向有一小岛B，在A的北偏东方向24海里处有一海上补给中心C，且C在B的东南方向，点D是中点．（参考数据：，，） (1)求A与B相距多少海里？（结果精确到1海里） (2)监测发现，在点B处有一可疑船只，它正沿正西方向匀速直线航行．此时在点D处的一艘海警船立即出发，先匀速直线航行到达点C进行补给（补给时间忽略不计），再以原速沿北偏西方向匀速直线航行，两船相遇于E处．已知海警船的速度是可疑船只的3倍，那么相遇时海警船航行了多少海里？（结果精确到1海里） 【答案】(1)海里 (2)相遇时海警船航行了40海里 【分析】（1）过点C作，根据题意可得，求出，长，继而求出长，进而即可解答； （2）过点C作交的延长线于点G，推导出四边形是正方形，得到海里，设可疑船只航行了x海里，则海警船航行了海里，得到，，在中，，解得，进而即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点C作， 根据题意可得， 则（海里），（海里）， ∴海里， ∴（海里）； （2）解：如图，过点C作交的延长线于点G， 根据题意， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴海里， 设可疑船只航行了x海里，则海警船航行了海里， ∵点D是中点， ∴海里， ∴海里，海里， ∴海里， 在中，， 即， 解得：（负值舍去）， ∴， 即相遇时海警船航行了40海里． 20．（2026·重庆铜梁一中·二模）春风有信，花开有期，某公园设置了如图所示、、、四个观景点，这四个观景点在同一平面内，点在点的正东方向，点在点的南偏东45°方向，且在点的南偏东60°方向，点在点的正西方向，且在点的南偏西30°方向，千米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若小张和小李分别从观景点、出发，小张以2千米/小时的速度从观景点步行到观景点，小李从观景点以4千米/小时的速度跑到观景点，在运动过程中，小张出发多少千米后恰好与小李相距千米？（结果保留一位小数） 【答案】(1)的长度为千米． (2)小张出发2.0千米后恰好与小李相距千米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用等，熟练掌握相关知识点，利用辅助线构建直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点．则，解求出，即可解答； （2）设小时后，小张恰好与小李相距千米，此时，，由题意可知过点作于点，过点作于点．利用解直角三角形和线段的和差，表示出，再利用勾股定理建立方程，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点． 则 在中，， 由题可得， 在中，， 答：的长度为千米． （2）解：如答图，由题意，设小时后，小张恰好与小李相距千米，此时，， ， ， 过点作于点，过点作于点． 在中，， 在中， ， 在中， 解方程，得，（舍） 则 答：小张出发2.0千米后恰好与小李相距千米． 21．（2026·重庆实验外国语学校·二模）如图，在海平面上有一处国家海鱼养殖基地，基地设有三个岗哨A、B、C；已知岗哨A在岗哨B的北偏西方向60海里处，岗哨C在岗哨A的正东方向，且岗哨B在岗哨C的南偏西方向．现有一小岛D在岗哨A的东北方向，且在岗哨C的北偏西方向．（参考数据：，，，） (1)求小岛D到岗哨C的距离．（结果保留根号） (2)有一艘偷鱼船从小岛D出发，沿方向匀速行驶，同时，一艘巡逻船从岗哨C沿方向开始匀速行驶去监察偷鱼船，若偷鱼船与巡逻船的速度比为，当巡逻船与偷鱼船的距离第一次达到40海里时求此时偷鱼船离小岛D的距离是多少？（结果精确到0.1） 【答案】(1)海里，见详解 (2)9.9 海里，见详解 【分析】（1）首先根据条件中的方位角得出和中各内角的度数，然后在中，通过作高，把问题转化为解直角三角形求解即可； （2）根据已知条件设未知数，把各实际意义的量转化为线段的长度，然后借助图形，利用解直角三角形的知识列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点C作于点E，过点B作于点H， 由题意可知，岗哨C在岗哨A的正东方向，即． 岗哨A在岗哨B的北偏西方向，则． 岗哨B在岗哨C的南偏西方向，则． ， 是等边三角形， 海里． 在的东北方向，则， 在的北偏西 ，则， ． 在中，海里，， 则（海里）． 在中，海里，， 则（海里）． 小岛到岗哨的距离为海里； （2）解：设巡逻船从向行驶了海里，则偷鱼船从向行驶了海里， 如图2，此时巡逻船位置记为，则 ，． 偷鱼船位置记为 ，则 ． 连接，过点作于． 在 中，，，   则，． 在 中，， 由勾股定理得，即 解得，或， 当巡逻船与偷鱼船第一次达到40海里的距离时， 值应取 ， 此时． 所以偷鱼船离小岛约 9.9 海里． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．熟悉解三角形问题的一般步骤，掌握常见题型的解题方法，能根据问题特征构造恰当的辅助线是解题的关键． 26 / 98 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05图形的变化 ☆4大考点概览 考点01轴对称与中心对称 考点02平移与旋转 考点03图形位似与相似 考点04锐角三角函数 考点01 轴对称与中心对称 1.(2026重庆十八中.二诊)请选出下列不同学科的图标中是轴对称图形的是() 2.(2026.重庆鲁能巴蜀中学.二模)下列音符图片是轴对称图形的是( %.○.与 3.(2026重庆字水中学.二模)在一些中国新能源汽车品牌的标志中，有的标志是轴对称图形.下面4个标 志中，可以看作是轴对称图形的是() D 4.(2026重庆京师实验学校.二模)下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是 ( A 5.(2026重庆巷口中学.二模)下列图案中，是轴对称图形的是( B 1/19 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 头 6.(2026重庆实验外国语学校.二模)在下列巴渝青铜纹样平面示意图中，不是轴对称图形的是() 7.(2026·重庆铜梁一中.二模)以下四种传统纹样中既是中心对称图形又是轴对称图形的是(） ※悬 8.(2026重庆一中.二模)下列图案中，是中心对称图形的是( A.X B.C D 9.(2026重庆巴蜀中学.二模)下列图案中，是中心对称图形的是( 10.(2026重庆西大附中.二模)下列图案中是中心对称图形的是() B D 11.(2026重庆大渡口.二模)下列几何图形中，是中心对称图形的是() 2/19 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B C. D 12.(2025·重庆八中.二诊)2.下列四种新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（) 考点02 平移与旋转 1.(2026重庆鲁能巴蜀中学.二模)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6,点D是BC边上一点（不 与端点重合)，连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转a得到线段AE,连接DE,交AC于点F. H G M D 图1 图2 图3 (1)如图1，a=60°，点D是BC的中点，求∠DFC的度数； (2)如图2，=90·，BD>CD,点M为BC的中点，点N为DF的中点，连接MN,用等式表示线段 MN与EF的数量关系并证明； (3)如图3，点P为AC边上一动点，连接BP并延长至点G,连接GC,∠BGC=45°，过A作AH‖CG交 BG于点H,请探究四边形AHCG的面积是否存在最大值？若存在，请直接写出四边形AHCG面积的最大值； 若不存在，请说明理由 2.(2026重庆一中.二模)在等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=a,点D为底边BC上一点，连接AD, 点E为线段AD上一点(AE>DE),将线段AE绕点A逆时针旋转a得到线段AF,连接BE,CF. 3/19 命学科网 www.zxxk.com 让敦与学更高效 图1 图2 图3 (1)如图1，若+∠FBC=90°，且B,E,F三点共线，求∠BAF的度数： (2)如图2，在AC上方作线段AG=BD,连接CG交AF于点H,已知∠CAG+∠ACB=180°，用等式表 示AE,HF,DE之间的关系，并证明： 3)如图3，若a=90·,E点与D点重合，AD=V6,连接DF,以DF为直角边在DF上方作Rt△DFG, ∠DFG=90°，且满足DF=2GF.当CG最大时，点P是直线BC上一动点，连接AP,将线段AP绕点P 顺时针旋转90°至PQ,当FQ最小时，求四边形CGFQ的面积. 3,(2026重庆京师实验学校.二模)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是平面内一点，连接 BD,点E为线段BD上一点， 图1 图2 图3 (1)如图1，若点D在AC边上，连接AE,将AE绕点A顺时针旋转90·至AF,连接BF,CE,若C、E、F 三点共线，∠BCF=2∠ABF,求∠BAF; (2)如图2，若点D在AC边上，连接AE、CE,点F为CE的中点，若∠BAE=∠CBE.证明： 2AF=BE+V2AE: (3)如图3，点D在△ABC外部，连接AD,CD,将△ACD沿AD所在直线翻折到△ADH,，且始终满足 B、D、H三点共线，点M为直线AB上一动点，连接CM,将CM绕点M逆时针旋转30°至MN,连接DN ,AB=4V2.当DN取最小值时，请直接写出△AND的面积. 4.(2026重庆巷口中学.二模)如图，在△ABC中，AB=AC=8,点D为平面内一点，连接CD,将 CD绕点D逆时针方向旋转得到线段DE, 4/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H 图1 图2 图3 (1)如图1，点D在线段AB上，∠BAC=90°，《=150°，点E恰好在CA的延长线上，延长ED交BC于 点F,求证：DF=CF; (2)如图2，∠BAC=60°，点D在△ABC内部，《=120°，点E在线段AC上，连接BE,G为BE的中 点，连接AD,AG,DG,用等式表示线段AD与DG的数量关系并证明： 3)如图3，∠BAC=60°，x=120°，连接BE,G为BE的中点，连接AD,BD,AG,DG,直线DE平 分∠ADG,将△BCD沿BC所在直线翻折到△ABC所在的平面内，得到△BCH,当点H到直线BC的 距离最大时，请直接写出DG的值. 5.(2026重庆西大附中.二模)在△ABC中，D为BC上一点. D 图1 图2 图3 (1)如图1，∠BAC=90°，AB=AC=BD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AB,连接 CE,DE,求∠CED的度数 (2)如图2，BD=AC,将线段AB绕点A逆时针旋转一定角度得到线段AE,连接BE交AC于点F, ∠ACB=2∠AEB,延长AE至点G,使得EG=EC,连接FG交CE于点H,若∠FHC=∠ABD且 ∠ADB+∠G=90°，用等式表示线段BD,AB,EH的数量关系并证明. 3)如图3，BD=CD=2√3，∠BAD=120°，将线段AC绕点A逆时针旋转120°得到线段AB,直线 ILBC于点C,F为直线1上的动点，将线段DF绕点D顺时针旋转90°得到线段DG,连接EG,当△BCE 面积取得最大值时，直接写出线段EG的最小值. 6.(2026重庆綦江未来联盟·二诊)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D为BC边上一动点， 连接AD,将AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE,连接AE, 5/19 高学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)如图，AH⊥BC,点D在CH上，且DH=2CD,AE与BC交于点G,若AB=6,求AE的长度； G E (2)如图，DE与AB交于点F,连接BE,在BA延长线上有一点P,∠PCA=∠EAB,求证： BC=V2AP+2BD: A (3)如图，DE与AB交于点F,且AB平分∠EAD,点M为线段AF上一点，点N为线段AD上一点，连接 DM,MN,点K为DM延长线上一点，将△BDK沿直线BK翻折至△BDK所在平面内得到△BQK, 连接DQ,在M,N运动过程中，当DM+MN取得最小值，且∠DKQ=45°时，请直接写出跳的值. B D 7.(2026重庆大渡口二模)在△ABC中，AB=AC. D 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠BAC=60°，将AC绕着点A逆时针旋转30°得到线段AD,连接CD,BD,求∠BDC的度数： (2)如图2，若∠BAC=90°，将AC绕着点A逆时针旋转a(0°<a<90)得到线段AD,连接CD,BD.点 E是CD的中点，连接AE交BD于F,用等式表示线段AF,BF,DF之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若∠BAC=120°，将AC绕着点A旋转得到线段AD,连接BD.当BD取最大值时，在直线AB上 取一点E,连接CE,将△CEB沿CE翻折到△ABC所在的平面内，得到△CEQ,连接DQ.当DQ取最 小值时，直接写出二的信， 6/19 高学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(2026重庆铜梁一中.二模)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是平面内一点，连接BD, 点E为线段BD上一点. 图1 图2 图3 (1)如图1，若点D在AC边上，连接AE,将AE绕点A顺时针旋转90°至AF,连接BF,CE,若C、E、F 三点共线，∠BCF=2∠ABF,求∠BAF; (2)如图2，若点D在AC边上，连接AE、CE,点F为CE的中点，若∠BAE=∠CBE.证明： 2AF=BE+V2 AE: (3)如图3，点D在△ABC外部，连接AD,CD,将△ACD沿AD所在直线翻折到△ADH,且始终满足 B、D、H三点共线，点M为直线AB上一动点，连接CM,将CM绕点M逆时针旋转30°至MN,连接DN ,AB=4y2.当DN取最小值时，请直接写出△AND的面积. 9.(2025重庆八中.二诊)过线段AB的端点B作射线1，使得射线1⊥AB,点C是射线1上一动点，连接 AC,将AC绕点A逆时针旋转至AD的位置，旋转角为a E D 图1 图2 备用图 (1)如图1，当C=90°时，过点D作DE⊥BA交BA的延长线于点E,连接CD.若BC=1,DE=2,求 CD的长： (2)如图2，当a=60°时，点F是BC延长线上一点，CF=2BC,连接DF.点G是AB上一点，连接CG .若∠ACG+60°=∠D,求证：AG=BG+V3BC: (3)当=60°时，作点A关于射线1的对称点A,连接AD交射线1于点H.取DH的中点K,连接CK, 直线AC与直线AD相交于点P.当△CHK是等腰三角形时，直接写出此时能的值。 7/19 高学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点03 图形位似与相似 1.(2026重庆巴蜀中学.二模)如图，△ABC与△DEF位似，点0是它们的位似中心，若△ABC的面积 为8，OA:OD=2:3,则△DEF的面积为() A.12 B.18 C.9 D.16 2.(2026:重庆十八中.二诊)如图，在平面直角坐标系中，△ADE与△ABC是位似图形，点A为位似中 心，满足S△4Bc:S△ADE=1:9,已知AC=5,则CE的长度为(） B E A.15 B.10 C.40 D.45 3.(2026.重庆一中.二模)如图，△ABC与△DEF是以点0为位似中心的位似图形，若0A:0D=1:2, △ABC的周长为2，则△DEF的周长为() Oe9 A.1 B.2 C.4 D.8 4.(2026重庆铜梁一中.二模)如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点0，且 OA:OD=1:2,△DEF的周长为8，则△ABC的周长为() D A.2 B.3 C.4 D.5 5,(2025重庆八中.二诊)如图，己知△ABC与△DEF位似，位似中心为O,且△ABC与△DEF的面 8/19 高学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 积之比是16：9，则AC:FD的值为() A A.6:4 B.4:3 C.4:7 D.9:5 6.(2026重庆一中.二模)如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE、BD交于点G,过点B作 BF⊥CE于点F,过点D作DH⊥BF,交BF的延长线于点H,连接AH,若脂=寺，则器的值为() E G H D A.172 40 ®. c.166 17 D.202 17 7.(2026重庆字水中学.二模)如图，正方形ABCD中，点F是对角线BD上一点，连接CF,将△BCF沿 直线CF翻折到正方形ABCD所在平面内，得到△BCF,B落在正方形内部，CB交BD于点G,延长 FB'交AB于点E,连接DB,若∠DEF=90°，则是为() A D B G B A.吉 B.号 c.2-1 D.2-V2 8.(2026·重庆大渡口二模)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙0上，∠ACB的平分线CD交⊙0于点D, 连接AD.已知AC=8,CD=7V2,则BC的长为 ,过点D作DE‖AB,交CB的延长线于点E ,则DE的长为 9/19 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E 9,(2026重庆铜梁一中.二模)如图，以AB为直径的⊙0与BC相切于点B,连接AC,以AC为边作菱形 ACDB,点B在边CD上，连接BB,AD,BE与AD交于点F,与⊙0交于点G.若A0=V5,AC=6.则 BD=,FG=· 01 考点04 锐角三角函数 1.(2026重庆十八中.二诊)如图，在边长为6的正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，CE延长线交 AB边于点H,已知CE=2EH,再过D作DF⊥CE于F,连接BF,G在DF上，且DG=CP,则器的值 为() 6 G D A.V2 B.5 C.2 D.5 2.(2025·重庆八中.二诊)如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE交CD于F,连接DE,CE.若 tan∠DAF=号，∠CEA=90°，则=的值为() 10/19 高学科网 www.zxxk.com 让敦与学更高效 A. 8.9 c 0腰 3.(2026重庆鲁能巴蜀中学.二模)如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC边上的一点，连接AE,将 △ABE沿直线AE翻折到正方形ABCD所在平面内，得到△AFE,连接DF,过点A作AG⊥DF交DF于 点G,过点G作GHLAE交AE于点H,延长GH交AB于点M.若BE=2,则器=() G M H B E A号 85 c. D.0 5 4.(2026.重庆铜梁一中.二模)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E在对角线BD上，且DE=2BE, 连接CE并延长，交AB边于H点，过D作DF⊥CE于F,连接BF.G为DF上一点，且DG=CP,则熙 的值为() E G A.V2 B.5 C.2 D.5 5.(2026重庆西大附中.二模)如图，在正方形ABCD中，点E在线段DC上，连接AE,BD相交于点F, 点G在AE的延长线上，连接DG,若GD=GP,tan∠AFB=4,则是的值为() D C A. B.417 c.34 17 6 D.1 6.(2026重庆鲁能巴蜀中学.二模)如图，以矩形ABCD的边AB为直径的O与CD边相切，连接AC交 11/19 高学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ⊙O于点E,过点E作EF⊥AB交⊙O于点F,过点O作OH⊥AE交AD的延长线于点H,连接FH交 ⊙0于点G,连接EG,若CE=V5,则⊙0的半径为一；EG的长度为 H B 7.(2026重庆一中.二模)如图，四边形ABCD是菱形，点0为AD边上的一点，AB与⊙O相切于点E, AD与⊙0相交于点F,连接BD并延长与⊙0相交于H、G两点，连接CG.若AF=1,OD=2, AE=3,则0F的长度为 CG的长度为 G E 8.(2026重庆西大附中.二模)如图，平行四边形ABCD的顶点AD在⊙0上，⊙0与BC相切于点E,延 长CD交⊙O点F,连接AF,EF,EF交AD于点G,∠ADF的平分线交EF于点H,连接AH,ED, ∠AHD=120°，BC=10V3,则⊙0的半径为 ;若EF=19,则GH的长度为 G 9.(2026重庆实验外国语学校二模)如图，在⊙0中，AD为直径，延长AD至点C,过点C作⊙O的切 线，切点为E,AB⊥CE交CE延长线于点B,同时交⊙0于点G,连接DB,若tanBAC=青，CD=号 ，则DB的长度为 12/19 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D G 10.(2026重庆十八中.二诊)如图，在△ABC中，点D是BC边上一点（不与端点重合），连接AD D 图1 图2 图3 (1)如图1，AC=AB,∠CAD=2∠BAD,线段AC的垂直平分线NK交AD于点N,连接CN,若 CD=ND,求∠BAD的度数： (2)如图2，若点D是BC的中点，将线段AD绕点A逆时针旋转至AE,使得∠EAD=∠BAD,连接DE.以 BC为斜边在BC上方作Rt△BCF,且满足∠EAD=2∠BCF,连接EF,交AD的延长线于点G.用等式 表示线段AE、DG、AB的数量关系并证明； (3)如图3，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,点D是BC的中点，点M是直线AB上一动点，连接DM, CM,将DM绕点M顺时针旋转90°得到MH,连接AH,点R是直线CM上一动点，连接AR.在点M的 运动过程中，当AH取得最小值时，在平面内将△AHR沿直线AR翻折得到△AHR,连接DH·在点R的 运动过程中，直接写出器的最大值. 11.(2026重庆字水中学.二模)1.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E在直线BC上，连接 AE,过点C作CD⊥AB于点D,AE交CD于点F. D D 图1 图2 图3 (1)如图1，若点E在线段BC上，AE平分∠CAB,CB=10,BE=6,求CF的长度： (2)如图2，若点E在线段BC上，∠CEA=45°，延长BC至点G,连接FG,满足∠AFD=∠AFG,请用 13/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 等式表示线段CG,AC和BC的数量关系并证明. (3)如图3，若tan∠ABC=号，将△ACE沿AE翻折至△ABC所在平面得到△ACE,连接BC,点P为 BC的中点，连接DP,在E点运动过程中，当DP取最大值时，直接写出此时器的值. 12.(2026·重庆巷口中学.二模)小明和小红在某公园中游玩.如图，公园中的五个景点A、B、C、D、E在 同一平面内.景点B在景点A的东偏南60°方向4千米处，且位于景点C正北方向的2√3千米处，景点D位 于景点A的西南方向，景点D、E、C位于东西方向上且CE=6千米.（参考数据： V2心1.41，V5≈1.73，V6≈2.45) 北 457 609 西 →东 南 D (1)求AD的长度（结果精确到0.1千米）； (2)若小明从景点A出发沿A-D-E的路线去景点E,与此同时小红从景点B出发，沿B-A-E的路线去景点E ,已知小红的平均速度为0.5千米/分钟.若两人同时到达点E,请比较谁的平均速度更快？请通过计算说 明. 13.(2026重庆京师实验学校二模)某景区使用无人机对观光热气球进行航拍.如图，A,B,C,D位于同 一平面，B在A的正东方向2千米处，C在B的南偏东30°方向，且在A的南偏东60°方向，D在C的正 西方向，且在A的南偏西30°方向.某一时刻，位于A的航拍无人机需要沿着A-D-C的路线前往C处进 行拍摄.（参考数据：V2≈1.41，V3≈1.73，V7≈2.65） 北 西 →东 B 30° 1609 30° 南 D (1)求AC的长度（结果保留根号）： (2)航拍无人机从A出发的同时，观光热气球从B出发沿着BC飞往C处继续游览，无人机的速度是热气球速 14/19 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 度的3倍.无人机的镜头仅在与热气球的直线距离不超过1千米时，能够保障清晰拍摄.请问热气球飞离B 处多少千米时，无人机的镜头能开始清晰拍摄热气球（结果保留一位小数）？ 14.(2026·重庆鲁能巴蜀中学.二模)如图是同一平面内四座海岛的示意图，海岛B在海岛A的西北方向8海 里处，海岛D在海岛B的正东方向，且在海岛A的北偏东60·方向.海岛C在海岛B的东北方向，且在海岛 D的北偏西30°方向.（参考数据：V2≈1,41,5≈1.73,6心2.45） 北 西 东 南 0 30° B D 50. 4 (1)求海岛B和海岛D之间的距离（结果保留根号）； (2)某一时刻，渔船甲从C岛出发，沿某方向匀速直线行驶，同时，渔船乙从D岛出发，向正西方向匀速直线 行驶.渔船甲的速度与渔船乙的速度之比为3：2，一段时间后两船相遇.相遇时渔船乙行驶了多少海里（结 果保留小数点后一位)？ 15.(2026重庆一中.二模)为打造“15分钟便民生活圈”，某社区新建了A、B、C、D、E五个服务点，分 别是社区服务中心A,健身广场B,便民菜站C,快递驿站D和儿童游乐区E,如图，D在A的正东方向，B 在A的东北方向100米处，B在C的正西方向，A在C的南偏西60°方向，E在A的南偏东15°方向，且在D 的西南方向.（参考数据：、 2≈1.414，V6≈2.449) 60 45 15 45 F (1)求健身广场B和便民菜站C之间的距离（结果保留根号）； (2)某日，小聪从社区服务中心A出发，沿A→C路线去便民菜站C买菜；同时，小明从儿童游乐区E出发沿 15/19 高学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E→D路线去快递驿站D取快递.己知小明的速度是小聪的2倍，当小明到A的距离恰好是小聪到A的距离 的3倍时，求小聪到C的距离（结果保留一位小数） 16.(2026重庆字水中学.二模)重庆万州三峡科技馆于2026年元旦正式对外开放，其造型独特的“双鱼”设 计吸引了大批市民打卡参观，并且它是重庆首座“近零能耗”公共建筑.周末，小明和小华相约去三峡科技馆 参观.如图：A、B、C、D、E四个参观点在同一平面内，点A在点B的正北方向300米处，点E在点B的 东北方向，点C在点B的正东方向，点D在点E的正南方向，且在点C的北偏东30°方向100米处，点E在点 A南偏东75°方向.（参考数据：V2心1.41，V3≈1.73，V6心2.45） (1)求B、C两参观点之间的距离（结果保留根号）： (2)小明沿A→B→C的路线进行参观，小华沿B→E→D→C的路线进行参观.两人同时出发，己知小明 与小华的速度比是√2：2.求小明离出发地A多少米时，两人之间的直线距离第一次达到100√3米.（结果 保留小数点后一位)？ 17.(2026重庆十八中.二诊)文旅局举办“盛春赏景”打卡活动，以鼓励市民多进行室外运动，参加此次活动 的斐斐同学将园博园路线绘制如下：打卡点B在打卡点A的正南方向180米处；打卡点B在打卡点C的北偏 西60°方向；打卡点D在打卡点C的正东方，同时D在A的东南方向；打卡点E在D的正北方360米处，且 恰好位于A的北偏东75·方向.（参考数据：V2≈1.41，V5≈1.73，V6≈2.45） 北 》东 南 459 60 (1)求打卡点B、C之间的距离；（结果保留整数） (2)打卡活动中，小郭从打卡点D出发，沿线段DA向A匀速奔跑；小周从打卡点E出发，沿某方向匀速直线 16/19 高学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 奔跑.两人同时出发，小郭与小周的速度之比为4：3，并在线段DA上某处相遇.当两人相遇时，小郭跑了 多少米？（结果精确到0.1） 18.(2026重庆巴蜀中学.二模)为了保证农作物的正常生产，需要定期对农田喷洒农药.利用无人机喷洒 农药，能快速覆盖大面积农田，也能减少浪费与环境污染.如图，某农户操作甲、乙两架无人机从A点出 发到B,C,D三点处对三块农田喷洒农药.AB,C,D在同一平面内，B点位于A点的北偏西75·方向22千 米处，C点位于A点的东北方向，D点分别位于A点的正北方向、B点的东北方向和C点的北偏西15。方向 上.（参考数据：V6≈2.45，V5心1.73,2心1.41） 北 D 西 个东 南 15 45 7545C A (1)求A点和D点之间的距离；（结果保留小数点后一位） (2)甲无人机先沿AB方向到点B处喷洒农药，乙无人机先沿AC方向到点C处喷洒农药.甲、乙两架无人机 在两点处喷洒完农药后，再次同时分别从B、C出发沿着BD、CD方向到点D处喷洒农药，乙无人机的速 度是甲无人机速度的2倍，请问当甲、乙两架无人机在到达D点前的距离恰好为2√2千米时，乙无人机距 离C点多少千米？（结果保留小数点后一位） 19.(2026重庆綦江未来联盟二诊)如图，某海警基地位于A处，在A的正北方向有一小岛B,在A的北 偏东30°方向24海里处有一海上补给中心C,且C在B的东南方向，点D是AC中点.（参考数据： V2≈1.41,5≈1.73，V6≈2.45) 309 D A (1)求A与B相距多少海里？（结果精确到1海里） 17/19 高学科网 www.zxxk.com 让敦与学更高效 (2)监测发现，在点B处有一可疑船只，它正沿正西方向匀速直线航行.此时在点D处的一艘海警船立即出 发，先匀速直线航行到达点C进行补给（补给时间忽略不计），再以原速沿北偏西方向匀速直线航行，两船 相遇于E处.己知海警船的速度是可疑船只的3倍，那么相遇时海警船航行了多少海里？（结果精确到1 海里) 20.(2026重庆铜梁一中.二模)春风有信，花开有期，某公园设置了如图所示A、B、C、D四个观景点， 这四个观景点在同一平面内，点D在点A的正东方向，点C在点D的南偏东45°方向，且在点A的南偏东60° 方向，点B在点C的正西方向，且在点A的南偏西30方向，CD=3V2千米.（参考数据：V2≈1.41， V5≈1.73，V6≈2.45) 60 45 (1)求AB的长度（结果保留根号）： (2)若小张和小李分别从观景点A、B出发，小张以2千米/小时的速度从观景点A步行到观景点B,小李从观 景点B以4千米/小时的速度跑到观景点C,在运动过程中，小张出发多少千米后恰好与小李相距2W3千米？ (结果保留一位小数) 21.(2026重庆实验外国语学校·二模)如图，在海平面上有一处国家海鱼养殖基地△ABC,基地设有三个 岗哨A、B、C;已知岗哨A在岗哨B的北偏西30°方向60海里处，岗哨C在岗哨A的正东方向，且岗哨 B在岗哨C的南偏西30°方向.现有一小岛D在岗哨A的东北方向，且在岗哨C的北偏西15°方向，（参 考数据：V2N1.41,V5心1.73，V6≈2.45，V10≈3.16) 北 D 西、 →东 南 309 30° (1)求小岛D到岗哨C的距离.（结果保留根号） 18/19 命学科网 www.zxxk.com 让敦与学更高效 (2)有一艘偷鱼船从小岛D出发，沿D→A方向匀速行驶，同时，一艘巡逻船从岗哨C沿C→D方向开始匀 速行驶去监察偷鱼船，若偷鱼船与巡逻船的速度比为2：1，当巡逻船与偷鱼船的距离第一次达到40海里时 求此时偷鱼船离小岛D的距离是多少？（结果精确到0.1） 19/19的学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 专题05图形的变化 ☆4大考点概览 考点01轴邮对称与中心对称 考点02平移与旋转 考点3图形位似与相似 考点04锐角三角函数 考点01 轴对称与中心对称 1.C 2.B 3.A 4.D 5.B 6.C 7.B 8.A 9.B 10.B 11.C 12.A 考点02 平移与旋转 1.(1)1050 (2)EF=2MN, 证明：在BC上取一点K,使BK=CD连接EC,KF, E K M D :BC=BK+KC=CD+BD, :KC=BD, 1/12 命学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 由旋转得AD=AE, :∠DAE=90°，∠BAC=90°， AB=AC.∠ACB=∠B=45°， .∠BAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ·.△BAD兰△CAE(SAS), .BD=CE,∠ACE=∠B=45°， 又∠ACB=45°， :∠DCE=∠BCA+∠ACE=90·, ∴∠KCF=∠ECF=45o, 又：KC=BD,BD=CE, :KC=CE 在△CKF和△CEF中， CK=CE ∠KCF=∠ECF CF=CF :△CKF≌△CEF(SAS), :KF=EF, MN=KF :.MN=EF MN长度恒为EF的一半，即EF=2MN; 318+182 2.(1)90 (2)AE=2HF+DE. 证明：延长AF至点K,使得AK=AD :∠BAC=∠EAF=L 即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAK ·∠BAD=∠CAK 命学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 在△ABD和△ACK中 AB=AC ∠BAD=∠CAK AD=AK ·△ABD≌△ACK(SAS) H D 则BD=CK,∠ABD=∠ACK 又：GA=BD, GA=CK 又由(1)知∠ABC=∠ACB 且∠CAG+∠ACB=180· 则∠CAG+∠ACK=180· GACK ·∠K=∠GAK 在△GAH和△CKH中 ∠GAH=∠K ∠AHG=∠KHC AG=CK ·△GAH≌△CKH(AAS) 则AH=HK AE=AF-AH+HF -HK+HF =HF+FK+HF =2HF+FK AD=AK AE=AF ÷AD-AE=AK-AF即DE=FK 则AE=2HF+DE 33+V2 J114 命学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 3.(130° (2)证明：如图，延长AF至点G,使得AF=FG,连接CG,过点A作AH⊥AE,交BD的 延长线于点H, .H 由(1)可得△ABC是等腰直角三角形， :∠ABC=∠ABE+∠CBE=45°， ∠BAE=∠CBE, ∴∠BAE+∠ABE=45°， :∠AEH是△ABE的外角， ∠AEH=∠BAE+∠ABE=45°， 'AH⊥AE, ·△AEH是等腰直角三角形， ∴AE=AH,∠EAH=90°， 在直角△AEH中，EH=VAE2+AH2=VAE2+AE2=N2AE, :点F为CE的中点， :EF=CF, 在△AEF和△GCF中， AF-FG ∠AFE=∠GFC EF=CF .△AEF≌△GCF(SAS), AE=CG,∠EAF=∠CGF, AE‖CG, ∠CAE+∠ACG=180°， :∠CAE+∠BAH=∠BAC+∠EAH=180°， 4/12 命学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 ∠BAH=∠ACG, AE=AH, :.AH=CG, 在△ABH和△CAG中， AB=AC ∠BAH=∠ACG AH-CG .△ABH≌△CAG(SAS), :BH=AG, AG=2AF,EH=2AE. :.2AF=BH=BE+EH BE+V2AE: 3)S△4DN=4V5-6 4.(1)由旋转可知DC=DE,∠EDC=150°， :∠DCE=∠DEC=15°， ∠FDC=∠DCE+∠DEC=30°， :∠BAC=90°，AB=AC, ∴∠ACB=45°， ∴∠BCD=∠ACB-∠DCE=30·, .∠FDC=∠DCF, :DF=CF, (2)AD=2GD,延长DG至M,使GM=GD,连接AM,BM, 由旋转可知：DE=DC,∠CDE=120°， ∠DEC=∠DCE=30o, ·G为BE的中点， :BG=EG, 5/12 命学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 在△BMG和△EDG中， MG=GD ∠MGB=∠EGD BG=EG △BMG≌△EDG(SAS), :BM=DE,∠MBG=∠GED, :BM=DC :∠BEC=∠ABG+∠BAE,∠BEC=∠GED+∠DEC, ∴∠ABG+∠BAE=∠GED+∠DEC. 即∠ABG+60°=∠GED+30°： ∠ABG+30°=∠GED=∠MBG, 又：∠MBG=∠ABG+∠ABM, ∴∠ABM=30°， ∠ABM=∠DCE, 在△ABM和△ACD中， BM=DC ∠ABM=∠DCE AB-AC ·.△ABM≌△ACD(SAS), :AM=AD,∠BAM=∠DAC, :∠DAC+∠BAD=60°， ∠BAM+∠BAD=60°， ∴∠MAD=60°， ·△AMD是等边三角形， .AG⊥GD,∠ADG=60°， ∠DAG=30°， .:AD=2GD 3DG2=8-4V5 5.(1)22.5° (2N2 BD=AB+EH 33+4V3 命学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 6.【答案】(1)AE=2V13 (2)如图2，过点D作DH⊥BC交AB于点H, N B D 图3 :∠BAC=90°，AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=NAB2+AC=V2AB; :DH⊥BC, ∴∠BDH=90 ∴∠BHD=90°-45°=45°=∠DBH, .BD=DH,∠AHD=180°-450=135°， :BH=VBD2+DH2=V2 BD, :将AD绕着D点逆时针方向旋转90°得到DE, AD=DE,∠ADE=90°=∠BDH, ∴∠ADH=∠EDB, 在△ADH和△EDB中， DH=BD ∠ADH=∠EDB AD-ED :.△ADH≌△EDB(SAS), ∴AH=BE,∠DBE=∠DHA=135°， ∠ABE=∠DBE-∠DBH=90°， :∠CAP=180°-∠BAC=90°， .∠ABE=∠CAP, 在△BAE和△ACP中， I∠ABE=∠CAP AB=CA ∠BAE=∠ACP :.△BAE≌△ACP(ASA), 7/12 命学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 AP =BE, :AP=BE=AH, :.AB=AH+BH=AP+2BD 2AB=2AP+2BD.BC=2AP+2BD e9 7.【答案】(1)30 (2)BF-DF=2AF 3W5-1 8.(130 (2)如图，延长AF至点G,使得AF=FG,连接CG,过点A作AH⊥AB,交BD的延长线 于点H, C=.H B G 由(1)可得△ABC是等腰直角三角形， .∠ABC=∠ABE+∠CBE=45°， :∠BAE=∠CBE, ∠BAE+∠ABE=45°， :∠AEH是△ABE的外角， ∴∠AEH=∠BAE十∠ABE=45°， :AH⊥AE ∴△AEH是等腰直角三角形， ∴AE=AH,∠EAH=90°， 在直角△AEH中，EH=VAE2+AH7=VAE2+AE=V2AB, 8/12 命学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 :点F为CE的中点， :EF=CF, 在△AEF和△GCF中， AF=FG ∠AFE=∠GFC EF=CF .△AEF≌△GCF(SAS), ·AE=CG,∠EAF=∠CGF, AEI CG, ∠CAE+∠ACG=180°， :∠CAE+∠BAH=∠BAC+∠EAH=180°， ·∠BAH=∠ACG, AE=AH, .AH=CG, 在△ABH和△CAG中， AB=AC ∠BAH=∠ACG AH-CG ·.△ABH≌△CAG(SAS), :BH=AG, AG=2AF,EH=2AE. :.2AF=BH=BE+EH=BE+V2AE: 3)S△4DN=45-6 9.(1)CD=V10 (2)如图，过点C作∠BCM=60·,交AB延长线于点M,过点A作AN‖CM交CG延长线 于点N, 9/12 的学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 D G 由旋转知AC=AD,∠DAC=60°， :△ACD是等边三角形， ·AC=CD,∠ADC=∠ACD=60°， ∠ADF=∠CDF+∠ADC=∠CDF+60°， :∠ACG+60°=∠ADF, ∴∠ACG=∠CDF, AN CM, ∴.∠N=∠GCM=∠GCB+∠BCM=∠GCB+60°， ∠N=∠GCB+∠ACD=180°-（∠ACG+∠DCF)=180°-（∠CDF+∠DCF)=∠DFC, ·.△ACN≌△CDF(AAS), ∴AN=CF, :∠BCM=60°，射线1⊥AB, ∠M=30°， :CM=2BC, CF=2BC, :AN=CF=2BC=CM, :∠N=∠GCM,∠AGN=∠MGC, :.△AGN≌△MGC(AAS), :.AG=GM=BG+BM, :BM=CM2-BC2=3BC. .AG=BG+3BC: 10/12 学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 ®骆-99 考点03 图形位似与相似 1.B 2.B 3.C 4.C 5.B 6.D 7.B 8.6 号 9.2 314 14 考点04 锐角三角函数 1.A 2.D 3.D 4.A 5.A 6.5 8y65 13 7.4 73 8.10 4号 9.317 2 10.(1)∠BAD=12 (2)AB-AE+2DG B)1013+235 39 11.(1)4: (2)CG=BC-AC 上上1上∠ 多学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 a锅 12.（19.8千米： (2)小明的平均速度更快 13.(125 (2)1.6千米 14.1)4V2+V6海里 (2)6.6海里 15.(1)(50V6-50W2)米 (2)112.4米 16.(1100+50W3米 (2)71.0米 17.(1)208米 (2)374.4米 18. (13.5千米 (21.2千米 19.(1)AB=33海里 (2)相遇时海警船航行了40海里 20.(1)AB的长度为2V5千米. (2小张出发2.0千米后恰好与小李相距2√3千米 21.(120W6海里 (29.9海里，见详解 12/12