专题04 图形的性质（5大考点）（重庆专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦图形性质五大核心考点，汇编重庆多校二模真题，注重几何直观与推理能力，基础题与综合题梯度分布。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择/填空|约30题|相交线与平行线结合直尺三角板摆放、凸透镜折射等情境；圆综合考查圆周角、切线及阴影面积计算|情境化设计，如街道拐角、正方形翻折等生活实例| |解答题|约15题|三角形综合含动态探究（如动点翻折）、尺规作图结合平行四边形性质证明|多问分层，如三角形综合题设置作图、证明、计算三梯度，贴合中考命题趋势|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04图形的性质 ☆5大考点概览 考点01相交线与平行线 考点02三角形综合 考点03四边形综合 考点04圆综合 考点05尺规作图 考点01 相交线与平行线 1.(2026重庆大渡口二模)如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘l1‖12，三角板ABC中 30°角的顶点B在l1上，直角顶点C在l2上，三角板与直尺边缘形成的∠1=20°，则∠2= 2.(2026重庆十八中.二诊)如图，AD‖BE,若∠1=57°，∠2=132°，则∠C的度数为一 B 3.(2026重庆鲁能巴蜀中学.二模)如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束 经过光心0的光线平行，点F为焦点.若∠1=156°，则∠2的度数为一 1/22 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026重庆一中.二模)如图，将直尺与三角尺放在一起，若∠1=70°，则∠2的度数是 45 5.(2026重庆字水中学.二模)如图，直线l1,12,13交于一点，直线l41,若∠1=124°，∠2=88°， 则∠3= 6.(2026重庆京师实验学校二模)如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC=137°，则拐角∠BCD的 大小是一 A C B 7.(2026重庆巴蜀中学.二模)如图，已知∠B=∠BCD,∠A=30°，则∠DCE的度数为 C万 8.(2026重庆西大附中.二模)如图，直线ab,若∠1=75°，∠2=40°，则∠3的度数是 b 2/22 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(2026重庆实验外国语学校.二模)如图，ABCD,E为平面内一点，连接EA、EC,EC交AB于 点F.若∠A=50°，∠C=70°，则∠E的度数是 B D 10.(2025重庆八中.二诊)如图，已知ABCD,BE平分∠ABC交直线CD于点E,若∠E=23°，则 ∠BCD的度数为 A B E D 11.(2026重庆巷口中学.二模)如图，MN‖PQ,等腰直角三角板ABC两底角的顶点A,C分别在MN, PQ上.若∠CAN=88°，则∠BCP的度数是() M B A.45° B.44o C.43° D.42° 12.(2026重庆铜梁一中，二模)己知矩形ABCD,用一块直角三角板按如图所示的方式摆放，若 ∠1=21°，则∠2的度数为() 309 A.21° B.39° C.51° D.69° 13.(2026重庆綦江未来联盟二诊)如图，直线ab,∠1=65°，∠2=45°，则∠3的度数为() 3/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 b A.55° B.60° C.70° D.80° 考点02 三角形综合 1. (2026重庆綦江未来联盟.二诊)如图，∠ABC=∠DCB,添加下列一个条件，不能判定 △ABC≌△DCB的是() B A.AC=DB B.∠BAC=∠CDBC.AB=DC D.∠ACB=∠DBC 2.(2026重庆京师实验学校.二模)数学爱好者小陶发现，△ABC内角∠BAC的角平分线AD和外角 ∠BCH的角平分线CD交于点D,连接BD,他猜想BD平分外角∠GBC. B CF (1)用尺规完成以下基本作图：过点D作AG的垂线交AG于点M.(不说明理由，只保留作图痕迹)； (2)在(1)所作的图形中，求证：∠GBD=∠CBD 小陶的思路是这样的，过点D作DE⊥BC于点E,过点D作DF⊥AH于点F,由角平分线的性质得 DM=DF,DE=DF,等量代换可得DM=DE,再证明∠GBD和∠CBD这两个角所在的三角形全等得 出结论，请根据这个思路补全下面的证明过程。 证明：.AD是∠BAC的角平分线，DM⊥AG,DF⊥AH, .①_ .CD是∠BCH的角平分线，DE⊥BC,DF⊥AH, ∴.DE=DF」 ② 4/22 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .'DM⊥AG,DE⊥BC, ∴.∠DMB=∠DEB=90°， 在Rt△DMB和Rt△DEB中， d ∴.Rt△DMB≌Rt△DEB(④). ∴.∠GBD=∠CBD. 由此他得到结论： 三角形一个内角的角平分线和另一个外角的⑤_的交点与三角形第三个顶点所连线段平分此外角、 3.(2026重庆巴蜀中学，二模)在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D是AB边上一点（不与端 点重合)，连接CD, H D 图1 图2 图3 (1)如图1，AF平分∠CAB交BC于点F,连接DF,若DF⊥AB,AC=4,求BF的长： (2)如图2，作AE⊥CD于点E,F为AE延长线上一点，连接DF,满足∠BDF+∠BDC=180°，CG平 分∠ACB交AF于点G,在AC左侧作∠HCA=∠ACD,并截取CH=AF,连接AH,请猜想AH,AG, DF三条线段之间的数量关系并证明： (3)如图3，AC=10V2,F是BC边的中点，M为AC边上一动点，BD=/2CM,G为直线AB上一动点， 连接GM,BM,DF,当DF+2BM取最小值时，将△AMG沿MG所在直线翻折到△ABC所在平面内 得△A1MG,连接CA1,以CA1为斜边在CA1的右侧构造等腰直角△A,CN,AN所在直线交直线AB 于点K,连接DN,当DN取最小值时，请直接写出KN的长度. 4.(2026重庆实验外国语学校二模)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC中点，点E、F是直线 BC上的两个动点，点F在点E的左侧，连接AF、AE 5/22 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DE D(E B 图1 图2 图3 (1)如图1，若点D与点E重合，∠B=60°，FC=CD,AB=2,求AF的长： (2)如图2，当点E在线段CD上时，延长AD至点G,连接GC,使得∠AGC=2∠CAE+∠EAD, EF=AG,连接GE并延长交AC于点H,若∠CGH=∠FAE,试猜想线段AF与GH的数量关系，并证 明； 3)如图3，若∠ABC=75°，AB=2,点H是BC下方一点，连接BH,∠HBC=45°，BH=6,点G是 射线AD上的动点，点E是射线CD上的动点，使得AG=2DE,连接EG,将线段EG绕点E顺时针旋转 30°得到线段EM,连接HM,当HM取最小值时，在HM左侧取点N,连接NM、HN,使得 ∠HNM=90°，在射线MN上有点P,使得PM=3NH,连接AP,请直接写出AP的最大值. 考点03 四边形综合 1. (2026重庆京师实验学校二模)如图，正方形ABCD的边长为8，点E是AD边上的中点，连接BE, 将△ABE沿直线BE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△FBE,延长BF交DC于点G,连接CF,则 △CFG的面积为() A.24 8.122 24V2 5 5 C. 5 0.2 2.(2026重庆巴蜀中学二模)正方形ABCD的边长为6，点E是边AB的三等分点，连接CE,将△BCE 沿CE翻折到正方形ABCD所在的平面内得△FCE,点B的对应点为点F,连接DF,点G为BC边上的一 点，且CG=BE,连接DG分别交CE,CF于点M,N,点H为DF的中点，连接HM,HN,则△HMN 的面积为() 6/22 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A O H E o. c.310 0.30 10 5 3.(2026重庆巷口中学二模)如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE=1,连接AE, 过点B作AE的垂线交DC于点F,点G在线段DF上，连接BG.若∠GBF=∠CBF,则线段GF的长为 () G BL∠ 10 A.3 c D. 4.(2026重庆实验外国语学校二模)如图，在正方形ABCD右侧有一点E,连接 AE、CE、DE、BD,AE分别交BD、CD于点R、G.若BD=26,CE=2V2,∠AED=45°， 则△DFG的面积为() G B 品 c. 0.13/13 16 240 5.(2026重庆大渡口·二模)如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，∠EBC的平分线BF交CD于 EG 点F,连接AF交BE于G.若DF=4,CF=8,则BG的值为（) 7/22 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F 。篇 6.(2026重庆实验外国语学校，二模)如图，在正方形ABCD右侧有一点E,连接 AE、CE、DE、BD,AE分别交BD、CD于点R、G.若BD=26,CE=22,∠AED=45°， 则△DFG的面积为() A B c D.13/13 16 240 7.(2026重庆大渡口二模)如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，∠EBC的平分线BF交CD于 点F,连接AF交BE于G.若DF=4,CF=8,则C BG的值为() E D B A局 0.25 144 8.(2026重庆綦江未来联盟·二诊)如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，DF⊥AE交AB于 点B以FD,FE为邻边构造平行四边形DFEP,连接AP、CP,若=， EC2，则A等于<) 8/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E 8.229 c.0 29 10 9.(2026重庆铜梁一中.二模)若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是 考点04 圆综合 1. (2026重庆西大附中.二模)如图，点A,B,C在⊙O上，∠ACB=45°，则∠AOB的度数是 () A.90° B.80° C.60° D.45° 2.(2026重庆巴蜀中学.二模)如图，点A,B,C,D在⊙O上，若∠B=40°，AC=DC,则∠ACD 的度数为() B O● A.100 B.80 C.140° D.120° 3.(2026重庆十八中.二诊)如图，在⊙O中，AB是直径，点C、D在⊙O上，∠CBA=32°，则 ∠CDB的度数是() 9/22 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.52° B.48° C.42° D.58° 4.(2026重庆一中二模)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠B=75°，∠D的度数是 () O B A.75° B.85° C.95° D.105° 5.(2026重庆字水中学.二模)如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠C=50°，则∠AOB的度数为() B A.120° B.100° C.90° D.50 6.(2026重庆京师实验学校.二模)如图，点A,B,C在⊙O上，点B在劣弧AC上，连接OA,OC, CB,作射线AB,已知∠AOC=106°，则∠CBD的度数是() B D A.53° B.106° C.74° D.70° 7.(2026重庆巷口中学，二模)如图，线段AB与⊙O相切于点A,连接BO并延长，交⊙O于点C,连接 OA,AC.若∠B=40°，则∠C的度数是() 10/22 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.35 B.30° c.25° D.20 8.(2026重庆实验外国语学校二模)如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的一条直径，若 ∠ACD=31°，AB=AD,则∠BAC的度数为() D O C A.62 B.59° C.49° D.31° 9.(2026重庆大渡口二模)如图，BD是⊙O的直径，点A,C在⊙O上，点B是AC的中点，若 ∠AOB=40°，则∠BDC的度数是() D B A.20° B.25° C.30° D.35o 10.(2026重庆鲁能巴蜀中学二模)如图，AB是⊙O的直径，CD垂直平分OB交⊙O于C,D两点， ∠ABC=60°，CD=4√3，则图中阴影部分的面积为() B D 8 A.4π 43π B. C. D. 83t 11/22 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.(2026重庆巷口中学.二模)如图，在边长为4的等边△ABC中，以BC中点O为圆心，BC为直径作 半圆，分别交AB,AC于点D,E,连接OD,OE,则图中阴影部分的面积为 B 12.(2026重庆京师实验学校.二模)以AB为直径的⊙O与AC相切于点A,弦DE⊥AB于点H连接CD 并延长交AB于点F、交⊙O于点G,连接OD.若∠DOH=2∠C,OD=6,AH=2.则DE=, CG=_ B G A 13.(2026重庆字水中学.二模)如图，线段AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点F,点C,D均在⊙O上， 以CD为边作平行四边形ACDE,∠CDE=120°，连接OE交⊙O于点G,连接FG.若AB=8,则FG= E G D B 14.(2026重庆綦江未来联盟.二诊)4.如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,连接 CO,BD.直线PD与⊙O相切于点D,PH⊥AB于点H,交BD于点M,交⊙O于点N.若 CD=BE=12,AB=3PM,BM= 12/22 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E ⊙ D 15.(2026重庆十八中.二诊)如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,连接CO,BD, 直线PD与⊙O相切于点D,PH⊥AB于点H,交BD于点M,交⊙O于点N.若CD=BE=8, AB=3PM,则BM=一· HO B M 16.(2026重庆巷口中学.二模)6.如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，D为AB延长线上一 点，连接CD,满足∠BCD=∠CAD.过点C作AB的垂线，交⊙O于点E,交AB于点F,连接AE并延 长，与CB的延长线交于点G.若BD=2V5,CD=4/5,则AB的长度为，EG的长度为. G 17.(2026重庆巴蜀中学.二模)7.如图，BC为⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B,连接AC交⊙O于 点D,点E在⊙O上，BD=DE,连接BE交AC于点F,连接CE,以AB,AF为一组邻边作平行四边形 ABHF,边HF交BC于点1，若CE=5,DE=3 则⊙0的半径为 ,IH的长度为 CE 2 13/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 考点05 尺规作图 1.(2026重庆十八中.二诊)学习过程中，轩轩发现：四边形ABCD是平行四边形，CF平分∠BCD交 AD于点F,若过点D作PC的垂线，交FC于点M,交BC于点N,连接FN,则必有四边形FNCD为菱形 为验证此规律的正确性，轩轩的思路：在图中，过点D作FC的垂线DM,再通过证明全等得出结论，请 完成以下作图与填空： B (1)用直尺和圆规在图的基础上过点D作FC的垂线DM,交FC于点M,交BC于点N,再连接FN.(只 保留作图痕迹) (2)求证：四边形FNCD为菱形（请补全下列过程）， 证明：.四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD‖BC, ①， :CF平分∠BCD, ∴.∠FCD=∠FCB ②， ∴DF=DC. :DN⊥FC, ∴.∠DMC=∠NMC=90° .∴.在△DCM和△NCM中 ,, ∴.△DCM≌△NCMASA, ∴③. 14/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.DF=NC. 又.DF‖NC, ④ 又.DN⊥FC, ∴.四边形FNCD是菱形 2.(2026重庆字水中学.二模)如图，平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于 点E. D (1)用尺规完成以下基本作图：过点D作AC的垂线DF,交AC于点F.(只保留作图痕迹) (2)在(1)问所作的图形中，若AE=DF,求证：四边形ABCD为矩形.（请完成下面的填空） 证明：，AE⊥BD,DF⊥AC, .∠AEO=90°，∠DFO=90°， .① 在△AEO和△DFO中， b, .△AEO≌△DFO AAS, ∴.③ ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AC=2AO,BD=2DO, ∴.④， .四边形ABCD是矩形： 3.(2026重庆鲁能巴蜀中学.二模)如图，在△ABC中，AB=AC,BD是△ABC的角平分线. 15/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)实践与操作：作∠ACB的角平分线，交AB于点E(尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹)； (2)应用与证明：求证：AD=AE 4.(2026重庆一中二模)在学习了尺规作图后，小研发现，通过作角平分线和垂线，可以解决“过角内 部一点构造等腰三角形”的问题，并与她的同伴进行了交流.现在，请你作为她的同伴，根据她的想法和 思路，完成下面的作图和填空： 力。 B (1)构造垂线，已知射线OM为∠AOB的角平分线，点P为∠AOB内部一点，小研过点P作OM的垂线， 垂足为点D,分别与OA、OB相交于点C、E,则△COE一定为等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）. (2)利用三角形全等证明她的猜想， 证明：.OM为∠AOB的角平分线 ① .∵② .∴.∠CDO=∠EDO=90° 在△COD和△EOD中 6 ∴.△COD≌△EOD|ASA ∴.④ ∴.△COE是等腰三角形. 5.(2026重庆巴蜀中学.二模)学习了角平分线的性质后，小蜀发现在如图所示的四边形ABCD中， ABCD,AD与BC不平行，AB⊥BC,若点E为BC边上的中点，AE平分∠BAD,则有DE平分 16/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ADC.其证明思路是利用角平分线的性质和全等得出结论.请根据小蜀的思路完成以下作图和推理填 空 (1)用尺规完成以下作图：过点E作AD的垂线EF,垂足为点F(不写作法，保留作图痕迹)： (2)利用三角形全等证明他的猜想。 证明：，'AE平分∠BAD,EB⊥AB,EF⊥AD, .-,∠EFD=90, E为BC的中点，∴.EB=EC, - .AB⊥BC,∴∠B=90, .AB‖CD,.∴.∠C+∠B=180°， ∴.∠C=90° 在Rt△EFD和Rt△ECD中， ∴.Rt△EFD≌Rt△ECD|HL, .DE平分∠ADC 6.(2026重庆巷口中学.二模)学习了尺规作图和特殊四边形的性质后，小凌进行了深入的研究，他发现 了在平行四边形中构造矩形的一种作法，并与他的同伴进行交流.现在你作为他的同伴，请根据他的想法 与思路，完成以下作图和填空： (1)第一步：构造矩形. 如图，在口ABCD中，E,F分别是AD,BC边上的点，且AE=CF,连接BE,DF,小凌过点E作DF 的垂线，垂足为M.请你利用尺规作图，过点F作BE的垂线，垂足为N,则四边形EMFN即为矩形不写 作法，保留作图痕迹. 17/22 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)第二步：利用三角形全等证明他的猜想. 证明：.四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD‖BC,∠A=∠C,AB=CD 在△ABE与△CDF中，乙 ∴.△ABE≌△CDF(SAS), .∴.∠AEB=∠CFD ,AD‖BC ∴.∠CFD=∠ADF, ① ∴ ②】 'EM⊥DF,FN⊥BE, ∴.∠EMF=∠ENF=90, ③ ∴.∠EMF=∠ENF=∠MEN=∠MFN=90°， ∴四边形EMFN为矩形. 7.(2026重庆西大附中.二模)小红学习了平行四边形和尺规作图后，进行了拓展性研究，她发现了矩形 的一种作图方法.以下是她的探究过程，请完成其中的作图和推理填空： 如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC所在直线与BD相交于点O. A (1)用尺规完成以下作图：在射线OA上截取OE=OB,连接EB,ED,在CD右侧作∠CDF=∠EBA交 射线OC于点F,连接BF.(不写作法，保留作图痕迹) (2)求证：四边形EBFD是矩形 证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.OB=OD,①· ∴.∠ABO=∠CD0, ② 18/22 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠ABO+∠EBA=∠CDO+∠CDF 即：∠EBO=∠FDO 在△EBO和△FDO中， 乙， ∴.△EBO≌△FDO ASA: .∴.OE=OF ④ 'OB=OE, ∴.OB=OD=OE=OF. ∴.BD=EF ∴四边形EBFD是矩形 8.(2026重庆綦江未来联盟.二诊)学习过程中，小胡发现：四边形ABCD是平行四边形，CF平分 ∠BCD交AD于点F,若过点D作FC的垂线，交PFC于点M,交BC于点N,连接FN,则必有四边形 FNCD为菱形.为验证此规律的正确性，小胡思路是：在下图中，过点D作FC的垂线DM,再通过证明 全等得出结论.请完成以下作图与填空： D (1)用直尺和圆规在下图的基础上过点D作FC的垂线DM,交FC于点M,交BC于点N,再连接FN. (只保留作图痕迹) (2)求证：四边形FNCD为菱形请补全下列过程)， 证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD BC, .∠DFC=∠FCB, .CF平分∠BCD, ①， ②， ..DF=DC .DN⊥FC, 19/22 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.ㄥDMC=∠NMC=90 ∴.在△DCM和△NCM中， 乙 .△DCM≌△NCM(ASA), ③ .DF=NC. 又.DF‖NC, ∴④ 又，DN⊥FC, .四边形FNCD是菱形 9.(2026重庆大渡口二模)学习了特殊平行四边形和尺规作图后，小明进行了拓展性探究，他发现了在 平行四边形中构造菱形的一种作法，并与他的同伴进行了交流.现在你作为他的同伴，请根据他的想法与 思路，完成以下作图和填空. (1)第一步：构造对角线的垂直平分线 小明连接对角线AC(如图)，利用尺规作图作出AC的垂直平分线EF,分别交AD于E,交BC于 F,EF交AC于O.连接AF,EC,四边形AFCE即为菱形（不写作法，保留作图痕迹）· (2)第二步：利用三角形全等证明他的想法. 证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD‖BC ∴.∠DAC=∠ACB, ,EF是AC的垂直平分线， .∴.AO=CO,AF=CF」 在△AOE和△COF中， ∴.△AOE≌△COF(ASA). ② 又.AECF, 20/22 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.四边形AECF是平行四边形. ③ .四边形AECF是菱形. 10.(2026重庆铜梁一中.二模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,CE平分 ∠ACD,交BD于点E. D E (1)尺规作图：作∠BAC的角平分线，交BD于点F,连接AE,CF;(不写作法，保留作图痕迹) (2)求证：四边形AFCE为平行四边形. 证明：，四边形ABCD为平行四边形， ∴.AB‖CD,① ∴.② .:AF平分∠BAC,CE平分∠ACD, ∠CAF=号∠BAC,∠ACE=3∠ACD, ∴.③ ∴.△AOF≌△COE ASA, ④ .四边形AFCE为平行四边形. 11.(2026重庆实验外国语学校.二模)1.已知四边形ABCD是平行四边形，AB<AD, (1)请利用尺规作图作∠BCD的角平分线交AD于点E,在CB上截取CF=CD,连接EF;(要求保留作图 痕迹，不写作法)： (2)求证：四边形CDEF是菱形.（请补全下面的证明过程） 证明：，四边形ABCD是平行四边形， 21/22 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.AD‖BC,.① .CE平分∠BCD, ∴.∠BCE=∠DCE, .② ED=CD. 又.CF=CD ∴.③ 又，④ “.四边形CDEF为平行四边形， 又.CF=CD, ∴.平行四边形CDEF是菱形. 12.(2025重庆八中，二诊)如图，在平行四边形ABCD中，E为线段DB延长线上的一点，连接AE.请 完成以下作图和填空： B E (1)在平行四边形ABCD的外部，用尺规作∠DCF=∠BAE,且CF交直线BD于点F,连接CE,AF. (2)在(1)问的条件下，求证：四边形AECF是平行四边形， 证明：，四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,ABCD,.①， :∠ABD+∠ABE=180°，∠CDB+∠CDF=180°，._②__， 在△ABE和△CDF中，乙，△ABE≌△CDF ASA, ._③，∠AEB=∠CFD,∴._④一，∴四边形AECF是平行四边形. 22/22命学科网 www.zxxk.com 专题04图形的性质 ☆5大考点概览 考点01相交线与平行线 考点2三角形综合 考点03四边形综合 考点04圆综合 考点05尺规作图 考点01 相交线与平行线 1.40° 2.75° 3.24° 4.65 5.36° 6.1370 7.30° 8.35° 9.200 10.469 11.C 12.B 13.C 考点02 三角形综合 1.A G M 2.(1) CF (2DDM=DF;②DM=DE;③BD=BD;④HL;⑤角平 1/6 让教与学更高效 分线 命学科网 3. (1BF=8-4y2 (2)AH-AG+DF 3KN=265 5 4.(12y7 (2)AF=2GH 3)⑧1+9 2 考点03 四边形综合 1.A 2.A 3.B 4.A 5.C 6.A 7.C 8.C 9.9 考点04 圆综合 1.A 2.A 3.D 4.D 5.B 6.A 7.C 8.B 9.A 10.C www.zxx k.com 让 2/6 致与学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.25 12.45 20W6 3 13.2万 14.4y5 5.5 16.65 8 17.25 3V5 考点05 尺规作图 F 1.(1) B N CFC的垂线DM即为所作 (2)①∠CFD=∠FCB,②∠CFD=∠DCF,③DC=NC,④四边形DCNF是平行四边形 2.(1) (2AE⊥BD,DF⊥AC, ∠AE0=90°，∠DF0=90°， ∴∠AE0=∠DF0=90°， 在△AE0和△DF0中， 1∠A0E=∠DOF ∠AEO=∠DFO AE-DF :.△AE0≌△DF0(AAS), A0=D0, :四边形ABCD是平行四边形， :AC=2A0,BD=2D0, 3/6 西学科网 www.zxxk.com :AC=BD, :四边形ABCD是矩形. E 3.(1)B (2).AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, :BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线， :∠ABD=克∠ABC,∠ACE=专∠ACB, ∠ABD=∠ACE 在△ABD和△ACE中， I∠ABD=∠ACE AB=AC ∠A=∠A :△ABD≌△ACE(ASA), ·AD=AE 4.(1)如图，△C0E即为所求 M B (2)①∠A0M=∠B0M;②PD⊥OM;③0D=OD: 5.(1) 4/6 让教与学更高效 ④0C=0E 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)EF=EB,EF=EC,ED=ED,∠FDE=∠CDE 6.(1) 答图 (2①∠AEB=∠ADF,②BEDF,③∠MEN=∠MFN=90 7.(1) (2)ABII CD;∠CDF=∠EBA;∠EOB=∠FOD;四边形EBFD是平行四边形 y D B 8.【答案】(1) (2)①∠DCF=∠FCB;②∠DFC=∠DCF;③DC=NC;④四边形FNCD为平行四边 形. B 9.(1) (2)0A=OC,AE=CF,ACL EF. E 10.(1)B (2①A0=CO;②∠BAC=∠ACD;③∠CAF=∠ACE;④FO=EO 11.(1) 5/6 西学科网 www.zxxk.com 让教与 (2四边形ABCD是平行四边形， ·ADIBC ①∠DEC=∠BCE :CE平分∠BCD, ·∠BCE=∠DCE, .②∠DEC=∠DCE,ED=CD, 又：CF=CD, .③CF=DE 又④DECF, :.四边形CDEF为平行四边形， 又：CF=CD, .平行四边形CDEF是菱形， D 12.(1)/ (2四边形ABCD是平行四边形， :AB CD,ABIICD, .①∠ABD=∠CDB, :∠ABD+∠ABE=180°，∠CDB+∠CDF=180°， .②∠ABE=∠CDF, I∠ABE=∠CDF 在△ABE和△CDF中， AB=CD N∠BAE=∠DCF :△ABE≌△CDF(ASA), .③AE=CF,∠AEB=∠CFD, .④AECF, :.四边形AECF是平行四边形. 6/6 学更高效 专题04 图形的性质 5大考点概览 考点01相交线与平行线 考点02三角形综合 考点03四边形综合 考点04圆综合 考点05尺规作图 相交线与平行线 考点01 1．（2026·重庆大渡口·二模）如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，三角板中角的顶点B在上，直角顶点C在上，三角板与直尺边缘形成的，则________． 【答案】/40度 【分析】由两直线平行，内错角相等可得，再利用平角求解即可． 【详解】解：，，， ， ， ． 2．（2026·重庆十八中·二诊）如图，，若，，则的度数为_____． 【答案】 【分析】根据平角的定义求，再根据平行线的性质得，最后根据 三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．（2026·重庆鲁能巴蜀中学·二模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线平行，点F为焦点．若，则的度数为________． 【答案】24° 【分析】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 由于平行，，已知，可得的度数，再根据两直线平行，内错角相等，可得的度数． 【详解】解：∵一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线平行，点为焦点， ， ， ∴， ． 故答案为：． 4．（2026·重庆一中·二模）如图，将直尺与三角尺放在一起，若，则的度数是________． 【答案】 【详解】解：如图， ∵， ∴， 即， ∴． 5．（2026·重庆字水中学·二模）如图，直线，，交于一点，直线，若，，则______． 【答案】 【分析】由平行线的性质可得，然后通过角度和差，平角定义即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（2026·重庆京师实验学校·二模）如图，街道与平行，拐角，则拐角的大小是_______． 【答案】/137度 【分析】本题考查平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等． 由两直线平行，内错角相等，即可得到． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 7．（2026·重庆巴蜀中学·二模）如图，已知，，则的度数为______________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 8．（2026·重庆西大附中·二模）如图，直线，若，，则的度数是_________． 【答案】 【分析】由平行线的性质可得，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴． 9．（2026·重庆实验外国语学校·二模）如图，，E为平面内一点，连接交于点F．若，，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质求出，根据三角形外角的性质可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 10．（2025·重庆八中·二诊）如图，已知，平分交直线于点，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可得，根据角平分线的性质可得，则，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 11．（2026·重庆巷口中学·二模）如图，，等腰直角三角板两底角的顶点A，C分别在，上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得，再根据等腰直角三角形的底角为即可求解． 【详解】解：， ． 在等腰直角三角板中，， ． 12．（2026·重庆铜梁一中·二模）已知矩形，用一块直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，平行线公理推论，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 如图，过点M作，根据平行线的性质与矩形的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点M作， ∵矩形， ∴， ∵， , ∴， 由题意可知， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 13．（2026·重庆綦江未来联盟·二诊）如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和为． 根据两直线平行同位角相等得出图中的同位角的度数，再根据三角形内角和求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴． 三角形综合 考点02 1．（2026·重庆綦江未来联盟·二诊）如图，，添加下列一个条件，不能判定的是    （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定方法，，，，，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、在和中，，，，不能得出，故A符合题意； B、在和中， ， ∴，故B不符合题意； C、在和中， ， ∴，故C不符合题意； D、在和中， ， ∴，故D不符合题意． 2．（2026·重庆京师实验学校·二模）数学爱好者小陶发现，内角的角平分线和外角的角平分线交于点，连接，他猜想平分外角． (1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线交于点．（不说明理由，只保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图形中，求证：． 小陶的思路是这样的，过点作于点，过点作于点，由角平分线的性质得，等量代换可得，再证明和这两个角所在的三角形全等得出结论．请根据这个思路补全下面的证明过程． 证明：是的角平分线，， ① ． 是的角平分线，， ． ② ． ， ， 在和中， （④ ）． ． 由此他得到结论： 三角形一个内角的角平分线和另一个外角的⑤ 的交点与三角形第三个顶点所连线段平分此外角． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④；⑤角平分线 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理． （1）根据要求作出图形； （2）利用角平分的性质可得，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：是的角平分线，，， ， 是的角平分线，，， ． ． ，， ， 在和中， ， ． ． 由此他得到结论： 三角形一个内角的角平分线和另一个外角的角平分线的交点与三角形第三个顶点所连线段平分此外角． 故答案为：①；②；③；④；⑤角平分线． 3．（2026·重庆巴蜀中学·二模）在中，，，点是边上一点（不与端点重合），连接． (1)如图1，平分交于点，连接，若，，求的长； (2)如图2，作于点，为延长线上一点，连接，满足，平分交于点，在左侧作，并截取，连接，请猜想，，三条线段之间的数量关系并证明； (3)如图3，，是边的中点，为边上一动点，，为直线上一动点，连接，，，当取最小值时，将沿所在直线翻折到所在平面内得，连接，以为斜边在的右侧构造等腰直角，所在直线交直线于点，连接，当取最小值时，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用是角平分线，先证明，得到，再利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可； （2）延长，利用等腰三角形三线合一的性质，得到，通过直角，利用等量代换得到，从而通过证明， 再利用，通过等量代换，得到，等角对等边得到，再在内构造全等三角形，证明，通过线段的等量代换，即可推出； （3）在下方以为边构造的相似三角形，从而将转化为，从而确定D的位置，以为斜边构造等腰直角三角形，利用手拉手旋转模型证明相似三角形，推出点N的运动轨迹为圆，利用点圆最值确定点N的位置，最后通过勾股定理解方程求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长，交于点M，在左侧取点N，使得，，即是等腰直角三角形，连接，，， ∵平分， 又是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 又是等腰直角三角形， ∴， ∴，即在线段上， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴； （3）解：如图，取点P，使得，，过点F作，交直线于点Q， ∵是等腰直角三角形，， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴当，，在同一条直线上时，取得最小值，最小值为， ∵点F是中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，根据题意，作图如下，同时以为斜边，向右作等腰直角三角形，连接，，延长，交于点R， 由等腰直角三角形的性质，同前文证明过程，可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点N在以O为圆心，8为半径的圆上， ∴当点N在上时，取得最小值，此时示意图如下： ∵， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 对所在图形单独分析，示意图如下，作，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， 又， 即， 解得， ∴． 4．（2026·重庆实验外国语学校·二模）在中，，点D为中点，点E、F是直线上的两个动点，点F在点E的左侧，连接、． (1)如图1，若点D与点E重合，，，，求的长； (2)如图2，当点E在线段上时，延长至点G，连接，使得，，连接并延长交于点H，若，试猜想线段与的数量关系，并证明； (3)如图3，若，，点H是下方一点，连接，，，点G是射线上的动点，点E是射线上的动点，使得，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，当取最小值时，在左侧取点N，连接、，使得，在射线上有点P，使得，连接，请直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】（1）过点作交于，根据斜边中线定理可推得是等边三角形，根据等边三角形的性质求解即可； （2）在上截取，连接，构造，从而推得，根据条件进行角度计算可得，，延长至点使得，连接，可得，从而证得，即可得证； （3）在上找一点使得，连接得到直线，则构造了，从而可以确定在直线上运动，当取最小值时，，在以为直径的圆上运动，利用锐角三角函数计算可得，，过点作交直线于点，构造，从而得到，且可以确定则点在以为直径的圆上，当，，共线时可以找到最大值，根据勾股定理即可计算． 【详解】（1）解：过点作交于， ∵，点D为中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 延长至点使得，连接，在上截取，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 则； （3）解：∵，点D为中点， ∴， ∵， ∴，， 如图，在上找一点使得，过作直线，得到直线， ∵将线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 则在直线上运动，当取最小值时，， ∵， ∴在以为直径的圆上运动，，， 过点作交直线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则点在以为直径的圆上，如图连接并延长与交于，此时为的最大值，过作垂足为， ∵，， ∴，， ∴， 则， 在中，， 则． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，锐角三角函数，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，能够灵活使用全等三角形判定定理，构建圆寻找最值是解题的关键． 四边形综合 考点03 1．（2026·重庆京师实验学校·二模）如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据正方形的性质和翻折的性质证明，设，利用勾股定理列出方程求解，然后利用底边的比求三角形的面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是边上的中点， ∴， 由翻折的性质得，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴ ∴， ∴． 2．（2026·重庆巴蜀中学·二模）正方形的边长为，点是边的三等分点，连接，将沿翻折到正方形所在的平面内得，点的对应点为点，连接，点为边上的一点，且，连接分别交，于点，，点为的中点，连接，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接与交于点，过点作交于点，根据折叠的性质得出，，推得，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质得出，，推得，根据全等三角形的判定和性质得出，，结合直角三角形的性质得出，根据等腰直角三角形的性质得出，，结合三角形内角和定理求得，根据等腰直角三角形的性质推得，根据勾股定理和三角形的面积公式求出，根据勾股定理求出，，求得，根据全等三角形的判定和性质得出，即可求解． 【详解】解：连接与交于点，过点作交于点，如图： 根据题意可得，，，， ∵将沿翻折得到， ∴，， ∴， ∴， 又∵点为的中点， ∴，， 故， 又∵， ∴， 即； ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， 则 ∴， ∴， 故是等腰直角三角形， ∴， ∴． 在中，， ∵， 即， 解得：， 即； 在中，， ∴， 则； ∵，，， ∴， ∴， 故的面积为． 3．（2026·重庆巷口中学·二模）如图，正方形的边长为，为边上一点，，连接，过点作的垂线交于点，点在线段上，连接．若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，可证，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，根据等角对等边可知，根据可得，根据，可证，根据相似三角形的对应边比例可以求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为， 四边形为正方形， ，， ， ，， ， 在和中，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 4．（2026·重庆实验外国语学校·二模）如图，在正方形右侧有一点E，连接分别交于点F、G．若，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接．由，可证A，C，E，D四点共圆，从而，利用勾股定理求出，设，则，证明求出，根据求出，再证明，求出，求出，进而可求出的面积． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是正方形， ∴，，． ∴． ∵， ∴， ∴A，C，E，D四点共圆， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（2026·重庆大渡口·二模）如图，在正方形中，点在边上，的平分线交于点，连接交于．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交延长线于点，过点作于点，连接，先由得，进而得，再根据证明，进而得，在、和中，根据勾股定理列出式子，解得，最后由得即可． 【详解】解：如图所示，延长交延长线于点，过点作于点，连接， ， ， 即，解得， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 在、和中， ， ， 即， 整理得，， ， ， ， 故选：C． 6．（2026·重庆实验外国语学校·二模）如图，在正方形右侧有一点E，连接分别交于点F、G．若，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接．由，可证A，C，E，D四点共圆，从而，利用勾股定理求出，设，则，证明求出，根据求出，再证明，求出，求出，进而可求出的面积． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是正方形， ∴，，． ∴． ∵， ∴， ∴A，C，E，D四点共圆， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．（2026·重庆大渡口·二模）如图，在正方形中，点在边上，的平分线交于点，连接交于．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交延长线于点，过点作于点，连接，先由得，进而得，再根据证明，进而得，在、和中，根据勾股定理列出式子，解得，最后由得即可． 【详解】解：如图所示，延长交延长线于点，过点作于点，连接， ， ， 即，解得， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 在、和中， ， ， 即， 整理得，， ， ， ， 故选：C． 8．（2026·重庆綦江未来联盟·二诊）如图，在正方形中，点E是边上一点，交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接、，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证，得；再由平行四边形的性质，推出且．过P作，构造 “一线三直角” 模型，证，得、．设，结合表示出各线段，用勾股定理算出和，最后化简比值． 【详解】 过点P作，交延长线于点H， ∵ 正方形， ∴，． ∵ 平行四边形， ∴，． ∵，， ∴，即． ∵，， ∴． 在和中， ​ ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ​ ∴， ∴，． ∵，设，则，， ∴，， ∴． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵中，，，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ​​． 故选：C． 【点睛】考查正方形性质、全等三角形判定、平行四边形性质、勾股定理、等腰直角三角形性质．构造 “一线三直角” 模型，通过两次全等将线段关系转化． 9．（2026·重庆铜梁一中·二模）若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 【答案】9 【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数． 【详解】∵正多边形的一个内角是140°， ∴它的一个外角是：180°-140°=40°， ∵多边形的外角和为360°， ∴这个正多边形的边数是：360°÷40°=9． 故答案为：9． 圆综合 考点04 1．（2026·重庆西大附中·二模）如图，点，，在上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 2．（2026·重庆巴蜀中学·二模）如图，点，，，在上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·重庆十八中·二诊）如图，在中，是直径，点、在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧或等弧所对的圆周角相等求出，再结合直径所对的圆周角是直角求出． 【详解】解：和所对的弧都是弧， ， 所对的是直径， ， ． 4．（2026·重庆一中·二模）如图，四边形为的内接四边形，，的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的内接四边形对角互补求解即可． 【详解】∵四边形为的内接四边形， ∴ ∵ ∴． 5．（2026·重庆字水中学·二模）如图，为的外接圆，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 为的外接圆，， ∴根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍， ． 6．（2026·重庆京师实验学校·二模）如图，点A，B，C在上，点B在劣弧上，连接，，，作射线，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出所对的圆周角，根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，在优弧上取一点E，连接，， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， 又 ， ． 7．（2026·重庆巷口中学·二模）如图，线段与相切于点，连接并延长，交于点，连接，．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质得到，可知，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵与相切于点， ∴， ， 和是同弧所对的圆周角和圆心角， ． 8．（2026·重庆实验外国语学校·二模）如图，是四边形的外接圆，是的一条直径，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由是的直径可得，由得，可得，再根据直角三角形两锐角互余可得结论． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（2026·重庆大渡口·二模）如图，是的直径，点，在上，点是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理；连接，利用弧中点得到等弧，进而得到对应圆心角相等，再根据圆周角定理求解圆周角的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：A． 10．（2026·重庆鲁能巴蜀中学·二模）如图，是的直径，垂直平分交于，两点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，根据垂径定理，勾股定理计算圆的半径，利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，，设、的交点为， ∵是⊙的直径，垂直平分交⊙于C，D两点， ∴，，， ∴四边形是菱形，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴． 11．（2026·重庆巷口中学·二模）如图，在边长为4的等边中，以中点为圆心，为直径作半圆，分别交，于点，，连接，，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查求阴影部分的面积，等边三角形的判定和性质，等边三角形的面积公式（为等边三角形的边长）的运用．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．先证明和是等边三角形，然后根据计算即可． 【详解】解：是等边三角形， 是等边三角形， 同理可得，是等边三角形． 是的中点， ． 12．（2026·重庆京师实验学校·二模）以为直径的与相切于点A，弦于点H连接并延长交于点F、交于点G，连接．若，，．则______，______． 【答案】 【分析】（1）利用垂径定理以及勾股定理求解； （2）连接，过点作的延长线于点，得出四边形为平行四边形，得出相等的边和角，证明得出，证明得出对应边的关系，设，表示出相关线段的长度，利用勾股定理列出方程求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， 由勾股定理得， 由垂径定理得； ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∴， 如图，连接， ∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作的延长线于点， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 由勾股定理得，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 由勾股定理得． 13．（2026·重庆字水中学·二模）如图，线段为的直径，于点，点，均在上，以为边作平行四边形，，连接交于点，连接．若，则________． 【答案】 【分析】首先根据平行四边形的性质和已知角度求出，进而在中，求出；利用圆周角定理或三角函数求出的长，然后根据平行四边形的性质求出的长，在中，求出，最后通过构造直角三角形，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 如图，连接， ∵为直径，， ∴， ∵， 在中，， ， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 在中，， ∴， ∵点G在上， ∴， 过点G作于点H， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 14．（2026·重庆綦江未来联盟·二诊）4．如图，在中，为的直径，弦于点E，连接．直线与相切于点D，于点H，交于点M，交于点N．若，，则__________． 【答案】 【分析】设的半径为r，则，，根据垂径定理可得，在中，利用勾股定理可得r的值，可求出的值，从而得到，连接，过点D作于点K，设交于点L，再利用勾股定理可得，，再结合切线的性质可得，再由，可得，，根据，可得，则，即可求解． 【详解】解：设的半径为r，则，， ∵为的直径，弦，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ∴， 如图，连接，过点D作于点K，设交于点L， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 15．（2026·重庆十八中·二诊）如图，在中，为的直径，弦于点，连接，．直线与相切于点，于点，交于点，交于点．若，，则_____． 【答案】 【分析】设的半径为r，则，，根据垂径定理可得，在中，利用勾股定理可得r的值，可求出的值，从而得到，连接，过点D作于点K，设交于点L，再利用勾股定理可得，，再结合切线的性质可得，再由，可得，，根据，可得，则． 【详解】解：设的半径为r，则，， ∵为的直径，弦，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ∴， 如图，连接，过点D作于点K，设交于点L， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴，即， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 16．（2026·重庆巷口中学·二模）6．如图，内接于，是的直径，为延长线上一点，连接，满足．过点作的垂线，交于点，交于点，连接并延长，与的延长线交于点．若，则的长度为______，的长度为______． 【答案】 【分析】连接，利用圆周角定理和等腰三角形的性质可证，设，则，利用勾股定理可得，即得，，，又由垂径定理可得垂直平分，进而可证，得到，，利用三角形的面积得，得到，，，即得，再利用三角形内角和定理可推出，得到，最后根据正切的定义解答即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 是的直径， ， ∴， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ∴，， ∴， 是的直径，弦， 垂直平分， ， ， ， ，， ∵， ∴， 解得， ， ， ， ， ，， ， ， ， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 17．（2026·重庆巴蜀中学·二模）7．如图，为的直径，与相切于点，连接交于点，点在上，，连接交于点，连接，以，为一组邻边作平行四边形，边交于点，若，，则的半径为__________，的长度为___________． 【答案】 【分析】连接、，根据题意，设，，则，根据切线的定义得出，根据等边对等角得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，，根据圆周角定理推得，根据相似三角形的判定和性质得出，结合勾股定理求出，，根据圆周角定理推得，根据相似三角形的判定和性质求出，求出直径，即可求出的半径；根据锐角三角函数的定义分别求出，，求得，根据平行四边形的性质得出，，根据锐角三角函数的定义即可求出的值． 【详解】连接、，如图： 根据题意，设，，则， ∵与相切于点，∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； 在中，， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， 故， 解得； ∴， 故的半径为． 则，，， 在中，，， 在中，， 即， 解得：， ， 即， 解得：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在中，， 即， 解得：． 尺规作图 考点05 1．（2026·重庆十八中·二诊）学习过程中，轩轩发现：四边形是平行四边形，平分交于点，若过点作的垂线，交于点，交于点，连接，则必有四边形为菱形．为验证此规律的正确性，轩轩的思路：在图中，过点作的垂线，再通过证明全等得出结论，请完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规在图的基础上过点作的垂线，交于点，交于点，再连接．（只保留作图痕迹） (2)求证：四边形为菱形（请补全下列过程）． 证明：四边形是平行四边形， ， ①， 平分， ， ②， ． ， 在和中 ，， ， ③． 又， ④． 又， 四边形是菱形 【答案】(1)作图如下： 的垂线即为所作 (2)①，②，③，④四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，作垂线（尺规作图），全等三角形的判定与性质等知识． （1）以点D为圆心，以合适长度为半径画弧，并交于于点H、G，再分别以点H、G为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长，交于点M，交于点N，连接； （2）根据题干的思路作答即可． 【详解】（1）作图见答案； （2）解析略 2．（2026·重庆字水中学·二模）如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E． (1)用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，交于点F．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，若，求证：四边形为矩形．（请完成下面的填空） 证明：∵，， ∴，， ∴①______， 在和中， ， ∴， ∴③______， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴④______， ∴四边形是矩形； 【答案】(1)作图见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）以点D为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，分别以该两点为圆心，大于该两点距离的一半为半径在下方画弧，两弧交于一点，最后连接点D和该点，与交点F，则点F为的垂足； （2）利用已知条件证明，得到，再结合平行四边形的性质证得，从而得证结论． 【详解】（1）解：如图所示，垂线即为所求： （2）证明：∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形． 3．（2026·重庆鲁能巴蜀中学·二模）如图，在中，是的角平分线． (1)实践与操作：作的角平分线，交于点（尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)应用与证明：求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）以点为圆心，任意长为半径作弧，与、相交，分别以交点为圆心，大于两个交点之间距离的一半为半径作弧，交于一点，过点和两弧的交点作射线，交于点； （2）由等边对等角，结合角平分线的定义，可得，证明，即可证得结论． 【详解】（1）解：如图，为的角平分线． （2）证明：∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 4．（2026·重庆一中·二模）在学习了尺规作图后，小研发现，通过作角平分线和垂线，可以解决“过角内部一点构造等腰三角形”的问题，并与她的同伴进行了交流．现在，请你作为她的同伴，根据她的想法和思路，完成下面的作图和填空： (1)构造垂线，已知射线为的角平分线，点为内部一点，小研过点作的垂线，垂足为点，分别与、相交于点、，则一定为等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）． (2)利用三角形全等证明她的猜想． 证明：为的角平分线 ①________ ②________ 在和中 ④________ 是等腰三角形． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)①；②；③；④． 【分析】（1）根据尺规作图垂线的方法即可作图； （2）证明即可． 【详解】（1）略 （2）证明：为的角平分线 在和中 是等腰三角形． 5．（2026·重庆巴蜀中学·二模）学习了角平分线的性质后，小蜀发现在如图所示的四边形中，，与不平行，，若点为边上的中点，平分，则有平分．其证明思路是利用角平分线的性质和全等得出结论．请根据小蜀的思路完成以下作图和推理填空． (1)用尺规完成以下作图：过点作的垂线，垂足为点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)利用三角形全等证明他的猜想． 证明：平分，，， ，， 为的中点，， ， ，， ，， ， 在和中， ， ． 平分． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）以点为圆心，大于点到的距离为半径画弧，使弧与交于点，点，再分别以点，点为圆心，大于一半的长度为半径画弧，两弧相交于左侧的点，连接交于点，则垂线即为所求； （2）根据角平分线的性质可得，再由等量代换可得，再结合直角三角形的全等条件证明全等，由此可得，即可证明． 【详解】（1）解：过点作的垂线，垂足为点，如图所示： （2）证明：平分，，， ，， 为的中点，， ， ，， ，， ， 在和中， ， ． 平分． 6．（2026·重庆巷口中学·二模）学习了尺规作图和特殊四边形的性质后，小凌进行了深入的研究，他发现了在平行四边形中构造矩形的一种作法，并与他的同伴进行交流．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)第一步：构造矩形． 如图，在中，，分别是，边上的点，且，连接，，小凌过点作的垂线，垂足为．请你利用尺规作图，过点作的垂线，垂足为，则四边形即为矩形不写作法，保留作图痕迹． (2)第二步：利用三角形全等证明他的猜想． 证明：四边形为平行四边形， ． 在与中， ， ． ， ， ___________①___________， ___________②___________． ， ， ∴___________③___________， ， ∴四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③ 【分析】（1）根据题意过点作的垂线，垂足为，即可求解； （2）先证明，再证明，即可得出四边形为矩形． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求 （2）证明：四边形为平行四边形， ． 在与中， ， ． ， ， ， ． ， ， ∴， ， ∴四边形为矩形． 7．（2026·重庆西大附中·二模）小红学习了平行四边形和尺规作图后，进行了拓展性研究，她发现了矩形的一种作图方法．以下是她的探究过程，请完成其中的作图和推理填空： 如图，四边形是平行四边形，对角线所在直线与相交于点． (1)用尺规完成以下作图：在射线上截取，连接，，在右侧作交射线于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形是矩形． 证明：∵四边形是平行四边形， ， ① ． ． ∵ ② ． ． 即：． 在和中， ， ． ． ∴ ④ ． ， ． ． ∴四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)；；；四边形是平行四边形 【分析】（1）根据作图步骤即可作图； （2）先证明，即可证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，． ． ∵． ． 即：． 在和中， ， ． ． ∴四边形是平行四边形． ， ． ． ∴四边形是矩形 8．（2026·重庆綦江未来联盟·二诊）学习过程中，小胡发现：四边形是平行四边形，平分交于点，若过点作的垂线，交于点，交于点，连接，则必有四边形为菱形．为验证此规律的正确性，小胡思路是：在下图中，过点作的垂线，再通过证明全等得出结论．请完成以下作图与填空：    (1)用直尺和圆规在下图的基础上过点作的垂线，交于点，交于点，再连接．（只保留作图痕迹） (2)求证：四边形为菱形请补全下列过程． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ① ， ∴ ② ， ∴． ∵， ∴ ∴在和中， ∴（）， ∴ ③ ． ∴． 又∵ ， ∴ ④ 又∵， ∴四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)①∠；②；③；④四边形为平行四边形． 【分析】（1）根据尺规作垂线，作于点，交于点即可； （2）先证 ，从而得．进而证四边形为平行四边形．最后再由，即可证明结论成立． 【详解】（1）解：如图所示，    （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴在和中， ∴（）， ∴． ∴． 又∵ ， ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：①；②；③；④四边形为平行四边形． 【点睛】本题主要考查了尺规作垂线、角平分线的定义、全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定以及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 9．（2026·重庆大渡口·二模）学习了特殊平行四边形和尺规作图后，小明进行了拓展性探究，他发现了在平行四边形中构造菱形的一种作法，并与他的同伴进行了交流．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． (1)第一步：构造对角线的垂直平分线． 小明连接对角线（如图）．利用尺规作图作出的垂直平分线，分别交于，交于交于．连接，四边形即为菱形（不写作法，保留作图痕迹）． (2)第二步：利用三角形全等证明他的想法． 证明：四边形是平行四边形， ． ， 是的垂直平分线， ，． 在和中， （ASA）． ___________② 又， 四边形是平行四边形． ___________③ 四边形是菱形． 【答案】(1)作图见解析； (2)，，． 【分析】（1）根据垂直平分线作法作图即可； （2）根据可得，结合对顶角相等证明，得到，从而证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）证明：四边形是平行四边形， ． ， 是的垂直平分线， ． 在和中， ． ② 又， 四边形是平行四边形． ③ 四边形是菱形． 10．（2026·重庆铜梁一中·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分，交于点E． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形为平行四边形． 证明：四边形为平行四边形， ，①________________， ∴②________________． 平分，平分， ， ∴③________________， ， ∴④________________， ∴四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④ 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． （1）先以点A为圆心，一定长为半径画弧，交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点的距离的一半画弧，两弧交于一点，然后连接该点与点A，交于点F，即为所求； （2）根据平行四边形的性质可推出，，再结合角平分线可推出，从而利用证得，进而得到，最后根据对角线相互平分的四边形为平行四边形即可得到结论． 【详解】（1）解：如下图，即为所求， （2）证明：四边形为平行四边形， ，， ∴． 平分，平分， ， ∴， ， ∴， ∴四边形为平行四边形． 故答案为：①；②；③；④． 11．（2026·重庆实验外国语学校·二模）1．已知四边形是平行四边形，． (1)请利用尺规作图作的角平分线交于点E，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形是平行四边形， ，∴①________． ∵平分， ， ∴②________，， 又， ∴③________． 又∵④________， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． 【答案】(1)作图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题干信息逐步作图即可； （2）根据题干信息逐步完善推理依据与推理过程即可． 【详解】（1）解：作的角平分线交于点E，在上截取，连接，如图所示： （2）证明：∵四边形是平行四边形， ， ∴①． ∵平分， ， ∴②，， 又， ∴③． 又∵④， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． 12．（2025·重庆八中·二诊）如图，在平行四边形中，E为线段延长线上的一点，连接．请完成以下作图和填空： (1)在平行四边形的外部，用尺规作，且交直线于点F，连接，． (2)在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴___①___， ∵，，∴___②___， 在和中，，∴， ∴___③___，，∴___④___，∴四边形是平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据题意作图即可． （2）根据题中思路求解即可． 【详解】（1）解：即为所求． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴①， ∵，， ∴②， 在和中，， ∴， ∴③，， ∴④， ∴四边形是平行四边形． 73 / 73 学科网（北京）股份有限公司 $