专题03 函数（3大考点）（重庆专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 重庆多所重点中学二模函数专题汇编，聚焦函数基础知识、反比例函数、二次函数三大考点，以动态几何情境为载体，融合图像绘制与性质分析，注重实际问题解决能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|24题|函数基础知识含矩形/菱形动点面积函数（如重庆一中二模题），二次函数涉及图像平移与线段最值（如巴蜀中学二模题）|动态几何情境（动点运动），图像应用（画图像并分析性质）| |选择题|12题|反比例函数图像上点的坐标（如十八中二诊题）、性质（如巷口中学二模题）|名校真题汇编（重庆一中、巴蜀等校二模），贴近中考命题趋势|

的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03函数 ☆3大考点概览 考点01函数基础知识 考点02反比例函数及其应用 考点03二次函数图像平移、线段和最值及角度问题 考点01 函数基础知识 1. (2026重庆一中.二模)如图，在矩形ABCD中，AB=12,AD=16,连接AC,BD交于点O,将 △ABO以每秒2个单位长度的速度沿射线BC方向平移，得到△ABO,AB与AC交于点F,BO与 AC交于点M.若平移时间为x0<x<8秒，点F与点O的距离为y1,△BBM的面积为y2. 珠 12 10 9 D 8 6 5 4 2 O12345678910x (1)请直接写出y1,y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1,y2的图象，并分别写出函数y1,y2的一条性质： (3)结合函数图象，请直接写出y1>y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.3）. 2.(2026:重庆十八中.二诊)在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E为BC的中点，动点P以每秒1个 单位的速度从点E沿折线E→B→A运动，同时动点Q以每秒2个单位的速度沿折线A→D→C运动，当 其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接EP,EQ,PQ.设运动时间为X秒0<x<5, △PQE的面积为y1,△ABE的面积与点P的运动路程之比为y2. 1/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y不 7 6 O D 5 4 3 2 P E 01234567x 图1 图2 (1)请直接写出y1、y2分别关于X的函数解析式，并注明自变量X的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1、y2的图象，并写出函数y1的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出y1<y2时x的取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过0.2）， 3.(2026重庆鲁能巴蜀中学.二模)在Rt△ABC中，AC=8,BC=6,∠ACB=90°，CD是AB边上 的中线，动点E从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线B→C一A方向运动，同时动点F从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A方向运动.设运动时间为X秒(0<x<7)，△BDE的面积为 △ABC的面积为S△BCF的面积为5,2 S 10 987 D 6 43 2 C E B 01234567891011x (1)请直接写出y1,y2分别关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1、y2的图象，分别写出函数y1、y2的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出y1≥y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）· 4.(2026重庆巷口中学.二模)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC于点D.P为BC边 上一点，Q为射线BA上的点，且满足BP=BQ,连接AP,DQ.用X表示线段BQ的长度，△ADP的面积 为y1,△ABC的面积与△BDQ的面积之比为y2. 2/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 87 6 54 321 012345678x (1)请直接写出y1,y2分别关于X的函数表达式，并写出自变量x的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1,y2的图像，并分别写出函数y1,y2的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当y1=y2时x的值（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）. 5.(2026重庆西大附中.二模)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=5,AC=6,E是 线段BD上的点(E不与B,D重合)，连接AE,过点E作直线！‖AB交线段AC于点F,用x表示线段BE 的长度，点E与点F之间的距离为y1,△ADC与△ABE的面积之比为y2. 9 87 6 5 4 3 --1--1--6--6-- 2 1 O123456789x (1)请直接写出y1,y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量X的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1,y2的图象，并写出函数y1的一条性质： (3)结合函数图象，请直接写出y1>y2时X的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 6.(2026重庆京师实验学校二模)如图，在菱形ABCD中，点P为对角线AC上一点（点P不与A,C重 合)，连接BP.过点P作AC的垂线，分别交菱形ABCD的边于点E,F.若AB=5,AC=8,用x表示线 段Ap的长度，点E与点F的距离为y麦形ABCD的面积为S:△A即的面积为5，y广2 S1 3/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 珠 10 9 87 6 4 3 2 D 012345678910x (1)请直接写出y1,y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1,y2的图象，并写出函数y1的一条性质： (3)结合函数图象，请直接写出y1<y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 7.(2026重庆巴蜀中学.二模)如图，AC,BD为菱形ABCD的对角线，AC=12,BD=16,点E从C 点出发，以每秒多个单位长度的速度沿C·A方向运动，同时点F从D点出发，以每秒2个单位长度的速度 沿D一B方向运动，把DB绕D点顺时针旋转30°到DP,点G从D点出发，以每秒个单位长度的速度沿 4 D一P方向运动，当点E停止运动时，点F和点G均停止运动.设点E的运动时间为X秒(0<x<8),点 E与点F的距离为y1,△DGF的面积为y2. yA 11 9 B 87 5 4 32 G O1234567891011x (1)请直接写出y1,y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量X的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1,y2的图象，并分别写出函数y1,y2的一条性质： (3)结合函数图象，请直接写出y1≥y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）· 0 4 8 yi=i 10 0 10 4/17 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=ix 0 2 8 8 8. (2026重庆铜梁一中.二模)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BE=4CE=8,动点P从点E出发，沿 折线E→C一D运动，速度为每秒1个单位长度，同时动点Q从点E出发，沿射线EA方向运动，速度为 每秒2个单位长度，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，连接，DE，BQ,DP设点P运动时间为 x秒，△DEP的面积为y1,△ABE的面积与△BQE的面积的比值为y2 M 9 8 7 6 3 0 0123456789x (1)请直接写出y1,y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在如图给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图像，并写出函数y1的一条性质： (3)结合y1’y2的函数图像，请直接写出y1≤y2时x的取值范围（近似精确到0.1，误差不超过0.2）· 9.(2026重庆大渡口.二模)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,点M是AB的中 点。动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿A一C,B运动，同时动点Q从点A出发，以每秒个 单位的速度沿A→B运动.连接PM,CQ,设运动时间为X秒0<X<7.若△PAM的面积为y1,AB长 的号与AQ的长之比为y. 5/17 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y 8 7 5 4 3 D 2 1 Q M O12345678x 图1 图2 (1)请直接写出y1’y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出y1,y2的图象，并分别写出函数y1’y2的一条性质： (3)结合函数图象，请直接写出当y1≥y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）， 10.(2026重庆实验外国语学校.二模)如图1，在边长为4的正方形ABCD中，连接BD,延长BC至点 E使CE=3,连接DE,动点P从点B出发，沿B→C→D方向运动，到点D时停止运动.过点P作 PQ‖DE,交BD于点Q,设P点的运动路程为x(点P不与点B、点D重合)，记线段PQ的长度为y1, 记线段AB的长度与P点的运动路程之比为y2. 8 7 6 D 5 4 3 Q 2 1 B P O123456789x 图1 图2 (1)请直接写出y1,y2分别关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围： (2)在图2所示的平面直角坐标系中，画出函数y1,y2的图象，并写出函数y1的一条性质： (3)请结合图象，直接写出当y1≤y2时，自变量x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 11.(2026重庆綦江未来联盟.二诊)1.如图，抛物线y=ax2+b与直线y=mx+n交于A-2,p, B5,q两点，则不等式ax2-mx+b>n的解集是 6/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(2026重庆綦江未来联盟.二诊)2.如图，在菱形ABCD中，点P为对角线AC上一点（点P不与 A,C重合)，连接BP.过点P作AC的垂线，分别交菱形ABCD的边于点E,F.若AB=5,AC=8, 用x表示线段AP的长度，点E与点F的距离为y1,菱形ABCD的面积为S1,△ABP的面积为S2, S1. y224S2 (1)请直接写出y1,y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1,y2的图像，并分别写出函数y1,y2的一条性质； 9 8 7 6 >1 5 4 3 2 O12345678910x (3)结合函数图像，请直接写出y1>y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）· 考点02 反比例函数及其应用 1.(2026重庆十八中.二诊)已知反比例函数图像经过点-4,8，下列各点一定在该函数图像上的是 () A.4,-8 B.4,8 c.8,4 D.-4,-8 7/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(2026重庆鲁能巴蜀中学.二模)点-2,1在反比例函数y=水的图象上，则下列各点在此函数图象上的 X 是() A.2,-1 C.-2,-1 0 2 3.(2026重庆-中，二模)下列各点中，不在反比例函数y=.16的图象上的是（) A.-4,4 B.2,-8 c.-4,-4 D.16,-1 4.(2026重庆字水中学二模)下列各点，在反比例函数y=2的图象上的是（) A.3,4 B.-2,-6 c.-3,4 D.-6,-6 5.(2026重庆京师实验学校二模)下列各点在反比例函数y=9x≠0的图象上的是() A.1,9 B.-1,-9 c.-1,9 D.3,3 6.(2026重庆西大附中二模)己知点-3,4在反比例函数y=kk≠01的图象上，则k的值为（) A.-6 B.6 C.-12 D.12 7.(2026:重庆巷口中学二模)已知反比例函数y=2k-3, 在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的 X 取值范围是() A.k3 8.K>2 D.k>0 8.(2026重庆实验外国语学校二模)若点4，m、n,3都在同一个反比例函数的图象上，则有() A.m=3 B.m=4 n 3 c.m=.3 n4 n=4 9.(2026重庆大渡口.二模)若点AX1,y,BX,y2,C(x3,y部在反比例函数y=6的图象上， V 且x<0<x,<x则y,y,y,大小关系是（） A.y1<y2<y3B.y3<y2<y1 C.y1<y3<y2 D.y2<y1<y3 10.(2026重庆铜梁一中.二模)如图所示，其函数解析式可能是() 8/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.y=2x2 8.y=6 C.y=-6 D.y=3x X X 11. (2026重庆巴蜀中学.二模)若反比例函数y=k:4的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 12.(2025重庆八中.二诊)如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=8,点P以每秒1个单位长度 的速度从点B出发，沿折线B→A→C方向运动，到达C时停止运动，设运动时间为t秒0<t<10,过点 P作PQ⊥BC于点Q,线段PQ的长度与线段BQ的长度之和为y1,线段BC长度与点P运动的路程之比为 y2. 11 10F 8 7 6 5 4F 012345678910117 (1)请直接写出y1,y2关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)请在给定的平面直角坐标系中画出函数y1,y2的图象，并分别写出函数y1,y2的一条性质； 3)结合函数图象，请直接写出当y1<y2时t的取值范围.（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）， 考点03 二次函数图像平移、线段和最值及角度问题 1. （2026重庆十八中.二诊)如图.在平面直角坐标系中，抛物线y=aX2+bx-61a≠0与x轴交于 A-2,0,B两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=2. 9/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一动点，过点P作PG⊥BC于点G.点E,F分别是抛物线对称 轴、y轴上的动点，连接PF、EF、EB.当线段PG长度取得最大值时，求PF+FE+EB的最小值； (3)将抛物线沿射线AC方向平移10个单位长度得到新抛物线y,点M与点C关于新抛物线y的对称轴对 称，过点M作MN⊥x轴于点N,作点Q为新抛物线y上一点，连接CN,OM,OQ,MQ.若 ∠OMQ+∠OQM+∠ACN=180°，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求其中一种情 况的过程 2.(2026重庆鲁能巴蜀中学.二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线、 y=ax2+bx+4a≠0与x轴交 于A、B两点，与y轴交于点C,连接AC、BC,OB=OC,且tan∠CAO=2. B B A 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD‖AC交直线BC于点D,点E、F为直线AC上的动 点（点E在F的上方），且EF=S,连接BP、DF、EP、FP,当△DFP与△BDP的面积之和取得最 大值时，求点P的坐标及PE+PF的最小值： (3)将抛物线沿射线BC方向平移，使得平移后的新抛物线y经过点C,新抛物线y的对称轴与x轴交于点 H,点M为直线AC上一动点，过点M作直线AC的垂线与新抛物线y在直线AC的上方交于点N,连接 NH,若∠MNH=∠OBC,请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种 10/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 情况的过程， 3.(2026重庆字水中学.二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A, 3 B1,0两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=- 2 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)过点B作BD‖AC交抛物线于点D,点P是射线AC上方抛物线上的一动点，连接DP与射线AC交于点 E,连接BE,BP,点M,N为抛物线对称轴上的动点（点N在点M的下方），且MN=1,连接 PM,AN.当△PBE面积最大时，求点P的坐标及PM+MN+AN的最小值； (3)在(2)中△PBE面积取得最大值时，将抛物线y=aX+bx+2沿射线AC方向平移V5个单位长度得到 新抛物线y:点p为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QBA=∠OPP-∠BAC时， 直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程。 4.（2026重庆一中二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=. x+bx+c与x轴交于A-6,0,B 4 两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=-2. A B y M 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线AC上方抛物线上的一动点，且在对称轴左侧，过点P作PD‖X轴交抛物线于点D,过点P 11/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 作PE⊥AC交线段AC于点E,点M,N为抛物线对称轴上的动点（点M在点N的下方），且MN=2, 连接PM,BN.当PD+25PE取得最大值时，求点P的坐标及PM-BN的最大值： (3)在(2)中PD+25PE取得最大值的条件下，将抛物线y=.二X+bx+c沿射线AC方向平移，平移后 4 的新抛物线y经过点-4,1，点P为点P的对应点，点F为新抛物线y上的一动点，若 ∠FBA=∠OPP-∠CBA,请直接写出所有符合条件的点F的横坐标，并写出求解点F的横坐标的其中 一种情况的过程 庆巴蜀中学二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=QX2+bx+号a子 A3,0,B两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴1是直线x=2. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点P与点C关于抛物线的对称轴/对称，T是直线AC下方抛物线上一动点，N是对称轴1上一动点，连 接PT,NP,NT.线段PT交直线AC于点Q,当取得最大值时，求点T的坐标及TN-NP的最大值； PQ (3)在(2)中TN-NP取得最大值的条件下，将抛物线沿射线CA方向平移V5个单位得到新的抛物线y, 点E为新抛物线y上的一动点.若∠EAC=∠ACO-∠NAO,请直接写出所有符合条件的点E的坐标， 并写出其中一种情况的求解过程. 6.(2026重庆西大附中.二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A-1,0, B两点，与y轴相交于点C0,2,抛物线的对称轴直线x=1与x轴交于点D. D R B D 备用图 (1)求抛物线的表达式： 12/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)点P是第一象限内抛物线上一点，连接CP,DP,CD,点M,N是抛物线对称轴上的动点（点M在点 N上方)，且MN=1,连接PM,AN,当△PCD的面积最大时，求点P的坐标及PM-AN的最大值； (3)在(2)中△PCD的面积取最大的条件下，将抛物线y=ax2+bx+c沿射线AC的方向平移V5个单位得 到抛物线y,点Q为点P的对应点，点E是抛物线y上一动点，若∠QCO+∠PCE=135°，请直接写出 所有符合条件的点E的坐标，并写出求解点E的坐标的其中一种情况的过程. 7.(2026重庆京师实验学校.二模)如图，己知抛物 y=aX+x+ca≠0交x轴于点A-3,0'B6.0 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，连接BC,AC,点P是BC上方抛物线上一动点，过点P作PD⊥BC于点D,点M是x轴上一 动点，连接PM,当PD发大时，求出点P的坐标及PM+5OM的最小值 5 (3)如图2，将抛物线沿射线CB方向平移2V2个单位得到新抛物线y,点Q为抛物线y上一动点，连接BQ, 当∠OBQ+∠OCA=90°时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解 过程 1 8.(2026重庆巷口中学.二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=二x+bx+c与x轴交于 4 A(-4,0),B两点，与y轴负半轴交于点C.连接AC,tan∠0AC 3 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线AC下方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线，交AC于点D,交X轴于点E.F,G分 13/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 别为y轴和直线AC上的动点，连接ER,EG,PG.当PD.5AD取得最大值时，求点P的坐标及 10 △EFG周长的最小值： 3)将抛物线y4X+bx+c射线CB方向平移，使新抛物线y经过原点，点H为点C关于x轴的对称点 点K为新的抛物线y上一动点，连接KH,BH.若∠KHB-45°=∠OAC,请直接写出所有符合条件 的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程. 9.(2026重庆綦江未来联盟.二诊)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3a≠0)与x轴交 于A,B4,0两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线X=3 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过P作PQ⊥BC于点Q,点D,E为抛物线对称轴上的动点 (点E在点D的下方)，且DE=2,连接PD,AE.当线段PQ长度取得最大值时，求点P的坐标及 PD+DE+EA的最小值： (3)将抛物线y=ax2+bx+3a≠0沿射线AC方向平移V10个单位长度得到新抛物线，点N为新抛物线上 的一动点.若∠BCN=∠BCO-45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标 的其中一种情况的过程.（写出必要的求解过程） 1 10.(2026重庆铜梁一中.二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-三x2+bx+c与x轴交于A, B4,0两点，与y轴交于点C0,4. 14/17 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 珠 E M O B 图1 备用图 (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线BC上方抛物线对称轴右侧上一动点，过点P作PM‖y轴交BC于点M,作PN‖x 轴交抛物线于点N,点E是抛物线对称轴上一动点，点F是y轴上一动点，连接AE,PF,EF,当 2PM+PN取得最大值时，求P点坐标及AE+EF+PF的最小值； (3)将抛物线y=· 号x+bx+c沿射线BC方向平移后经过点2,2得到抛物线y,点G为抛物线y上一动点， 若2∠CAO-∠GAB=90°，请直接写出所有符合条件的点G的坐标，并写出求解点G坐标其中一种情况 的过程。 11.(2026重庆实验外国语学校.二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx-6与x轴交于点 其中A-3,0. 3 A、点B,与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x= V 备用图 (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接AC,点P为直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥BC于点D,过点P作PE‖AC交 y轴于点E.点M、N是抛物线对称轴上的两个动点(M在下方)，MN=3,连接BN、PM,当 V2PD+- PE取得最大值时，求点P的坐标及PM+MN+BN的最小值： 5 15/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)将抛物线y=ax2+bx-6沿射线AC方向平移35个单位长度得到新抛物线y,点A的对应点为A,点 C的对应点为C,连接AC,点H为线段AC的中点.点Q为新抛物线y上一点，若 ∠ABQ=∠BAC+∠CBH,请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q的横坐标的其 中一种情况的过程。 2,2026重庆大渡三模)如图，在平面直角坐标系中，揽物线y三X+bx+c与x轴交于点A B2,0,两点，与y轴交于点C0,6,连接AC. M E A 备用图 (1)求该抛物线的表达式： (2)点P是直线AC上方抛物线上的一个动点，过点P作PDBC交AC于点D,过点P作PE‖AC交x轴于 点E,M为y轴上一动点，连接PM,当AE+21 5 PD取得最大值时，求P点的坐标及PM+号OM的最 小值： B将抛物线y=×+bx+c沿AC方向平移22个单位长度，得到新抛物线，新抛物线y,与原抛物线 交于点Q,连接QC,点N是新抛物线y上一点，当∠CQN=∠ACB时，请直接写出所有符合条件的点 N坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程. 13.(2025重庆八中.二诊)3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=aX+bx+6la≠0与直线 -2X+3交于点B和D,与坐标系交于A、B、C三点，已知A-2,0,点B在x轴上，点E为直线与y 轴交点. 16/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C D E A O B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作PF‖y轴，交BD于点F.点M为线段PF上的一动点， MNLy轴，垂足为N连接DN、BM.当PF+2 5 EF取得最大值时，求BM+MN+DN的最小值： B)将该抛物线沿射线BD方向平移5个单位得到新抛物线y,连接BC并延长BC,在第二象限与新抛物 线交于点H,点K为新抛物线上一点，当∠CHK=∠ABD+45°时，直接写出所有符合条件的点K的坐 标，并写出其中一个点的求解过程. 17/17 专题03 函数 3大考点概览 考点01函数基础知识 考点02反比例函数及其应用 考点03二次函数图像平移、线段和最值及角度问题 函数基础知识 考点01 1．（2026·重庆一中·二模）如图，在矩形中，，，连接，交于点，将以每秒个单位长度的速度沿射线方向平移，得到，与交于点，与交于点．若平移时间为秒，点与点的距离为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)； ； (2)；性质：当时，随着的增大而减小或当时，随着的增大而增大或当时，随着的增大而增大或当时，随着的增大而减小； (3) 或 【分析】（1）连接，过点M作于点E，由平移的性质得：，再结合矩形的性质可得，，，，然后分两种情况：当点F在上时， 当点F在上时，可得 关于的函数表达式；再根据，可得，从而得到，可得到关于的函数表达式，即可求解； （2）利用描点法画出函数图象，即可； （3）求出两函数图象的交点的横坐标，再观察图象，即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过点M作于点E， 由平移的性质得：， ∵在矩形中，，， ∴，，，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴当点F在上，即时，， 当点F在上，即时，， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：对于， 当时，，当时，， 此时函数图象过点，， 对于，当时，， 此时函数图象过点， 对于， 当时，， 解得：， 此时函数图象过点， ∵， 此时该函数的顶点坐标为， 函数图象和性质见答案； （3）解：联立：，得： ， 解得：， 联立：，得： ， 解得：， 观察图象得：时的取值范围为 或． 2．（2026·重庆十八中·二诊）在矩形中，，，点为的中点，动点以每秒1个单位的速度从点沿折线运动，同时动点以每秒2个单位的速度沿折线运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接，，．设运动时间为秒，的面积为，的面积与点的运动路程之比为． (1)请直接写出、分别关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数、的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2) 函数的最大值为6 (3) 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、矩形的性质等知识． （1）先求出，先确定当点P移动至点B时，点Q的位置，分类讨论：当时，画出图形，即可求解；当时，根据，即可求解；根据运动特点，可知点的运动路程为，的面积与点的运动路程之比可求解； （2）根据（1）中的函数关系式画出函数图象，再根据函数图象总结性质即可； （3）数形结合即可作答． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，，点为的中点， ∴，， 当点P移动至点B时，运动时间为：秒，此时点Q运动的距离为：， 即此时点Q刚好运动至点D， 当时，如图， 根据运动的特点可知：， ∴的面积为， 当时，如图， 根据运动的特点可知：，， ∴，， ∴， ∵， ∴的面积为， 即， 综上：， 根据运动特点，可知点的运动路程为， ∵， ∴的面积与点的运动路程之比； （2）解：画函数图略； 根据函数图象可知：当时，有最大值，最大值为； （3）解：如图， 结合图象可知：当时，． 精确计算如下： 结合图象有：在时，， 当时，令：， 即， 解得：， ∴当时，． 3．（2026·重庆鲁能巴蜀中学·二模）在中，，，，是边上的中线，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动．设运动时间为秒（），的面积为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，分别写出函数、的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)； (2)如图所示： 的性质：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小； 的性质：当时，随x的增大而减小； (3)当时的取值范围为． 【分析】（1）先由勾股定理得，中线平分面积，当时，点E在上运动，，求出的面积，当时，点E在上运动， ，用表示，由此求得的函数解析式，对于，先求出的斜边上的高，再利用面积比化简即可求得函数解析式； （2）根据分段函数、反比例函数分别描点画图，再结合函数单调性、极值等性质解答即可； （3）直接利用图象法结合函数图象趋势确定x的范围即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 是边上的中线， ， ， 当时，点E在上运动，此时， 如图，连接 ，取中点为G，连接， ，是边上的中线， 是的中位线， ，， ， 当时，点E在上运动，此时 ， ， 取中点为H，连接，， ，是边上的中线， 是的中位线， ，， ， ， ， ， 点F在上运动，，过点C作于点M， 则， ， ， 综上，的函数关系式为， 的函数关系式为． （2）略 （3）由图可知，当时，的图象在图象的上方， 即， 则当时的取值范围为． 4．（2026·重庆巷口中学·二模）如图，在中，于点．为边上一点，为射线上的点，且满足，连接．用表示线段的长度，的面积为的面积与的面积之比为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图像，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的值(近似值保留小数点后一位，误差不超过)． 【答案】(1)， (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及勾股定理得到，，根据当和时，分情况讨论，通过计算三角形的面积得到关于的表达式，过作于点，根据等面积法得到，进而通过计算的面积得到关于的表达式． （2）根据函数表达式绘制函数图象，并根据函数图象得到函数的性质． （3）当时，根据当和时，分情况讨论，解得此时的值即为答案． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点到点的距离为， ∴， ∵点不与点重合， ∴，且， ∴， 如图，过作于点， 则，即，解得：， ∴， ∵点不与点重合， ∴， ∴； （2）解：根据函数表达式，，画出函数图像如图所示， 根据函数图象可得， 的性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）； 的性质：当时，随的增大而减小（答案不唯一）； （3）解：当时， 当时，即， 整理得：， ∵判别式， ∴无实根， 当时，， 整理得：，解得：， ∵， ∴取， ∴当时，． 5．（2026·重庆西大附中·二模）如图，菱形的对角线相交于点，，，是线段上的点（不与，重合），连接，过点作直线交线段于点，用表示线段的长度，点与点之间的距离为，与的面积之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)， (2)图象见解析，性质：当时，有最小值（答案不唯一） (3) 【分析】（1）根据菱形的性质以及勾股定理可得，，那么，对于的函数关系式，分两种情况，根据，得到求解即可； （2）描点、连线即可作图，可从增减性、对称性、最值的角度分析的性质即可； （4）时的取值范围即为函数图象在函数图象上方时，对应的取值范围． 【详解】（1）解：∵菱形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：； （2）解：函数图象如图： 函数的性质有：当时，有最小值等； （3）解：由图象可得，当时，． 6．（2026·重庆京师实验学校·二模）如图，在菱形中，点P为对角线上一点（点P不与A，C重合），连接．过点P作的垂线，分别交菱形的边于点E，F．若，，用x表示线段的长度，点E与点F的距离为，菱形的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)， (2)作图见解析，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小 (3)或 【分析】连接，证明，，求解关于x的函数表达式；根据菱形和三角形面积公式得出，，即可求解关于x的函数表达式； 描点连线即可作图函数图象，再分析增减性即可写出一条性质； 先求出，再判断时的取值范围即可． 【详解】（1）解：连接，交于点， 四边形是菱形， ， ， ， 在中，， ， ， 菱形的面积， 当时， ， ∴ ， ， ， ， ， 当时，， 当时， ， ∴ ， ， ，， ， ， ， 当时，， ∴； 的面积， ； （2）解： 函数图象如图所示： 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． （3）解：当时， 当时，，解得：或（舍去）； 当时，，解得或（舍去）， 当时，或． 7．（2026·重庆巴蜀中学·二模）如图，，为菱形的对角线，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，把绕点顺时针旋转到，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点停止运动时，点和点均停止运动．设点的运动时间为秒（），点与点的距离为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)图象见解析，的图象关于直线对称，在时，随的增大而增大 (3)或 【分析】（1）过点作于，设、交于点，根据菱形的性质得出，，，根据点、的速度得出，，分和两种情况，分别表示出、，利用勾股定理可得的不等式，根据含角的直角三角形的性质得出，利用三角形面积公式可得的表达式； （2）利用描点法画出图象，再根据图象写出性质即可； （3）根据图象，找出的图象在的图象上方时，的取值范围即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于，设、交于点， ∵，为菱形的对角线，，， ∴，，， ∵点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度， ∴，，点运动到点的时间为，点运动到点的时间为， ∴点、同时达到点，且运动时间， 如图，当时，，， ∴， 如图，当时，，， ∴， 综上所述：关于的表达式为； ∵点的速度为每秒个单位长度， ∴， ∵把绕点顺时针旋转到， ∴， ∴， ∴ ∴． （2）解：列表如下： 0 4 8 描点、画图如下： 由图象可知，的图象关于直线对称，在时，随的增大而增大． （3）解：由图象可知，时，的取值范围为或． 8．（2026·重庆铜梁一中·二模）如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿折线运动，速度为每秒1个单位长度，同时动点从点出发，沿射线方向运动，速度为每秒2个单位长度，当点停止运动时，点也随之停止运动，连接，设点运动时间为秒，的面积为的面积与的面积的比值为 (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图给定的平面直角坐标系中，画出函数的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合的函数图像，请直接写出时的取值范围（近似精确到0.1，误差不超过0.2）． 【答案】(1)； (2)见解析；当时，函数值随自变量的增大而增大； (3)当或时，． 【分析】（1）分点在与点在上两种情况，即可求得；过点作于点，的面积与的面积的比值即为，求得； （2）根据一次函数与反比例函数的图象画出两个函数的图象即可；利用一次函数的性质即可写出的一条性质； （3）根据所画的函数图象即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ，，； 当点在上时，则， 此时，； 当点在上时，则， 此时，； 即； 如图，过点作于点， ， ， ， ， ； （2）解：图象如下： 当时，函数值随自变量的增大而增大； （3）解：由图象知，当或时，． 9．（2026·重庆大渡口·二模）如图1，在中，，点是的中点．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．连接，设运动时间为秒．若的面积为长的与的长之比为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)； (2)函数图象见解析，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而减小； (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出，则可得到，，根据题意可求出；再分两种情况：当时，点P在线段上（不包括点A，包括点C），当时，点P在线段上（不包括端点），过点P作于点H，解直角三角形求出的长，根据，求出即可； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数的性质即可； （3）根据函数图象找到的图象在的图象上方或二者的交点处时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∴； ∵点是的中点， ∴； 由题意得，， ∵长的与的长之比为， ∴； 如图所示，当时，点P在线段上（不包括点A，包括点C）， 过点P作于点H， 在中，，， ∴， ∴； 如图所示，当时，点P在线段上（不包括端点）， 过点P作于点H， 在中，，， ∴， ∴； 综上所述，； （2）解：函数图象如下所示： 由函数图象可知，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而减小； （3）解：由函数图象可知，当时的取值范围为． 10．（2026·重庆实验外国语学校·二模）如图1，在边长为4的正方形中，连接，延长至点E使，连接，动点P从点B出发，沿方向运动，到点D时停止运动．过点P作，交于点Q，设P点的运动路程为x（点P不与点B、点D重合），记线段的长度为，记线段的长度与P点的运动路程之比为． (1)请直接写出，分别关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)在图2所示的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)请结合图象，直接写出当时，自变量x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1)， (2)画图见解析，性质：当时，随x的增大而增大；在时随x的增大而减小（答案不唯一） (3)或 【分析】（1）分点P在上和点P在上讨论，根据相似三角形的判定与性质求解即可； （2）根据函数解析式绘制函数图象，并分析其性质． （3）结合函数图象确定时x的取值范围． 【详解】（1）解：∵正方形是正方形， ∴，， 又， ∴，， 当点P在上时，即，此时， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 当点P在上时，，此时， 过C作交于F， ∴， ∴，即， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 综上，； 根据题意，得； （2）解：函数图象如图所示： 性质：当时，随x的增大而增大；在时随x的增大而减小； （3）解：通过观察函数图象，找到的图象在的图象下方及相交时对应的x的取值范围，大致为或． 11．（2026·重庆綦江未来联盟·二诊）1．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是__________． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴， ∴不等式的解集是或． 12．（2026·重庆綦江未来联盟·二诊）2．如图，在菱形中，点P为对角线上一点（点P不与A，C重合），连接．过点P作的垂线，分别交菱形的边于点E，F．若，，用x表示线段的长度，点E与点F的距离为，菱形的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图像，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)，（） (2)见下图； 当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小； 当时，随x的增大而减小 (3) 【分析】本题考查了菱形、一次函数以及反比例函数，熟练掌握菱形、一次函数以及反比例函数的相关知识点是解题的关键． （1）易得，进而可利用，求解，可解得，先求出菱形的面积，再求的面积，即可解得； （2）根据（1）中的解析式描点连线画出图像即可； （3）观察图像，求出交点坐标，找出在上方的部分，即可得到x的取值范围． 【详解】（1）解：如图，四边形是菱形，连接，交于点O， ， ， ， 在中，， ， ， 菱形的面积， 当时， ， ， ， ，即， （）， 当时，如图，，， ， ， ， ， ， ， （）， ， 的面积为， （）； （2）函数，的图像如下图所示： 当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小； 当时，随x的增大而减小； （3）当时， ，解得， ，解得（不满足，舍去）或， 当时，的 图像在图像的上方，故． 反比例函数及其应用 考点02 1．（2026·重庆十八中·二诊）已知反比例函数图像经过点，下列各点一定在该函数图像上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数，先根据已知点求出比例系数，得到表达式后，将横坐标代入，求解出纵坐标后得到正确选项． 【详解】解：设反比例函数解析式为 ∵ 图像经过点 ∴ ， ， 将代入，得， 在函数图像上． 2．（2026·重庆鲁能巴蜀中学·二模）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知点坐标求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，即横纵坐标乘积等于，验证各选项即可得到答案. 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为，即图象上的点满足. 对各选项验证：A选项：，满足条件，在此函数图象上； B选项：，不满足； C选项：，不满足； D选项：，不满足. 3．（2026·重庆一中·二模）下列各点中，不在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：反比例函数为，可得． A选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意； B选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意； C选项：点，，不满足等式，点不在图象上，符合题意； D选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意． 4．（2026·重庆字水中学·二模）下列各点，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用反比例函数图象上点的坐标特征解题，若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，验证各选项的横纵坐标乘积是否符合要求即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴等式变形可得 ，即反比例函数图象上任意点的横纵坐标乘积为， A、，点不在图象上，故此选项不符合题意； B、，点不在图象上，故此选项不符合题意； C、，满足条件，点在图象上，故此选项符合题意； D、，点不在图象上，故此选项不符合题意． 5．（2026·重庆京师实验学校·二模）下列各点在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查判断点是否在反比例函数图象上，能够正确计算是解题的关键． 反比例函数图象上的点满足，只需计算各选项点横纵坐标的乘积，判断是否等于即可求解． 【详解】解：由得， A.，故不符合题意； B.，故不符合题意； C.，故符合题意； D.，故不符合题意． 6．（2026·重庆西大附中·二模）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B．6 C． D．12 【答案】C 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 7．（2026·重庆巷口中学·二模）已知反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质可得，解一元一次不等式即可得． 【详解】解：∵反比例函数，在每一象限内，随的增大而减小， ∴， 解得． 8．（2026·重庆实验外国语学校·二模）若点、都在同一个反比例函数的图象上，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标乘积等于比例系数即可求解． 【详解】设反比例函数的解析式为()． 点，都在该反比例函数图象上， ∴ ，， ∴ ． 9．（2026·重庆大渡口·二模）若点都在反比例函数的图象上，且 ，则大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用反比例函数的图象与性质解题，先根据比例系数判断函数所在象限和增减性，再根据横坐标范围判断各点位置，即可比较纵坐标大小． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象的两个分支分别在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小． ∵ ， ∴ ， ， ∴ ． 10．（2026·重庆铜梁一中·二模）如图所示，其函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的图象，根据反比例函数的图象进行解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∴， ∴可能是． 故选：B． 11．（2026·重庆巴蜀中学·二模）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质得＜0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴＜0， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的性质：反比例函数（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 12．（2025·重庆八中·二诊）如图，在等腰中，，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，到达时停止运动，设运动时间为秒，过点作于点，线段的长度与线段的长度之和为，线段长度与点运动的路程之比为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)请在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)图像见详解，在范围内函数的值随的增大而增大，在范围内函数的值随的增大而减小 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一及勾股定理求出及各边边长，再利用相似得到，，再根据题意即可得到关于的函数表达式； （2）根据（1）中函数关系式，结合自变量的范围，即可画出函数图象，再由函数图象即可得到性质； （3）观察函数图象在的图象上方时，的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：等腰中，， 过点作交于点， 当时，点沿方向运动，如图： ∴，， 根据勾股定理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 当时，点沿方向运动，如图： 此时， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵线段长度与点运动的路程之比为， ∴． 综上得，； （2）函数图象如图所示： 观察图像可得在范围内函数的值随的增大而增大，在范围内函数的值随的增大而减小； （3）根据函数图象：当时，（因为误差不超过0.2所以右侧可以写成2.2，2.3，2.5）． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及求函数解析式，等腰三角形的性质,一次函数与反比例函数的性质，相似三角形，解直角三角形及勾股定理等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键． 二次函数图像平移、线段和最值及角度问题 考点03 1．（2026·重庆十八中·二诊）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上的一动点，过点作于点．点，分别是抛物线对称轴、轴上的动点，连接、、．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点与点关于新抛物线的对称轴对称，过点作轴于点，作点为新抛物线上一点，连接，，，．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】（1）代入可得一个关于a、b的关系式，再根据对称轴又可得另一个关于a、b的关系式，问题即可作答； （2）先求出B、C点坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式，根据，可得线段长度为点P到直线的距离，将直线沿y轴向下平移至与抛物线相切时，且切点为点P，此时点P到直线的距离最大，设直线沿y轴向下平移m个单位时与抛物线相切，此时平移后的直线的解析式为：，将其与抛物线解析式联立，根据相切，方程有两个相同的解，根据一元二次方程的判别式为0可求出m的值，再反代入m的值，解一元二次方程即可求出切点P的坐标，进而可得点关于y轴的对称点为的坐标，即，当点R、F、E、B四点共线时，此时最短，问题随之得解； （3）先求的解析式，延长至点V使得，过点V作轴于点X，证明，可求出、，即抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，可变为：抛物线沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移个单位得到新抛物线，即可求出的解析式，进而可确定坐标；再证明，过点A作于点Z，连接，求出，即有；分类讨论，当点Q在下方时，过点M作，交的延长线于点H，过点H作，交延长线于点G，先确定点G的坐标，进而确定的坐标，再利用待定系数法可得直线的解析式，与的解析式联立即可求出的坐标；当点Q在上方时，过点M作，交的延长线于点H，过点H作，交延长线于点G，同理可解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即：， 将代入，解得：， ∴， ∴抛物线的表达式为：； （2）当时，，即， 当时，， 解得：或者， 即， ∵，， ∵设直线的解析式为：， ∴，解得， ∴设直线的解析式为：， ∵， ∴线段长度为点P到直线的距离， 将直线沿y轴向下平移至与抛物线相切时，且切点为点P，此时点P到直线的距离最大， 即此时长度取最大值， 设直线沿y轴向下平移m个单位时与抛物线相切，此时平移后的直线的解析式为：， 令：，整理：， ∵相切， ∴方程有两个相同的解， ∴，解得， 此时平移后的直线的解析式为：， 令， 解得，则， ∴， ∴点关于y轴的对称点为， 即， ∴， 当点R、F、E、B四点共线时，此时最短， ∵，， ∴， ∴的最小值为； （3）∵，，， ∴，，，， 同理，， 延长至点V使得，过点V作轴于点X，如图， 即有：， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，可变为：抛物线沿x轴向右平移1个单位，再沿y轴向下平移3个单位得到新抛物线， ∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为：， ∵点与点关于新抛物线的对称轴对称， ∴，即：， ∴， ∵轴于点N， ∴，即点N与点B重合， ∴， 如图，过点A作于点Z，连接， ∵，， ∴， ∵，，，， ∴， ∴根据，可知四边形是正方形，即有， ∵， ∴， 同理可求得：， ∴，， ∴， 即； 当点Q在下方时，过点M作，交的延长线于点H，过点H作，交延长线于点G，如图， ∵，，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 结合，可知是等腰直角三角形， ∴，则， 再结合轴，， ∵轴，， ∴轴，则轴， ∵，， ∴， 利用待定系数法可得直线的解析式为：， 联立：，解得：，（，此解不满足点Q在下方，舍去）， ∴； 当点Q在上方时，过点M作，交的延长线于点H，过点H作，交延长线于点G，如图，     同理可证是等腰直角三角形， ∴，则， 再结合轴，， ∵轴，， ∴轴，则轴， ∵，， ∴， 利用待定系数法可得直线的解析式为：， 联立：，解得：，（，此解不满足点Q在上方，舍去）， ∴； 综上所述：满足条件的的横坐标为：和． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定义与性质，解直角三角形，一元二次方程以及抛物线的平移等知识，问题的难点在第三问，将，转化为是解答本题的关键．解答时需注意：不能因为有相等的边和相等的角就想当然的去构造全等三角形，再利用勾股定理表示出相应的边长，接着根据全等中对应的边的长度相等列方程． 2．（2026·重庆鲁能巴蜀中学·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接、，，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交直线于点D，点E、F为直线上的动点（点E在F的上方），且，连接、、、，当与的面积之和取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移，使得平移后的新抛物线经过点C，新抛物线的对称轴与x轴交于点H，点M为直线上一动点，过点M作直线的垂线与新抛物线在直线的上方交于点N，连接，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)解：点N的坐标为或． ∵抛物线沿射线方向平移， ∴抛物线先向左平移4个单位，再向上平移4个单位， ∴新抛物线解析式为， ∴新抛物线对称轴为， ∵点H为新抛物线对称轴与x轴交点， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 如图，过点H作交于点K，在上取点，，构造等腰直角三角形，连接，，记新抛物线对称轴与的交点为G， ∴， 分别延长，交抛物线于点，， ∵点N在抛物线上，点M在直线上，，， ∴，均为等腰直角三角形， 由（2）知，直线的解析式为， 令，则， ∴，即， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设点， ∴， 解得：，， ∴，， 情况1： 设直线的解析式为， 将点H，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立与直线， 得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 情况2： 设直线的解析式为， 将点H，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立与直线， 得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 综上所述，点N的坐标为或． 【分析】（1）根据抛物线与y轴交点求出，再利用正切的定义，结合已知条件求得点A，B的坐标，通过待定系数法即可得解； （2）连接，过点P作轴交于点H，得到，先求出直线的解析式，设，则，，当时，取得最大值，此时，最后利用轴对称的性质即可求得的最小值； （3）先求出平移后的抛物线解析式，得到抛物线的对称轴，从而求得点H的坐标，根据已知条件并利用等腰直角三角形的性质分情况讨论点N的情况，设点，利用勾股定理求出n的值，从而得到点Q的坐标，通过待定系数法求出不同情况下直线的解析式，联立新抛物线解析式，即可求得点N的坐标． 【详解】（1）解：∵点C为抛物线与y轴的交点， ∴，即， ∵， ∴在中，， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵抛物线与点，交x轴， 将点A，B代入得：，解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：如图，连接，过点P作轴交于点H， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点B，C代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，开口向下， ∴当时，取得最大值，此时， 如图，将点P沿方向平移后得，将关于直线对称得，连接，与交点K，与y轴交点I，过点作轴，交于点J，与y轴交点L， 设直线的解析式为， 将点A，C分别代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 令，得，解得：， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 由轴对称的性质可知，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 在中，， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点I，分别代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式，得：， 解得：， ∴， ∵点K为的中点， ∴, ∴． （3）略 3．（2026·重庆字水中学·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式： (2)过点B作交抛物线于点D，点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点E，连接，点M，N为抛物线对称轴上的动点（点N在点M的下方），且，连接．当面积最大时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中面积取得最大值时，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）代入抛物线，结合抛物线的对称轴是直线，建立方程组求解即可； （2）过P作轴交于F，过点B作，使，连接,则四边形是平行四边形， ，求出，求出直线解析式，直线的解析式为，联立，解得，设，则，得，得，得当时，最大，由是定值，，得最大，得，当点M在直线上时，，最小，由点A与点B关于对称轴对称，得，得，最小，由，得，即得的最小值是；　 （3）设与交于点L，可知抛物线，向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线，为，，得，由三角形外角性质得，得，求出解析式，得解析式为，当时，解得，得；设关于x轴对称点为，求出直线解析式，联立解得，得． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得：， ∴抛物线为：． （2）解：如图，过P作轴，交于F，过点B作，使，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， 对， 令，则， 解得； 令，则． ∴． 设直线解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∵是定值，， ∴最大， ∴， 当点M在直线上时，，最小， ∵点A与点B关于对称轴对称， ∴， ，最小， ∵， ∴， ∴的最小值是． （3）解：设与交于点L， ∵， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线，向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抛物线， 为， 即， ∵点为点P的对应点， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 设解析式为， 把代入，得， ∴， ∴解析式为， 当时，联立， 解得或（舍去）， ∴； 设关于x轴对称点为，直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∴， 解得（舍去）或， ∴． 故点Q的坐标为或． 【点睛】第（2）小问添加辅助线构造将军饮马模型，第（3）小问，点Q在点B的左面，不合要求的点Q（在点B右面）舍去． 4．（2026·重庆一中·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，且在对称轴左侧，过点作轴交抛物线于点，过点作交线段于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最大值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移，平移后的新抛物线经过点，点为点的对应点，点为新抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，最大值为 (3)所有符合条件的点的横坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线解析式为．过点作轴交于点，交对称轴于点，设，，则，，由，得到，根据轴得到， 因此在中，，从而，即可得到当时，有最大值，此时．将向下平移个单位得，作点关于抛物线对称轴的对称的点，连接，根据平移及轴对称可得，因此，根据两点间距离公式求出，即可解答； （3）设抛物线向上平移a个单位长度，向右平移个单位长度，其中，则新抛物线为，根据新抛物线经过点，求出a的值，得到新抛物线为，，证明，得到，求出，得到．设，分点F在x轴上方和下方两种情况，根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，且称轴是直线， ∴，解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：对于抛物线，令，则， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为：． 过点作轴交于点，交对称轴于点， 设，， 则， ． ∵，， ∴，，， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴ ， ∴当时，有最大值， 此时． 将向下平移个单位得，作点关于抛物线对称轴的对称的点，连接， ∵向下平移个单位得， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点与点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最大值为． （3）解：∵，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移， ∴设抛物线向上平移a个单位长度，向右平移个单位长度，其中 ∴新抛物线为 ∵新抛物线经过点， ∴， 解得或（舍去）， ∴抛物线向上平移1个单位长度，向右平移2个单位长度，新抛物线为， ∴点平移后的对应点为． ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． ∵抛物线与轴交于，两点， ∴点A与点B关于抛物线的对称轴是直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴． 设 当点F在x轴上方时，即图中点，过点作轴于点， ∴，， ∵，即， 解得（不合题意，舍去）或． 当点F在x轴下方时，即图中点，过点作轴于点， ∴，， ∵，即， 解得（不合题意，舍去）或． 综上所述，所有符合条件的点的横坐标为或． 5．（2026·重庆巴蜀中学·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P与点C关于抛物线的对称轴l对称，T是直线下方抛物线上一动点，N是对称轴l上一动点，连接，，．线段交直线于点Q，当取得最大值时，求点T的坐标及的最大值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新的抛物线，点E为新抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点E的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2)点，最大值为 (3)或 【分析】（1）将点代入函数解析式，再结合对称轴为直线求解即可； （2）先求解出直线的解析式，过点T作x轴的垂线，交直线于点，过点P作x轴的垂线，交直线于点，设点，再得到，结合边长成比例表示出，结合二次函数的性质可求解点P的坐标，再根据三点共线时，可求解的最大值； （3）先由已知条件得到，再分类讨论点E的位置，求解出对应的直线的解析式，联立直线与抛物线，得到的交点坐标即为点E的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于， 且抛物线的对称轴l是直线． ∴，即， 抛物线的解析式为：； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为：， 令，可得， ∴点， ∵点P与点C关于抛物线的对称轴l对称， ∴点， 设直线的函数解析式为， 则，解得， ∴直线的函数解析式为， 过点T作x轴的垂线，交直线于点，过点P作x轴的垂线，交直线于点，如图， 设点，则， ∴， ∵点， ∴点的横坐标为4，则， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴当时，取得最大值，此时点， ∵， ∴当三点共线时，取得最大值为， ∵点，点， ∴， 则最大值为； （3）解：点或， 在（2）中取得最大值的条件下，则有点， 设直线的函数解析式为， 则，解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点N是对称轴l上一动点，则点N的横坐标为2， 当时，， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位得到新的抛物线， ∴将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位， 即，则有， 过点C作直线，直线与x轴交于点F， ∴点，点， 则为等腰直角三角形，即， 则， ∴， 情况一：当在上方时，过点A作的平行线，如图， ∵直线过点， ∴，解得， 即直线为， 点E即直线与位于A点左侧的交点， 令，解得（舍）或， ∴； 情况二：当在下方时，直线与y轴交点记作点R， 过点F作于点S，过点R作于点M，如图， ∵，， ∴， ∴，即， ∵为等腰直角三角形，则， 在中，， 在中，， 在中，，即， ∴， 在中，， 在中，， 即，解得， ∴，即， 解得 ∴，则点， 设直线为，过点，点， ∴，解得， ∴直线为， 点E即直线与位于A点左侧的交点， 令，解得（舍）或， ∴． 6．（2026·重庆西大附中·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴相交于点，抛物线的对称轴直线与轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)点是第一象限内抛物线上一点，连接，，，点，是抛物线对称轴上的动点（点在点上方），且，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值； (3)在（2）中的面积取最大的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位得到抛物线，点为点的对应点，点是抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)当的面积最大时，点的坐标为，的最大值为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由题意可得，求出直线的解析式为，，过点作，交直线于点，设点，则点的纵坐标为，求出，得到，再由得出当时，的面积最大，为，此时点的坐标为，连接，由抛物线的对称性可得，将点向下平移个单位长度得到点，连接，，则，证明四边形为平行四边形，得出，从而可得，再由勾股定理计算即可得出结果； （3）求出直线的解析式为，结合题意得出将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到抛物线，进而可得，，过点作对称轴于点，过点作于点，过点作于点，解直角三角形求出，分两种情况：当点在下方时，在轴上取一点，使得，则，连接并延长交于点，当点在上方时，作点关于直线的对称点，作直线交抛物线于点，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，与轴相交于点，抛物线的对称轴直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的对称轴直线与轴交于点， ∴， 设直线的解析式为， 将代入可得， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，令，则， 解得：，， ∴， 如图，过点作，交直线于点， 设点，则点的纵坐标为， 在中，当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴时，的面积最大，为，此时， ∴当的面积最大时，点的坐标为， 连接， ∵点，是抛物线对称轴上的动点，且点、点关于对称轴对称， ∴， 将点向下平移个单位长度得到点，连接，，则， 由平移的性质可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， ， ∵将抛物线沿射线的方向平移个单位得到抛物线， ∴将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到抛物线， ∵， ∴， ∵点为点的对应点， ∴， 过点作对称轴于点，过点作于点，过点作于点， 则，，，， ∴，， ∴， ∴， 当点在下方时，在轴上取一点，使得，则，连接并延长交于点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵对称轴于点， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即点即为所求， 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴此时； 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当点在上方时，作点关于直线的对称点，作直线交抛物线于点， 由轴对称的性质可得，点、的中点在直线上，，即点即为所求， 设，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴此时； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】二次函数的平移法则：左加右减，上加下减；采用数形结合与分类讨论的思想． 7．（2026·重庆京师实验学校·二模）如图，已知抛物线交x轴于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点P是上方抛物线上一动点，过点P作于点D，点M是x轴上一动点，连接，当最大时，求出点P的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点Q为抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）把，，代入，解方程组求出、的值即可得答案； （2）过点作轴于，交于，先求出，，得出最大时，取最大值，求出直线解析式为，设，则，得出，利用二次函数的性质可得，过点O作于，过点作交直线于，利用直角三角形两锐角互余的性质，结合三角函数可得，得出、、三点在同一条直线上时，取最小值，为，根据三角形内角和定理得出，利用三角函数得出，此时，点与点重合，，即可得出答案； （3）先利用平移的性质及待定系数法求出平移后的抛物线解析式为，分点在轴下方和上方两种情况，分别求出直线的解析式为，的解析式为，联立直线与抛物线的解析式，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点作轴于，交于， ∵抛物线解析式为， ∴当时，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，取最大值， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，即取最大值， 当时，， ∴， 过点作于，过点作交直线于， ∵，， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、、三点在同一条直线上时，取最小值，为， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴此时，点与点重合，， ∴， ∴的最小值是． （3）解：如图，设平移后的抛物线的顶点为，平移前抛物线的顶点为， ∵， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线， ∴，，， ∵直线解析式为， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵，， ∴， 当点在轴下方时，交轴于， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和平移后的解析式得，， 解得：（舍去）， ∴； 当点在轴上方时，交轴于， 同理可得，，直线的解析式为， 联立直线和平移后的解析式得，， 解得：，（舍去）， ∴； 综上所述：点的坐标为，． 8．（2026·重庆巷口中学·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴负半轴交于点．连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线，交于点，交轴于点．，分别为轴和直线上的动点，连接，，．当 取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移，使新抛物线经过原点，点为点关于轴的对称点，点为新的拋物线上一动点，连接，．若 ，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或，过程见解析 【分析】（1）根据的正切值可求解点的坐标，再将点与点的坐标代入求解即可； （2）先由平行得到，即可得，再求解直线的表达式，设 ，可得．当四点共线时，的周长取得最小值，由此求解最小值即可； （3）先求解出平移后的二次函数解析式，再分别求解出对应的一次函数解析式，再联立一次函数与二次函数的解析式求解交点即可求解点的坐标． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． 将代入中， 得，解得， 抛物线的表达式为； （2）解： ． 轴， ， ，即， ， ， 设直线的表达式为， 将点代入， 可得，解得， 则直线的表达式为． 设 ， 则 ， ． ， 当时， 取得最大值， 此时．     作点关于轴的对称点，点关于的对称点， 记与交点为点，过点作轴于点， 连接，如图1， 点关于的对称，则， ，即， 则有，即， 可得，， ， ， ，可得， 则点的纵坐标为， 同理可得，则点的横坐标为， 则 由对称性可知 ， 的周长为 ， 当四点共线时，的周长取得最小值， 最小值为；     （3）解：符合条件的点的坐标为 或 ， 令，解得或， ， ， 是等腰直角三角形， 当抛物线沿射线方向平移一定距离时， 以为斜边，构造等腰，将拋物线沿方向的平移转化为沿方向和方向的平移， 可设为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度． ． 经过原点， ，解得或(舍去)， ． 由对称性可知． 取点，连接 ，如图2， ， ， ． 过点作的平行线，交抛物线于点， ， 即 ． 由 可知直线的表达式为， ∴可设所在直线的表达式为． 将代入得， 所在直线的表达式为 ． 联立，解得或(舍去)， ； 取点，连接 ， ， ， ， ， 记与的交点为， ， 由，可知直线的表达式为， 联立，解得或(舍去)， ． 综上所述，符合条件的点的坐标为)或．     9．（2026·重庆綦江未来联盟·二诊）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过P作于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当线段长度取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线 沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点N为新抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．（写出必要的求解过程） 【答案】(1) (2)， (3)或，见解析 【分析】（1）根据抛物线与轴交点及对称轴为求解即可； （2）连接，过作轴交于，当最大时，最大，得到点坐标，过作的平行线，过作，两平行线交于点，当三点共线时最小； （3）原抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到新抛物线： ，在轴上取，作直线交新抛物线于，作关于的对称点，连接并延长交新抛物线于，则，垂足为，交轴于，分别求出直线的解析式，再与新抛物线解析式联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得：， ∴抛物线为：． （2）解：如图，连接，，过P作轴交于T， ∵， ∴当最大时，最大， ∵当时，， ∴，而， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， 设，则， ∴， ∴， 当时，的面积最大，此时最大， ∴， ∵当时，， 解得：或， ∴， 如图，过D作的平行线，过A作，两平行线交于点Q， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 当P，D，Q三点共线时，，此时最小， ∴最小， ∴， ∴的最小值为：． （3）解：或． 理由如下： ∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线向上平移3个单位，再向右平移1个单位为：，即， ∵， ∴， 如图，在x轴上取，作直线交新抛物线于N， ∴， ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， 作K关于的对称点F，连接并延长交新抛物线于，则，垂足为S，交y轴于R， 此时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：， ∴， 由对称可得：S为的中点， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：或． 10．（2026·重庆铜梁一中·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线BC上方抛物线对称轴右侧上一动点，过点P作轴交BC于点M，作轴交抛物线于点N，点E是抛物线对称轴上一动点，点F是y轴上一动点，连接AE，PF，EF，当取得最大值时，求P点坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线BC方向平移后经过点得到抛物线，点G为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点G的坐标，并写出求解点G坐标其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）把点，代入，求解即可； （2）求出对称轴为直线，直线的解析式为，设，，得，得，得当有最大值时，作点P关于y轴的对称点Q，连接，得，，得 ，得当点E在抛物线对称轴上，点F在y轴上时， ，取得最小值； （3）由，求出，得，由平移求出,作关于直线的对称，作交于点，交y轴于点E，过点H作轴于点I，过点C作于点J，可得，符合题意．证明，得，设(),则，由四边形是矩形,得，∴，求出，得,设直线解析式为，求出，直线的解析式为，联立，解得，得,由，求出,设点E关于x轴的对称点为，求出直线的解析式为，联立得，解得得． 【详解】（1）解：把点，代入， 得， 解得 抛物线的解析式为 （2）解： ∴对称轴为直线， ∵， ∴设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， 作点P关于y轴的对称点Q，连接， 则， ∵点A，B关于对称轴对称， ∴， ∴ ， ∴当点E在抛物线对称轴上，点F在y轴上时， ， 取得最小值． （3）解：对， 令，则， 解得或， ∴， ∵，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移后经过点得到抛物线， ∴设抛物线向左平移d个单位长度再向上平移d个单位长度经过点得到抛物线， ∴， 把代入， 得， 解得， 取， ∴， ∵， ∴作关于直线的对称，作交于点，交y轴于点E，过点H作轴于点I，过点C作于点J， 则， ∴， ∵， ∴，符合题意． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设()， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， ∴； 对， 令，则， ∴， 设点E关于x轴的对称点为，直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 联立得， 解得或（舍去）， ∴． 综上，，． 【点睛】第（2）作轴对称图形，构建最短路径模型；第（3）小题，作轴对称图形，构建相似三角形． 11．（2026·重庆实验外国语学校·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，其中． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，点P为直线下方抛物线上的一个动点，过点P作于点D，过点P作交y轴于点E．点M、N是抛物线对称轴上的两个动点（M在下方），，连接，当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点A的对应点为，点C的对应点为，连接，点H为线段的中点．点Q为新抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)点的坐标为 ， 的最小值为 (3)或，过程见详解 【分析】（1）利用对称轴和点A的坐标列方程组求解即可； （2）首先结合已知条件，把求转化为更容易表示的两条线段的和，然后求出这两条线段的和与点P的横坐标之间的函数关系式，再利用函数的性质即可确定点P的坐标；通过平移点P，把问题转化为“将军饮马”问题求解即可； （3）首先确定平移后新抛物线的表达式，然后求出这两个固定角的正切值，进而确定出的正切值，最后设出点Q的坐标，结合的正切值即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，， ， 解得， ∴ 抛物线的表达式为； （2）解：如图 1，过点作轴垂线，分别交轴、对称轴于，， 、两点关于对称轴对称， 的坐标为． 当时，， 点坐标为， 为等腰直角三角形， ． 轴， 轴， ． 在中，． 在中，，， 则，． ， ， ． 在中，， ． 设直线的表达式为， 根据题意得， 解得， 直线的表达式为 ． 设点， 把代入得， ， ． ， 当时，最大，此时点的坐标为． 如图 2，过点作轴，且，连接， 则四边形为平行四边形，， ， 当、、在同一条直线上时，最小． 如图 3，过作轴于，由条件易知坐标为， 在中，，，由勾股定理得， 的最小值为， 的最小值为； （3）解：的横坐标为或，理由如下， 平移前抛物线的表达式为， 将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， 抛物线向右平移了3个单位，向下平移了6个单位， 平移后抛物线的表达式， 如图4，由条件可知平移后，的位置如图所示，其中与重合，坐标为． 是的中点， 的坐标为． 设直线的表达式为，则 解得， 延长交轴于，过点作，交的延长线于。由条件易知的坐标为． 在等腰直角三角形中，，则． 在等腰直角三角形中，， 则． 在中，，， 则． 在中，，， 则． 由条件已知，按如图5所示的方式构造图形， 其中，，则易知，各边的长度如图所示，则． 根据题意，设坐标为，分情况讨论： ① 如图4，当点在轴下方时，过作轴于． 在中，，， 则， 解得（不合题意，舍去），或； ② 如图6，当点在轴上方时，过作轴于． 在中，，， 则， 解得（不合题意，舍去），或， 综上可知点的横坐标为或． 【点睛】本题综合考查了二次函数的图象和性质、解直角三角形以及几何最值等.在复杂的图形中能够准确识别一些基本题型，如将军饮马问题常见的类型及其解法；能够熟练地运用数形结合寻找问题的切入点是解决问题的关键． 12．（2026·重庆大渡口·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，两点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作交于点，过点作交轴于点，为轴上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值： (3)将抛物线沿方向平移个单位长度，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，连接，点是新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把、代入，解方程组求出、的值即可得答案； （2）过点作轴，交于，过点作轴于，交于，根据解析式求出，得出，根据平行线的性质及角的和差关系得出，利用的三角函数求出，，可得，根据，证明四边形是平行四边形，得出当取得最大值时，取最大值，设，可得，根据二次函数的性质可求出点坐标为，在第一象限作，过点作于，交轴于，过点作轴于，可得、、在一条直线上时，取最小值，利用三角函数求出、的长即可得答案； （3）先求出平移后的抛物线解析式为，得出两抛物线的交点为原抛物线的顶点，分点在点下方和点在点上方两种情况，分别求出、的解析式，与新抛物线联立，求出交点坐标即可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，，两点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：如图，过点作轴，交于，过点作轴于，交于， ∴， ∵， ∴当时，， 解得：，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取最大值， 设， ∴，， ∴， ∴当时，取最大值， 当时，， ∴， 在第一象限作，过点作于，交轴于，过点作轴于， ∴， ∴当、、在一条直线上时，取最小值， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴的最小值为． （3）解：∵将抛物线沿方向平移个单位长度，， ∴抛物线向右平移的距离与向上平移的距离相等， 设平移的距离为， ∴， 解得：（负值舍去）， ∵， ∴原抛物线的顶点坐标为，平移后的抛物线解析式为， 联立两个抛物线的解析式得，， 解得：， ∴，此时新抛物线经过原抛物线的顶点， 如图，①当点在点下方时，过点作轴，交于，过点作于， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和新抛物线解析式得，， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴； ②当点在点上方时，过点作于，设交轴于， 同理可得，，， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线和新抛物线解析式得，， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴． 综上所述：点的坐标为或． 13．（2025·重庆八中·二诊）3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点B和D，与坐标系交于A、B、C三点，已知，点B在x轴上，点E为直线与y轴交点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作轴，交于点F．点M为线段上的一动点，轴，垂足为N，连接、．当取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，连接并延长，在第二象限与新抛物线交于点H，点K为新抛物线上一点，当时，直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出，再将、代入抛物线求解即可． （2）联立抛物线与直线解析式求出，再求出，设，则，则，，从而得，根据二次函数的性质得出当时取得最大值，从而得M在直线​上，设，则，，将向右平移个单位得，则，得出，求出​​，即可得的最小值为，从而求解​​． （3）求出，判断出抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，即抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到新抛物线，求出新抛物线解析式．求出直线解析式，联立和，则，求出．设，分为①当点在点左侧时，过点H作轴，过点K作，证明，得出，从而列方程求解．②当点在点右侧时，过点H作轴，过点K作，同理证明，从而列方程求解． 【详解】（1）解：∵点在轴和直线上， 令，得，解得：，即， 将、代入抛物线得 ， 解得：， ∴抛物线表达式为： ． （2）解：联立抛物线与直线解析式得， 解得：，则， ∴， 在直线中，令，得， ∴， 设，则， 则， ， ∴， 则， 该二次函数开口向下，故当时取得最大值， 此时， ∴M在直线​上， 设， ∴，， 将向右平移个单位得，则，连接， ∴， ∵​​， ∴的最小值为， ∴的最小值为​​． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，即抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到新抛物线， ∵抛物线的顶点坐标为， 此时点的对应的点为， 故新抛物线为：． 在中，令，则， ∴， 设直线解析式为， 代入得，解得：， 则直线解析式为， 联立和，则， 解得：， ∴． 设， 当点在点左侧时，如图， 过点H作轴，过点K作， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）或， ∴． 当点在点右侧时，如图， 过点H作轴，过点K作， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）或， ∴； 综上，或． 8 / 102 学科网（北京）股份有限公司 $动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03函数 ☆3大考点概览 考点01函数基础知识 考点2反比例函数及其应用 考点03二次函数图像平移、线段和最值及角度问题 考点01 函数基础知识 号x+10(0<x≤4 1u-{x-104<x<可：y:=x2+60<x<8 21 (2)O12345678910;性质：当0<x<4时，y1随着x的增大而减小或当4<x<8时， y1随着x的增大而增大或当0<x<4时，y2随着x的增大而增大或当4<x<8时，y2随 着x的增大而减小； (3)0<x<1.3或6.7<x<8 2x (0<x≤3) 2.y{-x+ (3<x<5),y2=是(0<x<5) 7 6 4 3 6 2 01234567x (2) 图2 函数y:的最大值为6 30<x<V5 4x(0<x≤3) 3.y={213x(3<x<7):y2=号(0<x<7) (2)如图所示： 1/7 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 32109 87 65 437 0123456891my1的性质：当0<x≤3时，y1随x的增大而增大，当3<x<7时， Y随x的增大而减小； y2的性质：当0<x<7时，y2随x的增大而减小； 3)当y1≥y2时x的取值范围为1.6≤x≤6.5 f6-2x(0<x<3) 4.(y1= 2x-6(3<x≤6)，y2=9(0<x≤6) 8 6 2012345678y,的性质：当0<x<3时，y1随x的增大而减小，当 3<x≤6时，Y1随x的增大而增大（答案不唯一）；Y,的性质：当0<x≤6时，Y,随x的 增大而减小（答案不唯一） (3)4.2 20-5s,0<x≤4 4 51'1= 0,4<x<8,y2=是(0<x<8) 8 6 4 3 2 1 (2)O123456789,性质：当x=4时，y1有最小值0（答案不唯一） (35.2<x<8 昌x0<x≤4 6.(1y1= x+12,4<x≤8，y2=是(0<x<8) 2/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 876 4 v- 32 (2)0f123456789103, 当0<x≤4时，Y:随x的增大而增大，当4<x≤8时，y1 随x的增大而减小 (30<x<2.3或7.3<x<8 10-号x0<x<4) 7.y= 3x-10(4≤x<母)，2=奇x0<x<8) 11 109 87 65 321 2)012345678910T立，y1的图象关于直线x=4对称，y2在0<x<8时，y2随 x的增大而增大 (3)0<x≤3.3或5.3≤x<8 3x(0<x≤2) 8.y={8-x(2<x<8):y2=员(0<x<8) 9 8 6 2 (2)0123456789六，当0<x≤2时，函数值y1随自变量的增大而增大： 3)当0<x≤13或7.4≤x<8时，y1≤y2 x(0<x≤4) 9.1y1= {-x+74<x<7):y,=是(0<x<7) 3/7 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 87 65 2 1 2O123456方8主，当0<x≤4时，y1随x的增大而增大，当4<x<7时，y1随 x的增大而减小；当0<x<7时，Y2随x的增大而减小： 3)2.3≤x≤6.4 x(0<x≤4) 10.y={ 号x+9(4<x<8),y2=是(0<x<8) 8 76 5 43 2)O123456789亡，性质：当0<x≤4时，y1随x的增大而增大：在4<x<8时 y随x的增大而减小（答案不唯一） (3)0<x≤2.4或7.2≤x<8 11.x<-2或x>5 x(0<x≤4) 12. 8x+12(4<x<8),y2=是(0<x<8) (2)o1234s6789成当0<x<4时，y1随x的增大而增大，当4<x<8时，y1随x的 增大而减小： 当0<x<8时，Y2随x的增大而减小 3)1.6<x<7.7 考点02 反比例函数及其应用 4/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.A 2.A 3.C 4.C 5.c 6.C 7.A 8.C 9.c 10.B 11.k<4 居0<t≤5) 12.(1y1=1 t+66<t<10),y2=60<t<10) 0987 654 (2)可1234567891o7,在0<t<10范围内函数y1的值随x的增大而增大，在 0<t<10范围内函数y2的值随x的增大而减小 (3)0<t<2.4 考点03 二次函数图像平移、线段和最值及角度问题 1.(1y=x2-2x-6 2号61 B20平和-1 2.(1y=-x2+x+4 1(24), B(-26,3V26-9)或(2✉，) 5/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(1y=-x2.x+2 21+V13 3)(-1,3)或(-1-2W5,-3-3V3) 4.(1y=-x2-x+3 (2)P(-4,3),最大值为V29 3)所有符合条件的点F的横坐标为42亚或426 3 5.(1y=x2-2x+ 2)点T(3·),1TN-NP最大值为3西 (3-2,V2)或(271446 49 6.(1y=-号x2+号x+2 (2)当△PCD的面积最大时， 点P的坐标为（号名），PM-AN的最大值为四 (号，-)或（器，器） 7.(1y=-3x2+x+6 23V5 e0a,-1-3v可)02，-1+5时 8.(1y=x2+x-2 2P(3-器)，220 3)(2+2N5,3+V5)或(5-V33,12-2W33) 9.(1y=-x2+x+3 2P(2,昌)，+2 N(,)或（器，·器 10.(1y=-3x2+x+4 6/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2呼 c(+ 13+3193） 4 16 G2(+24 21+3241 4 16 11.(1y=x2-x-6 2)点P的坐标为（号，-），PM十MN+BN的最小值为+3 315-3V13或-6-6v5 12.(1y=-x2-2x+6 221549 B)N(-4,2)或N(得，号) 13.(1y=-号x2+2x+6 2p 3)K(-3,号)或K(-6,6) 7/7