精品解析：河南省驻马店市正阳县2025-2026学年九年级数学第二次中招模拟考试

2026年九年级学业水平调研（三） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，数轴上点M表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 某立体图形的展开图如图所示，则该立体图形是（ ） A. 四棱柱 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥 3. 据统计，2025年河南省粮食总产量达6560万吨，位居全国前列，数据“6560万”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 将一块含有角的直角三角板与一把矩形直尺按照如图方式摆放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 6. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 洛阳牡丹是国花，被誉为“国色天香”．现有四张正面印有不同品种牡丹（如图）的卡片：洛阳红（红色），二乔（粉红色），姚黄（黄色），魏紫（紫红色），它们除正面图案外完全相同．将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，不放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片正面都是红色系的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在边上，连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在上的点F处，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 某款手机电池的电量与充电时间的关系如图所示，根据图象可推断出（ ） A. 充电时间在时，充电时间越长，电池电量越大 B. 充电至所需时间约为总充电时间的一半 C. 电池电量从增加到所需时间比从增加到少 D. 电池电量与充电时间的关系是一次函数关系 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个可以使成立的x的整数值：______． 12. 某学校在学期末把学生的纸笔测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按，，的比例计入学期总评成绩，甲、乙两名同学的各项成绩如表所示（单位：分），则学期总评成绩较好的是______．（填写“甲”或“乙”） 纸笔测试 实践能力 成长记录 甲 90 85 80 乙 88 80 87 13. “杨辉三角”是我国古代伟大的数学成就，用来解释二项式和的乘方系数规律．如图，杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它上方左、右两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数，，，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数．根据上面的规律，写出展开式中各项的系数和______． 14. 如图，等边三角形的边长为，点D是的中点，以点D为圆心，的长为半径画半圆与等边三角形的边相交，则阴影部分的面积为______． 15. 线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，点P和点B位于直线异侧，点P不在直线上，且，连接，若，，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求完成各题 （1）计算：． （2）化简： 17. 为了增强学生的健康用眼意识，学校开展了“珍爱光明，保护眼睛”护眼知识竞赛．从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制；均不低于70分，用x表示，分为合格、良好、优秀三个等级，合格为，良好为，优秀为），下面给出了部分信息． 八年级10名学生的竞赛成绩为：77，78，87，87，89，89，89，96，98，100． 九年级10名学生的竞赛成绩在良好等级中的数据为：84，88，88，88，89． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 89 89 b 52.4 九年级 89 a 88 49.0 根据以上信息，回答下列问题； （1）______，______ （2）你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写一条即可）． （3）该校八年级和九年级共有1200人参赛，请估计该校八年级和九年级参赛学生中成绩为“优秀”等级的总共有多少人． 18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A，D的坐标分别为，，对角线平行于y轴，反比例函数的图象经过点A． （1）求该反比例函数的表达式． （2）若将菱形向下平移，判断平移后的图形能否有两个顶点同时落在该反比例函数的图象上，并说明理由． 19. 如图，是的外接圆，且为的直径，与相切于点B． （1）用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点E，交于点F（保留作图痕迹，不写作法）． （2）求证：是等腰三角形． 20. 端午节将至，某粽子加工商打算购进一些糯米加工粽子．甲、乙两家超市对质量和价格相同的糯米分别推出了不同的优惠方案：甲超市为前糯米按原价销售，超过时，超出部分打a折销售；乙超市一律打b折销售．其中收费y（元）和糯米数量之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）______． （2）请求出当时，在甲超市收费y（元）和购买糯米的数量之间的函数解析式． （3）若该粽子加工商只在一个超市购买糯米，请你直接写出最省钱的购买方案． 21. 学校数学兴趣小组利用所学的数学知识对大树的高度进行测量．他们分为甲、乙两组，分别设计了如下测量方案． 活动内容 测量大树的高度 工具 测角仪，皮尺 组别 甲 乙 测量示意图 测量方案 组长用测角仪测量眼睛C看大树顶端A的仰角，测量眼睛C距离水平地面的高度． 组长用测角仪测量眼睛C看大树顶端A的仰角，测量眼睛C距离水平地面的高度，面向大树前进，测量眼睛E看大树顶端A的仰角，测量眼睛E距离水平地面的高度，用皮尺测得的长度． 说明 所有点均在同一竖直平面内，表示水平地面，于点B，于点D． 所有点均在同一竖直平面内，表示水平地面，于点B，于点D，于点F． 测量数据 ， ，，， 参考数据 ，，，， 计算 …… …… 问题解决： （1）你认为哪个组的测量方案不够完整？请指出并将方案补充完整． （2）根据表中测量方案完整的小组测量出的数据，计算大树的高度（结果精确到）． 22. 图1所示的实验装置由一个斜面轨道和水平轨道组成，钢球从斜面轨道顶端由静止状态滚下，运动到点P处时，开始测量并记录钢球在水平轨道上的滚动时间t（单位：s）与滚动距离s（单位：）的相关数据（如表），并在图2所示平面直角坐标系中用图象刻画钢球在水平轨道上的滚动距离s（单位：）与滚动时间t（单位：s）之间的关系． 滚动时间 0 4 8 12 16 20 … 滚动距离 0 60 112 156 192 220 … 请解决下列问题： （1）根据表中数据和图象可知，钢球在水平轨道上的滚动距离s（单位：）是滚动时间t（单位：s）的______函数（填“一次”“二次”或“反比例”），其函数表达式为____________． （2）请求出钢球在水平轨道上的最远滚动距离，并求出此时钢球在水平轨道上的滚动时间． （3）当钢球到达水平轨道上P点时，前方点Q处有一辆电动小车以的速度向右匀速直线运动．当时，钢球刚好追上电动小车，请求出点P，Q之间的距离． 23. 综合与实践课上，同学们开展“探究四点共圆的条件”的数学活动． （1）操作判断：如图1，在线段同侧分别画出两个直角三角形和，且，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，取线段的中点O，连接，， 在中，， 是斜边上的中线， ___________， 同理，． 又， ， 点A，B，C，D四点在以为直径的圆上． 上述探究过程中横线上填的内容是_____________； （2）迁移探究：在图1的基础上，连接，作于点E，得到图3，若，请利用（1）中探究所得的四点共圆的结论，判断与的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用：在中，,,，若以为斜边作等腰直角三角形，连接，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级学业水平调研（三） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，数轴上点M表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由数轴可得点M表示的数大于，小于0，再进行实数的大小比较即可． 【详解】解：由数轴可得，点M表示的数大于，小于0， ，不符合题意；，不符合题意；，符合题意， ，则，不符合题意． 2. 某立体图形的展开图如图所示，则该立体图形是（ ） A. 四棱柱 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵立体图形的侧面是三个长方形，上下底面是三角形， ∴该立体图形是三棱柱． 3. 据统计，2025年河南省粮食总产量达6560万吨，位居全国前列，数据“6560万”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：6560万． 4. 将一块含有角的直角三角板与一把矩形直尺按照如图方式摆放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由平行线的性质和对顶角相等求出，然后求出，最后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式 ， 整理得， 解得． 6. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】C 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质以及点E为的中点证明，再证明，由相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线，相交于点O， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用平方差公式分解分母，再通分计算分子，最后约分得到结果，用到分式通分约分法则和平方差公式 【详解】解：  ． 8. 洛阳牡丹是国花，被誉为“国色天香”．现有四张正面印有不同品种牡丹（如图）的卡片：洛阳红（红色），二乔（粉红色），姚黄（黄色），魏紫（紫红色），它们除正面图案外完全相同．将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，不放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片正面都是红色系的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用画树状图法求解即可． 【详解】解：设洛阳红（红色）记作，二乔（粉红色）记作，姚黄（黄色）记作，魏紫（紫红色）记作，根据题意，画树状图如下： 一共有12种等可能性，两次抽取的卡片正面都是红色系的有6种等可能性， 故两次抽取的卡片正面都是红色系的概率为． 9. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在边上，连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在上的点F处，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质、30度角的性质及勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴， ∵将沿所在直线折叠，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 某款手机电池的电量与充电时间的关系如图所示，根据图象可推断出（ ） A. 充电时间在时，充电时间越长，电池电量越大 B. 充电至所需时间约为总充电时间的一半 C. 电池电量从增加到所需时间比从增加到少 D. 电池电量与充电时间的关系是一次函数关系 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数图象逐项分析即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：观察图象可知，在充电时间的范围内，图象从左向右呈上升趋势，即意味着随着充电时间的增加，电池电量也在不断增加，故A正确； 由图象得，充满电所需的总时间为， 总充电时间的一半是， 观察图象，当充电时间为时，对应的电池电量约为，故B错误； 观察图象可得，电池电量从增加到所需时间约为，从增加到所需时间约为， ∵， ∴电池电量从增加到所需时间比从增加到多，故C错误； 由图象可得电池电量与充电时间的关系不是一次函数关系，故D错误． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个可以使成立的x的整数值：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简原不等式，得到的取值范围，在取值范围内写出一个符合要求的整数值即可． 【详解】解：由二次根式的性质可知，，则原不等式可化为， 当时，，此时，不成立， 当时，，为负数，则，可得，不等式成立， 因此满足条件的为任意负整数， 所以使成立的x的整数值可以为（答案不唯一）． 12. 某学校在学期末把学生的纸笔测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按，，的比例计入学期总评成绩，甲、乙两名同学的各项成绩如表所示（单位：分），则学期总评成绩较好的是______．（填写“甲”或“乙”） 纸笔测试 实践能力 成长记录 甲 90 85 80 乙 88 80 87 【答案】乙 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义分别计算甲、乙两人的学期总评成绩，比较二者大小即可得出结论． 【详解】解：甲的总评成绩为：（分）， 乙的总评成绩为：（分）， 因为， 所以学期总评成绩较好的是乙． 13. “杨辉三角”是我国古代伟大的数学成就，用来解释二项式和的乘方系数规律．如图，杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它上方左、右两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数，，，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数．根据上面的规律，写出展开式中各项的系数和______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意得展开式中各项的系数和为；展开式中各项的系数和为；展开式中各项的系数和为；；展开式中各项的系数和为；当时，代入即可求解． 【详解】解：由展开式中各项的系数和为； 展开式中各项的系数和为； 展开式中各项的系数和为； ； ∴展开式中各项的系数和为； 当时，展开式中各项的系数和为． 14. 如图，等边三角形的边长为，点D是的中点，以点D为圆心，的长为半径画半圆与等边三角形的边相交，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，则是等边三角形，然后根据求解，同理求解，即可求解阴影部分的面积 【详解】解：连接，过点作于点 ∵等边三角形的边长为，点D是的中点， ∴，， 由题意得，， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∴， 同理可求 ∴阴影部分的面积． 15. 线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，点P和点B位于直线异侧，点P不在直线上，且，连接，若，，则______． 【答案】6或##或6 【解析】 【分析】由旋转性质得到为等边三角形，结合已知条件推得，然后分两种情况作图，根据锐角三角函数以及勾股定理求解即可． 【详解】解：线段绕点逆时针旋转得到线段 ， 是等边三角形 ①当中上的高在三角形内，过点作于点，过点作交延长线于点，则 ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴ ∴； ②当中上的高在三角形外，过点作交延长线于点， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴点在上，如图： ∴ ∵ ∴， 综上：的长度为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求完成各题 （1）计算：． （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据零次幂、负整数次幂、绝对值化简，然后再计算即可； （2）先运用单项式乘多项式、完全平方公式展开，然后去括号、合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 为了增强学生的健康用眼意识，学校开展了“珍爱光明，保护眼睛”护眼知识竞赛．从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制；均不低于70分，用x表示，分为合格、良好、优秀三个等级，合格为，良好为，优秀为），下面给出了部分信息． 八年级10名学生的竞赛成绩为：77，78，87，87，89，89，89，96，98，100． 九年级10名学生的竞赛成绩在良好等级中的数据为：84，88，88，88，89． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 89 89 b 52.4 九年级 89 a 88 49.0 根据以上信息，回答下列问题； （1）______，______ （2）你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写一条即可）． （3）该校八年级和九年级共有1200人参赛，请估计该校八年级和九年级参赛学生中成绩为“优秀”等级的总共有多少人． 【答案】（1）88，89 （2）八年级成绩更好．理由：虽然八年级和九年级平均成绩相同，但八年级成绩的众数高于九年级．（答案不唯一，合理即可） （3）360人 【解析】 【分析】（1）由中位数和众数的定义计算即可得出结果； （2）根据平均数和众数分析即可得出结果； （3）用乘以该校八年级和九年级参赛学生中成绩为“优秀”等级的人数所占的比例即可得出结果． 【小问1详解】 解：八年级10名学生的竞赛成绩出现次数最多的为，即， 九年级10名学生的竞赛成绩在优秀等级的人数为（人）， 将九年级10名学生的竞赛成绩按照从大到小排列，位于第个和第个的竞赛成绩分别为88，88，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）． 故估计该校八年级和九年级参赛学生中成绩为“优秀”等级的总共有360人． 18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A，D的坐标分别为，，对角线平行于y轴，反比例函数的图象经过点A． （1）求该反比例函数的表达式． （2）若将菱形向下平移，判断平移后的图形能否有两个顶点同时落在该反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2）菱形向下平移之后，点B，C的对应点能同时落在反比例函数图象上． 理由：由已知条件可知，菱形向下平移之后，点A与点D不可能落在该反比例函数图象上． 菱形是轴对称图形，对角线平行于y轴，且点A，D的坐标分别为，， 点B，C的坐标分别为，． 设菱形向下平移m个单位长度，则点B的对应点的坐标为． 若点B的对应点落在反比例函数的图象上， 则， 解得，即菱形向下平移2个单位长度，此时点C的对应点的坐标为． 当时，， 点C的对应点也在反比例函数的图象上． 菱形向下平移2个单位长度，点B，C的对应点能同时落在该反比例函数的图象上． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）利用菱形的性质并结合平移的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 略 19. 如图，是的外接圆，且为的直径，与相切于点B． （1）用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点E，交于点F（保留作图痕迹，不写作法）． （2）求证：是等腰三角形． 【答案】（1）作图如图所示． （2）证明：是的直径， ， ， 与相切于点B， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，以任意长度为半径作弧，分别交于点，再以点为圆心，以大于的长度为半径作弧并交于点，连接并延长，交于点E，交于点F即可； （2）首先证明，易得，再证明；根据是的平分线，可得，进而可得；结合对顶角相等可知，易得，进而可得，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 端午节将至，某粽子加工商打算购进一些糯米加工粽子．甲、乙两家超市对质量和价格相同的糯米分别推出了不同的优惠方案：甲超市为前糯米按原价销售，超过时，超出部分打a折销售；乙超市一律打b折销售．其中收费y（元）和糯米数量之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）______． （2）请求出当时，在甲超市收费y（元）和购买糯米的数量之间的函数解析式． （3）若该粽子加工商只在一个超市购买糯米，请你直接写出最省钱的购买方案． 【答案】（1）八 （2） （3）当时，去乙超市购买比较省钱；当时，两家超市花费一样；当时，去甲超市购买比较省钱 【解析】 【分析】（1）根据前糯米原价为20元，打折后为16元求解即可． （2）根据待定系数法将点与点代回函数解析式求解即可． （3）先求解出乙超市收费y（元）和购买糯米的数量之间的函数解析式，再令两个函数相等求解即可． 【小问1详解】 解：根据图象可知，时，；时，； 即前糯米原价为20元，打折后为16元， 则有，即打八折，故八． 【小问2详解】 解：设当时，在甲超市收费y（元）和购买糯米的数量之间的函数解析式为， 根据图象可知，点与点在函数图象上， ∴，解得， ∴， 即当时，在甲超市收费y（元）和购买糯米的数量之间的函数解析式为． 【小问3详解】 解：设乙超市收费y（元）和购买糯米的数量之间的函数解析式为， 根据图象可知，点在函数图象上， ∴，解得， ∴， 由（2）可知，当时，在甲超市收费y（元）和购买糯米的数量之间的函数解析式为． 由图象可知，在时无交点， 故当时，令，解得， 即当时，两家超市花费一样； 当时，由图象可知，甲超市图象位于乙超市图象上方，故乙超市购买比较省钱； 当时，甲超市购买比较省钱； 综上，当时，去乙超市购买比较省钱；当时，两家超市花费一样；当时，去甲超市购买比较省钱． 21. 学校数学兴趣小组利用所学的数学知识对大树的高度进行测量．他们分为甲、乙两组，分别设计了如下测量方案． 活动内容 测量大树的高度 工具 测角仪，皮尺 组别 甲 乙 测量示意图 测量方案 组长用测角仪测量眼睛C看大树顶端A的仰角，测量眼睛C距离水平地面的高度． 组长用测角仪测量眼睛C看大树顶端A的仰角，测量眼睛C距离水平地面的高度，面向大树前进，测量眼睛E看大树顶端A的仰角，测量眼睛E距离水平地面的高度，用皮尺测得的长度． 说明 所有点均在同一竖直平面内，表示水平地面，于点B，于点D． 所有点均在同一竖直平面内，表示水平地面，于点B，于点D，于点F． 测量数据 ， ，，， 参考数据 ，，，， 计算 …… …… 问题解决： （1）你认为哪个组的测量方案不够完整？请指出并将方案补充完整． （2）根据表中测量方案完整的小组测量出的数据，计算大树的高度（结果精确到）． 【答案】（1）甲组的测量方案不够完整，还需要测量出的距离 （2）大树的高度约为 【解析】 【分析】（1）甲组的测量方案不够完整，还需要测量出的距离； （2）延长交于点G，则四边形与四边形都是矩形，根据三角函数表示出，，列方程求出x的值，设，进而可知大树的高度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，延长交于点G，则四边形与四边形都是矩形， ，． 设， ， ，， ，， ， 解得， ， （）， 大树的高度约为． 22. 图1所示的实验装置由一个斜面轨道和水平轨道组成，钢球从斜面轨道顶端由静止状态滚下，运动到点P处时，开始测量并记录钢球在水平轨道上的滚动时间t（单位：s）与滚动距离s（单位：）的相关数据（如表），并在图2所示平面直角坐标系中用图象刻画钢球在水平轨道上的滚动距离s（单位：）与滚动时间t（单位：s）之间的关系． 滚动时间 0 4 8 12 16 20 … 滚动距离 0 60 112 156 192 220 … 请解决下列问题： （1）根据表中数据和图象可知，钢球在水平轨道上的滚动距离s（单位：）是滚动时间t（单位：s）的______函数（填“一次”“二次”或“反比例”），其函数表达式为____________． （2）请求出钢球在水平轨道上的最远滚动距离，并求出此时钢球在水平轨道上的滚动时间． （3）当钢球到达水平轨道上P点时，前方点Q处有一辆电动小车以的速度向右匀速直线运动．当时，钢球刚好追上电动小车，请求出点P，Q之间的距离． 【答案】（1）二次， （2）钢球在水平轨道上的最远滚动距离是 ，此时钢球在水平轨道上的滚动时间是 （3）点P，Q之间的距离为 【解析】 【分析】（1）根据函数图象为抛物线即可确定为二次函数，然后由待定系数法求解表达式； （2）根据二次函数的性质即可求解最值； （3）求出时的函数值，再求出电动小车跑的距离，相减即可． 【小问1详解】 解：由函数图象可得，钢球在水平轨道上的滚动距离s（单位：）是滚动时间t（单位：s）的二次函数， 由于抛物线经过原点，则设表达式为 代入，得， 解得 ∴函数表达式为； 【小问2详解】 解：在中，， 当 时，s有最大值，最大值为， 钢球在水平轨道上的最远滚动距离是 ，此时钢球在水平轨道上的滚动时间是； 【小问3详解】 解：当时， ， ， ， 点P，Q之间的距离为． 23. 综合与实践课上，同学们开展“探究四点共圆的条件”的数学活动． （1）操作判断：如图1，在线段同侧分别画出两个直角三角形和，且，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，取线段的中点O，连接，， 在中，， 是斜边上的中线， ___________， 同理，． 又， ， 点A，B，C，D四点在以为直径的圆上． 上述探究过程中横线上填的内容是_____________； （2）迁移探究：在图1的基础上，连接，作于点E，得到图3，若，请利用（1）中探究所得的四点共圆的结论，判断与的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用：在中，,,，若以为斜边作等腰直角三角形，连接，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）解：，理由如下： 如图，作直角三角形斜边上的中线，作于点F， 由（1）可知，点A，B，C，D四点在同一个圆上， ． ， ， ，， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点O为的中点， ， ， ， ， ， ． （3）或 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得结论； （2）添加辅助线，作直角三角形斜边上的中线，作于点F，证明与全等，由此可得，再证得到，即可得到与的数量关系； （3）分情况讨论点与点在同侧，以及点与点在异侧，结合图形旋转以及等腰直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点与点在同侧时，如图， 由（1）可知，点A，B，C，D四点在同一个圆上， 将绕点逆时针旋转得到，使得与重合， ∵， ∴，则旋转后点落在上，为点， ∵，且， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴； 当点与点在异侧时，如图， 由（1）可知，点A，B，C，D四点在同一个圆上， 将绕点顺时针旋转得到，使得与重合， ∵三角形为等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则旋转后点落在的延长线上，为点， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴； 综上，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $