精品解析：河南省驻马店市正阳县2025年中考二模考试数学试题

九年级学业质量监测试题 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，根据有理数a，b，c在数轴上的位置，下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 一双没洗过的手，带有各种细菌约个，用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图一个空心圆柱体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（ ） A B. C. D. 9. 如图，AB是⊙O直径，过⊙O上的点C作⊙O切线，交AB的延长线于点D，若∠D＝40°，则∠A大小是（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 10. 如图（1），在中，，点从点出发，沿三角形的边以的速度逆时针运动一周，图（2）是点运动时，线段的长度随运动时间变化的关系图象，则图（2）中点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 三个连续整数中，n 是最小的一个，则这三个数的和为 ________． 12. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中早锻炼及体育课外活动占20%，其中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，小桐的三项成绩（百分制）依次是80，90，86，则小桐这学期的体育成绩是______． 13. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 14. 如图，一次函数 图象分别与x轴、y轴交于点A，B．若以线段为边，在第一象限内作等腰，使，则直线的函数表达式为________________________． 15. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是边AC的中点，CE⊥BD于E．若F是边AB上的点，且使△AEF为等腰三角形，则AF的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据： 84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据： 67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100； 抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 88 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意共有多少人？ 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）直接写出一次函数的值大于反比例函数的值自变量的范围； （3）在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标． 19. 神龙阁是神龙公园的地标建筑．在一次数学综合实践活动中，李老师布置了一个任务：请根据所学知识设计一种方案，测量神龙阁的高． （1）某小组通过思考，绘制了如图2所示的测量示意图，即在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为α，点C到点B的距离米，即可得出塔高 米（请你用所给数据α和a表示）． （2）但在实践中发现：由于无法直接到达塔底端的B点，因此无法直接测量．该小组对测量方案进行了如下修改：如图3，从水平地面的C点向前走a米到达点D处后，在D处测得塔顶端A的仰角为β，即可通过计算求得塔高．若测得的，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果精确到1米，参考数据：，） 20. 如图，直线l与相切于点D，AB为的直径，延长交直线l于点C． （1）尺规作图：过点A作：于点E；（保留作图痕迹，不要求写出具体作法） （2）在（1）条件下，求证：平分； （3）如果，求的半径． 21. 今年A地的橘子又是大丰收，为了争取利润最大化，老张决定从A地运橘子到B地，再从B地运苹果到A地，已知甲车一次可以运12吨，每箱苹果的重量是每箱橘子重量的两倍． （1）若该车每次运输都刚好装满12吨，每次所运的橘子比苹果多400箱，每箱橘子多少千克？ （2）老张要从A地运102吨橘子到B地，现用甲、乙两种汽车共6辆，且乙车一次可以运20吨． ①至少需要用几辆乙车？ ②若甲车每辆的运输费为3500元，乙车每辆的运输费为5000元，运这些橘子到B地至少需要多少运费？ 22. 【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为． 【问题解决】 （1）求a的值； （2）现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度． 23. 【问题发现】 （1）如图1，在矩形中，点P是矩形内一点，过点P作，分别交，于点E，F．则______．（填“>”“=”或“<”） 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，点P是矩形外一点，过点P作，分别交，的反向延长线于点E，F，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，P是外一点，，，，则的最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级学业质量监测试题 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，根据有理数a，b，c在数轴上的位置，下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】数轴上右边的数大于左边的数，根据数在数轴上对应的点的左右位置可得答案． 详解】解：根据数轴可得： 故选A 【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，掌握“数轴上右边的数大于左边的数”是解本题的关键． 2. 一双没洗过的手，带有各种细菌约个，用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用科学记数法的表示方法即可求解． 详解】解：， 故选：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，根据题意得出，再由平角即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B 4. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据主视图是从物体的正面看得到的视图即可，解题的关键是注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 【详解】解：图中空心圆柱体的主视图是： 故选：． 5. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式性质，根据不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式），不等式方向不变；不等式两边同时乘以一个正数，不等式方向不变；不等式两边同时乘以一个负数，不等式方向改变，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、由，可知，该选项错误，不符合题意； B、由，可知，该选项错误，不符合题意； C、由，可知，该选项错误，不符合题意； D、由，可知，该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查不等式性质，熟记不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式），不等式方向不变；不等式两边同时乘以一个正数，不等式方向不变；不等式两边同时乘以一个负数，不等式方向改变，是解决问题的关键． 6. 我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质． 过点作交延长线于E，先证明四边形是菱形，得，则，利用直角三角形的性质得求得，然后用正方形的面积减去菱形的面积即可． 【详解】解：过点作交延长线于E，如图， ∵正方形， ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形的面积减少了， 故选：A． 7. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，利用合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的运算法则分别对各项进行运算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】、与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 8. 一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算整个图形的面积和阴影部分面积，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：整个图形面积， 阴影部分面积， ∴小球停在阴影区域的概率， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了几何概率公式，解题的关键是掌握几何概率公式：一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 9. 如图，AB是⊙O直径，过⊙O上的点C作⊙O切线，交AB的延长线于点D，若∠D＝40°，则∠A大小是（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线的性质可得∠OCD=90°，即可求出∠COD的度数，根据圆周角定理即可得答案． 【详解】∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD=90°， ∵∠D=40°， ∴∠COD=50°， ∵AB是⊙O直径， ∴∠A和∠COD分别为所对圆周角和圆心角， ∴∠A=∠COD=25°， 故选：B． 【点睛】本题考查切线的性质及圆周角定理，圆的切线垂直于过切点的半径；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握相等定理及性质是解题关键． 10. 如图（1），在中，，点从点出发，沿三角形的边以的速度逆时针运动一周，图（2）是点运动时，线段的长度随运动时间变化的关系图象，则图（2）中点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数图象可得t=8（s）时，P点到达B点，t=18（s）时，P点到达C点，可得AB=8（cm），BC=10（cm）；t=13（s）时，P点到达BC中点，此时如图1，过点P作PH⊥AB于H，连接AP，由三角形中位线的性质求得PH的长，在Rt△PHA中用勾股定理求解即可； 【详解】解：由函数图象可得：t=8（s）时，P点到达B点，即AB=8（cm），t=18（s）时，P点到达C点，即BC=18-8=10（cm）， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC=（cm）， 当t=13（s）时，PB=13-8=5（cm），即P点到达BC中点， 如图1，过点P作PH⊥AB于H，连接AP， 则， ∴PH是△BCA的中位线， ∴PH=CA=3（cm），HA=HB=4（cm）， 在Rt△PHA中，由勾股定理得PA=（cm）， ∴P点坐标为（13，5）， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点的函数图象问题，三角形中位线的性质，勾股定理等知识；做此类题需要弄清横纵坐标的代表量，每一段自变量与因变量的变化情况及变化的趋势，确定三角形各线段的长度． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 三个连续整数中，n 是最小的一个，则这三个数的和为 ________． 【答案】3n+3 【解析】 【分析】根据最小的整数为n，表示出三个连续整数，求出之和即可． 【详解】解：根据题意三个连续整数为n，n+1，n+2， 则三个数之和为n+n+1+n+2=3n+3． 故答案为：3n+3． 【点睛】此题考查了整式的加减，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中早锻炼及体育课外活动占20%，其中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，小桐的三项成绩（百分制）依次是80，90，86，则小桐这学期的体育成绩是______． 【答案】86分 【解析】 【分析】根据题意，求小桐的三项成绩的加权平均数即可． 【详解】解：（分）， 答：小桐这学期的体育成绩是86分． 故答案是：86分 【点睛】本题主要考查加权平均数，掌握加权平均数的意义，是解题的关键． 13. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】#### 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 14. 如图，一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于点A，B．若以线段为边，在第一象限内作等腰，使，则直线的函数表达式为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．在中，当时，，解得，即可得到点A的坐标；求出点B的坐标是，作轴于点D，证明，则，得到，则C的坐标是．利用待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：在中，当时，， 当时，， 解得：， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， 如图，作轴于点D， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∴， ∴C的坐标是， 设直线的函数表达式为，把点A、C的坐标代入得： ， 解得 ∴直线的函数表达式为 故答案为：． 15. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是边AC的中点，CE⊥BD于E．若F是边AB上的点，且使△AEF为等腰三角形，则AF的长为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】由相似三角形的性质可求AE的长，BE的长，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2， ∴AB＝ ∵∠DCB＝90°，CE⊥BD， ∴△CDE∽△BDC， ∴CD2＝DE•DB， ∵AD＝CD， ∴AD2＝DE•DB， ∴， ∵∠ADE=∠ADB， ∴△DAE∽△DBA； ∴， ∴AE＝， ∵DE＝，BD＝， ∴BE＝， 如图1中，若AE＝AF时， ∴AF＝； 如图2中，若FE＝AE时，过点E作EJ⊥AB于J， ∵JE2＝AE2﹣AJ2＝EB2﹣BJ2， ∴﹣AJ2＝﹣（2﹣AJ）2， ∴AJ＝， ∵AE＝EF，EJ⊥AF， ∴AF＝2AJ＝， 如图3中，若EF＝AF时，过点E作EJ⊥AB于J， ∵EJ2＝AE2﹣AJ2＝EF2﹣FJ2， ∴﹣＝AF2﹣（﹣AF）2， ∴AF＝， 综上所述：AD的长为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数次幂、二次根式的化简、实数的混合运算、整式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用绝对值、负整数次幂、化简二次根式，然后再计算即可； （2）直接运用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． 17. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据： 84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据： 67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100； 抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 88 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】（1）15，，96 （2）A款聊天机器人更受用户喜爱，理由见解析 （3）69（人） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键； （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可； （3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：“满意”所占百分比为， ∴“比较满意”所占百分比为， ∴； ∵A款的评分非常满意有个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； ∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ∴， 在B款的评分数据中，96出现的次数最多， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱． 【小问3详解】 解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）直接写出一次函数的值大于反比例函数的值自变量的范围； （3）在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、函数图像问题及线段和最值问题． （1）联立两函数解析式求出交点坐标； （2）根据函数图象的上下位置关系找出不等式的解集； （3）作A关于x轴对称点即可找出点 P 的位置． 【小问1详解】 点在一次函数上， ， 点的坐标为， 点在反比例函数（为常数，且）上， ， 反比例函数表达式为． 联立一次函数表达式与反比例函数表达式，的： ， 解得：， 点B的坐标为． 【小问2详解】 当时， 一次函数的图像在反比例函数图像上方， 自变量的取值范围为或． 【小问3详解】 作A关于y轴对称点，连接交y轴于点P，此时的值最小． 点，A关于y轴对称点， ， 设直线的表达式为， 则有， 解得：， 直线的表达式为， 令中，则， 点P的坐标为． 19. 神龙阁是神龙公园地标建筑．在一次数学综合实践活动中，李老师布置了一个任务：请根据所学知识设计一种方案，测量神龙阁的高． （1）某小组通过思考，绘制了如图2所示的测量示意图，即在水平地面上的点C处测得塔顶端A的仰角为α，点C到点B的距离米，即可得出塔高 米（请你用所给数据α和a表示）． （2）但在实践中发现：由于无法直接到达塔底端的B点，因此无法直接测量．该小组对测量方案进行了如下修改：如图3，从水平地面的C点向前走a米到达点D处后，在D处测得塔顶端A的仰角为β，即可通过计算求得塔高．若测得的，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果精确到1米，参考数据：，） 【答案】（1） （2）塔高约52米 【解析】 【分析】本题是解直角三角形的实际应用； （1）在中，根据三角形函数直接求解即可； （2）设塔高长为米，利用直角三角形的性质和锐角三角函数可求解． 【小问1详解】 中，，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 设塔高的长为米， 中，， ， 米， 米， 在中，， ， ， ，即（米， 答：塔高约52米． 20. 如图，直线l与相切于点D，AB为的直径，延长交直线l于点C． （1）尺规作图：过点A作：于点E；（保留作图痕迹，不要求写出具体作法） （2）在（1）的条件下，求证：平分； （3）如果，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查了作垂线、切线的性质、等边对等角、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用尺规作图作垂线即可； （2）由切线的性质以及（1）的作图可得即，再根据等边对等角以及等量代换可得即可证明结论； （3）设的半径为r，则，然后运用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图1所示，即为所作． 【小问2详解】 证明：如图2，连接． ∵直线l与相切于点D， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分； 【小问3详解】 解：设的半径为r，则， 在中，，，， ∴，解得：， ∴的半径为3． 21. 今年A地的橘子又是大丰收，为了争取利润最大化，老张决定从A地运橘子到B地，再从B地运苹果到A地，已知甲车一次可以运12吨，每箱苹果的重量是每箱橘子重量的两倍． （1）若该车每次运输都刚好装满12吨，每次所运的橘子比苹果多400箱，每箱橘子多少千克？ （2）老张要从A地运102吨橘子到B地，现用甲、乙两种汽车共6辆，且乙车一次可以运20吨． ①至少需要用几辆乙车？ ②若甲车每辆的运输费为3500元，乙车每辆的运输费为5000元，运这些橘子到B地至少需要多少运费？ 【答案】（1）15千克 （2）27000元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先统一单位，设每箱橘子x千克，则每箱苹果千克，由“甲车一次可以运12吨，每箱苹果的重量是每箱橘子重量的两倍，每次所运的橘子比苹果多400箱，”建立分式方程求解； （2）①设用y辆乙车，则甲车的数量为，由题意得，解不等式即可；②根据题意得到，结合①求出的范围，再讨论求解． 【小问1详解】 解：12吨=12000千克． 设每箱橘子x千克，则每箱苹果千克， 由题意得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每箱橘子15千克． 【小问2详解】 解：①设用y辆乙车，则甲车的数量为， 由题意得， 解得，且y为整数， ∴至少需要用4辆乙车． ②∵甲、乙车都用， ∴， ∴， ∴，且y为整数， ∴y取4，5． 当用4辆乙车时，运费为：（元）． 当用5辆乙车时，运费为：（元）． ∵， ∴至少需要27000元运费． 答：运这些橘子到B地至少需要27000元运费． 22. 【问题情境】如图是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉截面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线．以点O为原点，水平方向为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点C，D为水花的落水点且在x轴上，其中右侧抛物线的解析式为，喷水管的高度为． 【问题解决】 （1）求a的值； （2）现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为9m，求喷水管要降低的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）将代入，求出相应的a的值即可； （）先设喷水管要降低的高度，然后将代入，再求出相应的降低的高度即可； 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确二次函数平移的特点，利用二次函数的性质解答． 【小问1详解】 解：∵将代入中可得，， 解得， ∴a的值为． 【小问2详解】 解：设喷水管要降低的高度为，则降低高度后的右侧抛物线的解析式为， 将代入，可得， 解得． 答：喷水管要降低的高度为． 23. 【问题发现】 （1）如图1，在矩形中，点P是矩形内一点，过点P作，分别交，于点E，F．则______．（填“>”“=”或“<”） 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，点P是矩形外一点，过点P作，分别交，的反向延长线于点E，F，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，P是外一点，，，，则的最小值为______． 【答案】（1）；（2）成立，见解析（3） 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短、类比及数形结合数学思想的运用等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题． （1）由，，，，进一步可得，于是得到问题的答案； （2）先证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，求得；再由，，求得，所以，则，所以（1）中结论成立； （3）作交的延长线于点，则，所以，，作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、，可证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，则，求得，则，所以，求得的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：（1）∵矩形，， ∴，， ∴， ∴，，，， 在矩形ABCD中，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． （2）成立，理由：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）如图，作交的延长线于点M，则， ∴，． 作交的延长线于点N，作交的延长线于点T，连接，． ∵， ∴． ∵， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，而， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$