专题02 勾股定理（两大考点 暑假作业） 2026年暑假人教版数学八年级下册

**基本信息** 专题聚焦勾股定理，通过基础巩固、中档综合到提升探究的分层设计，覆盖定理应用、逆定理判定及实际问题，强化运算能力与几何直观，适配暑假知识衔接需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|定理直接应用、逆定理判定|填空题1-10直接计算边长，选择题15-18考查分类讨论（如第三边双解）| |中档综合|结合几何性质（等腰、30°直角三角形）|填空题6等腰三角形高与周长，解答题19-20需作辅助线转化图形| |提升探究|动态问题、多情况讨论、实际应用|解答题23长方体最短路径（模型意识），25绿地扩充分类计算（推理意识）|

专题02 勾股定理 (人教版暑假作业) 勾股定理是八年级几何核心内容，也是中考高频必考知识点，定 理应用、逆定理判定及结合实际、几何综合的题型考查灵活，是解直 角三角形、几何计算与证明的重要工具，学习意义重大。 本专题先梳理全章核心考点，帮助大家回顾知识框架；习题部分 采用分层设计，适配不同学习需求，逐步强化解题能力，助力大家在 暑假吃透勾股定理，稳步提升几何解题素养。 考点复习 考点一勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为8，b,斜边为°，郑么Q2+b2=C 2.勾股定理的证明方法： 4SA+S正方形FH=S正方形ABcD4×ab+(b-a)2=2 方法一（图一）： ,化简可证 a2+b2=c2 方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. =4×2ab+c2=2ab+c2 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为S=a+b)2=a2+2ab+b2 2+b2=c2 ，所以 S移形=(a+b)-(a+b)Sw形=2 SADE+SaAE=2·2ab+c2 方法三（图三） ，化简得 证a2+b2=c2 图 图二 图三 考点二勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形三边长”，b,满足 2+b2=c2 那么这个三角形是直角三 角形，其中为斜边 拓展：若o2+b2<c2 时，以只，6，为三边的三角形是钝角三角形， 者2+b2>c2 时，以，6，C为三边的三角形是锐角三角形 暑假作业 一、填空题 1.△ABC,∠C-90°，a9,b=12,则c= 2.△ABC,AC-6,BC=8,当AB= 时，∠C-90°. 3.等边三角形的边长为6cm,则它的高为」 4.△ABC中，∠C-90°，∠A=30°，则BC:AC:AB 5.直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边上的高为 6.等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为3，则它的周长为 7.若直角三角形两直角边之比为3：4，斜边长为20，则它的面积为 8.等腰三角形的两边长为2和4，则底边上的高为 9.若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为 10.测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm,12cm,口13cm,口则这个花坛的面积是一 11.己知△ABC的三边a、b、c满足(a-5)2+(b-12)2+c2-26c+169=0,则△ABC是__三 角三角形， 12.如图在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4 个正方形中，与众不同的是 ，不同之处： 13.如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需 米 14.若一个三角形的三边长分别为3,4，x,则使此三角形是直角三角形的x的值是 30 13题图 二、选择题 15.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是 A.5 B.25 C.7 D.5或V7 16.已知Rt△ABC中，∠C-90°，若a+b=14cm,c-10cm,则Rt△ABC的面积是() A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2 17.直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为() A.121 B.120 C.90 D.不能确定 18.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行 走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线 距离为 () A.600米 B.800米 C.1000米 D.不能确定 三、解答题 19.已知：如图，△ABC中，∠CAB=120°，AB=4,AC=2,AD⊥BC,D是垂足，求AD 的长 D B 20.如图，己知一块四边形草地ABCD,其中∠A=45°，∠B=∠D=90°，AB=20m,CD =10m,求这块草地的面积. 21.△ABC中，AB=AC=4,点P在BC边上运动，猜想AP2+PB·PC的值是否随点P位 置的变化而变化，并证明你的猜想. 22.已知：△ABC中，AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,求BC. 23.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A开始 经过四个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过四 个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要多长？ 6cm 3cm 24.如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长都 为3，另一种纸片的两条直角边长分别为1和3.图1、图2、图3是三张形状、大小完 全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1. 图1 图2图3 (1)请用三种方法（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）将图中所给四块直 角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸 片全部用上，互不重叠且不留空隙，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、 图3的方格纸上（要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；画图 时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹)： (②)三种方法所拼得的平行四边形的面积是否是定值？若是定值，请直接写出这个定值； 若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的面积各是多少： (3)三种方法所拼得的平行四边形的周长是否是定值？若是定值，请直接写出这个定值； 若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的周长各是多少. 25.有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m,8m.现在要将绿地扩充成等腰 三角形，且扩充部分是以8为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长. 参考答案 一、填空题 1.15 2.10 3.3v3cm 4.1:V3:2 60 13 6.12+6√3 7.96 8.v15 9.√2 10.30cm2 11.直角 12.AA不是直角三角形，B、C、D是直角三角形 13.2+2V3 14.5或√7 二、选择题 15.D16.A17.C18.C 三、解答题 19.2V2 ,提示：作CE⊥AB于E可得CE=√5，BE=5,由勾股定理得BC=2√7，由三 角形面积公式计算AD长， 20.150m2.提示：延长BC,AD交于E. 21,提示：过A作AH⊥BC于H AP2+PB.PC=AH2+PH2+(BH-PH)(CH+PH) =AI2+PH2+BIP2-PI2 =AH2+BH2=AB2=16. 22.14或4. 23.10; 2V9+16n2. 24.(1)略； (2)定值，12；(3)不是定值，8+6V2,8+2V10,6√2+2√10 25.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6 由勾股定理得：AB=1O,扩充部分为Rt△ACD,扩充成等腰△ABD,应分以下三种 情况. ①如图1，当AB=AD=10时，可求CD=CB=6得△ABD的周长为32m. D 图1 ②如图2，当AB=BD=10时，可求CD=4 D C 图2 由勾股定理得：AD=4W5,得△4BD的周长为(20+4W5)m. ③如图3，当AB为底时，设AD=BD=x,则CD=x一6， 图3 由勾股定理得：X=5,得△4BD的周长为 0 3