《第11章三角形的证明及其应用》单元测试题 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

**基本信息** 鲁教版七年级数学下册《三角形的证明及其应用》单元卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合推理证明与实际应用，适配单元复习，培养几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|反证法（第1题）、垂直平分线性质（第2题）、勾股定理逆定理（第3题）|结合景区规划（第2题）等真实情境，考查基础概念辨析| |填空题|8/24|角平分线性质（第11题）、等腰三角形面积（第10题）、垂直平分线应用（第13题）|注重几何性质与计算结合，如第10题面积求解| |解答题|9/72|尺规作图（第17题）、全等证明（第18题）、实际应用（第20题景区道路）|设置台球游戏（第7题）、翻折探究（第23题）等创新情境，梯度覆盖基础证明到综合探究|

2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《第11章三角形的证明及其应用》 单元自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．用反证法证明命题“如果，那么”，则第一步应先假设（   ）． A． B． C． D． 2．陕西省某景区规划在一片三角形草坪上修建一座以兵马俑为主题的观景台，如图所示，要求观景台到三角形草坪三个顶点的距离相等，则观景台应建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条角平分线的交点处 3．已知，，为的三条边，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则为直角三角形 B．若，则为直角三角形 C．若，则为直角三角形 D．若， ，，则为直角三角形 4．如图，等边三角形中，，与相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，是的垂直平分线，是的平分线，与交于点E，与交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，是的角平分线，F为上一点，连接，E为上一点，，且，若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 7．小明设想用电脑模拟台球游戏，约定：①台球桌面设计为腰长为的等腰；②小球撞击桌边后反弹角等于入射角．如图建立平面直角坐标系，球从点出发，撞击边上的点后反弹，再撞击边上的点反弹，最后回到点．则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，为边边上的中线，于G，交于F，过点B作的垂线交于点E．有下列结论：①；②；③F为的中点；④；⑤G为的中点．其中正确的结论有（    ）个． A．②④⑤ B．③④⑤ C．①②④ D．①③⑤ 二、填空题（满分24分） 9．如图所示，在中，，是边上的高，是的平分线． 求的度数 ______ 10．已知等腰三角形的底边和腰长分别为8和5，则这个等腰三角形的面积为______． 11．如图，平分，在上取一点P，作，已知，的面积为，点是射线上一动点．则长度的最小值为_________． 12．如图，在中，，，，，，则阴影部分图形的面积为_________． 13．如图，在中，，是的中垂线，交于点．如果，，那么的周长为_____． 14．如图，在中，，直线m，n分别是、的垂直平分线，m，n交于点P，连接．若，则的度数为_______． 15．如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 16．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，当的周长取最小值时，的度数为______°． 三、解答题（满分72分） 17．（6分）尺规作图 已知：如图，． 求作：点P，使P在的中线上，且到，两边的距离相等． 18．（7分）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 19．（7分）如图，在中，，，是边上一点，连接，过点作交于，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 20．（7分）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点，河边有两个入口，通过道路，可前往观景点，且．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点在上）．经测量：，，． (1)判断是否为从到河边的最近道路，并说明理由； (2)新修的路比原来的路近多少千米？ 21．（7分）如图，在中，平分的外角，，垂足为点G，，垂足为点H，垂直平分于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 22．（9分）如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线相交于点D，垂足分别为E，F，，分别交于点M，N，连接，． (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)若，． ①求的周长； ②，求的面积． 23．（9分）如图，已知，，点是线段的中点，平分． (1)求证：平分； (2)如果，求四边形的周长； (3)将线段沿着经过点的一条直线翻折，点恰好落在射线上的点处，过点作，交边于点，试猜想线段与之间的数量关系，并进行证明． 24．（10分）在中，，，以为边向外作，使得，在射线上取点，连接，使，设． (1)如图，当点在的延长线上时． ①直接用含的式子表示__________； ②求证：平分． (2)作交于点，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 25．（10分）在中，是上的动点，点在的三边上移动． (1)如图1，当是的中点，点在上，时．若，求的长． (2)如图2，当点在上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处时．若，求的长． (3)如图3，当点在上，时，若，，求证：． 参考答案 1．D 【详解】解：∵原命题要证明的结论是， ∴反证法第一步应假设结论不成立，即假设． 2．C 【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得答案． 【详解】解：的三边的垂直平分线交于一点，且这一交点到三角形三个顶点的距离相等． ∴观景台应建在三条边的垂直平分线的交点处． 3．B 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【详解】Ａ、因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题； B、移项得，符合勾股定理逆定理，所以是直角三角形，该命题为真命题； C、设，，，，是最大边长，因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题； D、是最大边长，因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题． 4．C 【分析】先由等边三角形性质，得，再证明，运用三角形的外角性质进行分析，即可作答． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ． 5．D 【分析】根据三角形内角和定理得出，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，，根据是的平分线可得，根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：在中，，则， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， 由三角形外角的性质可得，， D选项符合题意． 6．A 【分析】在上截取，连接，证明，，从而得出，利用导角结合三角形外角的定义，角平分线的定义，全等三角形的性质和多边形内角和定理即可得出结果． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴ ． 7．B 【分析】过点作交直线于点，延长交轴于点，连接，可证明，则可证明，得到，，即可得到；同理可证明，可得垂直平分，则，推出，得到；求出直线和直线的解析式，进而可求出点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作交直线于点，延长交轴于点，连接， 由题意得，，， ， ， 又 ，， ， ，， ， ， ； 同理可证明， ， 垂直平分， ； 是等腰直角三角形， ； ， ， ， 设直线的解析式为，则， ， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得， 点的坐标为， 故选：B． 8．C 【分析】①由条件可知，可得，再结合条件即可证明；②④，结合条件可证明，则有，，可得；③可得根据直角三角形的斜边大于直角边可得，结合，可知F不可能为中点．⑤假设G为的中点，先证明，可得，据此推出矛盾，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵为边边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 又∵， ∴，故④正确； 在中，， ∵， ∴， ∴F不是的中点，故③不正确； 假设G为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴与、相交相矛盾， 故假设错误，即G不是的中点，故⑤错误， 即正确的有①②④． 9． 【分析】根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角平分线的定义求出，再求出，即可求解的度数． 【详解】解：∵ ， 是平分线， ， 是边上的高，， ∴ ， ． 10．12 【分析】过A作于H，由等腰三角形的性质推出，由勾股定理得到，由三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：如图：， 过A作于H， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 11． 【分析】过点作于点，先求出，再求出，然后根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，，的面积为， ∴，即， ∴， ∵平分，且，， ∴， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，的长度最小，最小值为． 12．24 【分析】先用勾股定理解求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，进而即可求解． 【详解】解： 中，，，， ， ，， ， 是直角三角形， 阴影部分图形的面积． 13．8 【分析】根据中垂线的性质得到，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵是的中垂线， ∴， ∵，， ∴的周长． 14． 【分析】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 连接、、，设直线m交于点D，设，根据线段垂直平分线的性质得到、，进而得到是线段的垂直平分线，根据等腰三角形的性质得到，进而得到，再根据和，得到，则，从而得出的度数． 【详解】解：连接、、，设直线m交于点D，如图： 设 直线m，n分别是、的垂直平分线 、 、 是线段的垂直平分线 解得 故答案为：． 15．17 【分析】在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 【详解】解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于． 16． 【分析】根据垂直平分线的性质和两点之间线段最短，可知当点、、三点共线时的值最小，即点与点重合时的周长最小，根据等边对等角可知，再根据角之间的关系求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，连接， 则的周长为， 是的垂直平分线， ， 的周长为， ， 当点、、三点共线时的值最小， 此时点与点重合， 在中，，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 当的周长取最小值时，． 17．见解析 【分析】本题主要考查尺规作图作垂直平分线和角平分线，先作的中线，再作的角平分线，最后找交点即可． 【详解】解：先作的中线，作的垂直平分线找到中点，连接得到中线，再作的角平分线：因为到、两边距离相等的点在的角平分线上，所以两条线的交点即为所求点． 所以点即为所求作的点． 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得到，即可得证； （2）根据三角形的周长，求出，分割法求面积，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：∵，的周长为18， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理和余角性质，结合全等三角形的判定证明； （2）根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质证明，再利用余角性质得到即可得求解． 【详解】（1）证明：如图， ， 在中，， ， ， ， ∵， ∴， 在和中，， ； （2）由（1）知， ，， ， ， ， ， ， ， ， 平分， 又，， ， ． 20．(1)是从到河边的最近道路，理由见解析 (2)新修的小路比原来的路近 【分析】（1）根据勾股定理逆定理可知，根据垂线段最短判断即可； （2）根据勾股定理求出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，，， ， 是直角三角形，且， ， 是从到河边的最近道路； （2）解：， ． 由（1）可知， ， ， ， 解得， ， 故新修的小路比原来的路近． 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）证明为等腰直角三角形，进而得到为等腰直角三角形，得到即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分的外角，，， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 22．(1)见解析 (2)①24；②24 【分析】（1）连接，，，根据垂直平分线的性质可知，，进而得到，可知点D在的垂直平分线上； （2）①根据垂直平分线的性质可知，，则，； ②根据等边对等角得到，，进而根据角的和差得到，即是直角三角形且为斜边，根据勾股定理可知，结合①可知，根据完全平方公式得到，则，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点D在的垂直平分线上； （2）解：①∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长为24； ②由①知，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形且为斜边， ∵， ∴， 由①知，的周长为24， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 23．(1)见解析 (2)14 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定等知识点． （1）过点作于点，根据角平分线的性质定理得到，然后结合已知条件得到，再根据角平分线的逆定理即可证明； （2）过点作于点，先由直角三角形全等的判定定理证明，则，同理可证明，可得，同理可证明，由勾股定理求解，则，即可求解四边形的周长； （3）由翻折可得，，先证明，则，由（2）知，则，然后证明，再代入证明即可． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； （2）解：过点作于点， 在和中， ， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， 同理可证明， ∴， ∵，，， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长； （3）解：，理由如下： 由翻折可得，， ∵， ∴（直角三角形全等的判定定理） ∴ 由（2）知， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 24．(1)①；②见解析 (2)或，理由见解析 【分析】（1）①利用三角形外角性质和角度和差关系求解；②通过推导角相等进而证明三角形全等，然后证明角平分线； （2）分点在延长线上时和点在上时，两种情况讨论，利用全等三角形性质和等腰三角形的性质，结合线段和差关系进行推导． 【详解】（1）①解： ，， ， ． ②解：，，， ，， ， ， 在和中，， ， ， 即平分． （2）或，理由如下： ①当点在延长线上时，如答图1， ， ， ，， ， ， ， ， 即； ②当点在线段上时，如答图2， ， ， ，， ， ， ， ， 即． 综上所述，这三条线段的数量关系是：或． 25．(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，运用勾股定理得，再结合等面积法列式计算，即可作答． （2）先根据勾股定理得，又因为将沿折叠，点恰好落在边上的点处，得出，运用勾股定理列式计算，即可作答． （3）先过点作，且，根据，，证明，整理得，再运用证明，得出，在中，运用勾股定理列式分析，即可作答． 【详解】（1）解：如图1，连接． 是的中点， ． 由勾股定理，得， ， ． （2）解： 由题意，知 ， ． 设，则． 在中，， ， 解得， ． （3）证明：如图2，过点作，且， 连接，． ，， ． 又 ， ， ， ． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ． 在中，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $