第11章 三角形的证明及其应用 考点梳理与复习-【全程复习大考卷】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版·新教材）

根据题意，得60×0-50≥500×8%， 17.解：由5x>3(x+a)-10,得x>3n_10 2 解得x≥9， 该商品最多打九折。 由3-≥“，得≤50 4 15.18°或27°或36°【解析】如图1，标注∠1，∠2，∠3。 因为不等式组无解， 所以0,0≥15,2，解得0≥5。 2 18.解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠1=32°， ∴.∠2=90°-∠1=90°-32°=58°。 CD是边AB上的高线， 图1 ∴.∠BDC=∠ADC=90°。 :∠MON=72°，OE平分∠MON, .∠A=90°-∠1=90°-32°=58°，∠B=90°-∠2= sLM0E=3∠M0N=36°。 90°-58°=32°。 又.AB⊥OM,.∠0OAB=90°。 19.解：(1)+y=2a+7,① lx-2y=5a-5,② ∴.∠1=90°-∠M0E=54°。 ①-②，得3y=-3a+12,即y=-a+4, ①当∠1=∠2=54°时，∠0AC=∠0AB-∠2=36°； 把y=-a+4代入①，得x=3a+3, ②当∠1=∠3=54°时，∠2=180°-∠1-∠3=72°， 「x=3a+3, 则方程组的解为 .∠0AC=90°-∠2=18°； ly=-a+4。 ③当∠2=∠3时，∠1=54°， (2)由x<y得到3a+3<-a+4, ∠2=∠3=180°，1=63°。 2 ∴.∠0AC=∠OAB-∠2=27°； :解为正数，.3a+3>0,-a+4>0。 ④如图2，当，点D在射线BE上时， .-1<u<4。 :∠ABE=126°，且三角形的内角和为180°， 综上，-1<a< ∴.只有∠BAD=∠BDA。 此时∠0AC=117°，点C不在ON上，舍去。 20.解：(1)①<【解析】如果a-b<0,则a-b+b<0+ 综上，∠0AC的度数为18°或27°或36°。 b,那么a<b。 ②=【解析】如果a-b=0,则a-b+b=0+b,那么 a=bo E ③>【解析】如果a-b>0,则a-b+b>0+b,那么 a>b。 (2)①.4+3a2-2b+b2-(3a2-2b+1)=b2+3>0, 图2 .4+3a2-2b+b2>3a2-2b+1。 16.解：(1)2x≤6，x≤3， ②.2a+2b-1>3a+b, 在数轴上表示解集如下图。 .2a+2b-1-3a-b>0,即-a+b-1>0。 .b-a>1>0。.∴.a<b。 -4-3-2-101234 21.解：(1)设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要 (2)3-x<5,-x<2,x>-2, y元， 在数轴上表示解集如上图。 3x+5y=41, x=7, 由题意，得{ 解得 (3)由(1)(2)知， 6x+4y=58, y=4。 答：购买一根跳绳需要7元，购买一个键子需要4元。 不等式组 x≤6，的解集为-2<x≤3。 3-x<5 (2)设购买跳绳m根，则购买毽子(54-m)个， 54· ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 由题意，得m>25, .∠A=2∠P。 7m+4(54-m)≤300， (2)∠A=n∠P。证明如下： 解得25<m≤28。 由题意可得，∠PBC=1∠ABC,∠PCD=上∠ACD。 n n ,m为正整数，∴.m=26,27,28。 ∴.有三种购买方案： :∠ACD是△ABC的外角，∠PCD是△BPC的外角， ①购买跳绳26根，毽子28个， ∴.∠ACD=∠ABC+∠A,∠PCD=∠PBC+∠P。 费用为7×26+4×28=294（元）； 人ACD=∠AC+∠A, n ②购买跳绳27根，毽子27个， 费用为7×27+4×27=297（元）； .L∠ABC+1∠A=∠PBC+∠P。,∠A=mLP。 n ③购买跳绳28根，毽子26个， (3)37.5° 【解析】：∠ABC,∠CDE,∠ACE的平分线 费用为7×28+4×26=300（元）； 交于点P, .294<297<300, 由(1)的结论知，∠PC=3∠A=3咨=17.5， ∴.购买跳绳26根，键子28个更省钱。 22.解：(1)，1的直线表达式为y=-2x+4, ∠CPD=7<B=4 2 =20°。 .当y=0时，x=2。∴.B(2,0)。 .∠BPD=∠BPC+∠DPC=37.5°。 0B=0C,C(-2,0)。 第十一章考点梳理与复习 2:y=x+b经过点C和点A, 1.A 2 「-2k+b=0, k 2.540 【解析】如图，连接DG,AC。 解得 k+b=2, 4 b= 2 .4 直线，的表达式为y=x+3。 (2)在直线L1的表达式y=-2x+4中， 当x=0时，y=4, 在四边形EFGD中，∠E+∠F+∠EDG+∠DGF=360°。 .E(0,4)。 又：∠1+∠2=∠3+∠4，∠5+∠6+∠B=180°， 在直线的表达式y=号+号中，当=0时了= 4 ∴.∠BAG+∠B+∠BCD+∠CDE+∠E+∠F+∠AGF= 540°。 ∴o,) 3.解：(1)∠BCD=10°，∠AEB=75°， ∠AEB=∠BCD+∠CFE, 0E=4-号-号.∴8aw-7×号x1-子 18 4 .∠CFE=75°-10°=65°。 .∠AFD=∠CFE=65°。 (3)由函数图象可知，0≤-2x+4<kx+b的解集 CD是△ABC的高线，.∠ADC=90°。 为1<x≤2。 .∠BAE+∠AFD=90°。 23.解：(1)∠A=2∠P。证明如下： ∴.∠BAE=90°-65°=25°。 BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线， (2)·AE平分∠BAC, ∠PBC=7LABC,∠PCD=7LACD, .∠BAC=2LBAE=50°。 ·∠ACD是△ABC的外角，∠PCD是△BPC的外角， ∴.∠ACD=90°-∠DAC=40°。 ∴.∠ACD=∠ABC+∠A,∠PCD=∠PBC+∠P。 4.解：(1)根据三角形的外角性质， 得∠ABN=∠A0B+∠BA0=90°+45°=135°。 ·BE平分∠NBA,AC平分∠BAO, ∴7∠ABC+∠A=∠PAc+∠P。 ∠ABE=7∠ABN=61.5,∠BAC=7∠BA0=225。 ∴.∠C=∠ABE-∠BAC=67.5°-22.5°=45°。 ∴.∠ABC=∠ADCO (2)根据三角形的外角性质， ∠ABC=∠ADC, 得∠ABN=∠AOB+∠BA0=90°+60°=150°。 在△ABC和△ADC中 ∠ACB=∠ACD, .·BE平分∠NBA,AC平分∠BAO, LAC=AC, LABE=7∠ABN=75°，∠BAC=2∠BA0=30。 .△ABC≌△ADC(AAS)。AB=AD。 9.证明：(1)∠C=∠C'=90°， ∴.∠C=∠ABE-∠BAC=75°-30°=45°。 .△ACD和△A'C'D'都是直角三角形。 (3)∠C不会随点A,B的移动而发生变化。理由如下： 在Rt△ACD和Rt△A'C'D'中， 根据三角形的外角性质，得LABN=∠AOB+∠BAO, [AD =A'D', BE平分∠NBA,AC平分∠BAO, AC=A'C' ∠ABE=分∠ABN,∠BAC=3∠BM0, .∴.Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL)。 (2)Rt△ACD≌Rt△A'C'D', LC=∠ABE-∠BAC=(LAOB+∠BMO) .CD=C'D'。 3∠BA0=LA0B。 AD与A'D'分别为BC,B'C边上的中线， ∴.CB=C'B'=2CD。 .∠M0N=90°， 在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中， ∴.∠A0OB=∠MON=90°。 AC=A'C', ∴.∠C=45°。 LC=∠C', 小斗总结 CB=C'B', 三角形的一个外角平分线（或反向延长线）与不相邻的一个内 角平分线相交所成的角的度数等于另一个不相邻内角度数的 .Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SAS)O -半。 10.B 11.√5-1【解析】如图，延长AD交BC于点E。 5.D小斗提示：根据“筝形”的判定逐一进行判定即可。 6.解：我写的真命题是已知：①②④；求证：③。证明如下： BE=CF. ∴.BE+EC=CF+EC,即BC=FE。 B .AB=DE, 在△ABC和△DEF中， AC=DF, AB=CA,BD=CD,∴AE⊥BC,BE=CE。 BC EF, AB=BC=CA=2,∴BE=CE=1。 .△ABC≌△DEF(SSS). .AE=√AB2-BE=3,DE=√BD2-BE2=1。 .∠B=∠DEF。∴AB∥DE。(答案不唯一) .AD=AE-DE=√3-1。 7.证明：CB⊥AD,.∠ABC=∠CBD=90°。 12.证明：.BD,CE是△ABC的高， ∴.∠C+∠D=90°。 .∠CEB=∠BDC=90°。 AE⊥DC,.∠A+∠D=90°。.∠A=∠C。 在Rt△BCE和Rt△CBD中， ∠A=∠C, [BC=CB, 在△ABF和△CBD中， AB=CB, CE =BD, I∠ABF=∠CBD, ∴.Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)。 ·.△ABF≌△CBD(ASA)。 .∠ABC=∠ACB。 8.证明：∠CBE=∠CDF, ..AB=AC。 .180°-∠CBE=180°-∠CDF。 ∴.△ABC是等腰三角形。 .∠ABC=180°-∠CBE,∠ADC=180°-∠CDF, 13.解：∠A=68°，∠AED=42°， ∴.∠ADE=180°-∠A-∠AED=70°。 :△ABC的面积=2BC·AD=7×21×12=126。 ,∠ADE是△BDE的一个外角， ∴.∠ADE=∠DBE+∠DEB=70°。 18.解：(1)AC⊥BD, .DB=DE,∴.∠DBE=∠DEB=35°。 ∴.△AB0是直角三角形。 BE平分∠ABC,∴.∠EBC=∠DBE=35°。 .AB2=A02+B02。 14.证明：.△ABC为等边三角形， 同理，可得BC2=B02+C02,CD2=C02+D02,AD2= ∴.∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC=BC A02+D02。 ∴.∠EAF=∠EBD=120°。 A0=2,B0=3,C0=4,D0=5, BE=AF,∴.BE+AB=FA+AC,即AE=CF。 .AB2=13,BC2=25,CD2=41,AD2=29。 在△BDE和△AEF中， (2)由(1)，得BC2+AD2=(B02+C02)+(A02+D02)= BE =AF, (B02+A02)+(C02+D02)=AB2+CD2, ∠EBD=∠FAE, 即BC2+AD2=AB2+CD2。 BD=AE, ∴.△BDE≌△AEF(SAS)。.EF=ED。 ,AB=6,CD=10, 同理可得△AEF≌△CFD, .BC2+AD2=62+102=136。 ∴.EF=FD。∴.EF=ED=FD。 (3)结论：“垂美”四边形的两组对边的平方和相等。 ∴.△DEF为等边三角形。 19.解：由题意可得BP=2tcm,AQ=tcm, 15.证明：假设a∥b, .'AP=AB-BP=(12-2t)cmo 则根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠1+∠2=180°。 △APQ为直角三角形，∠A=60°， 这与已知矛盾， ∴.当∠AQP=90时，则∠APQ=30°。 故假设不成立，a与b不平行。 16.C【解析】.△ABC为等边三角形，BC=8, 340=号AP, ∴.∠A=∠C=60°，AB=AC=BC=8。 4=2(12-2),解得1=3 DF⊥AC,FE⊥BC, 当∠APQ=90°时，则∠AQP=30°， ∴.∠AFD=∠CEF=90°。 .∠ADF=∠CFE=30°。 ∴240=AP。 ∴AN=2A0,CB=2cP。 2×4=12-2,解得1=48 点D是AB的中点， 综上，当t的值为3或4.8时，△APQ为直角三角形。 ∴.AD=4。.AF=2。.CF=6。.CE=3。 20.B【解析】“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 .BE=8-3=5。 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，逆命题为真 17.解：(1)在△ABD中，AB=13,AD=12,BD=5, 命题，选项A有逆定理； .AD2+BD2=122+52=132=AB2。 “对顶角相等”的逆命题是“相等的两个角是对顶角”， .∠ADB=90°。 逆命题是假命题，选项B没有逆定理； ∴.∠ADC=180°-∠ADB=90°。 “有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形”逆命 在Rt△ADC中，∠ADC=90°， 题是等边三角形有一个角等于60°，且三角形是等腰三 .CD=√AC2-AD2=√400-144=16。 角形，逆命题是真命题，选项C有逆定理； (2).∠ADC=90°，∴.AD⊥BC。 “直角三角形两个锐角的和等于90°”的逆命题是“两 BD=5,CD=16, 个角的和等于90°的三角形是直角三角形”，逆命题是 .BC=BD+CD=5+16=21。 真命题，选项D有逆定理。 ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 ·55. 21.三个角相等的三角形是等边三角形 在△ABM和△DCN中， 22.D【解析】如图，过点P作PH⊥OA于点H, AM DN, OC平分∠AOB,PQ⊥OB, ∠M=∠DWC=90°， .PH=PQ=7 cmo BM=CN. .∴.，点P到OA的距离为7cm。 ∴.△ABM≌△DCN(SAS). ∴.∠ABM=∠1 :∠ABM+∠2=180°， ∴.∠1+∠2=180°。 A 8.c H 23.证明：BD为∠ABC的平分线， 9.B【解析】如图，过点O作OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥AC。 ∴.∠ABD=∠CBD。 在△ABD和△CBD中， AB=CB, ∠ABD=∠CBD, 由条件可知，0E=OF=OD, BDBD, ∴.△ABD≌△CBD(SAS)。 ∴Sm=2AB·0E,Sm=74C.0D,5m=2BC.0F。 ∴.∠ADB=∠CDB。 AB +AC>BC, 点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD, .S1+S2>S30 ∴.PM=PN。 10.C【解析】如图，设AC与BD相交于点O, 24.证明：如图，连接EC, D :AB=AC,点D是BC边上的中点，∴.AD⊥BC。 :∠EAD=∠BAC, ∴.EB=EC。 .∴.∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAD。 EF是AC的垂直平分线，∴.EA=EC。.AE=BE。 ∴.∠BAE=∠CAD。 25.解：如图，连接MN,作线段MN的垂直平分线l,交直线 在△BAE和△CAD中， AB于点C,则C点即为所求。 AB=AC. M ∠BAE=∠CAD, AE =AD, .△BAE≌△CAD(SAS)O 第十一章学业水平测试 .∠ABE=∠ACD 1.D2.B3.A4.B5.C6.B :∠BOC是△AB0和△CD0的外角， 7.A【解析】如图，标注，点M,N。 ∴.∠BOC=∠ABE+∠BAC=∠ACD+∠BDC。 M B ∠BDC=56°， .∠BAC=∠BDC=56°。 AB=AC. LABC=∠ACB=2(180-∠BAC)=7×(180- A ·56· ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 56)=62°。 .△ACB≌△ECD(ASA)。 11.这个三角形是等腰三角形 .AB=ED。 12.3cm13.6 18.解：(1)由条件可知，∠C=∠B=40°， 14.20【解析】如图，过点C作CE⊥AD交AD的延长线 ∴.∠BAC=180°-40°-40°=100°。 于点E。 点D是BC的中点， BAD-BC50 D C AE=BE. .∠BAE=∠B=40°。 ∴.∠DAE=∠BAD-∠BAE=10°。 B (2)由条件可知，∠CAE=∠CEA。 ∠B=90°，∴.BC⊥AB。 根据(1)可知，∠B=∠BAE,∠B=∠C, AC平分∠BAD,CE⊥AD,.CE=CB=4。 ∴.∠CAE=∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B。 1 ·四边形ABCD的面积=SAABG+SAc=2×6×4+ .∠BAC+∠B+∠C=∠BAE+∠CAE+∠B+∠C= 5∠B。 2×4×4=20. :∠BAC+∠B+∠C=180°， 15.80°【解析】：在△ABC中，∠A=55°，∠B=75°， .5∠B=180°，解得∠B=36°。 .∠C=180°-∠A-∠B=180°-55°-75°=50°。 19.解：(1)：DE是AC的垂直平分线， ∠CDA=20°， .DA=DC。 ∠CDE=180°-20° :△ABD的周长是13， 2 =80°。 .AB+AD+BD=AB +DC +BD =AB+BC=13. .∠CED=180°-ㄥC-∠CDE=180°-50°-80°=50°。 .△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19。 .∠CEB=180°-2∠CED=180°-2×50°=80°。 (2)在△ABC中，∠B=62°，∠C=36°， 16.16【解析】△A1B1A2为等边三角形， 则∠BAC=180°-∠B-∠C=82°。 .∠B1A1A2=60°。 DA =DC, .∠0A1B1=180°-∠B1A1A2=120°。 .∠DAC=∠C=36°。 又∠M0N=30°， .∠BAD=∠BAC-∠DAC=82°-36°=46°。 ∴.∠0B1A1=180°-∠0AB1-∠M0N=180°-120°- 20.解：如图，作点A关于CD的对称点A',连接AB与CD 30°=30°。 交于点M,过点A'作A'K⊥BD交BD的延长线于点K。 ∴.∠M0N=∠0B1A1=30°。 1B .OA1=A1B1=A1A2=2。 .△A1B,A2的边长为2。 同理可得△A2B2A3的边长为4，△A3B,A4的边长为8， △A4B4A5的边长为16。 D-- 17.证明：.∠BCE=∠DCA, 4==K- .∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE, .A'C=AC=6千米，AM=A'M。 即LACB=∠ECD. .AM+BM=A'M+BM≥A'B, 在△ACB和△ECD中， 即AM+BM的最小值为A'B的长，此时铺设水管的费 r∠A=∠E, 用最节省。 AC=EC, BD⊥CD,AA'⊥CD,BD⊥A'K, .LACB=∠ECD, .∠A'CD=∠CDK=∠A'KD=90°。第十一章考点梳理与复习 考点一 三角形内角和定理及其推论 【训练目的】理解定理的推导逻辑（如剪拼、平行线辅 助线证明)，掌握定理及推论（如外角等于不相邻的两个 内角之和)的应用方法，同时培养推理能力与空间观念。 1.如图，在证明“△ABC的内角和等于180”时，延长BC到点D,过 点C作CE∥AB,得到∠ABC=∠ECD,∠BAC=∠ACE。由 ∠BCD=180°，可得∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°。这个证明方 开 法体现的数学思想是 () A.转化思想 B.特殊到一般的思想 C.一般到特殊的思想 D.方程思想 第1题图 第2题图 2.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= 度。 3.如图，CD是△ABC的高线，E为BC边上的一点，连接AE交CD 于点F,∠BCD=10°，∠AEB=75°。 (1)求∠BAE的度数； (2)若AE平分∠BAC,求∠ACD的度数。 4.新考法〔拓展探究〕如图，∠MON=90°，点A,B分别在射线OM, ON上运动，BE平分∠NBA,BE的反向延长线与∠BAO的平分线 交于点C。 (1)当点A,B移动后，∠BA0=45时，则∠C= (2)当点A,B移动后，∠BAO=60时，则∠C= (3)由(1)(2)猜想，∠C是否随点A,B的移动而发生变化？并说 明理由。 都 考点二全等三角形的性质与判定 【训练目的】掌握全等三角形的判定方法和性质，能 规范完成证明与计算。 5.我们把两组邻边分别相等的四边形称为“筝形”。如图，在四边 形ABCD中，对角线AC,BD交于点O。下列条件中，不能判定四 边形ABCD是“筝形”的是 A.B0=D0,AC⊥BD B.∠DAC=∠BAC,AD=AB C.∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA D.∠ADC=∠ABC,B0=DO 6.如图，在△ABC和△DEF中，点B,E,C,F在同一直线上，下面有四 个条件：①AB=DE;②AC=DF;③AB∥DE;④BE=CF。请你从中 选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以 证明。 解：我写的真命题是： 已知： ;求证： 。(注：只填序号) 证明如下： 7.已知：如图，CB⊥AD,AE⊥DC,垂足分别B,E,AE,BC相交于点 F,且AB=BC。求证：△ABF≌△CBD。 8.如图，点E,F分别在AB,AD的延长线上，∠CBE=∠CDF, ∠ACB=∠ACD。求证：AB=AD。 9.如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C中，∠C=∠C'=90°，AC=A'C', AD与A'D'分别为BC,B'C边上的中线，且AD=A'D'。 求证：(1)Rt△ACD≌Rt△A'C'D'; (2)Rt△ABC≌Rt△A'B'C'。 D D' 考点三等腰（边）三角形的性质与判定 【训练目的】掌握两类特殊三角形的核心特征（如等 腰三角形“三线合一”、等边三角形三边三角均相等)与判 定逻辑，能灵活运用解决几何计算与证明。 10.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AD是边BC上的高，则下 列结论不正确的是 () A.BD=CD B.∠BAC=∠ABC C.AD平分∠BAC D.S△ABD=S△ACD A B D C 第10题图 第11题图 11.如图，点A,D在BC同侧，AB=BC=CA=2,BD=CD=√2，则 AD= 12.如图，BD,CE是△ABC的高，且BD=CE。求证：△ABC是等腰 三角形。 13.教改题如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D,使DB= DE。若∠A=68°，∠AED=42°，求∠EBC的度数。 ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 ·25· 14.如图，△ABC是等边三角形，点D,E,F分别在BC,AB,CA的延 长线上，且BE=AF=CD。求证：△DEF是等边三角形。 考点四反证法 【训练目的】理解反证法“先假设结论不成立，再通过 推理导出矛盾，从而证明原结论正确”的逻辑本质，初步掌 握其解题步骤，培养逆向思维与逻辑论证的严谨性。 15.用反证法证明。如图，已知：直线a,b被直线c所截，∠1+ ∠2≠180°。求证：a与b不平行。 考点五勾股定理及其逆定理、直角三角形中30°角的性质 【训练目的】理解勾股定理及其逆定理的推导逻辑与 几何意义，掌握含30°角的直角三角形的边角关系，能灵活 运用三者解决直角三角形的计算、判定及实际问题。 16.如图，在等边三角形ABC中，BC=8,点D是AB 的中点，过点D作DF⊥AC于点F,过点F作 EF⊥BC于点E,则BE的长为 ( A.3 B.4 C.5 D.6 17.如图，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD。已知AB=13, AC=20,AD=12,BD=5。 求：(1)CD的长； (2)△ABC的面积。 ·26· ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 18.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的 “垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O。 (1)若A0=2,B0=3,C0=4,D0=5,请求出AB2,BC2,CD2,DA2 的值； (2)若AB=6,CD=10,求BC2+AD2的值； (3)请根据(1)(2)题中的信息，写出关于“垂美”四边形的边的 一条结论。 19.新素养〔应用意识〕如图，在△ABC中，AB=12cm,AC=10cm, ∠A=60°，点P从点B出发以每秒2cm的速度向点A运动，点Q 从点A同时出发以每秒1cm的速度向点C运动，其中一个动点 到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒， 当△APQ为直角三角形时，求t的值。 考点六互逆命题（定理） 【训练目的】理解“原命题与逆命题”的结构关系（条 件与结论互换)，能区分互逆命题的真假性，明确互逆定理 需满足“原、逆命题均为真”的前提。 20.下列定理中，没有逆定理的是 A.等腰三角形的两个底角相等 B.对顶角相等 C.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 D.直角三角形两个锐角的和等于90° 21.命题“等边三角形的三个角相等”的逆命题是 考点七线段垂直平分线、角平分线的性质与判定 【训练目的】掌握线段垂直平分线、角平分线的性质及 判定，能运用这些知识解决线段或角的等量关系问题，同 时深化“图形性质与判定”的逻辑关联，培养几何作图与推 理论证能力。 22.如图，OC平分∠AOB,在0C上取一点P,过点 P作PQ⊥OB于点Q。若PQ=7cm,则点P 到OA的距离为 A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7cm 23.如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC,点P在BD上， PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N,求证：PM=PN。 D P 24.如图，在△ABC中，AB=AC,点D是BC边上的中点，AC的垂直 平分线交AD于点E,交AC于点F,连接BE。求证：AE=BE。 25.如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M,N分别是 位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M, N的距离相等。 B