第11章 三角形的证明及其应用测试卷-【练测考】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版五四制·新教材）

第十一章测试卷 3 (时间：100分钟分值：120分) 一 煮 选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小 郑 题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.下列命题中，其逆命题是假命题的是 A.四边形是多边形 B.内错角相等，两直线平行 C.直角三角形的两个锐角互余 D.有两边相等的三角形是等腰三角形 2.命题：已知△ABC,AB=AC.求证：∠B<90°.运用反证法证明 这个命题时，第一步应假设 成立 A.AB≠AC B.∠B>90° C.∠B≥90° D.AB≠AC且∠B≥90° 3.在图中，∠1+∠2+∠B= A.∠ADB B.∠AEC C.∠ACB D.∠DEC 编 2 D B D 第3题图 第4题图 4.如图，在△ABC中，点D在BC上，若AD=BD=DC,则∠BAC 等于 A.60° B.80° C.90° D.100° 毁 5.如图，在△ABC中，AB=AC,点E在BC边上，在线段AC的延 长线上取点D,使得CD=CE,连接DE,CF是△CDE的中线， 若∠FCE=52°，则∠A的度数为 A.38° B.34° C.32 D.28° B B D 第5题图 第6题图 6.如图所示，△ABC是等边三角形，且BD=CE,∠1=15°，则 ∠2的度数为 A.15° B.30° C.45° D.60° 7.一副三角板如图所示摆放，若∠1=80°，则∠2的度数是 A.80° B.95° C.100° D.110° \458 1 30 C 第7题图 第8题图 8.如图所示，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线DE交BC 的延长线于点E,交AC于点F,连接BF,∠A=50°，AB+BC= 16cm,则△BCF的周长和∠E分别等于 A.16cm,25° B.8cm,30° C.16cm,40° D.8cm,25° 9.如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作 OD⊥BC于点D,且OD=4.若△ABC的周长是17，则△ABC 的面积为 A.34 B.17 C.8.5 D.4 第9题图 第10题图 10.如图，在△ABC中，AD,BE分别为BC,AC边上的高，AD,BE 相交于点F,AD=BD,连接CF,则下列结论：①BF=AC; ②CF⊥AB;③若BF=2EC,则△FDC的周长等于AB的长； ④∠FCD=∠DAC.其中正确的有 A.①②③B.①②④ C.①③④ D.②③④ 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分 11.等腰三角形的腰长为10cm,底边上的高是8cm,则这个三 角形的底边长为 cm 12.如图，AB=AC=AD,若ADBC,∠C=78°，则∠D= 第12题图 第13题图 13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，线段AB的垂直 平分线分别交AC,AB于点D,E,连接BD.若CD=1,则AD 的长为 14.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 120°，DE⊥AC,交AC于点D,交BC于 D 点E,F是CE上一点，ED=EF,连接CFE DF,DE=2cm,则CF的长为 cm. 15.如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分 线，∠BAC=90°，AD=1,则CE= D 第15题图 第16题图 16.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm,F是高AD和BE 的交点，则BF的长是 三、解答题：本大题共7个小题，共72分.解答要写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤 17.(8分)如图，某建筑公司想测出一电视塔EF的高度，身高 为1.8m的公司员工（其眼部的垂直高度刚好1.7m)登上 10m高的顶楼阳台，利用另一侧距离等于他与电视塔间距 离的建筑物DH进行测距，他固定自己的站立位置，看到该 电视塔的最高点时测出视线的仰角（∠FOG),再转身，用同 样的大小的角度作为俯角（∠COD),使视线刚好落在建筑 物DH的某一点C上，然后测出CD为3m(已知OG⊥EF, OD⊥DH),就可以求出该电视塔的高度.请你求出该电视 塔的高度. 一11— 18.(8分)如图，AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC 求证：△BDE是等腰三角形 E 19.(8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,DE⊥ AB于点E,点F在AC上，且BD=DF.请你判断AE,AF与 BE之间的数量关系，并说明理由. 20.(12分)如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC边上一点，EF 垂直平分CD,交AC于点E,交BC于点F,连接DE. (1)证明：DE∥AB. (2)若∠A=56°，求∠DEF的度数 B D F -12- 21.(12分)如图，已知AB∥CD,BC⊥CD,且CD=2AB=12, BC=8,E是AD的中点 (1)请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等，并证明， (2)求BE的长 22.（12分)如图，在△ABC与△ADE中，AB⊥AC,AD⊥AE,AB= AD,BC=DE,AE交BC于点M,DE交AC于点N,BC交DE 于点0. (1)求证：AM=AN. (2)连接EC,A0,求证：AO垂直平分EC. 23.(12分)【问题背景】 (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，求证：∠A+∠B= ∠C+∠D. 【简单应用】 (2)如图2，AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,若∠ABC=46°， ∠ADC=26°，求∠P的度数 【问题探究】 (3)如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分 ∠BCD的外角∠BCE,若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想 ∠P的度数，并说明理由 图1 图2 图3 【拓展延伸】 (4)①在图4中，若设∠C=,∠B=B.∠C=背∠CMB, ∠CDP=3∠CDB,则∠P与∠C,∠B之间的数量关系为 .（(用，B表示∠P) ②在图5中，AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE, 猜想∠P与∠B,∠D的关系，直接写出结论 图4 图5当点M在点A的上方时 :图象G与正方形EFNH的边有且只有一个交点， .∴.5≤3m-2≤2m+1, 解得}5m≤3 当点M在点A的下方时， :图象G与正方形EFNH的边有且只有一个交点， .①若点E在第一象限，则2m+1≤3m-2≤5， 该不等式组无解. ②若点E在第三象限，即点N在第一象限， 则2m+1≤-3m+2≤5，解得-1≤m≤5 综上所述，m的取值范国是-1气≤写支了≤m气3 第十一章测试卷 1.A2.C3.B4.C5.D6.D7.B8.A9.A 10.A11.1212.39°13.214.215./316.8cm 17.解：根据题意，得GE=10+1.7=11.7(m),∠F0G=∠C0D, OG=OD,∠FG0=∠ODC=90° 在△FOG与△COD中， (∠FOG=∠COD, 0G=0D, N∠FG0=∠CDO. .△FOG≌△COD(ASA), .FG=CD,.'.EF=GE+GF=GE+CD=11.7+3=14.7(m) 答：该电视塔的高度为14.7m 18.证明：如图，.DE∥AC,.∠1=∠3. :AD平分∠BAC, .∠1=∠2，.∠2=∠3 ,AD⊥BD. .∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°， ∴.∠B=∠BDE,∴.BE=DE, .·.△BDE是等腰三角形. 19.解：AF+BE=AE.理由如下 AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°，DC=DE. 在Rt△DCF和Rt△DEB中 DC=DE,DF=DB, ∴.Rt△DCF≌Rt△DEB(HL),.CF=EB. 又.·∠CAD=∠EAD,∠C=∠DEA=90°，AD=AD, .△CAD≌△EAD(AAS),.AC=AE. ∴AF+FC=AE,即AF+BE=AE 20.(1)证明：·EF垂直平分CD, .ED=EC,∠EDC=∠ECD. .·AB=AC,.∠ABC=∠ACB .∠EDC=∠ABC,.DEAB. (2)解：.DE∥AB,∠A=56°， .∴.∠DEC=∠A=56°. ,ED=EC,EF⊥CD .EF平分∠DEC, 1 ∠DEF=2∠DEC=28. 21.解：(1)延长BE与CD交于 点F,则EF=BE.如图. 证明如下： AB//CD. ∴.∠A=∠D,∠ABE=∠DE. D :E是AD的中点， .AE=DE. 在△AEB与△DEF中， .·∠A=∠D,∠ABE=∠DFE,AE=DE, .△AEB≌△DEF(AAS),.BE=EF (2)·△AEB≌△DEF,CD=2AB=12, .∴.DF=AB=12÷2=6, .CF=CD-DF=12-6=6. :BC⊥CD,.BF=√BC+CF=√82+6=10. 服=EF=2FBE=BN=5 1 22.证明：(1)由题知AB⊥AC,AE⊥AD .∠BAC=∠DAE=90°. 在Rt△ABC与Rt△ADE中， (AB=AD, BC=DE. .Rt△ABC≌Rt△ADE(HL),∴.∠B=∠D. .·∠BAC-∠EAC=∠DAE-∠EAC. ∴.∠BAM=∠DAN 在△ABM与△ADN中， ∠B=∠D, AB=AD, 、∠BAM=∠DAN ∴.△ABM≌△ADN(ASA),.AM=AN. (2)由(1)可得AC=AE,∠ACB=∠AED, .∠ACE=∠AEC, .∴.∠ACE-∠ACB=∠AEC-∠AED 即∠BCE=∠DEC,..OE=OC, .点O在EC的垂直平分线上. AE=AC,·点A也在EC的垂直平分线上， .A0垂直平分EC 23.(1)证明：如图1. 在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°， B 在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°， 又.·∠AEB=∠CED, .·.∠A+∠B=∠C+∠D. (2)解：如图2. 由(1)，得∠1+∠B=∠3+∠P,∠4+∠D= 图1 ∠2+∠P, ..∠1+∠B+∠4+∠D=∠3+∠P+ ∠2+∠P. AP平分∠BAD,CP平分∠BCD, ∴.∠1=∠2，∠3=∠4， ∴.2∠P=∠B+∠D. 图2 .·∠ABC=46°，∠ADC=26°， .2∠P=46°+26°=72°， .∠P=36°. (3)解：∠P=26°.理由如下： 如图3. .·AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平 分∠BCD的外角∠BCE .∠1=∠2，∠3=∠4. F个2 ∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3， 图3 .∠P+(180°-∠2)=∠D+(180°- ∠3). ∠PAB=∠1，∠P+∠PAB=∠B+L4, .∠P+∠1=∠B+∠4， .2∠P=∠B+∠D, 1 ∠P=2(∠B+∠D)=2×(369+16)=269, (4)解：①如图4，设∠CAP=m,∠CDP=n, 则∠CAB=3m,∠CDB=3n, ∴.∠PAB=2m,∠PDB=2n .:∠C+∠CAP=∠P+∠PDC,∠P+A ∠PAB=∠B+∠PDB,∠C=a,∠B=B 图4 .∴.a+m=∠P+n,∠P+2m=B+2n, .a-∠P=n-m,∠P-B=2n-2m=2(n-m), .∠P-B=2(a-∠P), 2+B=3LP,∠P-2a9 31 答案：∠p=2a+8 3 ②∠P=180+∠B+LD 2 [提示]如图5，设∠BAP=x,∠PCE=y, 则∠PAO=x,∠PCB=y ,·∠PAO+∠P=∠PCD+∠D ∠B+∠BAO=∠OCD+∠D, ..x+∠P=180°-y+∠D, ∠B+2x=180°-2y+∠D, ∠P=180+∠B+∠D 图5 2 期末测试卷（一） 1.D2.D3.B4.D5.B6.C7.A8.C9.C10.A 11.x<-212.2813.2,14.x>215.70 (y=-4 16.(1)2(2)①② 17.解：(1)在Rt△ABC中，，·∠ABC=90°，∠ACB=30°， ∴.∠BAC=60° ·:∠BAC的平分线AD交BC于点D, .∴.∠BAD=∠CAD=30°， ∴.∠ADC=180°-30°-30°=120°. (2)由(1)，知∠ACD=∠CAD=30°， .∴.AD=CD,∠ADB=30°+30°=60°， ∴.∠CDF=∠ADB=60° 如图，连接CF 由作图过程可知：MN是CD的垂直平 分线， .FC=FD,.△CDF是等边三角形， .∴.FC=FD=CD=AD ∠B=90°，AB=3,∠BAD=30°， 3+(20)=0, .AD=23,.DF=AD=25. 18.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b. 因为当x=60时，y=6,当x=90时，y=10, 2 所以60k+6=6。解 (90k+b=10, k215' b=-2. 2 所以y与x之间的函数关系式为y= 5-2(x≥15). 、2 (2)当y=0时，15x-2=0,所以x=15, 故旅客最多可以免费携带15kg的行李 19解：（1)P(获得九折)-02-分，P(获得八折) 360° 360°=3，P(获得七折)=360°-90×2-60x2.1 60°×21 360° 6 (2):200×0.9=180>168,.他没有获得九折优惠. 200×0.8=160<168,.168÷0.8=210(元). 200×0.7=140<168,.168÷0.7=240(元). 答：他消费所购物品的原价应为210元或240元， 20.(1)证明：CD⊥AB,EF⊥AB, ∴.∠BFE=∠BDC=90°，.CD∥EF,.∠1=∠BCD. .∠1=∠2， .∠2=∠BCD,.DGBC (2)解：.·∠B=34°，∠A=40°， .∴.∠ACB=180°-34°-40°=106°. DG∥BC,.∠3=∠ACB=106. 21.解：(1)设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为 y元 由题意，得y3解得=9， (4x=6y, (y=6. 答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元 (2)设能购买A种材料m件，则能购买B种材料(50 m)件. 由题意，得9m+6(50-m)≤360，解得m≤20. 答：最多能购买A种材料20件 22.(1)证明：.AD⊥BC,∠BAD=45° ·△ABD是等腰直角三角形，.AD=BD. BE⊥AC,AD LBC,.∠ADC=∠BEC=90°， ∴.∠CAD+LACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°， ∴.∠CAD=∠CBE. 在△ADC和△BDF中， '∠CAD=∠FBD,AD=BD,∠ADC=∠BDF=90°， ∴.△ADC≌△BDF(ASA),∴.BF=AC .·AB=BC,BE⊥AC,.∴.AC=2AE,∴BF=2AE. (2)解：△ADC≌△BDF,CD=1,.DF=CD=1. 在Rt△CDF中，CF=/DF2+CD2=/12+12=√2. ·BE⊥AC,AE=EC,.AF=CF=√2， .∴.AD=AF+DF=√2+1. 23.解：(1)直线1：y=kx+b过点B(1,0)与点(-2,3)， +6=0,解得k=1, ·{-2k+b=3, b=1, .直线l的关系式为y=-x+1. (2):点P是直线l1:y=-x+1与直线12：y=2x+4的交点， +1解得=，点P的坐标为(-1,2)， （y=2x+4, (y=2, .不等式0<kx+b≤mx+n的解集为-1≤x<l. (3):直线l1与y轴交于点C,∴.点C的坐标为(0,1). 直线l2与x轴交于点A, .点A的坐标为(-2,0)，则AB=3, 四边形PA0C的面积==7×3x2X1X1: 2