《11.6角平分线》同步练习 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

**基本信息** 聚焦角平分线性质与判定，通过基础巩固、中档应用、综合探究三层设计，实现从单一知识点到跨知识综合应用的进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|角平分线性质、尺规作图|如单选1直接考查性质应用，填空9结合外角平分线计算角度，夯实概念理解| |中档|判定定理、简单综合|如填空13结合30°直角三角形求最小值，解答18证全等与角平分线，提升应用能力| |综合|复杂证明、探究迁移|如解答24等边三角形综合证明，25材料阅读探究角平分线性质迁移，发展推理与创新意识|

2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《11.6角平分线》 自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ）． A．处 B．处 C．处 D．处 2．已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A．B． C．D． 3．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 5．如图，为的角平分线，，于，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，直线是边的垂直平分线，直线与边交于点，与的平分线交于点（），连接，，延长至点．下列判断一定正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，已知在中，平分垂直平分交的延长线于，连接，若，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．下列结论不正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 二、填空题（满分24分） 9．在中，，点是的外角、的平分线的交点，连接，则______度． 10．已知中，和的平分线交于，则到的距离是__________． 11．如图，在中，，平分．若，，则点D到的距离为____． 12．如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点D，过D点作的平行线分别交、于点M、N，若与的周长分别为22、14，则的长为___________． 13．如图，，，，平分，点为上的一动点，，则的最小值为______． 14．如图，中，的角平分线与的垂直平分线交于点D，分别连接．则________度． 15．如图，是外的一点，的延长线于点于点的延长线于点，连接．若，则的度数为_________． 16．如图，是的外角的平分线，，于点．若，，则的长为_____ 三、解答题（满分72分） 17．（6分）已知，如图，在 中，． (1)按下列要求尺规作图，并在图中标明相应字母（不写作法，保留作图痕迹）：作的角平分线交于点F，过点F作的垂线，垂足为点D． (2)在（1）的基础上，若＝6，，求的面积． 18．（6分）如图，在和中，，，，分别交，于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 19．（8分）如图，在四边形中，，O为的中点，且平分． (1)求证：平分； (2)已知，，求的长． 20．（8分）已知点C是平分线上一点，的两边分别与射线相交于两点，且，过点C作，垂足为E． (1)如图1，当点E在线段上时，猜想：______；（数量关系） (2)如图2，当点E在线段的延长线上时，探究线段与之间的数量关系； 21．（8分）如图，在中，，点D是边的中点，，的角平分线交于内一点P，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求证：． 22．（8分）如图，，，，，垂足为F．求证： (1)； (2)平分； (3)． 23．（8分）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分∠ADC； (3)若，，，且，求的面积． 24．（10分）综合与实践 两个共顶点的不重合等边三角形，分别连接对侧顶点构成的两个三角形会全等． (1)如图所示，，都是等边三角形，请证明； (2)如图， ； (3)如图，在第（）问条件下，设，交于，连接，求证：平分． 25．（10分）材料阅读：如图1，在中，，分别平分，，连接． 求证：平分． 小星同学看到，分别平分，，想到了角平分线的性质，他过点分别作，，的垂线段，，，得到，，之间的数量关系，从而证明平分． (1)请用小星的方法或自己的方法证明平分； (2)方法应用：如图2，在中，是的延长线上一点，分别平分，，连接． ① 探究与之间的数量关系，并说明理由； ② 当时，如图3，过点作交于点，连接并延长交于点，与交于点，探究，与之间的数量关系． 参考答案 1．解：如图所示， 根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”得到点到三条公路的距离相等， ∴可供选择的地址有4个， 故选：D ． 2．B 【分析】本题考查作图——基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法；观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可. 【详解】解：A、作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故A不符合题意； B、作图痕迹可知，D在的平分线上，能确定，故B符合题意； C、作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故C不符合题意； D、作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，不能确定，故D不符合题意. 故选：B. 3．C 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线，角平分线等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．由作图可知平分，垂直平分线段，再根据线段的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：由作图可知平分，垂直平分线段， ∴，， ∴， 由已知条件无法得出、、． 故一定正确的是选项C， 故选：C． 4．A 【分析】本题考查的是角平分线的性质及其尺规作图，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过D作于点H，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：过D作于点H， 由基本尺规作图可知，是的平分线， ， ， ，， ， 又， ． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义，延长至点，使得，连接，则，由角平分线的定义可得，证明，得出，，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，则， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、直角三角形全等的判定，运用线段垂直平分线和角平分线的性质，构造直角三角形的全等条件是解题关键． 作，垂足为点，，垂足为，利用线段垂直平分线的性质得、角平分线的性质得，通过判定，由全等三角形对应角相等得出． 【详解】解：如图，作，垂足为点，，垂足为， ∵直线是边的垂直平分线， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴，故符合题意；选项，，不符合题意． 故选：． 7．A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，连接，过D作于G，利用角平分线的性质得出，进而证明与全等，进而解答即可． 【详解】解：连接，过D作于G， ∵平分，交的延长线于F， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键． 通过证明，根据全等三角形的性质可判断B；利用三角形内角和定理和对顶角相等，可判断A；过点分别作，垂足分别为，，根据全等三角形对应边的高相等可得，进而可判断C；再根据对顶角和角平分线的性质可判断D． 【详解】解：， ，即， ，， ， ，，故B正确； 设和交于点， ， ，即，故A正确； 过点分别作，垂足分别为，，如图， ， ， 平分，故C错误； ∵， ∴， 又∵平分， ∴，故D正确； 故选：C． 9． 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，过点作于点，作于点，作于点，则有，，所以，得到点在的平分线上，然后通过角平分线定义即可求解，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点，作于点， ∵分别是的外角的平分线， ∴，， ∴， ∴点在的平分线上， ∴， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理及与三角形高有关的计算，分别过点O作，连接，易得点在的角平分线上，推出，设，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：依题意，分别过点O作，连接， ∵点是与平分线的交点， ∴点在的角平分线上， ∴， 设， ∵， 在中，， 则 ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴点到的距离等于． 故答案为：． 11．2 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，则由角平分线的性质可得，由线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】解；如图所示，过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点D到的距离为2， 故答案为：2． 12． 【分析】本题考查等腰三角形的判定，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，因此，判定，同理：，得到的周长，而的周长，即可求出的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∴的周长， ∵的周长， ∴． 13．1 【分析】本题考查了角平分线的性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作交于点，根据角平分线的性质，可得，在，，，结合30度所对的直角边等于斜边的一半，可知，又，从而得到的长度，由，可知的最小值为，从而求得答案． 【详解】解：过点作交于点，如图所示： 平分，， ， ，，， ，即， ， ， ， ， ， 当点与重合时，的最小值为，且最小值为1， 故答案为：1． 14．120 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理．作交延长线于点，作于点，利用角平分线的性质求得，利用线段垂直平分线的性质求得，利用证明求得，再利用四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：作交延长线于点，作于点， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：120． 15． 【分析】利用角平分线判定定理得出相关角的平分线，再结合三角形外角性质和角的和差关系求出的度数． 【详解】解：∵，，且， ∴点在的外角平分线上． 同理可证：∵，，且， ∴平分． ∵，，且， ∴平分． 在中，， ∴． ∵，， ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角性质，解题关键是利用角平分线的判定定理得出角平分线，再结合三角形内角和与外角性质进行角度计算． 16．6 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质建立线段之间的关系． 过点作，利用角平分线的性质得到，再通过“”分别证明 和，结合线段和差关系推导出，进而求出的长． 【详解】如图，过点作于， ∵是的角平分线， 在和中， ， ， ， 在和中， 故答案为：6 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线和垂线的尺规作图，全等三角形的性质和判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）尺规作图作出的角平分线和过点F的的垂线即可； （2）根据勾股定理可求出的长，通过证明 ，可得，设，则，由勾股定理得，求出，则面积即可求． 【详解】（1）解：如图，作的角平分线，过点F作，则即为所求； （2）解：，，， ， ∵平分， ， ∵，， ， ，， ∴， 设，则， ， 解得，， ， ． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理； （1）证明即可得到； （2）过点分别作于点，于点，根据得到，，利用三角形的面积公式得到，再利用角平分线的判定定理即可证明平分． 【详解】（1）证明：， ， 即， ， ， ． （2）证明：过点分别作于点，于点， 由（1）得，， ，， ， ， 又，， 平分． 19．(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线的判定定理，全等的性质和综合等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先根据角平分线的性质得出，再根据中点的意义得出，从而可得，再根据角平分线的判定得出平分； （2）由（1）得，再证明，从而可得，同理可得，再根据线段的和求得． 【详解】（1）证明：如图，过点O作于E． ∵，平分， ∴． ∵O为的中点， ∴． ∴． 又∵， ∴平分． （2）由（1）得， 在和中， ∵，， ∴． ∴． 同理可得， ∴． ∵，， ∴． 20．(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，证明，得到，结合图形解答即可； 本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质等知识点，三角形的外角性质,构造全等三角形是解题关键． 【详解】（1）猜想， 证明：如图，过点作，垂足为， ∵平分,, ∴ ∵, ∴， 在和中， ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：，理由如下： 如图，过点作，垂足为， ∵平分,, ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ ∴． 21．(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，三角形的内角和，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，得到，则，根据角平分线的性质，得到，则，再根据三角形的内角和为，即可求解． （2）根据垂直平分线的性质，得到，则，根据角平分线的性质，得到，则，再根据三角形的内角和为，得到，即可求解． 【详解】（1）解：点D是边的中点，， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ． （2）证明：点D是边的中点，， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ， ． 22．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质，勾股定理； （1）由可得，易得，即可证明； （2）由可得，由，可得，进而推出，即可证明平分； （3）由勾股定理可得，，进而证明. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴平分. （3）证明：由（2）得：， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴． 23．(1) (2)证明见解析 (3)18 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积． （1）先根据三角形外角性质计算出，然后计算即可； （2）过E点作于M点，于N点，如图，先计算出得到平分，根据角平分线的性质得到，，所以，根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论； （3）根据三角形面积公式得到，则可计算出，所以，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过E点作于M点，于N点，如图， ∵，， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， 即平分； （3）解：∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积． 24．(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （）由，都是等边三角形，则，，，通过角度和差得，再由“”证明； （）由（）得，，又是等边三角形，则，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）过作于点，作于点，通过等面积法得，最后由角平分线的判定即可求证． 【详解】（1）证明：∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（）得， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，过作于点，作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴点在平分线上， ∴平分． 25．(1)证明见解析； (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）过点分别作，，，垂足分别为M，N，P，通过角平分线的性质，可以得到，，从而得到，从而可以推出平分； （2）①． 理由如下：过点分别作，交的延长线于点，过点分别作，，垂足分别为N，P，通过角平分线的性质，先证明出平分，然后利用三角形的外角推出，；②在上截取，连接，由①，知，，接着证明，，从而得出． 【详解】（1）证明：如图1，过点分别作，，，垂足分别为M，N，P． 平分， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 又，， 平分． （2）解：①． 理由如下： 如图2，过点分别作，交的延长线于点，过点分别作，，垂足分别为N，P． ∵平分，，， ∴，． ∵平分，，， ∴，． ∴． 又，， ∴平分． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， 即． ② 如图3，在上截取，连接． 由①，知，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴平分． ∵平分， ∴． 由(1)，知平分． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴，． 在和中，，，， ∴． ∴． ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $