11.6角平分线同步训练2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

11.6 角平分线 知识梳理 1.角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。注意角平分线是射线（仅向角的内部延伸），而非直线或线段；一个角有且仅有一条角平分线。 2.角平分线的核心性质定理：角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等。这里的“距离”指该点到角两边的垂线段长度，是实现线段等量转化的核心依据，可直接证明垂线段相等，无需通过全等三角形推导。 · 延伸性质：三角形三条角平分线相交于一点，该点称为三角形的内心，内心到三角形三条边的距离相等；内心是三角形内切圆的圆心，无论三角形是锐角、直角还是钝角，内心始终在三角形内部。 3.角平分线的判定定理 · 基本判定：到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上； · 补充说明：判定时需满足“点在角的内部”且“到两边的距离均为垂线段长度”，二者缺一不可；若一条射线所在直线上有两个点到角两边距离相等，则该射线为角平分线。 4.角平分线的尺规作图方法 · 步骤：①以角的顶点为圆心，任意长为半径作弧，交角的两边于两个点；②分别以这两个交点为圆心，大于两交点间距离一半的长度为半径作弧，两弧在角的内部相交于一点；③连接角的顶点与这个交点，所得射线即为该角的平分线； · 作图原理：依据SSS全等判定，所作弧的半径相等，得到的交点到角两边的距离相等，结合判定定理确定射线为角平分线。 5.角平分线的常见应用 · 证明线段相等：过角平分线上的点作角两边的垂线段，利用性质定理直接得出垂线段相等； · 证明角相等：通过判定定理证明某射线为角平分线，进而得到两个角相等； · 计算边长与面积：利用内心到三边的距离为内切圆半径，结合三角形面积公式（面积=内切圆半径×三角形周长÷2）求解；或通过“角平分线+垂直”构造全等三角形，转化边长进行计算； · 构造等腰三角形：角平分线+平行线可构造等腰三角形（角平分线得到等角，平行线得到内错角/同位角相等，进而推出等角对等边）。 6.与等腰/直角三角形的综合运用 · 与等腰三角形结合：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（三线合一），即顶角平分线同时也是底边的垂直平分线； · 与直角三角形结合：直角三角形的内心到三边的距离=（直角边之和−斜边）÷2；角平分线+直角可快速构造全等直角三角形（HL判定），实现边的转化； · 与含30°角的直角三角形结合：利用角平分线性质得到垂线段相等，再结合30°角所对直角边=斜边一半的性质，简化边长计算。 7.常见辅助线作法 · 过角平分线上的点作角两边的垂线段：这是最常用的辅助线，直接利用性质定理得到垂线段相等，为证明或计算创造条件； · 作角平分线：当题目需证明角相等或线段相等时，通过尺规作图作角平分线，搭建解题桥梁； · 构造平行线：结合角平分线构造等腰三角形，实现角与边的相互转化； · 连接内心与三角形顶点：利用内心的性质，将三角形面积转化为三个小三角形面积之和（均以内心到边的距离为高）。 8.核心解题思路 · 遇“角平分线”，优先过线上点作角两边的垂线段，利用“距离相等”转化线段； · 证“某射线为角平分线”，先作该射线上一点到角两边的垂线段，证明两条垂线段相等，再结合判定定理得出结论； · 计算面积时，若已知内心到边的距离（内切圆半径），可直接利用面积公式求解；若未知，可通过全等三角形转化边长，再结合面积公式计算； · 解决等腰三角形与角平分线综合问题时，灵活运用“三线合一”，实现角平分线与底边垂直平分线的相互转化。 9.常见易错点 · 混淆图形类型：误将角平分线当作直线或线段，忽略其射线的属性； · 距离定义误解：将“到角两边的距离”误认为是点到角两边的任意线段长度，实际应为垂线段长度； · 作图误区：作弧时半径小于两交点间距离的一半，导致两弧无交点，无法作出角平分线； · 内心性质误判：认为内心到三角形三个顶点的距离相等（实际是到三条边的距离相等）； · 判定条件遗漏：仅证明点到角一边的距离，或点在角的外部，就判定该点在角平分线上。 同步训练 一、单选题 1．如图，已知，用尺规作图的方法在边上确定一点，连接，能判断一定是等腰三角形的图形有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，，平分，于点，若，则的长为(     ) A．9 B．8 C．7 D．6 3．根据图中的尺规作图痕迹（部分），若点P的坐标为，则a的值为（    ） A．3 B． C．2 D．3或 4．若内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三条中线的交点 D．以上都不是 5．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，按下列步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径画圆弧，分别与，交于点D，E，连接；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点F；③作射线交于点G．若，，则的面积为（　　） A．16 B．24 C．36 D．48 7．如图是等腰直角三角形，，平分交于点，，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，在中，，是上一点，连接，过点作于点，若，则的度数为__________． 9．如图，是的角平分线，点在上，，垂足为，且，则点到的距离是______cm． 10．如图，在中，，是的角平分线，于点D，，周长为12，则的长是_____． 11．如图，为内角平分线的交点，过点O作于点M．若，则的长为__________． 12．如图，四边形中，，，．下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于两点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧；两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为_____． 三、解答题 13．如图，四边形中，平分，，于． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 14．如图，在中，，． (1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的_________，射线是的_________；（填序号） ①高线  ②角平分线  ③垂直平分线  ④中线 (2)求的度数． 15．完成下面题目： (1)请用直尺和圆规作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)已知在中，的平分线也是边上的高，请判断是不是等腰三角形，并说明理由． 16．如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 《11.6 角平分线 同步训练 2025-2026学年鲁教版数学七年级下册》参考答案 1．B 【分析】本题考查了基本作图、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识的性质和作图是解题的关键．根据作图意义解答即可． 【详解】解：①作图是的垂直平分线，点P是的中点，无法证明一定是等腰三角形，不符合题意； ②作图得到，一定是等腰三角形，符合题意； ③作图是的垂直平分线，则，一定是等腰三角形，符合题意； ④作图是是的平分线，不能判定一定是等腰三角形，不符合题意； 综上可知，能判断一定是等腰三角形的图形有②③， 故选：B． 2．D 【详解】解：∵，平分，于点，， ∴ 3．A 【分析】由作图可知点在的角平分线上，由角平分线的性质，结合第一象限的点的坐标特征即可求解． 【详解】解：由作图痕迹可知点在的角平分线上， ∴， ∴． 4．A 【详解】解：∵到角的两边距离相等的点在角的平分线上， ∴点O到三条边的距离相等，则点O在的三个角的平分线上， ∴O为三条角平分线的交点． 5．B 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和问题. 求出的度数，角平分线的定义，得到的度数，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∴． 故选：B． 6．B 【分析】如图，过点G作于点H．先由作图得平分，再根据角平分线的性质得，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作于点H． 由作图可知平分， ∵，， ∴， ∴的面积． 7．B 【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是利用角平分线的性质证明． 先利用角平分线的性质证明，由全等三角形的性质得，最后由即可得解． 【详解】解：是等腰直角三角形， ， ， ， 又平分， ， 在和中， ， ， ， 的周长． 故选：． 8． 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握到角两边距离相等的点在角的平分线上这一判定定理是解题的关键． 先根据角平分线的判定定理，由且、，得出平分，再在中利用直角三角形两锐角互余的性质求出的度数． 【详解】解：∵，，， ∴平分． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 9．3 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等解题即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵是的角平分线，，， ∴． 即点到的距离是． 10．8 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到答案． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， ∵的周长为12，， ∴， ∴， 故答案为：8． 11． 【分析】本题主要考查角平分线的性质，直角三角形中，所对的边等于斜边的一半，作合适的辅助线是解题的关键． 过作交于，由角平分线的性质可得，，再解即可． 【详解】解：过作交于， 为内角平分线的交点， ，， ， ． 故答案为：． 12．4 【详解】解：由作图可知，平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．(1)见解析； (2)的长为，的长为． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键： （1）过点作，交的延长线于，根据角平分线的性质可得，再证明△ ，进而得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，再证，可得，求出，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于， ∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为，的长为． 14．(1)③；② (2) 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，角平分线定义，垂直平分线的性质，三角形内角和定理． （1）根据作图过程进行分析，得出直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线，即可作答； （2）先运用三角形内角和性质，得，再结合垂直平分线的性质，以及角平分线的定义进行分析，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线； 故答案为：③；②． （2）解：，， ， 由（1）得是线段的垂直平分线， ， ， ， 由（1）得是的角平分线， ． 15．(1)作图见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）利用角平分线的作图方法作图即可； （2）根据条件证明，可得到的形状． 【详解】（1）如图，射线即为所求， （2）是等腰三角形， 理由如下：是的平分线， ， 是边上的高， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形． 16．(1)见解析 (2)5 【分析】（1）由是的平分线，利用角的平分线的性质定理得到，再由得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）利用得到，利用全等三角形对应边相等得到，由，及（1）中等量代换即可求的长． 【详解】（1）证明：∵，是的平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故的长为5． 学科网（北京）股份有限公司 $