11.3等腰三角形 同步练习 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础概念到综合探究，适配新授课知识巩固与思维进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|核心概念与性质（反证法、顶角计算等）|单选/填空基础题，强化抽象能力| |提升层|性质应用与推理（角平分线、全等结合）|中档解答题，培养推理意识| |综合层|综合探究与动态问题（动点、折叠等）|复杂证明题，发展几何直观与创新意识|

2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《11.3等腰三角形》 自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　） A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于 C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于 2．已知等腰三角形的一个角为，则其顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D． 3．如图，在中，若，，分别平分和，与交于点O，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，D，E分别是边上两点，连接，．若，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，上午8时一艘轮船从A地以25海里/时的速度向南偏西的方向行驶，上午10时到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶50海里到达C地，则A，C两地相距（    ） A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 6．直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C在x轴上，若为等腰三角形，则满足条件的点C共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．如图，在中，，，E是边上一点，连接 并延长至点 D，连接，若，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．1 8．如图，将一个等腰直角三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上．将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示．下列说法正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为16 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 二、填空题（满分24分） 9．如图所示，在中，平分，平分，，过点，若，，则的周长______． 10．如图，中，H是高、的交点，且，则________． 11．如图，在中，，点D在内，且分别平分与，延长交于点E，若，则______． 12．如图，在中，，于点D，于点E．若，，则的长为______． 13．如图，在中，，，，点E、F分别在上，把沿折叠，点B恰好落在边上的点D处．若是以为腰的等腰三角形，则的长为______． 14．如图，等腰中，，是等边三角形，点P是的角平分线上一个动点，连接，则的最小值为________． 15．如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管，…，添加的钢管长度都与的长度相等，则最多能添加的钢管根数为________根． 16．已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是________（填序号） 三、解答题（满分72分） 17．（8分）如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． 18．（8分）如图，在中，，，和的角平分线、交于点O，，垂足为点D，且与交于点G． (1)求和的度数； (2)求证：． 19．（8分）如图，在中，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 20．（8分）按要求完成下列各题： (1)如图1，中，，求证：． (2)如图2，，此时成立吗？请说明你的理由． 21．（8分）如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，当是等腰三角形时，求的度数． 22．（10分）如图，都是等边三角形，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 23．（10分）如图，在中，点为边上一点，连接，延长至点，使得，连接． (1)如图1，若，，，求的度数； (2)如图2，的角平分线交于点，若，，求证：． 24．（12分）如图1，是等边三角形，点、分别是边、所在直线上的动点（端点、除外），点从顶点A、点从顶点同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点． (1)试说明：的理由； (2)当点、分别在线段、上运动时，的度数是否发生改变？若改变，请说明理由；若不改变，求出它的度数； (3)如图2，当点、分别运动到、后，继续在射线、上运动，直线、交点为，则的度数是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，则求出它的度数． 参考答案 1．解：由题意得 需假设两锐角都大于． 2．C 【分析】分两种情况讨论计算． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：若的角为顶角，则该等腰三角形的顶角为； 情况2：若的角为底角， ∴顶角． 综上，该等腰三角形顶角的度数为或． 3．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义、三角形的外角性质，掌握等腰三角形的性质和角度大小比较是解题的关键． 先由得，角平分线分得，可判断选项A；再证得，，可判断选项B、D；最后比较与的大小判断与的关系．进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵，分别平分和 ， ∴， ， ∴；故选项A正确，不符合题意； 在 和中， ∴， ∴ ，，故选项B、选项D正确，不符合题意； ∵ ， ， ， ∴ ； ∵ ， ∴ ， ∴ ，故选项C错误，符合题意； 故选：C． 4．B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理， 先根据“等边对等角”得，再根据三角形内角和定理求出，然后根据等腰三角形的性质得出，最后根据三角形的内角和定理得出答案； 【详解】解：∵， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5．C 【分析】本题主要考查了方向角、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得海里，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：连接， 由题意得：海里，海里， 即， 是等边三角形， 海里， 、两地相距海里． 故选：C． 6．C 【分析】根据等腰三角形的三边关系，分三种情况讨论点C的位置，注意排除重合的点． 【详解】解：∵ 直线与x轴交于A，与y轴交于B， 令，解得， ∴； 令，解得， ∴； 由勾股定理得； 设，分三种情况讨论： 当时， ，解得或， 即，，共2个点； 当时， ，即，解得或， ∵时，C与A重合，无法构成三角形，舍去， ∴，共1个点； 当时， ，两边平方得， 展开得，解得， ∴，共1个点； 综上，满足条件的点C共有个． 【点睛】重点掌握等腰三角形的判定与一次函数的综合应用． 7．B 【分析】作，垂足为，根据等腰三角形的性质可得，根据含 30 度角的直角三角形的性质得出，那么可证．再利用证明，得出，设，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：作，垂足为，则，如图所示： ，， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则． ， ， ， ∴线段长为． 8．C 【分析】由函数图象可知，当时，直线l经过点A，得，可得，可判断A；由函数图象可知：当时，直线l经过点C，，，得的面积：，可判断B；由，可得直线的解析式为，可判断C；由，得当l经过点C时，由，得，得，可判断D． 【详解】解：A、令直线， 解得：， ∴点M的坐标为， ∴， 由函数图象可知：当时，直线l经过点A， ∴， ∴ 点A的坐标为， ∴A错误； B、由函数图象可知：当时，直线l经过点C， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∴， ∴的面积：， ∴B不正确； C、∵， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， ∴C正确； D、∵， ∴，直线l和x轴正方向的夹角为， ∴， ∵， ∴当l经过点C时， ， ∴， ∴D不正确； 故选：C. 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数的平移，等腰直角三角形性质，从函数图象获取信息的能力，勾股定理，坐标与图形性质是解题的关键． 9．30 【分析】由平分得到，由平行线的性质得到，从而可得，故．同理可得，．由此，的周长可转化为即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 同理可得，， ∴ ． 【点睛】利用角平分线和平行线的性质得出等腰三角形是求解此类问题常用的方法． 10．/45度 【分析】根据三角形高的定义，利用“”先证得，根据全等三角形的对应边相等、等边对等角和三角形的内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：∵、是的高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．/100度 【分析】延长，截取，连接，根据三角形内角和定理及角平分线得出，再由边角边确定，得出，，，设，根据三角形内角和定理得出方程，确定，再由三角形外角的性质即可求解，作出相应辅助线构造全等三角形是解题关键． 【详解】解：延长，截取，连接，如图所示： ∵，分别平分与， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴ 设， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．5 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 先利用等边对等角得到，再证明得到，利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故答案为：5． 13．5或 【分析】求出，，分当时，过点D作于点G，则，设，则，得，得，解方程即可；当时，，得，解方程即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 当时，过点D作于点G， 则， 设， 由折叠知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得： 当时， ， ∴， ∴． 综上，或． 故答案为：5或． 【点睛】本题考查了三角形折叠．熟练掌握折叠性质，等腰三角形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，是解题的关键． 14．12 【分析】本题主要考查了最短路线问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，连接，证明，即可得到，得，再根据当，，在同一直线上时，的最小值为线段长，即可得出的最小值为12．添加辅助线，构造，再利用两点之间线段最短找到最短位置是解决问题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的角平分线上一动点，则 ， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当，，在同一直线上时，的最小值为线段长， 又∵是等边三角形，， ∴的最小值为12， 故答案为：12． 15．6 【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出第一个等腰三角形底角的度数，再依次求出，并根据底角度数不能超过直角判断即可． 【详解】解：根据题意，得 ∵， ∴． ∵是的外角， ∴, 则是第二个等腰三角形，且， 同理是第三个等腰三角形，， 第四个等腰三角形的底角为； 第五个是；第六个是；第七个是，这样就不存在了． 所以一共有6根钢管． 16．①②④ 【分析】利用证明；根据证明②即可；利用等腰三角形的性质，证明求解即可. 【详解】解：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ∵ ∴ 故①正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴， 故②正确； ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③错误；④正确. 17．(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，，则有； （2）根据角平分线的性质得．由平行线的性质得，则，有，即可说明是等腰三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，D为的中点， ∴， ∴． ∴； （2）证明：∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴， ∴是等腰三角形． 18．(1)， (2)见解析 【分析】（1）首先，根据三角形的内角和定理及垂直的定义求出，，，再根据角平分线的性质求出，，最后，再根据外角的性质求出的度数； （2）首先，根据垂直的定义及三角形的内角和求出，然后，再由（1）知，运用“等角对等边”知识可知． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∵为的外角， ∴； （2）证明：在中，，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得，再根据得，由此即可得出结论； （2）延长到M，使，连接，先证和全等得，再证明得，则，然后再根据含有角的直角三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：延长到M，使，连接，如图所示： 由（1）知：， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 20．(1)见解析； (2)成立，见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边的知识，合理作出辅助线证明三角形全等是关键， （1）延长至E，使，连接证明，结合题意得到，，由此即可求解； （2）延长至F，使，连接，证明，结合题意得到，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：延长至E，使，连接，如图1所示： ∵在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下： 延长至F，使，连接，如图2所示： ∵在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．(1)见解析 (2)的度数为或 【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到，，，然后证明出，即可得到； （2）首先求出，然后根据等腰三角形的定义分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，是等边三角形， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∵是等腰三角形 ∴①如图，当时， ∴ ∴ ∴； ②如图，当时， ∴ ∴ ∴ ∴点O在上，即点O和点D重合，不存在，不符合题意； ③如图，当时， ∵ ∴垂直平分 ∴ 综上，的度数为或． 22．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质详解； （2）利用，得到，进而得到； （3）在上截取，连接，通过证明，则，，再证是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵和都是等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：令、交于点，、交于点，如下图所示： 由（1）知，， ∴， ∴， ∴； （3）证明：在上截取，连接， 由（1）知：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 23．(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等边对等角可得，根据三角形内角和定理可得，根据等边对等角可得，根据三角形内角和定理可得，即可求解； （2）在上截取，使得，连接，根据各边的关系得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，，确定，得出，利用等角对等边得，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． （2）解：在上截取，使得，连接． ∵ ，即 在和中， ， ∴ ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ， ， 又∵， ， ， ∴． 24．(1)理由见解析 (2)不改变， (3)不改变， 【分析】（1）由题意易得， ， ，然后利用证明； （2）由（1）可知：，则有，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （3）由题意易得 ， ，则有，然后根据可得，进而根据全等三角形的性质及三角形外角的性质进行求解． 【详解】（1）证明：点、点是同时以相同的速度运动， ， 是等边三角形， ， ； （2）解：不改变， 理由： ， ， ， ， ； （3） 解：的度数不改变 ， 点、点是同时以相同的速度运动， ， 是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $