11.3等腰三角形同步训练2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

11.3 等腰三角形 知识梳理 1.等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边为腰，另一边为底；两腰的夹角为顶角，腰与底的夹角为底角。 2.等腰三角形的核心性质 · 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等，这是等腰三角形角的基本性质，可用于角的等量转化与计算。 · 三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一），是等腰三角形最核心的性质，可将边、角、高的条件相互转化，简化证明与计算。 · 轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为三线合一所在的直线，仅有1条对称轴。 · 延伸性质：等腰三角形两腰上的中线、高相等，两底角的角平分线相等。 3.等腰三角形的判定方法 · 定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形。 · 等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形（与“等边对等角”互逆），是角转化为边的核心判定定理。 4.等边三角形的定义与性质：等边三角形是三边都相等的特殊等腰三角形，也叫正三角形，具备等腰三角形的所有性质，且有专属性质： · 三个内角都相等，且均为； · 每条边上的中线、高、对角的平分线都满足三线合一，有3条对称轴，内、外心重合； · 边长为的等边三角形，高为，面积为。 5.等边三角形的判定方法 · 定义法：三边都相等的三角形是等边三角形。 · 三个角都相等的三角形是等边三角形。 · 重要判定：有一个角是的等腰三角形是等边三角形（此判定仅适用于等腰三角形，单独一个角为的三角形不一定是等边三角形）。 6.等腰直角三角形：特殊的等腰三角形+直角三角形，性质为：两直角边相等，两个底角均为；斜边上的高、中线、顶角平分线重合，且斜边上的高等于斜边的一半；斜边长度=直角边长度×。 7.与等腰三角形关联的重要定理 · 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；逆定理：若一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形为直角三角形。 · 含角的直角三角形性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半；逆定理：若直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角为。 8.等腰三角形常见辅助线作法 · 作底边上的高、中线或顶角平分线，利用三线合一转化条件，是最常用的辅助线作法； · 遇角平分线+平行线，构造等腰三角形（角平分线得到等角，平行线得到内错角/同位角相等，进而推出等角对等边）； · 求线段和的最小值（如），利用等腰三角形的轴对称性，将线段转化为同一直线上的垂线段（垂线段最短）； · 结合全等证明时，作边上的垂线，构造直角三角形，利用AAS/HL证明全等。 9.等腰三角形解题的常见思路 · 角的计算：结合“等边对等角”、三角形内角和、外角性质，将未知角转化为已知角； · 边的计算：利用三线合一得到线段中点，结合勾股定理、含角的直角三角形性质计算边长； · 证明边/角相等：直接用“等边对等角/等角对等边”，或结合全等三角形证明，再利用等腰/等边三角形性质推导； · 面积转化：利用全等三角形的面积相等，将不规则图形（如四边形）的面积转化为等腰/直角三角形的面积进行计算。 10.常见易错点 · 等腰三角形的分类讨论：已知一边长或一个角度时，需分情况讨论（如已知一边为5，需考虑是腰还是底；已知一个角为，需考虑是顶角还是底角），避免漏解； · 三线合一的适用条件：仅针对等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线/高，腰上的中线、高不满足三线合一； · 等边三角形判定的误区：误认为“有一个角是的三角形是等边三角形”，忽略前提是等腰三角形； · 忽略等腰三角形的底角范围：等腰三角形的底角一定是锐角，顶角可为锐角、直角或钝角。 同步训练 一、单选题 1．如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，点C在线段BD上，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．一个含角的三角尺如图①所示，用两个完全相同的这种三角尺恰好能拼成一个如图②所示的等边三角形．若，则（    ） A．3 B． C．12 D．9 5．如图，上午8时一艘轮船从A地以25海里/时的速度向南偏西的方向行驶，上午10时到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶50海里到达C地，则A，C两地相距（    ） A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 6．如图，在中，，是的中点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点，若的周长为，则的周长是（　　） A．14 B．19 C．21 D．23 8．如图，在中，，，是边上的高，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A．5 B．6 C．8 D．4.8 二、填空题 9．中国图象图形大会是涵盖图象图形各专业领域的学术盛会．在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中一个等腰三角形模型的示意图如图所示，它的顶角为，腰长为12m，则腰上的高是__________． 10．如图，是的高，，，，则_____． 11．如图，，，，则的长为______． 12．已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是________（填序号） 三、解答题 13．如图，与都是等边三角形，点在边上，于点，连接． (1)求证：． (2)求的度数． 14．已知：如图，在中，，，，、交于点． (1)求证：； (2)请判断与的大小关系并证明． 15．如图，在中，，，点D是的中点，点E、F分别在、上，且． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 16．如图，在中，，D是上一点，且，且，连接、、． (1)求的度数； (2)证明：是等边三角形． 17．如图，在等边的，上各取一点、，使．，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 学科网（北京）股份有限公司 《11.3 等腰三角形 同步训练 2025-2026学年鲁教版数学七年级下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B C C C C D 1．D 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边中线的性质推出，得到． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴， ∴， 故选：D． 2．C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，根据等边三角形的性质可知，根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和求出结果． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了三角形内角和以及等腰三角形，先根据内角和求出，进而得到，再求出，则，即可作答． 【详解】解：， ， ， ，， ∴， ，， ． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，关键根据等边三角形的性质解答． 根据等边三角形的性质解答． 【详解】解：∵纸片，用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个等边三角形， ∴． 故选：C． 5．C 【分析】本题主要考查了方向角、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得海里，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：连接， 由题意得：海里，海里， 即， 是等边三角形， 海里， 、两地相距海里． 故选：C． 6．C 【分析】对于本题，重点掌握直角三角形斜边中线逆定理：如果一个三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 先由直角三角形斜边中线逆定理得到，再根据等边三角形的判定得到为等边三角形，然后结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：是的中点， ， 是直角三角形，且，为等边三角形， ， ． ， ∴， ． 7．C 【分析】先由角平分线定义及平行线性质得到，，然后由等角对等边确定，再由的周长为，得到，进而求的周长即可． 【详解】解：在中，平分、平分， ，， ， ，， ，， 则， 的周长为， ， ， 的周长是． 8．D 【分析】作于点E，交于点F，连接，根据等腰三角形的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据平行线的性质得到，，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：作于点E，交于点F，连接， ∵在中，，，是边上的中线， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】此题重点考查轴对称--最短路线问题，正确地添加辅助线，转化求的长是解题的关键． 9． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等．作于点 D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，利用等腰三角形的性质求出，最后根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过A作于D，过B作于E， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即腰上的高是． 故答案为：． 10． 【分析】先根据勾股定理求出，再证明，再利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：是的高， ， 在Rt中，，， 由勾股定理得：， ， ， ， ， 的面积为：． 11． 【分析】过点作交的延长线于点，根据已知得出是等腰直角三角形，结合已知条件即可得出，根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ 在中， ∴ 12．①②④ 【分析】利用证明；根据证明②即可；利用等腰三角形的性质，证明求解即可. 【详解】解：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ∵ ∴ 故①正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴， 故②正确； ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③错误；④正确. 13．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形内角和定理求得和，即可证得结论； （2）根据等边三角形的性质，利用“”证得，再根据全等三角形对应角相等和（1）中的结论即可求解． 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴，即． （2）解：∵是等边三角形，于点， ∴，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 14．(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）利用定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的判定定理证明． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中，， ； （2）解：， 证明如下：， ， ， ， ， ． 15．(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及图形面积的转化，解题的关键是连接，利用等腰直角三角形三线合一的性质构造全等三角形，将四边形面积转化为三角形面积求解． （1）连接，利用等腰直角三角形性质得到，，再通过同角的余角相等证明，从而用证明，得到． （2）由得，将四边形的面积转化为，再利用计算． 【详解】（1）证明：连接． ∵ ，，点是的中点， ∴ ，，，， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 在和中， ∴ （）， ∴ ． （2）解：∵ ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， 点是中点， ∴ ． ∴ 四边形的面积为． 答：四边形的面积为． 16．(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等角对等边、三角形内角和定理和两直线平行同位角相等，求得和利用“”证得，然后根据全等三角形对应角相等即可解答； （2）根据全等三角形对应边和对应角相等，求得，再根据有一个内角是的等腰三角形为等边三角形即可证得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可知，，利用可证； （2）根据全等三角形的性质可得，，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，根据含角的直角三角形的性质可知． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 在和中，， ； （2）解：由（1）可知：， ，， ，， ， 又， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $