11.3 第3课时等边三角形的性质，判定与反证法&培优专题10 构造含30°角的直角三角形的方法-【练测考】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版五四制·新教材）

第3课时 等边三角形 基础夯实 》知识点一等边三角形的判定 1.下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形 的是 () A.∠A=∠B=∠C B.AB=AC,∠B=60° C.∠A=60°，∠B=60° D.AB=AC,且∠B=∠C 2.[开放题]在△ABC中，∠A=60°，请你添加 个适当的条件，使△ABC是等边三角形，添加 的条件可以是 .(只要写出一个符合 题意的条件即可)》 3.如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC,D是 BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,点E,F为垂 足，求证：△DEF是等边三角形 》知识点二含30°角直角三角形的性质 4.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高， ∠A=30°，BD=2cm,则AB的长是() A.4cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 第十一章三角形的证明及其应用 的性质、判定与反证法 5.如图，在等边三角形ABC中，M是BC的中 点，MN⊥AB,垂足为点N,连接AM,求证： AM=2MN. 》知识点三等边三角形的性质 6.如图，△ABC是等边三角形，E为BC上一点， 在AB上取一点D,使AD=AE,且∠AED= 65°，则∠EAC的度数是 A.25° B.20° C.10° D.5 D B E C B D 第6题图 第7题图 7.(2025·泰安岱岳区期末)如图，在△ABC中， D,E是BC的三等分点，且△ADE是等边三 角形，则∠BAC= 》知识点四反证法 8.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有 一个锐角不大于45”时，首先应假设这个直 角三角形中 A.两个锐角都大于45° B.两个锐角都小于45° C.两个锐角都不大于459 D.两个锐角都等于45° 9.[教材P146T2变式]利用反证法求证：一个 三角形中不能有两个角是钝角 113 练测考七年级数学下册L山 能力提升 10.如图，△ABC为等边三角形，D为BC延长线 上一点，CE=BD,CE平分∠ACD,下列结论： ①∠BAC=∠DAE;②AE=AD;③△ADE是等 边三角形.其中正确的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 第10题图 第11题图 11.如图，AC平分∠BAD,AB∥CD,BC=4cm, ∠BAD=30°，∠B=90°，则CD的长为 12.如图，在△ABC中，AB=AC,D,E是△ABC内 两点，AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°，若 BC=4,BE=2.5,则DE的长为 B 13.如图，在等边三角形ABC中，点P在△ABC 内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ, BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形.试 证明你的结论 114 14.如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中 点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD, DM⊥BC,垂足为点M.求证： (1)DE=2DM. A (2)M是BE的中点. D M C 素养培优 15.如图，点P,M,N分别在等边三角形ABC的 各边上，MP⊥AB于点P,MN⊥BC于点M, PN⊥AC于点N (1)求证：△PMN是等边三角形 (2)若BP=2cm,求等边三角形ABC的 边长 M 培优专题十构造含30 在“直角三角形中，30°角所对的直角边等 于斜边的一半”，这是解决含30°角的直角三角 形中线段问题的常用定理，这个定理可以将特 殊直角三角形中的角度关系转化到直角三角形 边的等量关系上，实现“由角到边”的转化 一般情况下，遇到30°角常用的方法有①直 接用，②作垂线，③连两点，④延两边等.通过构 造直角三角形，解决线段的相关问题， 方法一直接用 1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3m 处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵 树在折断前的高度为 () 30 A.3m B.6m C.9 m D.12m 2.如图，△ABC是一张顶角为120°的三角形纸 片，AB=AC,BC=12,现将△ABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE,则DE的长 为 B 方法二作垂线 3.上午8时，一艘船从港口A出发，以15海里/时 的速度向正北方向航行，10时到达海岛B处， 从A,B两处望灯塔C,分别测得∠NAC=15°， ∠NBC=30°，若该船从海岛B继续向正北航 行，则船与灯塔C的最短距离是 第十一章三角形的证明及其应用 角的直角三角形的方法 4.如图，点P是△ABC的边BC上一点，PC= 2PB,∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB的 度数 方法三连两点 5.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB 边的垂直平分线DE交AC于点D,交AB于 点E,若AD=10cm,则BC的长为 E B C D A 第5题图 第6题图 方法四延两边 6.如图，四边形ABCD中，AD=4,BC=1,∠A= 30°，∠B=90°，∠ADC=120°，则CD= 7.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°， ∠A=60°，AB=4. (1)求∠BCD的度数， (2)写出AD的取值范围. 人60°4 B 115∠ABC=∠C=180°-LA 2 ·∠ABE=∠ABC-180°-∠A 2 4 图2 ,∠ABE+∠A+∠BEA=180°， 180°-∠A 4 +∠A+60°=180°，.∠A=100° 综上所述，∠A的度数为20°或100 7.8解析：设腰长为2x, 则(2x+x)-(5+x)=3或(5+x)-(2x+x)= 3,解得x=4或x=1, ..2x=8或2. ①当2x=8时，三角形ABC三边长为8,8，B 5,符合三角形三边关系定理： ②当2x=2时，三角形ABC三边长是2,2,5,2+2<5，不符合 三角形三边关系定理，舍去 故腰长为8cm. 8.18cm或12cm解析：设该三角形的腰长是xcm,底边长 是ycm.根据题意，得一腰上的中线将这个三角形的周长分 为27cm和18cm两部分 =27 x+ (=18 x+ 2 2 或 +2=18 p227, 解得=8，支=2， y=9 (y=21, 经检验，都符合三角形的三边关系， 因此这个等腰三角形的腰长为18cm或12cm. 9.C解析：分三种情况： ①OA=OP、 则∠A=∠0P1=(10-20)=10-0y75 1 ②AO=AP, 则∠AP0=∠0=30°， ∴.∠A=180°-∠0-∠AP0=180°-30°-30°=120°： ③PO=PA, 则∠A=∠0=30°. 综上所述，当∠A=75°或120°或30°时，△AOP为等腰三角 形.故选C 10.D解析：由题意，可知以AP,AB为腰的等腰三角形有1 个；以AP,BP为腰的等腰三角形有2个：以BP,AB为腰的 等腰三角形有4个.所以，这样的点P共有7个.故选D. 11.50°或65°或80°或25°解析：要使△0AB为等腰三角形， 分三种情况讨论： B2/6 B B、 1 0 B2- ①当OB1=AB,时，∠OAB,=∠1=50°； ②当0A=AB2时，∠0AB2=180°-2×50°=80°； ③当01=0B,时，∠0AB,=∠0B,A=(1-0)=6: 1 当0A=0B,时，∠0AB=∠0B,A=2∠1=259， 综上所述，∠0AB的度数是50°或65°或80°或25. 3 第3课时等边三角形的性质、判定与反证法 1.D2.∠B=60°（答案不唯一） 3.证明：.·∠A=120°，AB=AC. ∠B=∠C=30°. 又.DE⊥AB,DF⊥AC ∴.∠BED=∠CFD=90° .∠BDE=∠CDF=90°-30°=60° .∴.∠EDF=180°-60°×2=60°. ·D是BC的中点，∴.BD=CD. 在△BDE和△CDF中， .·∠B=∠C,BD=CD,∠BDE=∠CDF .△BDE≌△CDF(ASA), .DE=DF, .△DEF是等边三角形 4.C 5.证明：△ABC为等边三角形， .AB=AC,∠BAC=60° M为BC的中点， ∠BMM=∠BMC=30. .MN⊥AB,∴.∠ANM=90°， .AM=2MN. 6.C7.120°8.A 9.证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是钝角， 不妨设LA,∠B为钝角， 则∠A+∠B>180°，这与“三角形的内角和定理”相矛盾，故 假设不成立，即原命题正确。 10.D11.8cm 12.1.5解析：如图，延长AD交BC于点N,延长ED交BC于 点M. ,·AB=AC,AD平分∠BAC ∴.AN⊥BC,BN=CN .·∠EBC=∠E=60°， △BEM为等边三角形， .BE=EM=BM=2.5,∠EMB=60°. AN⊥BC,.∠DNM=90°， .∴.∠NDM=90°-60°=30° BC=4,BN=2, ∴.NM=2.5-2=0.5,.DM=2NM=1, .DE=EM-DM=2.5-1=1.5. 13.解：△APQ为等边三角形.证明如下： :△ABC为等边三角形， .AB=AC,∠BAC=60° 在△ABP和△ACQ中， AB=AC,∠ABP=∠ACQ,BP=CQ. .△ABP≌△ACQ(SAS), ∴.AP=AQ,∠BAP=∠CAQ. .·∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°， .∴.∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°， .△APQ是等边三角形. 14.证明：(1)：△ABC是等边三角形， ∴.∠ACB=∠ABC=60°. .·CE=CD,.∠E=∠CDE. ∠ACB=LB+LCDE,∠E=2∠ACB=30 .·DM⊥BC,.DE=2DM. (2)如图，连接BD :在等边三角形ABC中，D是AC的 中点， ÷.LDBC=2 LABC=2 ×60°=30° 由(1)知，∠E=30°， .∠DBC=∠E=30°，.DB=DE. 又DM⊥BC,.M是BE的中点. 15.（1)证明：.△ABC是等边三角形 .∠A=∠B=∠C=60°. .MP⊥AB,MN⊥BC,PN⊥AC, .·.∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°. ∴.∠PMB=∠MNC=∠NPA, .∠NPM=∠PMW=∠MNP, .△PMN是等边三角形. (2)解：：△PMN是等边三角形，.PM=MW 在Rt△BPM中 .∠B=60°，BP=2cm .∴.∠PMB=30°，.∴.BM=2PB=4cm. 在△MPB和△NMC中， ∠B=∠C,∠PMB=∠MNC,PM=MN, ∴.△MPB≌△NMC(AAS),∴.CM=PB=2cm, .BC=BM+CM=4+2=6(cm), .等边三角形ABC的边长为6cm. 培优专题十构造含30°角的直角三角形 的方法 1.C2.23.15海里 4.解：如图，过点C作CD⊥AP于点D, 连接BD. ·,:∠APC=60°， ∴.∠PCD=90°-60°=30°， ∴.PC=2PD. 又.PC=2PB,.PB=PD n=∠APG 2×60=30, ∠PCD=∠PBD,∴BD=CD. .∠ABC=45°， ∴.∠ABD=∠ABC-∠PBD=45°-30°=15. 又.∠BAP=∠APC-∠ABC=60°-45°=15°， .∴.∠ABD=∠BAP, ∴.AD=BD,.AD=CD ∴.∠DAC=∠DCA=90°÷2=45°， .∴∠ACB=∠DCA+∠PCD=45°+30°=75° 5.5cm6.2 7.解：(1).：∠B=∠D=90°，∠A=60°，∠B+∠D+∠BCD+ ∠A=360°， ∴.∠BCD=360°-90°-90°-60°=120°. (2)如图，延长BC交AD的延长线于点E,作 BF⊥AD于点F 在Rt△ABE中， .∠A=60°，AB=4,∠E=30°， ..AE=2AB=8 在Rt△ABF中，∠A=60°，∴.∠ABF=30°， 人60°4` 六AF=2AB=2, ..AD的取值范围为2<AD<8. 4直角三角形 第1课时勾股定理及其逆定理 1.C2.B3.18 4.证明：在Rt△AMN和Rt△BMN中 ·.·AN2=AM2-MN2,BN2=BM2-MN2 ..AN2-BN2=AM-BM2 'AM是△ABC的中线，.CM=BM. 在Rt△ACM中，·AM-CM=AC2 .AN2-BN2=AM2-BM2=AM2-CM2=AC2 5.C6.45°7.58.C9.③④ 1037成61D12c1B30149.6 15.证明：∠A=90°，AC=AB=4, .∠ACB=∠ABC=45. 在Rt△ABC中， AC=AB=4, .BC2=AC2+AB2=42+42=32. 在△CDB中，.·CD=2,BD=6. .CD2+BC2=4+32=36,BD2=36. .CD2+BC2=BD2,∠BCD=90° .∠ACD=∠BCD-∠ACB=90°-45°=45°. 微专题11利用勾股定理求解折叠问题 1.C2.A3.3cm 第2课时直角三角形全等的判定 1.D2.D3.B4.HΠ 5.证明：.BE=CF, .BE+EF=CF+EF,BF=CE .∠A=∠D=90°， .△ABF与△DCE都为直角三角形 在Rt△ABF和Rt△DCE中. .·BF=CE,AB=DC, ∴.Rt△ABF≌Rt△DCE(HL), .∠AFB=∠DEC,.OE=OF .△OEF是等腰三角形. 6.证明：，CE⊥AB,DF⊥AB, .∠AEC=∠BFD=90°、 ∴.△ACE和△BDF都是直角三角形. ·,·AF=BE, .AF-EF=BE-EF,AE=BF 在Rt△ACE和RI△BDF中， AC=BD.AE=BF. ..Rt△ACE≌Rt△BDF(HL), .∠A=∠B,∴.AC∥BD 7.证明：.D是BC的中点，.BD=CD. ·DE⊥AB,DF⊥AC, ..△BED和△CFD都是直角三角形 在Rt△BED和Rt△CFD中， ·.·BD=CD,BE=CF, .Rt△BED≌Rt△CFD(HL),.∠B=∠C, ·.AB=AC,·.△ABC为等腰三角形. DE⊥AB,∠BDE=30°，.∠B=60°， .△ABC是等边三角形. 8.解：.DA⊥AB,EB⊥AB, .△ADC和△BEC为直角三角形. ,点C是路段AB的中点，.AC=BC. :小明和小红同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行