2026年黑龙江哈尔滨市风华中学校九年级下学期中考二模数学试卷

九年级数学阶段性测试 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1．下列各对数中互为倒数的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．2026年是我国多项水利、海水淡化项目集中落地的关键年份，某沿海城市新建海水淡化厂日均产能可达吨，数字用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 4．如图，该几何体的主视图是（ ） A． B． C． D． 5．方程的解为（ ） A． B． C． D． 6．开口向上，顶点坐标为的抛物线解析式可能为（ ） A． B． C． D． 7．如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第（7）个图案中阴影小三角形的个数是（ ） A．26 B．27 C．28 D．29 8．如图，在中，，，如果，那么（ ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交于点，连接．若，则的长是（ ） A．12 B．10 C．8 D．6 10．如图，在矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿向运动，动点同时从点出发，以的速度沿的方向运动，两动点到达点停止运动．设点运动的时间为（），的面积为（），则下列关于的函数图象正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11．函数中的自变量的取值范围是            ． 12．因式分解：            ． 13．不等式组的解集是            ． 14．一个不透明的口袋中共装有10个小球，其中有6个红球，4个黄球，这些小球除了颜色外无其他差别．从袋中随机摸取一个小球，它是黄球的概率为            ． 15．定义一种新运算：．例如：，则的结果是            ． 16．一个扇形的半径为，弧长是，则这个扇形的圆心角为            ． 17．在对物体做功一定的情况下，力（牛）与此物体在力的方向上移动的距离（米）成反比例函数关系，其图象如图所示，在图象上，则当力达到牛时，物体在力的方向上移动的距离是            米． 18．如图，已知是的外接圆，是的直径，若，则的度数是            ． 19．是直角三角形，，，则的长为            ． 20．如图，正方形的边长为，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③当是的中点时，；④是线段上的一个动点，过点作于，连接，当时，的最小值为．其中正确结论的序号为            ． 三、解答题（其中21—22题各7分，23—24题各8分，25—27题各10分，共计60分） 21．（本题7分） 先化简，再求代数式的值，其中． 22．（本题7分） 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段的两个端点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在网格中作等腰直角，使点在格点上，； （2）在边上找到一点，使（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的长． 23．（本题8分） 九年级某班跳绳兴趣小组为了解全校九年级学生的跳绳情况，对该校九年级学生每分钟跳绳个数（单位：个/分）进行了抽样调查，并将抽查得到的数据分成组，下面是不完整的频数分布表： 组别 跳绳个数（个/分） 频数（人数） 频率 1 2 2 5 0.10 3 16 0.32 4 5 3 0.06 根据表中的信息，回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）写出表中，的值：            ；            ； （3）该校九年级有名学生，估计这些学生中每分钟跳绳个数不少于个的学生有多少人？ 24．（本题8分） 定义：如图1，四边形中，，，，则称四边形为直角筝形． （1）连接对角线、交于点，得到图2，请证明：垂直平分； （2）在图2中，若，点在射线上（不与点重合），点是平面内一点，以、、、为顶点的四边形为直角筝形，请直接写出所有符合要求的的度数． 25．（本题10分） 为庆祝端午节的到来，某校计划购买一批粽子玩偶、五彩项链．已知商场某品牌粽子玩偶的单价比五彩项链的单价多元，用元购买粽子玩偶的数量等于用元购买五彩项链的数量． （1）求粽子玩偶、五彩项链的单价； （2）学校采购时若购买粽子玩偶、五彩项链共个，且总费用不超过元，请问至少购买多少个五彩项链？ 26．（本题10分） 已知：的弦于点，连，，， （1）如图1，求证：； （2）如图2，直径分别交，，于点，，，连接，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点的直线交于点，过点作于点，若，，，求的长． 27．（本题10分） 已知，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象交轴于、两点（点在点的左侧），交轴于点，连接，． （1）如图1，求的值； （2）如图2，点在第一象限抛物线上，连接，，，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，连接交轴于点，连接，，点在上，连接，，点在第一象限抛物线上，且点在上方，过作，交轴于点，交直线于点，过作于点，若，求点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $九年级数学阶段性测试答案 题号 1 3 4 5 答案 c A B C D B A 二 11.x≠-3 12. 2y(x+2)(x-2) 13.1<x≤2 2 14.5 15.4x 16.120 17. 0.5 18.15 19.6或8 20.①②④ 三、 3 21.原式a+1,a=5-1,原式=3」 22. B: AD=13 23.(1)50(2)24,0.04(3)810 24.(1)AB=AD, 9 U m 点A在BD的垂直平分线上， .BC=DC, “点C在BD的垂直平分线上， .AC垂直平分BD. (2)90°，20°，140°，70° 25。(1)解：设五彩项链单价为x元，则粽子玩偶单价为x+ 300240 则x+4x, 则x=16 经检验x=16是原分式方程的解. ∴.x+4=20 答：五彩项链单价为16元，粽子玩偶单价为20元. (2)设买a个五彩项链，买(200-a）个粽子玩偶。 则16a+20(200-a)s3800 .a≥50 答：至少购买50个五彩项链. 26.(1)设∠BAD=a,则∠CAB=2a, .AB⊥CD .∠AED=90° .∠D=90°-， ∴.∠B=90°-a. .∠ACB=180°-∠CAB-∠B=90°-. ∠B=∠ACB. .AB=AC (2)∠FTB=∠CDB=∠CAB=2a, ∴.∠AKT=∠FTB+∠ABC=∠BAD+∠AHK=90°+， ∴.∠AHK=90°， .FG⊥AD (3)①导角得90°或45 4元 连OA、OD、OB可得 G N ∠BOF=∠DOF+∠BOD=∠AOD+2∠BCD 2 ②证全等 .∠TKB=∠TBK=90°-， ..TK=TB '∠AKN=3∠BAD=3C, .∠NKT=90°-2a, ∴.∠NKT=∠TBO .∠N=∠TOB. .∴△TNK≌△TOB ∴.NK=OB ③勾股方程 10 F MD :∠NKT=∠FOD=90°-2a, .KM∥OD」 ∴，∠KMF=∠ODF ∠ACD+2∠BCD=90° .∠KMF=∠KFM, 可设FK=MK=m, .NK=0B=6N5-m, .0K=6V5-2m 在Rt△OBK中， (65-m+(65-2m}=102 解得m=2V5m, 265 5 (舍)， .OK=25 ④求TW :0K=25,0B=4V5,设0T=n,则B7=7K=25+n, 在R△70B中，n+(45=(m+25月 n=35,NT=T0=3W5 27.(1)令y=0,则a(x+1(x-3)=0 x=-1,x3=3 ∴.A(-1,0).B(3,0) .A0=1, 1 .tan∠ACO= C0=3, ∴.C(0,3) ∴a(0+1)(0-3)=3 ∴.a=-1 (2)把a=-1代入抛物线解析式得y=-(r+x-3)=-x2+2x+3 过D作DH⊥OB于H交BC于R,设Dt,-+2t+3), 可求yc=-x+3,则R(6,t+3) S=DR0H+BD=号DR-0B=(-f+2+3+1-3) (3)①证全等 .∠EBO+∠DBO=90°， ∴.∠BDH=∠EBO :EO∥DH, EO AO DH AH, .E0=3-t, .∴EO=BH,∠EOB=∠DHB=90° .△EOB≌△DHB. .DH=OB=3」 CD∥OB,可求t=2,D(2,3) ②导角 .OE=A0=1. .∠AE0=45°， .3∠ECF+2∠EFC=4∠AEO=180° 设∠ECF=2a. 则∠EFC=90°-3a, ∠OEB=90°-a, DIO .∠EBO=, .PQ∥CF ∴.∠CQN=2a ③求三角函数 1 tana= 在Rt△BEO中， 3,在y轴负半轴上取一点L, 3 tan 2a = 解△BEL得 4 ④解三角形求点坐标 解△QcW am∠QNC=am∠4c0-5.tam∠cON G QG=4n,ON=5n,CG=9n,Co=13n ∴.CQ-N9=8n 设P(m,-m+2m+3列，则DM=2-m, CO-NQ-44 DM 13 a档e-) ①， 过P作PT1C0于T, .tan∠CQN= 3 4, PT 3 QT4」 使OL=OE=1, 3 4,过N作NG1QC于G,设NG=3n, 名 3 13n-（-m2+2m+3-3）4 ②， 3 2 由①②解得 m=2,%=3 (舍)， P24） n315