6.1.3离差平方和、方差与标准差 课件 -2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“离差平方和、方差与标准差”，通过回顾众数、平均数等集中趋势概念，以射击成绩比较问题导入，引导学生从数据集中趋势过渡到离散程度分析，搭建知识支架。 其亮点在于以实际问题驱动，结合数学眼光观察数据波动，通过分层例题（射击成绩、仪仗队身高）培养运算能力与推理意识，用数据语言描述稳定性。易错点总结与计算器应用指导，助力学生理解概念本质，教师可高效落实数据分析核心素养。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月10日 6.1.3离差平方和、方差与标准差 第6章 数据的分析 北师大版八年级上册6.1.3离差平方和、方差与标准差练习题 核心知识点回顾 本节主要学习描述数据波动大小的三个统计量：离差平方和、方差、标准差。1. 离差：每个数据与平均数的差，反映单个数据的偏离程度；2. 离差平方和：$$(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2$$，消除正负抵消，整体反映数据波动；3. 方差：离差平方和的平均数，公式$$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$$；4. 标准差：方差的算术平方根$$s=\sqrt{s^2}$$。数值越小，数据越稳定、波动越小。 一、基础夯实题 1. 求数据：2、4、6 的平均数、离差平方和。 2. 根据上题数据，计算这组数据的方差和标准差。 3. 判断正误：方差越大，数据波动越小，数据越稳定。 二、能力提升题 1. 已知一组数据：5、7、7、8、10，求该组数据的方差。 2. 甲、乙两组数据平均数相同，甲方差为2.1，乙方差为3.5，判断哪组数据更稳定。 三、综合应用题 两名射击运动员连续五次射击成绩（单位：环）：甲：8、9、8、10、9；乙：7、10、9、9、10。分别计算两组数据的方差，结合结果判断哪位运动员发挥更稳定。 参考答案与解析 一、基础夯实 1. 平均数$$\bar{x}=(2+4+6)\div3=4$$，离差平方和$$(2-4)^2+(4-4)^2+(6-4)^2=4+0+4=8$$。 2. 方差$$s^2=8\div3\approx2.67$$，标准差$$s=\sqrt{\dfrac{8}{3}}\approx1.63$$。 3. 错误。方差越大，数据波动越大，稳定性越差；方差越小，数据越稳定。 二、能力提升 1. 平均数$$\bar{x}=(5+7+7+8+10)\div5=7.4$$，离差平方和$$5.76+0.16+0.16+0.36+6.76=13.2$$，方差$$s^2=13.2\div5=2.64$$。 2. 平均数相同时，方差越小越稳定，因2.1＜3.5，故甲组数据更稳定。 三、综合应用 甲成绩平均数：$$(8+9+8+10+9)\div5=9$$，方差$$s^2_甲=\frac{1}{5}[1+0+1+1+0]=0.6$$；乙成绩平均数：$$(7+10+9+9+10)\div5=9$$，方差$$s^2_乙=\frac{1}{5}[4+1+0+0+1]=1.2$$。因为$$0.6<1.2$$，所以甲运动员发挥更稳定。 易错点总结 1. 计算方差时，忘记先求平均数，或离差计算符号出错；2. 混淆离差平方和与方差，方差需要除以数据个数；3. 标准差是方差的平方根，不可直接等于方差；4. 概念颠倒：牢记方差小→波动小→数据稳定，是考试高频易错点。 了解刻画数据离散程度的两个量度——方差、标准差. 了解方差、标准差的意义. 能借助计算器求出相应的数值，并在具体问题情境中加以应用. 新课导入 我们已经掌握了哪些概念分析数据呢？ 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据 想一想：会有其他分析数据的方法吗？ 平均数（算术平均数）： x = (x1+ x2 + … + xn) n 1 f1x1 + f2x2 +…+ fnxn f1 + f2 +…+ fn 加权平均数： 新知探索 在本节一开始的射击问题中，甲与丁每次的射击成绩如图所示，他们的平均成绩都是 8 环，两个人的射击表现一样吗？你对甲、丁的射击表现有什么评价？ （1）你觉得谁发挥得更稳定？你的理由是什么？ （2）你能设法通过计算说明两人成绩的稳定程度吗？与同伴进行交流. 甲，因为数据更为集中. 在实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况. 小 结 在统计学里，数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画. 离差平方和： 方差： 其中，是x1，x2，…，xn的平均数. 一般而言，一组数据的方差或标准差越小，这组数据就越稳定. 标准差： 各个数据与它们平均数之差的平方和. 各个数据与它们平均数之差的平方的平均数. 方差的算术平方根. 典例精析 例2 计算图中甲射击成绩的标准差（结果精确到 0.01环）. 所以，甲射击成绩的标准差约为 1.04 环. 用计算器求数据的标准差 使用科学计算器可以很方便地计算一组数据的标准差，大致步骤是：进入统计计算状态，输入数据，按键得出标准差. （1）依次按键 即可进入统计计算状态； （2）按键 就可开始输入数据； （3）按键得出标准差. 思考·交流 （1）计算图中丙射击成绩的方差，并对甲、丙的射击成绩进行比较. （2）丁又进行了几次射击，这时他所有射击成绩的平均数没变，但方差变小了. 你认为丁后面几次射击的成绩有什么特点？与同伴进行交流. （甲） （丙） 1. 人数相同的八年级（1）、（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下： s2甲 = 24，s2乙 = 18，x甲 = x乙 = 80，则成绩较为稳定的班级是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 两班成绩一样稳定 D.无法确定 B 随堂练习 2. 数据 -2，-1，0，1，2 的方差是____，标准差是______. 3. 五个数 1，3，a，5，8 的平均数是 4，则 a =_____，这五个数的方差为______. 2 3 5.6 4. 甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：cm）如下. 甲队：178，177，179，179，178，178，177，178，177，179 乙队：178，177，179，176，178，180，180，178，176，178 哪支仪仗队队员的身高更为整齐？你是怎么判断的？ 【选自教材P152 随堂练习】 解：x甲 = 178 cm，x乙 = 178 cm； s2甲 = 0.6，s2乙 = 1.8 由上述结论可以判断甲仪仗队队员的身高更为整齐. 5.状状在这一学年的六次测验中的数学成绩和英语成绩分别如下（满分都是 100 分）: 数学: 80，75，90，64，88，95； 英语: 84，80，88，76，79，85. 利用计算器计算两科成绩的标准差，并分析状状的两科成绩. 解:利用计算器可得状状数学成绩的标准差 s数 ≈ 10.38 (分)，英语成绩的标准差 s英 ≈ 4.04 (分). 因为s数> s英，所以状状的英语成绩比数学成绩稳定. 知识点1 离差平方和 1.为了推动中华传统文化进校园，某中学举办了以“弘扬传统，爱我中华”为主题的传统文化知识竞赛，八年级5名参赛选手的得分如下(单位：分)：89，88，90，90，93，则这组数据的离差平方和是　　. 返回 14 基础提优题 2.已知甲组数据为1，2，3，4，5，乙组数据为6，7，8，9，x，如果两组数据的离差平方和相等，那么x＝　　　　. 返回 5或10 【点拨】甲组数据都加上4，得5，6，7，8，9，或甲组数据都加上5，得6，7，8，9，10.因为乙组数据是6，7，8，9，x，两组数据的离差平方和相等，所以x＝5或10. 基础提优题 知识点2 方差、标准差 3.已知一组数据1，2，3，5，x，它的平均数是3，则这组数据的方差是(　　) A.2　　　 B.3　　　 C.4　　　 D.10 返回 A 基础提优题 4. 射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是(　　) A.＞　　 B.＜ C.＝　　 D.无法确定 返回 A 基础提优题 5.某小组五位同学参加某次考试(满分20分)的平均成绩是16分，其中三位男生成绩的方差为6，两位女生的成绩分别为17分、15分，则这五位同学成绩的标准差为(　　) A.分　　 B.2分　　 C.分　　 D.6分 返回 B 基础提优题 【点拨】设三位男生的成绩分别为a分、b分、c分.因为两位女生的成绩分别为17分、15分，所以三位男生成绩的平均数是(16×5－17－15)÷3＝16(分).所以三位男生成绩的方差＝×［(a－16)2＋(b－16)2＋(c－16)2］＝6，所以(a－16)2＋(b－16)2＋(c－16)2＝18，所以这五位同学成绩的方差＝×［(a－16)2＋(b－16)2＋(c－16)2＋(17－16)2＋(15－16)2］＝×(18＋1＋1)＝4，所以这五位同学成绩的标准差是＝2(分). 返回 基础提优题 6.甲、乙两支仪仗队队员的身高(单位：厘米)如下： 甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179； 乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180. (1)将下表填完整： 返回 身高/厘米 176 177 178 179 180 甲队人数 0 3 4   0 乙队人数 2 1   1   3 4 2 基础提优题 (2)甲队队员身高的平均数为　　厘米，乙队队员身高的平均数为　　厘米. 返回 178 178 基础提优题 (3)你认为哪支仪仗队身高更为整齐？请从方差的角度说明理由. 返回 【解】＝［3×(177－178)2＋4×(178－178)2＋3×(179－ 178)2］＝0.6， ＝［2×(176－178)2＋(177－178)2＋4×(178－178)2＋(179－178)2＋2×(180－178)2］＝1.8. 因为＜， 所以甲仪仗队身高更为整齐. 基础提优题 课堂小结 数据的离散程度 离差平方和 方 差 标准差 $