云南省押题卷-【押题卷】2026年初中学业水平考试数学押题卷

**基本信息** 以《九章算术》、非遗文化、露营经济等为情境，覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率核心知识，梯度设计适配学业水平考试模拟预测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15题/45分|负数概念、科学记数法、平行线性质等|结合《九章算术》考负数，中华汉字考轴对称，体现文化传承| |填空题|4题/16分|圆锥侧面积、因式分解、相似比、扇形统计图|非遗调查考数据意识，相似三角形考几何直观| |解答题|8题/59分|分式方程、概率、菱形证明、二次函数、圆综合等|露营房车购买考模型意识，圆综合题考推理能力与创新意识|

云南省押题卷-2026年云南省初中学业水平考试数学押题卷 一．选择题（共15小题） 1．我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高2℃时，气温变化记作+2℃，那么气温下降5℃时，气温变化记作（　　） A．﹣7℃ B．﹣5℃ C．+5℃ D．+7℃ 2．东风水库总库容90600000立方米，多年平均年供水量67900000立方米，数字“90600000”用科学记数法可以表示为（　　） A．6.79×107 B．9.06×106 C．9.06×107 D．0.906×108 3．如图，AB∥CD，∠1＝110°，则∠2＝（　　） A．70° B．110° C．115° D．120° 4．下列计算中，正确的是（　　） A． B．a6÷a2＝a3 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣a2）3＝﹣a6 5．若在实数范围内有意义，则x的取值范围（　　） A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2 6．某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，则这个几何体是（　　） A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．长方体 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AC于点D，连接BD，则∠DBC的度数为（　　） A．23° B．25° C．27° D．29° 8．如果一个正多边形的每一个外角是36°，则这个多边形是（　　） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形 9．某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85．则小桐这学期的体育成绩是（　　） A．88.5 B．86.5 C．90 D．90.5 10．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 11．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．下列结论不正确的是（　　） A． B． C．△ADE的周长是△ABC的周长的一半 D． 12．按一定规律排列的代数式：a﹣b，a3+b，a5﹣b，a7+b，…，第n个代数式是（　　） A．a2n﹣1+b B．a2n﹣1+（﹣1）nb C．a2n+1﹣b D．a2n+1﹣（﹣1）nb 13．某商场对一款书包进行降价促销，原价每个49元，连续两次降价后每个36元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为x，则可列方程为（　　） A．49（1+x）2＝36 B．49（1﹣x）2＝36 C．49（1+2x）＝36 D．49（1﹣2x）＝36 14．如图1，矩形纸片的宽AB＝2，按如下步骤操作． 第一步，在矩形纸片的左端，利用图2的方法折出一个正方形ABCD，然后把纸片展平； 第二步，如图3，把正方形ABCD折成两个相同的矩形，再把纸片展平； 第三步，折出矩形EFCD的对角线FD，并把FD折到图4中所示的FG处，折痕为FM； 第四步，展平纸片，如图5，按照所得的点G折出GH． 这样得到的矩形DCGH的宽与长的比是（　　） A． B． C． D． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，AC与BD交于点O，M是BC的中点．P，Q两点沿着B→C→D的方向分别从点B，点M同时出发，速度均为每秒1个单位长度，当点Q到达D点时，两点同时停止运动．用S表示△OPQ的面积，用t表示时间，下列图象适合表示S与t的对应关系的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共4小题） 16．底面半径为4cm，母线长为6cm的圆锥的侧面积为　 　 cm2． 17．分解因式：2x2﹣2＝ 　 　 ． 18．如图，若DE∥BC，且，则　 　 ． 19．某中学开展“非遗文化进校园”系列活动，为了解学生对国家级非遗项目：彝族烟盒舞、阿细跳月、建水紫陶烧制技艺、蒙自过桥米线制作技艺的喜好情况，随机抽取500名学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成扇形统计图．根据图中信息，该校3000名学生中，喜爱“彝族烟盒舞”的学生大约有　 　 名． 三．解答题（共8小题） 20．计算：． 21．如图，AD＝CD，BD平分∠ADC． 求证：AB＝CB． 22．为落实“双减政策”，某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元？ 23．梁启超先生是一位百科全书式的学者，一位具有开创性的学术大师．大家熟悉的《少年中国说》．其感情之深，著意之远，爱国之切，希望之挚．前无古人，后无来者，“红日初升，其道大光．河出伏流，一泻汪洋，潜龙腾渊，鳞爪飞扬，乳虎啸谷，百兽震惶，鹰隼试翼，风尘仓张．奇花初胎，矞矞皇皇．干将发硎，有作其芒，天戴其苍，地履其黄．纵有千古，横有八荒．前途似海，来日方长．美哉，我少年中国，与天不老!壮哉，我中国少年，与国无疆!“读了这慷慨激昂、大气磅礴的词句，怎能不催人奋发，频频涌动爱国之心呢!又怎能不鼓舞人心，屡思报国之志呢! 小明在阅读了《少年中国说》后，制作了如图所示的三张卡片（这三张卡片分别用字母A，B、C表示、正面文字依次是少、年、强，这三张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将三张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求两人抽取的卡片恰好组成“少年”一词的概率． 24．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在AB、AD上，AE＝AF，连接EF，且AC⊥EF． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接OE，若点E是AB的中点，，，求四边形ABCD的面积． 25．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 近年来，人们的生活方式、消费方式都在转变．露营成为了时下一种热门的旅游方式，而营地作为露营旅游的基地，不仅能为游客出行增添选项，更为乡村振兴注入新活力．某露营地为提升游客体验，计划购买甲、乙两种型号的营地房车． 素材一 购买2辆甲型房车和3辆乙型房车共需94万元； 素材二 购买5辆甲型房车和4辆乙型房车共需158万元； 素材三 该露营地计划购买甲、乙两种型号的营地房车共35辆（两种型号的房车均需购买），且购买乙型房车的数量不少于15辆． 请完成下列任务： 任务一 每辆甲型房车，每辆乙型房车的价格分别是多少万元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 26．已知抛物线y＝x2+bx﹣1的对称轴为直线． （1）求b的值； （2）若抛物线y＝x2+bx﹣1与x轴交点的横坐标为m，求的值． 27．如图，四边形ABCD的外接圆是以AC为直径的⊙O，∠CAB＝30°．点P是劣弧BC上任意一点（不与点B，C重合），连接PA，PB，PC．延长AD至点E，使EC2＝ED•EA． （1）求∠CPB的度数； （2）求证：直线EC与⊙O相切； （3）点P在运动过程中，的值是否发生变化，若不变，求出这个值；若发生变化，请说明理由． 云南省押题卷-2026年云南省初中学业水平考试数学押题卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 1．我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高2℃时，气温变化记作+2℃，那么气温下降5℃时，气温变化记作（　　） A．﹣7℃ B．﹣5℃ C．+5℃ D．+7℃ 【解答】解：若气温升高2℃时，气温变化记作+2℃，那么气温下降5℃时，气温变化记作﹣5℃， 故选：B． 2．东风水库总库容90600000立方米，多年平均年供水量67900000立方米，数字“90600000”用科学记数法可以表示为（　　） A．6.79×107 B．9.06×106 C．9.06×107 D．0.906×108 【解答】解：90600000＝9.06×107． 故选：C． 3．如图，AB∥CD，∠1＝110°，则∠2＝（　　） A．70° B．110° C．115° D．120° 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠2， ∵∠1＝110°， ∴∠2＝110°， 故选：B． 4．下列计算中，正确的是（　　） A． B．a6÷a2＝a3 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣a2）3＝﹣a6 【解答】解：A、，选项计算错误，不符合题意； B、同底数幂相除，底数不变指数相减，a6÷a2＝a6﹣2＝a4≠a3，选项计算错误，不符合题意； C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≠a2﹣b2，选项计算错误，不符合题意； D、根据积的乘方与幂的乘方法则，（﹣a2）3＝（﹣1）3•（a2）3＝﹣a2×3＝﹣a6，选项计算正确，符合题意． 故选：D． 5．若在实数范围内有意义，则x的取值范围（　　） A．x≥2 B．x≤2 C．x＞2 D．x＜2 【解答】解：∵在实数范围内有意义， ∴x﹣2≥0，解得x≥2． 故选：A． 6．某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，则这个几何体是（　　） A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．长方体 【解答】解：根据左视图和俯视图为矩形，判断出是柱体，根据主视图是三角形，可判断出这个几何体应该是三棱柱． 故选：A． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AC于点D，连接BD，则∠DBC的度数为（　　） A．23° B．25° C．27° D．29° 【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠A＝∠ABD＝42°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C69°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝27°， 故选：C． 8．如果一个正多边形的每一个外角是36°，则这个多边形是（　　） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形 【解答】解：∵正多边形每一个外角为36°， ∴边数n＝360°÷36°＝10， 因此该多边形为正十边形． 故选：A． 9．某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85．则小桐这学期的体育成绩是（　　） A．88.5 B．86.5 C．90 D．90.5 【解答】解：由题意可得，小桐这学期的体育成绩是： 95×20%+90×30%+85×50%＝19+27+42.5＝88.5（分）． 故选：A． 10．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、选项文字是轴对称图形，符合题意； B、选项文字不是轴对称图形，不符合题意； C、选项文字不是轴对称图形，不符合题意； D选项文字不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 11．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．下列结论不正确的是（　　） A． B． C．△ADE的周长是△ABC的周长的一半 D． 【解答】解：∵D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DEBC，DE∥BC，所以A选项不符合题意； ∵1，， ∴，所以B选项符合题意； ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴△ADE的周长：△ABC的周长＝DE：BC＝1：2，所以C选项不符合题意； S△ADE：S△ABC＝1：4， ∴S△ADES四边形BCED，所以D选项不符合题意． 故选：B． 12．按一定规律排列的代数式：a﹣b，a3+b，a5﹣b，a7+b，…，第n个代数式是（　　） A．a2n﹣1+b B．a2n﹣1+（﹣1）nb C．a2n+1﹣b D．a2n+1﹣（﹣1）nb 【解答】解：由题知， 代数式中a的部分依次为a，a3，a5，a7，…， 所以第n个代数式中a的部分为a2n﹣1， 代数式中b的部分依次为﹣b，b，﹣b，b，…， 所以第n个代数式中b的部分的为（﹣1）nb， 所以第n个代数式可表示为a2n﹣1+（﹣1）nb． 故选：B． 13．某商场对一款书包进行降价促销，原价每个49元，连续两次降价后每个36元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为x，则可列方程为（　　） A．49（1+x）2＝36 B．49（1﹣x）2＝36 C．49（1+2x）＝36 D．49（1﹣2x）＝36 【解答】解：根据题意可列方程为：49（1﹣x）2＝36． 故选：B． 14．如图1，矩形纸片的宽AB＝2，按如下步骤操作． 第一步，在矩形纸片的左端，利用图2的方法折出一个正方形ABCD，然后把纸片展平； 第二步，如图3，把正方形ABCD折成两个相同的矩形，再把纸片展平； 第三步，折出矩形EFCD的对角线FD，并把FD折到图4中所示的FG处，折痕为FM； 第四步，展平纸片，如图5，按照所得的点G折出GH． 这样得到的矩形DCGH的宽与长的比是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图， ∵正方形ABCD的边长AB＝2， ∴BC＝CD＝2， 第二步折叠，得到CFBC＝1， 在Rt△DFC中，DF， 由折叠的性质得FG＝FD， ∴CG＝FG﹣CF1， ∴矩形BNMC的长为AB＝2，宽为CG1， 则矩形DCGH宽与长的比为； 故选：C． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，AC与BD交于点O，M是BC的中点．P，Q两点沿着B→C→D的方向分别从点B，点M同时出发，速度均为每秒1个单位长度，当点Q到达D点时，两点同时停止运动．用S表示△OPQ的面积，用t表示时间，下列图象适合表示S与t的对应关系的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，AC与BD交于点O， ∴点O到BC的距离到CD的距离， ∵点M是BC的中点， ∴， ∴点Q到达点C的时间为6÷1＝6（s）， 点P到达点C的时间为12÷1＝12（s）， 点Q到达点D的时间为（6+8）÷1＝14（s）， ①0≤t≤6时，点P，Q都在BC上，PQ＝6cm， 则△OPQ的面积； ②6＜t≤12时，点P在BC上，点Q在CD上，CP＝12﹣t，CQ＝t﹣6， 则S△OPQ＝S△COP+S△COQ﹣S△PCQ ， ∴当t＝8时，△OPQ的面积最小，且最小值为10； ③12＜t≤14时，PQ＝6cm，△OPQ的面积； 纵观各选项，只有D选项图形符合． 故选：D． 二．填空题（共4小题） 16．底面半径为4cm，母线长为6cm的圆锥的侧面积为　24π　 cm2． 【解答】解：根据题意得：2π×4×6÷2＝24πcm2，即圆锥的侧面积为24πcm2． 故答案为：24π． 17．分解因式：2x2﹣2＝ 　2（x﹣1）（x+1）　 ． 【解答】解：2x2﹣2 ＝2（x2﹣1） ＝2（x2﹣12） ＝2（x+1）（x﹣1）． 故答案为：2（x+1）（x﹣1）． 18．如图，若DE∥BC，且，则　　 ． 【解答】解：∵DE∥BC，且， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， 故答案为：． 19．某中学开展“非遗文化进校园”系列活动，为了解学生对国家级非遗项目：彝族烟盒舞、阿细跳月、建水紫陶烧制技艺、蒙自过桥米线制作技艺的喜好情况，随机抽取500名学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成扇形统计图．根据图中信息，该校3000名学生中，喜爱“彝族烟盒舞”的学生大约有　600　 名． 【解答】解：该校学生中，喜爱“彝族烟盒舞”的学生大约有3000×20%＝600（名）． 故答案为：600． 三．解答题（共8小题） 20．计算：． 【解答】解： ＝1． 21．如图，AD＝CD，BD平分∠ADC． 求证：AB＝CB． 【解答】证明：∵BD平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）． ∴AB＝CB． 22．为落实“双减政策”，某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元？ 【解答】解：设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是1.2x元， 由题意得：， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是原分式方程的解， ∴1.2x＝12， 答：“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元． 23．梁启超先生是一位百科全书式的学者，一位具有开创性的学术大师．大家熟悉的《少年中国说》．其感情之深，著意之远，爱国之切，希望之挚．前无古人，后无来者，“红日初升，其道大光．河出伏流，一泻汪洋，潜龙腾渊，鳞爪飞扬，乳虎啸谷，百兽震惶，鹰隼试翼，风尘仓张．奇花初胎，矞矞皇皇．干将发硎，有作其芒，天戴其苍，地履其黄．纵有千古，横有八荒．前途似海，来日方长．美哉，我少年中国，与天不老!壮哉，我中国少年，与国无疆!“读了这慷慨激昂、大气磅礴的词句，怎能不催人奋发，频频涌动爱国之心呢!又怎能不鼓舞人心，屡思报国之志呢! 小明在阅读了《少年中国说》后，制作了如图所示的三张卡片（这三张卡片分别用字母A，B、C表示、正面文字依次是少、年、强，这三张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将三张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求两人抽取的卡片恰好组成“少年”一词的概率． 【解答】解：（1）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片．作树状图如下： 共有6种等可能的结果总数， 即（A，B），（A，C），（B，A），（B，C），（C，A），（C，B）； （2）设两人抽取的卡片恰好组成“少年”一词的事件为M，由（1）可知，共有6种等可能的结果，其中两人抽取的卡片恰好组成“少年”一词的结果有2种，即（A，B），（B，A）， ∴． 24．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在AB、AD上，AE＝AF，连接EF，且AC⊥EF． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接OE，若点E是AB的中点，，，求四边形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∵AC⊥EF， ∴∠BAC＝∠DAC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠CAD＝∠ACB， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴△ABC为等腰三角形， ∴BA＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝ODBD，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵E为AB的中点， ∴OEAB， ∵，， ∴AB＝2OE＝2，OB＝2OA， ∵OA2+OB2＝AB2， ∴5OA2＝20， ∴OA＝2（负值已经舍去）， ∴AC＝2OA＝4，BD＝2OB＝4OA＝8， ∴四边形ABCD的面积AC•BD4×8＝16． 25．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 近年来，人们的生活方式、消费方式都在转变．露营成为了时下一种热门的旅游方式，而营地作为露营旅游的基地，不仅能为游客出行增添选项，更为乡村振兴注入新活力．某露营地为提升游客体验，计划购买甲、乙两种型号的营地房车． 素材一 购买2辆甲型房车和3辆乙型房车共需94万元； 素材二 购买5辆甲型房车和4辆乙型房车共需158万元； 素材三 该露营地计划购买甲、乙两种型号的营地房车共35辆（两种型号的房车均需购买），且购买乙型房车的数量不少于15辆． 请完成下列任务： 任务一 每辆甲型房车，每辆乙型房车的价格分别是多少万元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 【解答】解：（1）设每辆甲型房车的价格为x万元，每辆乙型房车的价格为y万元， 根据题意得： ， 解得：， 答：每辆甲型房车的价格为14万元，每辆乙型房车的价格为22万元； （2）设购买甲型房车m辆，则购买乙型房车（35﹣m）辆，总费用为w万元． 根据题意得：w＝14m+22（35﹣m）＝﹣8m+770， ∵﹣8＜0， ∴w随m的增大而减小． 又∵35﹣m≥15，且m＞0，35﹣m＞0， ∴0＜m≤20，且m为正整数， ∴当m＝20时，w取得最小值，此时35﹣m＝15， 答：最节省费用的购买方案是购买甲型房车20辆，乙型房车15辆． 26．已知抛物线y＝x2+bx﹣1的对称轴为直线． （1）求b的值； （2）若抛物线y＝x2+bx﹣1与x轴交点的横坐标为m，求的值． 【解答】解：（1）由题意可得：， ∴b＝1． （2）若抛物线y＝x2+bx﹣1与x轴交点的横坐标为m， ∵b＝1， ∴抛物线y＝x2+bx﹣1＝x2+x﹣1． ∴令y＝0，得m2+m﹣1＝0，解得． ∵m2+m﹣1＝0，∴m2＝1﹣m， ∴m3＝m2•m＝m（1﹣m）＝m﹣m2＝m﹣（1﹣m）＝2m﹣1， ∴m4＝（m2）2＝（1﹣m）2＝1﹣2m+m2＝1﹣2m+1﹣m＝2﹣3m， ∴， ∴m≠0， ∴． 27．如图，四边形ABCD的外接圆是以AC为直径的⊙O，∠CAB＝30°．点P是劣弧BC上任意一点（不与点B，C重合），连接PA，PB，PC．延长AD至点E，使EC2＝ED•EA． （1）求∠CPB的度数； （2）求证：直线EC与⊙O相切； （3）点P在运动过程中，的值是否发生变化，若不变，求出这个值；若发生变化，请说明理由． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD的外接圆是以AC为直径的⊙O，∠CAB＝30°， ∴∠CAB+∠CPB＝180°， ∴∠CPB＝180°﹣30°＝150°； （2）证明：∵EC2＝ED•EA， ∴， ∵∠E＝∠E， ∴△ECD∽△EAC， ∴∠ACE＝∠CDE， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， 又∵∠ADC+∠CDE＝180°， ∴∠CDE＝180°﹣∠ADC＝90°， ∴∠ACE＝90°， ∴OC⊥CE， ∵OC为⊙O的半径， ∴直线EC与⊙O相切； （3）解：的值不改变；理由如下： AC是⊙O的直径，如图，过点B作BF⊥BP，交AP于点F，则∠FBP＝90°， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ACB+∠CAB＝90°， ∴∠ACB＝90°﹣∠CAB＝90°﹣30°＝60°， ∴， ∵， ∴∠APB＝∠ACB＝60°， 即∠FPB＝60°， 在Rt△FBP中：∠FPB+∠PFB＝90°， ∴∠PFB＝90°﹣∠FPB＝90°﹣60°＝30°， ∴PF＝2BP， ∴AP﹣2BP＝AP﹣PF＝AF， ∵∠AFB+∠PFB＝180°， ∴∠AFB＝180°﹣∠PFB＝180°﹣30°＝150°， ∵∠CPB＝150°， ∴∠AFB＝∠CPB， ∵， ∴∠PAB＝∠PCB， 即∠FAB＝∠PCB， ∴△FAB∽△PCB， ∴， 即：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $