精品解析：2026年云南省楚雄彝族自治州楚雄市)初中学业水平考试数学模拟试卷

2026年初中学业水平考试 数学模拟试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在标准大气压下，甲醇的沸点是零上，熔点是零下．若零上记作，则零下记作（ ） A. B. C. D. 2. 2025年1月17日，自然资源部中国地质调查局宣布，我国在云南省红河地区发现超大规模离子吸附型稀土矿，潜在资源达115万吨．将1150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线与直线，都相交，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个几何体的主视图，则这个几何体不可能是（ ） A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 三棱锥 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第9个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 按一定规律排列的代数式：、、、、、，则第8个式子是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平行四边形的对角线相交于点，若，则的周长为（ ） A. 24 B. 15 C. 14 D. 12 11. 某小区开展“节约用水，从我做起”活动，下表是该小区随机抽取的10户家庭当月节水情况（较上月节水量）统计： 节水量 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 家庭数（户） 2 4 1 2 1 则这10户家庭当月节水量的中位数与众数分别是（ ） A. B. C. D. 12. 已知某校篮球场和图书馆到校门口的直线距离分别是和，那么篮球场与图书馆之间的直线距离不可能是( ) A. B. C. D. 13. 如图，小区物业准备利用一个直角墙角建造一个矩形花坛，若花坛两边靠墙（墙足够长），剩余两边用篱笆围成，且篱笆总长度为，要使围成的花坛的面积为，设花坛较短边的长度为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在中，点、分别在、上，且、，若的面积为9，则的面积为（ ） A. 8 B. 16 C. 27 D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 分解因式：4x2–1=_______________． 17. 在平面直角坐标系中，若点在x轴上，则点M的坐标为_____． 18. 某社区为配合教育部劳动教育要求，与辖区中学合作开展“青少年家务劳动习惯”调研．调研小组从该校1000名学生中随机选取100名进行面对面访谈，请学生回忆并记录最近一周内家务劳动的总时长（单位：小时），现将收集到的数据整理如下： 家务劳动时长 学生人数 8 16 23 32 16 5 根据以上数据，估计这1000名学生中一周内家务劳动时长不小于3小时的学生的人数为________名． 19. 已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5，底边长为4的等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的圆心角度数为______°． 三、解答题：本题共8小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算： 21. 如图，是的中线，E是上一点，延长至点F，使得，连接，，求证：． 22. 北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统走巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线路近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航线的速度是走巴拿马运河航线速度的1.2倍．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ 23. 有、两个盒子．盒内有三个球，分别标有数字、、．盒有二个球，分别标有数字、．所有的球除所标数字，外形状大小完全相同．先从盒中随机抽出一个球，记录其标有的数字为，再从盒中随机抽出一个球，记录其标有的数字为，以此确定点的一个坐标为． （1）用列表或画树状图的方法写出点的所有可能坐标； （2）求点落在第三象限的概率． 24. 4月23日是“世界读书日”，2025年世界读书日的主题为“阅读：通往未来的桥梁”，学校计划购买文学类和科技类图书共200套，若购买3套文学类图书和4套科技类图书，一共需要192元，若购买2套文学类图书和2套科技类图书，一共需要108元． （1）求文学类图书和科技类图书每套的单价分别是多少元？ （2）根据学生阅读需求，要求购进的文学类图书的套数不超过科技类图书的套数的2倍，求学校购进这两类图书所需的总费用的最小值． 25. 如图，在等腰中，，平分，分别过点A，C作，的平行线交于点E，连接，交于点F，G． （1）求证：四边形是矩形； （2）求的值． 26. 已知抛物线的对称轴是直线，且图象经过点．设该抛物线与轴交点的横坐标为． （1）求抛物线的函数解析式； （2）记：，比较与的大小． 27. 如图所示，是的外接圆，延长至点D，使得，P是半圆上一动点（点P在左上半圆，且不与点A，C重合），连接，，，． （1）若，求的度数； （2）求证：是的切线； （3）看一看，想一想，证一证：若，以下与线段，，有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试 数学模拟试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在标准大气压下，甲醇的沸点是零上，熔点是零下．若零上记作，则零下记作（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：题目规定零上记作，零上与零下是一对相反意义的量，用正数表示零上， 则零下应记作，选项符合题意． 2. 2025年1月17日，自然资源部中国地质调查局宣布，我国在云南省红河地区发现超大规模离子吸附型稀土矿，潜在资源达115万吨．将1150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值是解题关键，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数，原数绝对值时为正数． 【详解】解：∵ 需将表示为科学记数法， 把的小数点向左移动位，得到，满足， ∴ ， 即， 故选：A． 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，只需将各选项点的横坐标代入解析式，求出对应纵坐标，和选项中给出的纵坐标对比即可判断点是否在函数图象上． 【详解】解：∵反比例函数解析式为 当时，，∴点不在函数图象上，A不符合要求； 当时，，∴点不在函数图象上，B不符合要求； 当时，，和选项纵坐标一致，∴点在函数图象上，C符合要求； 当时，，∴点不在函数图象上，D不符合要求． 4. 如图，直线与直线，都相交，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角，掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，再由即可求解． 【详解】解：如图： ∵若，， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图是一个几何体的主视图，则这个几何体不可能是（ ） A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 三棱锥 【答案】D 【解析】 【分析】需逐一分析每个选项对应的几何体，判断其是否能得到主视图是一个正方形． 【详解】解：A 长方体：若长方体的正面为正方形，主视图就是正方形，因此可能； B 正方体：正方体任意一面都是正方形，主视图必然是正方形，因此可能； C 圆柱：当竖直放置的圆柱的高等于底面直径时，主视图就是正方形，因此可能； D 三棱锥：三棱锥无论怎么摆放，从正方向观察得到的图形一定是三角形，不可能得到正方形，因此不可能． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方，解题的关键是：掌握相关的运算法则．直接利用同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方直接求解即可． 【详解】解：A、，不是同类项，不能合并，选项不符合题意； B、，选项不符合题意； C、，选项符合题意； D、，选项不符合题意； 故选：C． 7. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 解得． 8. 据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用13个等距的结，把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第9个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据余弦的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意可得，， ∵， ∴是直角三角形， ∴， 9. 按一定规律排列的代数式：、、、、、，则第8个式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别从符号、系数绝对值、的次数三个部分寻找规律，得到第个式子的通式，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：观察已知代数式可得： 第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， ...， 归纳可得，第个式子为， 将代入通式可得． 10. 如图，平行四边形的对角线相交于点，若，则的周长为（ ） A. 24 B. 15 C. 14 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分求解即可； 【详解】解：平行四边形的对角线相交于点，且， 则， 故的周长为：． 11. 某小区开展“节约用水，从我做起”活动，下表是该小区随机抽取的10户家庭当月节水情况（较上月节水量）统计： 节水量 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 家庭数（户） 2 4 1 2 1 则这10户家庭当月节水量的中位数与众数分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数和众数的概念求解即可． 【详解】解：这组数据中0.3出现4次，次数最多， 则这组数据的众数为0.3， 将这组数据按节水量从小到大排列，中位数位于第5和第6的平均值， 则这组数据的中位数为， 故选：A． 12. 已知某校篮球场和图书馆到校门口的直线距离分别是和，那么篮球场与图书馆之间的直线距离不可能是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：设篮球场和图书馆的直线距离为． 当校门口、篮球场和图书馆不共线时，根据三角形三边关系得：，即； 当校门口、篮球场和图书馆共线时，或， 综上，的取值范围为，故不可能是． 13. 如图，小区物业准备利用一个直角墙角建造一个矩形花坛，若花坛两边靠墙（墙足够长），剩余两边用篱笆围成，且篱笆总长度为，要使围成的花坛的面积为，设花坛较短边的长度为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设花坛较短边的长度为x，则较长边的长度为， 又围成的花坛的面积为， ． 14. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和，等弧对等角，直径对的角是直角，熟练掌握相关知识是解题的关键；先求出，再根据等弧对等角即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选B． 15. 如图，在中，点、分别在、上，且、，若的面积为9，则的面积为（ ） A. 8 B. 16 C. 27 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得出，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为9， ∴的面积为． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 分解因式：4x2–1=_______________． 【答案】（2x+1）（2x–1） 【解析】 【分析】利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式=（2x+1）（2x－1）． 故答案为：（2x+1）（2x–1）． 【点睛】本题考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． 17. 在平面直角坐标系中，若点在x轴上，则点M的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中的点的坐标特征，熟练掌握x轴上的点的坐标特征是解题的关键．因为点在x轴上，故，则，即可作答． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得， 则， 故答案为：． 18. 某社区为配合教育部劳动教育要求，与辖区中学合作开展“青少年家务劳动习惯”调研．调研小组从该校1000名学生中随机选取100名进行面对面访谈，请学生回忆并记录最近一周内家务劳动的总时长（单位：小时），现将收集到的数据整理如下： 家务劳动时长 学生人数 8 16 23 32 16 5 根据以上数据，估计这1000名学生中一周内家务劳动时长不小于3小时的学生的人数为________名． 【答案】530 【解析】 【详解】解：估计这1000名学生中家务劳动时长不小于3小时的学生的人数为（名）． 19. 已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5，底边长为4的等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的圆心角度数为______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算．先确定几何体的形状，再计算． 【详解】解：由三视图可知这个几何体是一个圆锥，且底面圆的直径为4，母线长为5， 则底面周长为4π， 设该几何体的侧面展开图的圆心角度数为, 所以， 解得， 所以扇形的圆心角的度数为， 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算： 【答案】2 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，化简绝对值进行计算即可求解． 【详解】解：原式 21. 如图，是的中线，E是上一点，延长至点F，使得，连接，，求证：． 【答案】证明：∵是的中线， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据中线的定义得到，证明，即可得到． 【详解】略 22. 北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统走巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线路近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航线的速度是走巴拿马运河航线速度的1.2倍．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ 【答案】公里/天 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走x公里，则集装箱货轮走北极航线每天能走公里，根据走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走公里， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走1000公里． 23. 有、两个盒子．盒内有三个球，分别标有数字、、．盒有二个球，分别标有数字、．所有的球除所标数字，外形状大小完全相同．先从盒中随机抽出一个球，记录其标有的数字为，再从盒中随机抽出一个球，记录其标有的数字为，以此确定点的一个坐标为． （1）用列表或画树状图的方法写出点的所有可能坐标； （2）求点落在第三象限的概率． 【答案】（1）见解析 （2）点落在第三象限的概率为． 【解析】 【分析】本题主要考查利用列表和画树状图计算概率： （1）根据列表和画树状图的方法即可求得答案； （2）根据列表和画树状图可求得事件所有可能的结果和点落在第三象限的结果． 【小问1详解】 列表如下所示． 树状图如下所示． 【小问2详解】 点共有种可能的结果，其中事件“落在第三象限”包含和两种结果． 所以，点落在第三象限的概率为． 24. 4月23日是“世界读书日”，2025年世界读书日的主题为“阅读：通往未来的桥梁”，学校计划购买文学类和科技类图书共200套，若购买3套文学类图书和4套科技类图书，一共需要192元，若购买2套文学类图书和2套科技类图书，一共需要108元． （1）求文学类图书和科技类图书每套的单价分别是多少元？ （2）根据学生阅读需求，要求购进的文学类图书的套数不超过科技类图书的套数的2倍，求学校购进这两类图书所需的总费用的最小值． 【答案】（1）文学类图书每套的单价为24元，科技类图书每套的单价为30元； （2）学校购进这两类图书所需的总费用的最小值为5202元． 【解析】 【分析】（1）设文学类图书每套的单价为x元，科技类图书每套的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设学校购进这两类图书所需的总费用为w元，购进文学类图书m套，先求出关于的一次函数关系式，再由要求购进的文学类图书的套数不超过科技类图书的套数的2倍，列出不等式求解的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设文学类图书每套的单价为x元，科技类图书每套的单价为y元， 根据题意，得 解得 答：文学类图书每套的单价为24元，科技类图书每套的单价为30元； 【小问2详解】 解：设学校购进这两类图书所需的总费用为w元，购进文学类图书m套， ∴， ∵要求购进的文学类图书的套数不超过科技类图书的套数的2倍， ∴， 解得， ∵m是正整数， ∴m的最大值为133， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，． 答：学校购进这两类图书所需的总费用的最小值为5202元． 25. 如图，在等腰中，，平分，分别过点A，C作，的平行线交于点E，连接，交于点F，G． （1）求证：四边形是矩形； （2）求的值． 【答案】（1）见解析； （2）3． 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，即四边形是平行四边形，再结合等腰三角形三线合一得到即可得证； （2）先证，得到，则F是的中点，再过点F作的平行线，交于点H，求得，再由求解即可． 【小问1详解】 证明：根据题意得， ∴四边形是平行四边形． ∵在中，平分， ∴，即， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）得，四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴F是的中点． 如解图，过点F作的平行线，交于点H， ∴H为的中点． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为3． 26. 已知抛物线的对称轴是直线，且图象经过点．设该抛物线与轴交点的横坐标为． （1）求抛物线的函数解析式； （2）记：，比较与的大小． 【答案】（1）； （2）当时，；当时，． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、整式的乘法运算，解决本题的关键是根据整式的乘法法则进行整理，得到． 根据抛物线的对称轴是，可以求出，根据图象经过点，可以求出，从而可知抛物线的解析式为； 根据抛物线与轴交点的横坐标为，可得，，从而可得：，又因为抛物线与轴交点的横坐标为，可得方程，解方程可得：或，根据所求结果比较较与的大小即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴是直线， ， ． 求抛物线的图象经过点， ， 抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线与轴交点的横坐标为， ， 即， ， 把代入， 可得：， ， 把代入， 可得：． ， ， 两边同时平方可得：， ， ， ． ， 或， ①当时，； ②当时，． 27. 如图所示，是的外接圆，延长至点D，使得，P是半圆上一动点（点P在左上半圆，且不与点A，C重合），连接，，，． （1）若，求的度数； （2）求证：是的切线； （3）看一看，想一想，证一证：若，以下与线段，，有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （3） 正确． 理由如下： 过点C作于点H，如图所示： ∵是直径， ∴， ∵， ∴设，则， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，进行求解即可； （2）根据直径所对的圆周角为直角得出， 证明， 得出，证明，即可得出答案； （3）过点C作于点H，设，则，根据，得出，从而得出，根据，得出，即，根据，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $