2026年云南九年级初中数学下学期学业水平考试冲刺试题（人教版）

**基本信息** 以原创题为主，融合《九章算术》等古代数学文化与云南爨文化、乡村振兴等现实情境，通过基础到创新的梯度设计，考查抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/30|实数、三视图、统计（中位数）等|第1题结合《九章算术》考相反意义的量，体现文化传承| |填空题|4/8|因式分解、圆的圆心角等|第16题用平方差公式分解，强化运算能力| |解答题|8/62|分式方程（潦浒陶瓷）、函数应用（乡村振兴）、圆的切线证明等|22题以非遗产业考分式方程，25题用购物数据考方程组与函数，27题分层考查推理意识，契合学业水平考试要求|

应用场景：模拟考 云南九年级初中数学下学期学业水平考试冲刺试题（人教版） (本试题卷共三个大题，27个小题，共8页；满分100分) 一、选择题(本大题共15小题，每个小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分) 1.（原创）古人记账、计量时，遇到收入与支出、盈余与亏损等相反情况。我国《九章算术》最早用算筹区分正负，刘徽也明确提出用正负表示相反意义的量。后来这一用法延伸到生活各处，成为通用数学规则。又到一年中考季，小明爸爸给他100元钱用于购买考试用具，记作+100元，那么支出32元记作 ( ) A. - 32 元 B. -68元 C. 68 元 D. 32 元 2.随着中国机器人产业飞速发展，工业机器人常利用几何体结构优化机身设计，某工厂为小型检测机器人设计了一款实心零部件，该零部件的三视图如下图，则该几何体是( ) A.长方体 B.圆锥 C. 圆柱 D.正方体 3.（原创）（新情境题）2026年云南省高考报名总人数为37.79万人。随着教育发展，每年报考人数都受到社会关注。37.79万用科学记数法可以表示为 ( ) A. B. C. D. 4.轴对称思想在中国古代数学与造物中源远流长。古建筑里的宫殿、牌楼、园林亭台，均以对称布局营造规整美感；传统剪纸、窗花、脸谱、太极图等民间艺术，大量运用轴对称纹样。古代器物、钱币、服饰纹饰也处处体现对称智慧，古人在生活实践中总结对称规律，让轴对称兼具数学内涵与东方美学，流传至今。下列四个选项中，是轴对称图的是( ) 5.统计是古老又实用的数学分支，我国统计文化历史悠久。早在商周时期，古人就通过计数、汇总统计人口、田地、粮食储量，用于国家治理。随着时代发展，统计逐步形成系统数学知识，通过收集、整理、分析数据总结规律。如今中位数、众数作为核心统计量，广泛用于生活数据分析，是用数学视角解读生活、归纳特征的重要工具。昆明地铁运营方为优化运力调配需要，统计了某工作日晚高峰时段7个代表性站点的进出站总客流人次，统计数据如下表，则这7个数据的中位数是 站点 西山公园站 西部汽车站 东风广场站 白云路站 梁家河站 昆明火车站 市体育馆站 客流人次(单位：百人) 46 87 245 168 61 198 75 A. 75 B. 87 C. 61 D. 168 6.（原创）下列运算中不正确的是 ( ) C. D. 7.（原创）体操团体表演编排中，总表演人数固定。若排列成若干队列，每列人数y与队列数x成反比例函数关系。反比例函数 的图象经过点(2，3)，则下列说法不正确的是 ( ) A.函数图象经过点(3，2) B.每一支双曲线上，y随x的增大而增大 C.a=-2 D.函数图象分布在第一、三象限 8.为弘扬中华传统文化，某校开设了A—古典文学，B—传统艺术，C—民俗文化，D—中国通史四门校本课程，为了解学生对四门校本课程的喜爱程度，对部分学生进行了问卷调查，并绘制了如下条形统计图： 已知被调查的学生必选且只选择一项，根据统计图提供的信息，若该校学生共有900人，估计该校学生中选择“中国通史”的有( )人. A. 80 B. 20 C. 90 D. 100 9.（原创）人口数据统计是生活中常见的数学应用，人口出生率、增长率更是社会关注的民生数据。据统计，某地区2024年新生人口为8000人，受多种因素影响，预计2025年、2026年新生人口连续两年保持相同的年平均增长率x。结合增长率相关知识，下列关于该地区2026年新生人口数量的表达式，书写正确的是（ ） A. 8000(1+2x) B.8000(1+x)+8000(1+x)2 C. 8000+8000x+8000x2 D. 8000(1+x)2 10.我国传统建筑、纹样中常出现正八边形造型，极具美学价值。已知一个多边形内角和比它的外角和的3倍还多180°，则它的边数为 ( ) A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 11.古人通过观察天象、历法、数列排布，总结出万物有序的数理规律。《九章算术》《周髀算经》中大量数列、递推算法，都是通过归纳数字、式子变化规律解决实际问题。按一定规律排列的单项式:x, -4x³,9x⁵, -16x⁷, 25x⁹, ….按照上述规律，第n项是（ ） 12.（原创）我国古代勾股测望术，是锐角三角函数思想的雏形，常用来测量高度与距离。如图,在△ABC中, ∠C=90°,则下列式子成立的是 ( ) A.sinB= ,cosB= ,tanB= B.sinB= ,cosB= ,tanB= C.sinB= ,cosB= ,tanB= D.sinB= ,cosB= ,tanB= 13.我国古代数学家利用相似三角形完成测距、测高，是传统数学智慧的体现。如图，在△ABC中，D是AB的中点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB, AC于点M, N;②以点D为圆心, AM 长为半径作弧, 交DB于点. M';③以点M'为圆心，MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线DN'交BC于点E. 若 AC=4, 则DE的长为 ( ) A. 1 B. C. 2 D. 14.我国古代工匠造桥、筑路、丈量土地时，常利用平行原理保证结构规整。如图，一条光线AB经平面镜的反射光线BC经凹透镜折射后，其折射光线CD的反向延长线过凹透镜的一个焦点F₁.已知光线AB的入射角为45°，光线BC 与光线CD的夹角∠BCD=155°，则光线CD与光线AB 所夹的锐角为 （ ) A. 65° B. 60° C. 35° D. 25° 15.在中国古代，圆锥形体广泛应用于生产生活，古代粮仓、斗笠、陶瓷器型、烽火塔建筑均采用圆锥结构。古人虽无现代几何公式，却凭借实践掌握圆锥体积、曲面的构造规律。甑子是我国南方部分地区使用的蒸饭工具，其可抽象为立体图形中的圆台，小云研究发现，圆台可看作是由两个圆锥相减得到的，他画出了其展开图如图所示，若下底面半径 上底面半径r₂=3, BE=4，则圆台的侧面积为( ) A. 16π B. 24π C. 32π D. 36π 二、填空题(本大题共4小题，每小题2分，共8分) 16.（原创）我国古代代数运算中已有因式分解的思想雏形，平方差公式是分解因式的常用工具。请利用平方差公式对多项式进行因式分解:25-4x2 17.如图,点A在⊙O上,若∠A=60°,则∠BOC的度数是 . 18.（原创）我国古代数学成就斐然，《九章算术》记载了开方运算。若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 . 19.我国古代《周髀算经》记载的勾股定理，是传统几何文化的瑰宝，也揭示了直角三角形的诸多特性。AD是△ABC的中线,CE平分∠ACB.若 则 三、解答题(本大题共8小题，共62分) 20.（原创）(7分)计算: 21.(6分)如图，点D 在线段AB 上，点E在线段AB的延长线上且AD=BE, ∠A=∠FDE, AC=DF。求证: ∠C=∠F. 22.（原创）（新情境题）(7分)曲靖素有“爨乡”美誉，潦浒陶瓷是当地知名非遗文化产业。某陶艺工坊制作传统陶坯，熟练匠人比新手匠人每小时多制作3个陶坯。同样制作90个陶坯，新手匠人所用时间比熟练匠人多1.5小时。请根据题意求两种匠人每小时各制作多少个陶坯? 23. （原创）（新情境题）(6分曲靖拥有享誉全省的“五张城市名片”，分别是：爨文化、珠江源头、高原特色农业、区域交通枢纽、现代工业重镇。某校开展“认识家乡曲靖”主题文化活动，制作五张完全相同的知识卡片，正面分别印有以上五张名片名称，背面完全一致。某校在“六一儿童节”前夕开展了以“认识家乡曲靖”为主题的演讲活动，鼓励学生积极参与.本次活动设置了曲靖“五张城市名片”抽签演讲主题：A.爨文化、B.珠江源头、C.高原特色农业、D.区域交通枢纽、E.现代工业重镇.学生需要从中选择一张卡片并进行主题演讲，每个主题被选中的可能性相同.小亮和小马都参与了演讲主题活动，记小亮选择的主题为x，小马选择的主题为y. (1)请用列表或画树状图的方法，求(x，y)所有可能出现的结果总数； (2)求小亮和小马选择的主题相同的概率. 24.(8分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O, 点E、F分别在CA、AC的延长线上, 连接DE,BE,BF, DF, 且DE=DF. (1) 求证: 四边形EBFD 是菱形; (2) 若 EF=2BD, AE=2OA, 菱形EBFD的周长为 求菱形 ABCD的面积. 25.(8分)请你根据下列素材，完成有关任务. 背 景 为响应国家“乡村振兴”号召，某连锁超市近期推出优惠活动，切实让利惠民. 素材一 下表是顾客甲在该超市购买大米和食用油的数量和价格： 商品名称 数量 单价 小计(元) 大米 2袋 □□□ □□□ 食用油 3桶 □□□ □□□ 合计 ¥ 600.00 素材二 下表是顾客乙在同一家超市购买同款物资的数量和价格： 商品名称 数量 单价 小计(元) 大米 3袋 □□□ □□□ 食用油 5桶 □□□ □□□ 合计 ¥ 950.00 素材三 某学校食堂计划到该超市采购大米和食用油的总数量为60，根据预算和储存规定：①两种物资均需足额采购；②食用油的数量不超过大米数量的2倍. 请完成下列任务： 任务一 每袋大米、每桶食用油的价格分别是多少元? 任务二 设计一种采购方案，使得该校购买这批物资的总费用最低，并求出最低费用. 26.（原创）(8分)已知二次函数 的图象与x轴的一个交点坐标为(-1, 0)。 (1)求b的值; (2)若点P(k,t)是该二次函数图象上的一点且k不为0的整数,记 试求T及t的值. 27.（原创）(12分)如图,已知⊙O外有一点P,过P作PB与⊙O相切于点B,点A在⊙O上,连接PA，且PA=PB,点C是劣弧AB上一点，连接PC并延长交⊙O于点 D，交线段AB于点E. (1)当AC=BC时，试说明PD是AB的垂直平分线； (2)求证: PA是⊙O 的切线; (3)猜一猜，想一想，证一证：是否存在常数k，使得等式PD.PE=kPC.PD- PC.PE成立?若存在，猜出一个k值，并证明你的猜想成立；若不存在，请说明理由. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南九年级初中数学下学期学业水平考试冲刺试题（人教版） 参考答案 一、选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 A D A A B B B D D C B C C A A 二、填空题(本大题共4小题，每小题2分，共8分) 16. (5+2x)(5-2x) 17.120° 18.100 19. 3:2 三、解答题(本大题共8小题，共62分) 20. (7分)解:原式=1+1-3+1-3 5分 =-3. 7分 21. (6分)证明:∵AD=BE ∴AD+BD=BE+BD,即 2分 在△ABC和△DEF中, 4分 ∴△ABC≌△DEF (SAS) 5分 ∴∠C=∠F. 6分 22. (7分)解：设1名新手匠工每小时做陶坯x个，则1名熟练匠工每小时做陶坯（x+3）个 根据题意可得： 4分 解得: x1=12,x2=-15(舍去） 经检验：x=12是分式方程的根，且符合题意， ∴x+3=15 答：1名新手匠工每小时做陶坯12个，则1名熟练匠工每小时做陶坯15。7分 23. (6分)解：(1)所有可能出现的结果列表如下： (x, y) A B C D E A (A, A) (A, B) (A, C) (A, D) (A, E) B (B, A) (B, B) (B, C) (B, D) (B, E) C (C, A) (C, B) (C, C) (C, D) (C, E) D (D, A) (D, B) (D, C) (D, D) (D, E) E (E, A) (E, B) (E, C) (E, D) (E, E) 由表格可知，共有25种等可能出现的结果； 3分 (2)由表格可知小亮和小马选择的主题相同的有 (A, A) , (B, B) , (C, C) , (D, D) , (E, E) 共5种, ∴小亮和小马选择的主题相同的概率为 ⋯⋯⋯6分 24. (8分)解: (1) ∵四边形ABCD是菱形, ∴BD⊥AC, OB=OD, ∵DE=DF, ∴OE=OF, ∴四边形DEBF 是平行四边形， ∵DE=DF, ∴四边形DEBF 是菱形; 4分 (2)设OA=x,则AE=2x, ∴OE=3x, ∵EF=2BD, ∴OE=2OD,即 ∵菱形EBFD的周长为 ∴在 Rt△DOE中, 即 解得： 8分 25.(8分)解：任务一：设每袋大米的价格为x元，每桶食用油的价格为y元， 由题意得， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分 解得 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 答：每袋大米的价格为150元，每桶食用油的价格为100元;⋯ 5分 任务二：设该校购买大米m袋，则购买食用油(60-m)桶，购买总费用为W元. 由题意得，W=150m+100(60-m)=50m+6000,⋯⋯⋯⋯ 6分 ∵购买食用油的数量不超过大米数量的2倍， ∴60-m≤2m, 解得m≥20, ∵两种物资均需足额采购， ∴20≤m<60,且m为正整数. 7分 ∵50>0, ∴W随m增大而增大， ∴当m=20时，W取最小值，7000元, 此时,60-m=60-20=40桶, 答：购买大米20袋，食用油40 桶时购买总费用最低，最低费用为7000元⋯⋯⋯⋯⋯8 26. (8分)解: (1)把A(-1,0)代入 得0=1-b-3,解得：b=-2 ⋯⋯⋯3分 (2) 二次函数的解析式为： 将点 P (k,t) 代入 得： ∵T、t为整数 =1、=-1、=2、=-2⋯⋯⋯8分 =-1、=-3、=0或=-4 当=-1时，3；此时t= 当=-3时，-1；此时t=12 当=0时，不符合题意，故舍去 当=-4时，0；此时t= 综上所述，T的值为3、-1、0；t的值为0、12、21.⋯⋯12分 27. （1）∵PA=PB、AC=BC ∴P、C在AB的垂直平分线上 ∴PD是AB的垂直平分线 7分 (2)连接 OB,则OA=OB, 连接OP交⊙O于点 F, 在△OAP 和△OBP中 ∴△OAP≌△OBP (SSS), ∴∠OBP=∠OAP, ∵PB与⊙O相切于点B, ∴OB⊥PB,即∠OBP=90°, ∴∠OAP=90°,即OA⊥PA, ∵OA是⊙O的半径, ∴PA是⊙O的切线; 7分 (3)存在常数k=2,证明如下: 8分 作OG⊥CD于点G,则G是CD的中点, ∴PC+PD=PC+PC+CG+DG=2(PC+CG)=2PG, 令OP交AB于点H,则OP⊥AH, ∴△PEH∽△POG, ∴PE·PG=PO·PH, ∵OA⊥AP, ∴△AHP∽△OAP, 即 ∵∠AOC=2∠ADC, ∠OAC=∠OCA, ∠AOC+∠OAC+∠OCA=180°, ∴∠ADC+∠OAC=90°, ∵∠OAC+∠PAC=90°, ∴∠ADC=∠PAC, ∵∠APD=∠CPA, ∴△APD∽△CPA, ∴PE·PG=PO·PH=PC·PD, 即 PD.PE+ PC.PE=2PC.PD 即PD.PE=2PC.PD- PC.PE 12分 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 云南九年级初中数学下学期学业水平考试冲刺试题（人教版）命题双向细目表 题号 考查知识点 题型 分值 难度系数 难度层次 1 正数与负数意义 选择题 2 0.89 基础题 2 几何体主视图 选择题 2 0.85 基础题 3 科学记数法 选择题 2 0.84 基础题 4 轴对称图形识别 选择题 2 0.82 基础题 5 中位数、众数 选择题 2 0.79 基础题 6 整式运算（幂、积、合并同类项） 选择题 2 0.76 基础题 7 反比例函数性质（k、象限、增减性） 选择题 2 0.73 基础题 8 条形统计图+用样本估计总体 选择题 2 0.71 基础题 9 增长率、下降率 选择题 2 0.70 基础题 10 多边形内角和公式 选择题 2 0.68 中等题 11 找规律（单项式） 选择题 2 0.64 中等题 12 锐角三角函数定义 选择题 2 0.63 中等题 13 平行四边形+相似三角形比例 选择题 2 0.62 中等题 14 平行线+直角三角板角度计算 选择题 2 0.52 拓展题 15 圆锥侧面展开圆心角 选择题 2 0.43 拓展题 16 因式分解（平方差） 填空题 2 0.85 基础题 17 圆周角定理 填空题 2 0.82 基础题 18 二次根式有意义条件 填空题 2 0.71 中等题 19 三角形的性质 填空题 2 0.42 拓展题 20 实数综合运算（零次幂、负指数、绝对值、三角函数） 解答题 7 0.81 基础题 21 全等三角形证明（SAS/SSS） 解答题 6 0.82 基础题 22 分式方程应用（工程/效率） 解答题 7 0.62 中等题 23 概率（列表/树状图、等可能） 解答题 6 0.81 基础题 24 判定与性质、面积 解答题 8 0.59 中等题 25 二元一次方程组+不等式方案设计 解答题 8 0.61 中等题 26 二次函数（对称轴、代数求值） 解答题 8 0.36 拓展题 27 圆综合（弦、切线证明、比例探究） 解答题 12 0.27 拓展题 基础题：70分（70%） 中等题：20分（20%） 拓展题：14分（10%） 整体难度系数：0.67 测评时间：120分钟 满分：100分 Sheet2 Sheet3 $