江西省押题卷-【押题卷】2026年初中学业水平考试数学押题卷

**基本信息** 2026年江西中考数学押题卷，以传统建筑窗棂、《九章算术》等文化素材，人形机器人、乒乓球运动等现实情境为载体，通过基础题、能力题、创新题的梯度设计，考查数学抽象、几何直观、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题|无理数、中心对称图形、三视图、抽样方法等|结合蜜蜂蜂巢规律探究（第5题），考查合情推理| |填空题|6题|二次根式、因式分解、正多边形、坐标系综合等|以正八边形窗格（第9题）考几何计算，体现文化传承| |解答题|11题|函数建模、几何证明、统计分析、综合实践等|22题乒乓球运动轨迹（函数应用）、23题四边形草坪水管设计（几何综合），突出真实问题解决与创新思维|

江西省押题卷-2026年江西省初中学业水平考试数学押题卷 一．选择题（共6小题） 1．下列各数中是无理数的是（　　） A． B． C．0.128 D．2π 2．窗棂体现了我国古代建筑之美，既有几何之规整，又有自然之灵秀，下面是关于窗棂的一些图片，其中不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示的几何体，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 4．学校食堂为了优化午餐供应，希望了解全校学生“最喜欢的午餐菜品”．你认为以下抽样方法中比较合理的是（　　） A．调查全体走读生B．调查校篮球队全体队员 C．调查七年级全体学生D．调查各年级中的部分学生 5．蜜蜂构建的蜂巢展现出了正六边形的精巧设计，如图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的蜂巢结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，第④个图案用了35根小棒，…，按此规律排列下去，第⑧个图案用的小棒根数是（　　） A．59 B．76 C．67 D．96 6．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，CE＝DF＝1，DE，AF交于点G，点H为AE的中点，连接GH，则GH的长为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 二．填空题（共6小题） 7．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　 ． 8．分解因式：2x2﹣8x+8＝　 　 ． 9．如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，则∠BAC＝　 　 °． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（0，2），点P是坐标轴的正半轴上的一点，若射线AP、AB、AO构成轴对称图形，则线段OP的长为　 　 ． 11．《九章算术》中记载：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷价钱一万．问善、恶田各几何？”其大意是：今有好田1亩，价值300钱；坏田7亩，价值500钱．今共买好、恶田各1顷（1顷＝100亩），价钱10000钱．问好、坏田各买了多少亩？设好田买了x亩，坏田买了y亩，根据题意可列方程组为 　 　 ． 12．如图，点D为等边三角形ABC的中点，连接AD，将△ABD绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△A′B′D，边A′B′、A′D分别与AC交于点E、F，当△A′EF的内角∠A′EF是与另两个内角中的一个存在两倍关系时，α的度数为　 　 ． 三．解答题（共11小题） 13．解答下列各题： （1）计算：； （2）如图，把一张长方形纸片沿EF折叠，已知∠2＝74°，求∠1的度数． 14．先化简：，再从﹣1，0，1，2这四个数中选一个你最喜欢的a值代入求值． 15．如图在正方形的网格中，点A、B、C均为格点，请仅用无刻度直尺完成下列作图： （1）在图1中，作一个等腰直角三角形ABD； （2）在图2中，作出△ABC的外心O． 16．为传承中华优秀传统文化，深挖经典诗文的文化内涵、人文底蕴与艺术魅力，借滕王阁、琵琶亭、岳阳楼、剑门关等景区相继推出的“经典诗文背诵免门票”活动契机，某校语文老师在班级开展《滕王阁序》《琵琶行》《岳阳楼记》《蜀道难》四首诗文（分别用A，B，C，D表示）的背诵比赛，比赛要求参赛者从四首诗文中随机抽取一首背诵，小贾与小许均参与本次比赛．（四大名楼：滕王阁、岳阳楼、鹳雀楼、黄鹤楼） （1）小贾抽到与四大名楼有关的诗文的概率是　 　 ； （2）请用画树状图或列表法，求小贾和小许至少有一人抽中与四大名楼有关的诗文的概率． 17．如图1，等边△ABC内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D． （1）可以证明CD垂直平分AB，写出与的数量关系：　 　 ． （2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图： ①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； ②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝2与y轴交于点M，与反比例函数的图象交于点A（4，2）． （1）求反比例函数的解析式和△AOM的面积； （2）在x轴上取一点B，使OA＝2AB，求直线AB的函数解析式． 19．如图1，这是一栋别墅的俯视图，其平面示意图大致为图2，点A，B，C在一条直线上，AB＝4m，DE＝6m，AF＝42m，∠CDE＝85°，∠BEF＝53°，AC⊥CD，AF⊥EF．（参考数据：sin85°≈1.00，cos85°≈0.09，tan85°≈11.43，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，结果保留小数点后一位有效数字） （1）求A，C两点间的距离； （2）求点F到CD的距离． 20．等腰△ABC中，AB＝AC，点O为BC边中点，如图1，以O为圆心作圆与AB相切于点M． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）如图2，点D为⊙O上一点，∠AMD＝40°，连接DO并延长交⊙O于点N．若⊙O半径为3，求弧MN的长度． 21．人形机器人的表现让人们深切感受到了人工智能的飞速发展．开学初，某学校为了解该校学生对人形机器人的了解程度，对全校学生进行测试，现从七、八年级学生中分别随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用x表示，且得分为整数，共分为5组．A组：90≤x≤100，B组：80≤x＜90，C组：70≤x＜80，D组：60≤x＜70，E组：0≤x＜60，下面给出了部分信息． 八年级被抽取的学生测试得分中B组的所有数据为88，88，85，88，88，84，89，88． 七年级被抽取学生测试得分统计表 组别 分数/分 频数 A 90≤x≤100 a B 80≤x＜90 8 C 70≤x＜80 3 D 60≤x＜70 2 E 0≤x＜60 3 平均数 众数 中位数 七年级 78分 87分 84分 八年级 78分 b分 c分 请根据以上提供的信息，解答下列问题． （1）上述图表中，a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中哪个年级的学生对人形机器人的了解程度较好？请说明理由； （3）测试中等级为B及B以上说明学生对人形机器人的了解程度就达标．该校七、八年级共有学生2400人，估计该校七、八年级中达标的学生共有多少人？ 22．背景材料 2026年南昌市体育与健康学业水平考试新增乒乓球选考项目．训练时，发球机以固定频率向考生连续供球，考生将球回击到对面台面．已知乒乓球台台面长2.8m，球网高0.15m，球网位于台面中线． 数学建模 如图，以出球口垂直端线上的投影点O为原点，以端线为x轴，竖直方向为y轴建立如右坐标系．发球点距离台面高度为hm，发射的水平速度是vm/s，乒乓球飞行过程中距离台面的竖直高度y与水平移动的距离x之间的关系式是． 解决问题 当v＝7m/s时，乒乓球恰好经过点，乒乓球落在台面后进行反弹，反弹后的运动轨迹也是抛物线，其顶点位于第一次落点正前方0.4m，且距离台面的高度为0.2m处． （1）求h值； （2）求反弹后抛物线的解析式； （3）判定此时学生在距离底线外0.2m，不低于桌面处是否能接住球？并说明理由； （4）保持v＝7m/s不变，改变发球点的高度h．若乒乓球既要过网（含擦网）又要落在桌面上（含底线），直接写出h的取值范围． 23．综合与实践 （1）一．知识呈现：如图（1），在△ABC中，E、D分别是AB、AC的中点，则DE与BC的数量关系是　 　 ． （2）二．知识应用 易老师在复习课上布置这样一题让学生思考： 如图（2），在正方形ABCD中，AB＝8，点E、F分别是AB、BC上的一点，连接CE、DF，点M、N分别是CE、DF的中点，连接MN．若BE＝2，CE⊥DF，求MN的长． 各小组展开激烈的讨论： ①小华小组讨论得出：由CE⊥DF可证出△BEC≌△CFD，从而得出BE＝CF＝2； ②小颖小组继续陈述讨论结果：连接CN并延长交AD于点H，通过证明△CNF≌△HND得出HD＝CF＝2，HN＝CN，且点M为CE的中点．再连接EH，可得． ③小新小组很快得出：通过在Rt△AEH中求出EH的长度达到求MN的目的，则MN＝　 　 ． 请你写出①的证明过程，并计算出③的结果． （3）三．类比拓展 如图（3），在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，点E、F分别在边AB、BC上，连接CE、DF，点M、N分别是CE、DF的中点，连接MN．若BE＝5，CE⊥DF，求MN的长． （4）四．问题解决 学校植物园有一块如图（4）所示的四边形草坪，已知AD∥BC，AB＝AD＝CD＝60m，∠ABC＝∠DCB＝60°，现有一笔直小路CE，BE＝40m，若要从点D到边BC之间修另一笔直小路DF，且DF与CE所夹的锐角为60°，现要在这两条路的中间处分别安装一个喷水头M、N，求在M、N之间铺设水管MN的长度，请直接写出MN的长． 江西省押题卷-2026年江西省初中学业水平考试数学押题卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．下列各数中是无理数的是（　　） A． B． C．0.128 D．2π 【解答】解：A、是分数，不是无理数，本选项不符合题意； B、是整数，不是无理数，本选项不符合题意； C、0.128是有限小数，不是无理数，本选项不符合题意； D、2π是无理数，本选项符合题意． 故选：D． 2．窗棂体现了我国古代建筑之美，既有几何之规整，又有自然之灵秀，下面是关于窗棂的一些图片，其中不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、该图形是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，符合题意； C、该图形是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 3．【解答】解：由题干图可知，几何体的主视图是． 故选：B． 4．学校食堂为了优化午餐供应，希望了解全校学生“最喜欢的午餐菜品”．你认为以下抽样方法中比较合理的是（　　） A．调查全体走读生 B．调查校篮球队全体队员 C．调查七年级全体学生 D．调查各年级中的部分学生 【解答】解：A仅调查走读生，遗漏住校生群体，样本不具有代表性，方法不合理； B仅调查校篮球队队员，样本群体特殊，不具有全校代表性，方法不合理； C仅调查七年级学生，遗漏其他年级学生，样本不具有广泛性，方法不合理； D调查各年级中的部分学生，样本覆盖不同年级群体，具有代表性和广泛性，方法合理； 故选：D． 5．蜜蜂构建的蜂巢展现出了正六边形的精巧设计，如图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的蜂巢结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，第④个图案用了35根小棒，…，按此规律排列下去，第⑧个图案用的小棒根数是（　　） A．59 B．76 C．67 D．96 【解答】解：第①个图案用了11根小棒， 第②个图案用了19根小棒， 第③个图案用了27根小棒， 第④个图案用了35根小棒， …， ∴第⑧个图案用的小棒根数是3+8×8＝67． 故选：C． 6．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，CE＝DF＝1，DE，AF交于点G，点H为AE的中点，连接GH，则GH的长为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝4， ∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AD＝DC＝AB＝BC＝4， ∵CE＝DF＝1， ∴BE＝BC﹣CE＝4﹣1＝3， 在Rt△ABE中，， 在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（SAS）， ∴∠DAF＝∠CDE， ∵∠CDE+∠ADG＝90°， ∴∠DAF+∠ADG＝90°， ∴∠AGD＝180°﹣（∠DAF+∠ADG）＝90°， ∴∠AGE＝90°，即△AGE是直角三角形， ∵点H为AE的中点， ∴． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 7．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x＞2　 ． 【解答】解：依题意，得 x﹣2＞0， 解得x＞2． 故答案为：x＞2． 8．分解因式：2x2﹣8x+8＝　2（x﹣2）2 ． 【解答】解：原式＝2（x2﹣4x+4） ＝2（x﹣2）2． 故答案为2（x﹣2）2． 9．如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，则∠BAC＝　22.5　 °． 【解答】解：根据多边形的内角与外角可知： ， ∴． 故答案为：22.5． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（0，2），点P是坐标轴的正半轴上的一点，若射线AP、AB、AO构成轴对称图形，则线段OP的长为　2或4或4﹣2　 ． 【解答】解：当P在x轴上时， ∵A（2，2），B（0，2）， ∴OB＝2， ∵射线AP、AB、AO构成轴对称图形， ∴OP＝OB＝2； 当P在y轴上时， 或 可求出OP＝4或4﹣2； ∴线段OP的长为2或4或4﹣2 故答案为：2或4或4﹣2． 11．《九章算术》中记载：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷价钱一万．问善、恶田各几何？”其大意是：今有好田1亩，价值300钱；坏田7亩，价值500钱．今共买好、恶田各1顷（1顷＝100亩），价钱10000钱．问好、坏田各买了多少亩？设好田买了x亩，坏田买了y亩，根据题意可列方程组为 　　 ． 【解答】解：依题意有：． 故答案为：． 12．如图，点D为等边三角形ABC的中点，连接AD，将△ABD绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△A′B′D，边A′B′、A′D分别与AC交于点E、F，当△A′EF的内角∠A′EF是与另两个内角中的一个存在两倍关系时，α的度数为　20°或60°或70°　 ． 【解答】解：∵点D为等边三角形ABC的中点， ∴，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°， ∵将△ABD绕点D顺时针旋转α得到△A′B′D， ∴∠EA′F＝∠BAD＝30°，∠A′B′D＝∠ABD＝60°， ∴∠A′EF+∠EFA′＝180°﹣∠EA′F＝150°． ①当∠A′EF＝2∠EA′F＝60°时， ∠A′FE＝180°﹣∠EA′F﹣∠A′EF＝90°， ∴∠DFC＝∠A′FE＝90°， ∵∠C＝60°， ∴∠FDC＝180°﹣∠DFC﹣∠C＝30°， ∵∠B′DF＝∠BDA＝90°， ∴α＝∠B′DB＝180°﹣∠B′DA′﹣∠FDC＝60°； ②当时， ∠A′FE＝180°﹣∠EA′F﹣∠A′EF＝135°， ∴∠DFC＝∠A′FE＝135°， ∵∠C＝60°， ∴∠FDC＝180°﹣∠DFC﹣∠C＝﹣15°， 与实际情况矛盾，不符题意，舍去； ③当∠A′EF＝2∠EFA′时， ∵∠A′EF+∠EFA′＝150°，∠A′EF＝2∠EFA′， ∴∠A′EF＝100°，∠EFA′＝50°， ∴∠DFC＝EFA′＝50°， ∵∠C＝60°， ∴∠FDC＝180°﹣∠DFC﹣∠C＝70°， ∴α＝∠B′DB＝180°﹣∠B′DA′﹣∠FDC＝20°； ④当时， ∵∠A′EF+∠EFA′＝150°，， ∴∠A′EF＝50°，∠EFA′＝100°， ∴∠DFC＝EFA′＝100°， ∵∠C＝60°， ∴∠FDC＝180°﹣∠DFC﹣∠C＝20°， ∴α＝∠B′DB＝180°﹣∠B′DA′﹣∠FDC＝70°； 综上，α的度数为20°或60°或70°， 故答案为：20°或60°或70°． 三．解答题（共11小题） 13．解答下列各题： （1）计算：； （2）如图，把一张长方形纸片沿EF折叠，已知∠2＝74°，求∠1的度数． 【解答】解：（1）原式 ； （2）如图， 由折叠可得∠3＝∠4， 由长方形可得AD∥BC， ∴∠4＝∠2＝74°， ∴∠1＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣74°﹣74°＝32°． 14．先化简：，再从﹣1，0，1，2这四个数中选一个你最喜欢的a值代入求值． 【解答】解：原式 ， 根据题意得：a﹣1≠0且a+1≠0， ∴a≠±1， 当a＝0时，原式； 或当a＝2时，原式． 15．如图在正方形的网格中，点A、B、C均为格点，请仅用无刻度直尺完成下列作图： （1）在图1中，作一个等腰直角三角形ABD； （2）在图2中，作出△ABC的外心O． 【解答】解：（1）如图，三角形ABD即为所求的等腰直角三角形， ∵AD2＝12+32＝10，AB2＝12+32＝10，BD2＝22+42＝20， ∴AD＝AB，AD2+AB2＝BD2， ∴三角形ABD是等腰直角三角形； （2）取格点M，N，连接MN，取格点E，F，连接EF，交AB于点D，取格点G，连接DG，交MN于点O，如图，点O即为所求的△ABC的外心O． ∵四边形ANCM是正方形， ∴MN垂直平分AC， ∵四边形AEBF是矩形， ∴点D是AB的中点． ∵AG2＝BG2＝12+22＝5， ∴AG＝BG， ∴DG垂直平分AB， ∴点O是△ABC的外心． 16．为传承中华优秀传统文化，深挖经典诗文的文化内涵、人文底蕴与艺术魅力，借滕王阁、琵琶亭、岳阳楼、剑门关等景区相继推出的“经典诗文背诵免门票”活动契机，某校语文老师在班级开展《滕王阁序》《琵琶行》《岳阳楼记》《蜀道难》四首诗文（分别用A，B，C，D表示）的背诵比赛，比赛要求参赛者从四首诗文中随机抽取一首背诵，小贾与小许均参与本次比赛．（四大名楼：滕王阁、岳阳楼、鹳雀楼、黄鹤楼） （1）小贾抽到与四大名楼有关的诗文的概率是　　 ； （2）请用画树状图或列表法，求小贾和小许至少有一人抽中与四大名楼有关的诗文的概率． 【解答】解：（1）∵四首诗文中与四大名楼有关的诗文共2首，总共有4首等可能的抽取结果， ∴小贾抽到与四大名楼有关的诗文的概率为； 故答案为：； （2）根据题意，列出表格如下： A B C D A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） 一共有16种等可能性的结果数，其中小贾和小许至少有一人抽中与四大名楼有关的诗文的结果数12种， ∴小贾和小许至少有一人抽中与四大名楼有关的诗文的概率是． 17．如图1，等边△ABC内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D． （1）可以证明CD垂直平分AB，写出与的数量关系：　　 ． （2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图： ①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）； ②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． 【解答】解：（1）， ∵O为三角形的外心， ∴O为三角形三边中垂线的交点， ∵三角形是等边三角形， ∴CD垂直平分AB， 根据垂径定理得：， 故答案为：； （2）①如图所示，在（1）的基础上，连接OA，并延长至E，连接BO，并延长至F，顺次连接圆周上各点即可； ②如图所示：延长AF和EC交于点P，过点O和点P作直线即可（方法不是唯一）． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝2与y轴交于点M，与反比例函数的图象交于点A（4，2）． （1）求反比例函数的解析式和△AOM的面积； （2）在x轴上取一点B，使OA＝2AB，求直线AB的函数解析式． 【解答】解：（1）由条件可得：k＝4×2＝8， ∴反比例函数的解析式为； ∵直线l：y＝2与y轴交于点M，与反比例函数的图象交于点A（4，2）， ∴M（0，2），AM⊥y轴， ∴OM＝2，AM＝4， ∴△AOM的面积为． （2）设点B的坐标为（m，0）， ∴OA2＝（4﹣0）2+（2﹣0）2＝20，AB2＝（m﹣4）2+（0﹣2）2＝（m﹣4）2+4， ∴OA2＝4AB2，即4[（m﹣4）2+4]＝20， 解得m＝3或m＝5， ∴点B的坐标为（3，0）或（5，0）， 设直线AB的函数解析式为y＝ax+b（a≠0）， ①将点A（4，2），B（3，0）代入得： ，解得， ∴直线AB的函数解析式为y＝2x﹣6； ②将点A（4，2），B（5，0）代入得： ，解得， ∴直线AB的函数解析式为y＝﹣2x+10； 综上所述，直线AB的函数解析式为y＝2x﹣6或y＝﹣2x+10． 19．如图1，这是一栋别墅的俯视图，其平面示意图大致为图2，点A，B，C在一条直线上，AB＝4m，DE＝6m，AF＝42m，∠CDE＝85°，∠BEF＝53°，AC⊥CD，AF⊥EF．（参考数据：sin85°≈1.00，cos85°≈0.09，tan85°≈11.43，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，结果保留小数点后一位有效数字） （1）求A，C两点间的距离； （2）求点F到CD的距离． 【解答】解：（1）如图，过点E作EG⊥CD于点G． 则BC＝EG， ∵， ∴EG＝ED•sin∠GDE， ∵DE＝6m，∠CDE＝85°， ∴EG＝6sin85°≈6×1.00＝6.0（m）， ∴BC＝6.0m， ∵AB＝4m， ∴AC＝AB+BC＝4+6.0＝10.0m． （2）如图，过点F作FM⊥AH于点M，过点A作AH∥BE交EF于点H， ∵∠BEH＝53°，AH∥BE， ∴∠AHF＝∠BEH＝53°， ∵AF⊥EF， ∴∠AMF＝∠HMF＝90°， ∴∠MFH＝90°﹣53°＝37°， ∴∠AFM＝90°﹣37°＝53°， ∵AF＝42m，， ∴FM＝42cos53°≈42×0.60＝25.2（m）， ∴点F到CD的距离为25.2+10.0＝35.2（m）． 20．等腰△ABC中，AB＝AC，点O为BC边中点，如图1，以O为圆心作圆与AB相切于点M． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）如图2，点D为⊙O上一点，∠AMD＝40°，连接DO并延长交⊙O于点N．若⊙O半径为3，求弧MN的长度． 【解答】（1）证明：作OE⊥AC于点E，连接OM，OE， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AB是⊙O的切线，OE⊥AC， ∴∠BMO＝∠CEO＝90°， ∵O是BC中点， ∴OC＝OB， ∴△BMO≌△CEO（AAS）， ∴OE＝OM，即OE是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：连接MN，OM， ∵AB是⊙O的切线，∠AMD＝40°， ∴∠AMO＝90°， ∴∠OMD＝90°﹣∠AMD＝50°， ∵DN是⊙O的直径， ∴∠DMN＝90°， ∴∠OMN＝90°﹣∠OMD＝40°， ∵OM＝ON， ∴∠OMN＝∠ONM＝40°， ∴∠MON＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∵⊙O半径为3， ∴弧MN的长度． 21．人形机器人的表现让人们深切感受到了人工智能的飞速发展．开学初，某学校为了解该校学生对人形机器人的了解程度，对全校学生进行测试，现从七、八年级学生中分别随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用x表示，且得分为整数，共分为5组．A组：90≤x≤100，B组：80≤x＜90，C组：70≤x＜80，D组：60≤x＜70，E组：0≤x＜60，下面给出了部分信息． 八年级被抽取的学生测试得分中B组的所有数据为88，88，85，88，88，84，89，88． 七年级被抽取学生测试得分统计表 组别 分数/分 频数 A 90≤x≤100 a B 80≤x＜90 8 C 70≤x＜80 3 D 60≤x＜70 2 E 0≤x＜60 3 平均数 众数 中位数 七年级 78分 87分 84分 八年级 78分 b分 c分 请根据以上提供的信息，解答下列问题． （1）上述图表中，a＝　4　 ，b＝　88　 ，c＝　84.5　 ； （2）根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中哪个年级的学生对人形机器人的了解程度较好？请说明理由； （3）测试中等级为B及B以上说明学生对人形机器人的了解程度就达标．该校七、八年级共有学生2400人，估计该校七、八年级中达标的学生共有多少人？ 【解答】解：（1）a＝20﹣8﹣3﹣2﹣3＝4； 八年级C，D，E组的频数分别为20%×20＝4，15%×20＝3，10%×20＝2， B组中88出现5次，次数最多，所以众数b＝88分； 将八年级B组的数据重新排列为84，85，88，88，88，88，88，89， 八年级C，D，E组的频数和是4+3+2＝9， 所以中位数（分）， 故答案为：4，88，84.5； （2）八年级学生对人形机器人的了解程度较好，因为七年级和八年级的平均分相同，八年级的中位数大，所以说明八年级学生的高分人数要多于七年级学生，所以八年级学生对人形机器人的了解程度较好； （3）， 所以该校七，八年级中达标的学生共有1380人． 22．背景材料 2026年南昌市体育与健康学业水平考试新增乒乓球选考项目．训练时，发球机以固定频率向考生连续供球，考生将球回击到对面台面．已知乒乓球台台面长2.8m，球网高0.15m，球网位于台面中线． 数学建模 如图，以出球口垂直端线上的投影点O为原点，以端线为x轴，竖直方向为y轴建立如右坐标系．发球点距离台面高度为hm，发射的水平速度是vm/s，乒乓球飞行过程中距离台面的竖直高度y与水平移动的距离x之间的关系式是． 解决问题 当v＝7m/s时，乒乓球恰好经过点，乒乓球落在台面后进行反弹，反弹后的运动轨迹也是抛物线，其顶点位于第一次落点正前方0.4m，且距离台面的高度为0.2m处． （1）求h值； （2）求反弹后抛物线的解析式； （3）判定此时学生在距离底线外0.2m，不低于桌面处是否能接住球？并说明理由； （4）保持v＝7m/s不变，改变发球点的高度h．若乒乓球既要过网（含擦网）又要落在桌面上（含底线），直接写出h的取值范围． 【解答】解：（1）∵当v＝7m/s时，乒乓球恰好经过点， ∴将v＝7m/s，代入得，， 解得； （2）第一次落点：令y＝0，由得x2＝4， 解得x＝2或x＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴第一次落点为（2，0）； ∵反弹后其顶点位于第一次落点正前方0.4m，且距离台面的高度为0.2m处， ∴反弹后其顶点的纵坐标为：0+0.2＝0.2，横坐标为：2+0.4＝2.4， 设反弹后的抛物线的顶点式为：y＝a（x﹣2.4）2+0.2， 将（2，0）代入y＝a（x﹣2.4）2+0.2得，0＝a（2﹣2.4）2+0.2， 解得， ∴， ∴； （3）∵学生接球位置在距离底线外0.2m，乒乓球台台面长2.8m， ∴学生接球位置x＝2.8m+0.2m＝3.0m， 将x＝3.0代入反弹后的抛物线的解析式为：， ∵y＝﹣0.25＜0， ∴此时球已低于桌面高度， ∴学生在距离底线外0.2m，不低于桌面处不能接住球； （4）保持v＝7m/s不变，改变发球点的高度h，则： 球过网条件为：乒乓球台台面长的一半，即；不低于球网，即y≥0.15m； ∴， 解得h≥0.35； 球同时还要满足落在乒乓球台台面上： 令y＝0，则， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 由题意，得， 解得0.2≤h≤0.8； 综上，h的取值范围为：0.35≤h≤0.8． 23．综合与实践 （1）一．知识呈现：如图（1），在△ABC中，E、D分别是AB、AC的中点，则DE与BC的数量关系是　　 ． （2）二．知识应用 易老师在复习课上布置这样一题让学生思考： 如图（2），在正方形ABCD中，AB＝8，点E、F分别是AB、BC上的一点，连接CE、DF，点M、N分别是CE、DF的中点，连接MN．若BE＝2，CE⊥DF，求MN的长． 各小组展开激烈的讨论： ①小华小组讨论得出：由CE⊥DF可证出△BEC≌△CFD，从而得出BE＝CF＝2； ②小颖小组继续陈述讨论结果：连接CN并延长交AD于点H，通过证明△CNF≌△HND得出HD＝CF＝2，HN＝CN，且点M为CE的中点．再连接EH，可得． ③小新小组很快得出：通过在Rt△AEH中求出EH的长度达到求MN的目的，则MN＝　3　 ． 请你写出①的证明过程，并计算出③的结果． （3）三．类比拓展 如图（3），在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，点E、F分别在边AB、BC上，连接CE、DF，点M、N分别是CE、DF的中点，连接MN．若BE＝5，CE⊥DF，求MN的长． （4）四．问题解决 学校植物园有一块如图（4）所示的四边形草坪，已知AD∥BC，AB＝AD＝CD＝60m，∠ABC＝∠DCB＝60°，现有一笔直小路CE，BE＝40m，若要从点D到边BC之间修另一笔直小路DF，且DF与CE所夹的锐角为60°，现要在这两条路的中间处分别安装一个喷水头M、N，求在M、N之间铺设水管MN的长度，请直接写出MN的长． 【解答】（1）解：∵E、D分别是AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴， 故答案为：； （2）①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠BCD＝90°，BC＝CD， ∵CE⊥DF， ∴∠CFD＝90°﹣∠BCE＝∠BEC， ∴△BEC≌△CFD（AAS）， ∴BE＝CF＝2； ③解：连接CN 并延长交 AD 于点 H，连接EH， 由②可得 ． ∵AB＝AD＝8，BE＝HD＝2， ∴AE＝AH＝8﹣2＝6， 在直角三角形AEH中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：3； （3）解：如图3，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，连接CN并延长交AD于点H，连接EH， ∴∠B＝∠BCD＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，AD∥BC， ∵CE⊥DF， ∴∠CFD＝90°﹣∠BCE＝∠BEC， ∴△BEC∽△CFD， ∴， ∴， 解得：CF＝3（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ∵AD∥BC， ∴∠HDN＝∠CFN， ∵N是DF 的中点， ∴DN＝NF， 在△HND和△CNF中， ， ∴△HND≌△CNF（ASA）， ∴HD＝CF＝3， ∵BE＝5，AD＝10， ∴AE＝AB﹣BE＝1，AH＝AD﹣DH＝7， 在Rt△AEH中，由勾股定理得：， ∵点M、N 分别是CE、DF 的中点， ∴MN是△CEH的中位线， ∴； （4）解：MN的长为．理由如下： 如图4，过点D作DK∥AB于点K， ∵AD∥BC，则AD∥BK， ∴四边形ABKD是平行四边形， 又∵AB＝AD， ∴四边形ABKD是菱形， ∴DK＝AD＝AB＝BK＝60m， ∴DK＝DC， 又∵∠DCB＝60°， ∴△DKC是等边三角形， ∴KC＝DC＝60m， ∴BC＝BK+KC＝120m， 如图5，设DF，CE的交点为G， 依题意，∠EGD＝60°， ∵∠ABC＝∠DCB＝60°， ∵∠DCE+∠BCE＝∠DCB＝60°，∠EGD＝∠CDF+∠DCE＝60°， ∴∠BCE＝∠CDF， ∴△BCE∽△CDF， ∴， ∴， 解得：CF＝20（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， 同理（3）可得△CNF≌△HND， ∴HD＝CF＝20m， ∴AH＝AD﹣HD＝60﹣20＝40（m）， 过点E作ET⊥AD于点T，如图6， ∵AD∥BC，∠ABC＝60°， ∴∠TAE＝60°， ∵AE＝AB﹣BE＝60﹣40＝20（m）， ∴m， 在直角三角形AET中，由勾股定理得：m， ∴TH＝TA+AH＝10+40＝50（m）， 在Rt△HET中，由勾股定理得：（m）， ∵点M、N 分别是CE、DF 的中点， ∴MN是△CEH的中位线， ∴m． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $