2 江西省2025年初中学业水平考试 数学变式卷 (考法创新)（Word版）-【超级考卷】2026年中考数学模拟试题汇编（江西专用）

**基本信息** 江西省2025中考数学变式卷以跨学科融合与真实情境为特色，覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率等核心知识，通过分层设计考查抽象能力、几何直观与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|实数比较、中心对称图形、统计量选择|跨生物学考查S形曲线分析，体现数学眼光观察现实世界| |填空题|6/18|因式分解、正多边形内角、分式方程|结合人民币硬币设计几何计算，关联生活实际| |解答题|11/84|函数综合、解直角三角形、统计分析|以空调送风距离、体重管理等情境设计探究题，考查模型观念与应用意识|

江西省2025年初中学业水平考试 数学变式卷（考法创新） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. 3.14 D. 2. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 某线上自习室统计了9名学生自主设置的“专注模式”时长数据（单位：分钟）：30，40，40，55，40，40，95，40，25．若平台想推荐默认时长，那么最合适的方式是（ ） A. 把众数40分钟作为默认时长 B. 把最少时间25分钟作为默认时长 C. 把平均数45分钟作为默认时长 D. 把最长时间95分钟作为默认时长 5. 如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的右上端剪去一个直径为1的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪去的半圆的半径)得到图形P3、P4…Pn…,记纸板Pn的面积为Sn，则Sn-Sn+1的值为( ) A. B. C. D. 跨生物学学科 6. 生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量随时间的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（ ） A. 第5天的种群数量为300个 B. 前3天种群数量持续增长 C. 第3天的种群数量达到最大 D. 每天增加的种群数量相同 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 化简：______． 8. 因式分解： =__________． 9. 如图是第四套人民币中的菊花一角硬币，该硬币边缘镌刻一个正九边形，若直线，与正九边形的两条边重合，则______． 10. 不等式组的解集为___________． 11. 五一期间，来自四面八方的游客来青岛游玩，一家实体店购进两种纪念品进行销售．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵7元；用450元购进甲纪念品的数量是用500元购进乙纪念品的数量的倍．若设甲种纪念品的进价为x元，则可列方程为_____ 12. 如图，在平面直角坐标系中，轴于点A，，，点P是x轴上一点．若三线中，有一条线平分另外两条线所组成的角，则点P的坐标为________ 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）如下图，，OE平分，CF平分．求证：． 注重学习过程 14. 下面是小丹同学计算分式的过程．请认真阅读，完成下列任务： 解：原式第一步 第二步 第三步 ．第四步 （1）①第一步变形采用的方法是_________； ②第_________步出现错误． （2）请写出正确的结果：_________．当时，求该代数式的值． 15. 如图，内接于，是直径，是的中点．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作出边上的中线． （2）在图2中作出等腰三角形，使得． 16. 在学校举办的青春仪式上，班主任张老师准备了A，B，C，D四张看上去无差别的卡片，上面分别写着“志存高远”、“锲而不舍”、“勇往直前”、“百炼成钢”． （1）甲同学从中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上写着“勇往直前”的概率为______； （2）若甲同学随机抽取一张卡片后放回，乙同学再从中随机抽取一张，求两人抽到写有不同词语卡片的概率． 17. 已知四边形ABCD内接于，AB为的直径，E是AB延长线上一点，连接AC，CE． （1）如图①，若CE交于点F，，求和的大小． （2）如图②，若CE与相切于点C，交EC的延长线于点P，，求PC的长度． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与坐标轴交于、两点，连接，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图像只有一个交点？ 19. 某校“综合实践”小组开展项目式学习活动，记录如下： 活动纪录表 活动内容 探究卧室空调的相关数据 工具准备 皮尺、测角仪等 过程资料 卧室示意图 相关数据及说明 空调位于床头正上方，A为空调出风口，空调底部垂直于墙面，床头紧贴墙面，床截面为矩形，书桌正对床尾贴墙放置．已知空调底部，床长，床高，此款空调舒适送风的直线距离范围为3～5m． 测量1：当空调导风板所在的直线与竖直方向的夹角为时，空调风恰好从床沿G处经过，到达地面F处． 测量2：导风板从位置顺时针旋转后，空调风刚好吹到书桌边缘I处．此时I到F处的水平距离的长为． 成果梳理 … 请根据记录表提供的信息完成下列问题： （1）求空调出风口A到地面的距离； （2）请通过计算说明空调出风口到书桌的直线送风距离是否在舒适范围内．（结果精确到0.1m，参考数据，，，，） 20. 情境某饮品店新推出“时光相交线”和“心灵平行线”两款饮品（以下简称A，B两种款式），王老师去该店购买这两种款式的饮品作为给学生的奖品． 素材 若买3杯A款饮品、2杯B款饮品，共需54元；若买2杯A款饮品、3杯B款饮品，共需56元． 任务 （1）问A款饮品和B款饮品的销售单价各是多少元？ （2）若王老师共购买20杯饮品，总费用不超过230元，问最多买B种款饮品多少杯？ 探究 （3）为了满足市场的需求，饮品店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．嘉琪也在该店购买饮品，恰好用260元购买A，B两款饮品（每款及每款加料和不加料都要有），其中A款不加料的杯数是两款饮品总杯数的．直接写出购买B款加料的饮品的杯数． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 根据国家卫生健康委等16个部门联合印发的《“体重管理年”活动实施方案》有关要求，2025年将持续推进“体重管理年”活动．目前，国际上常用身体质量指数（）来衡量胖瘦程度，其计算公式是，数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖； 为肥胖．某单位随机抽取50名员工，测得他们的身高、体重数据，将所得数据进行了整理、描述． 【整理数据】 根据样本的数据分成A，B，C，D四个组进行整理，如下表： 组别 A B C D BMI 人数 8 m n 12 【描述数据】根据数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 【分析数据】 （1）填空：______，______； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是______°； （4）该单位总人数为300人，请估计其中体重偏胖（）的人数是多少？ 22. 综合与实践 【问题情境】 某数学兴趣小组开展数学活动，探索绳子垂下时形状的变化．如图1是一个伸缩扣，通过它可自由调节绳子的长度．如图2是一个单杠的示意图，，，单杠的高度，单杠的长为， 将一条带有伸缩扣的绳子两端系于单杠上的点E，F处 ，，绳子自然下垂时近似成抛物线形，此时绳子的最低点到地面的距离为， 抛物线记为． 兴趣小组以A点为原点建立如图3所示的平面直角坐标系．    （1）求抛物线 的函数表达式． （2）小明站在单杠下竖直向上伸手，手到地面的距离为， 此时刚好接触到绳子，求小明到立柱的距离． 【拓展探究】 兴趣小组将绳子两端E，F分别向A，D滑动，每次滑动距离均为， 直至绳子两端分别到达点A，D 处停止，滑动过程中通过调节绳子的长度保持抛物线的形状一致，依次得到抛物 线… … （3）当滑动第n次时，绳子的最低点与单杠的距离是多少？用含n 的代数式表示． （4）兴趣小组探究之间的特殊位置关系时，发现直线 与三条抛物线组成的图形只有三个交点，直接写出m的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 【问题发现】 （1）①如图1，求证：； ②如图1，四边形的面积为______；线段，，之间的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，点O是矩形对角线的中点，点O又是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，有一个菱形菜园，，为人行步道，且交于点O，现要在菜园的右下角建一四边形储藏间．已知点E在上，点F在上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园围一圈篱笆，请直接写出需要篱笆多少米？ 江西省2025年初中学业水平考试 数学变式卷（考法创新） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 【1题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】先对无理数和分数进行估算，再根据实数比较大小的方法进而比较可得答案． 【详解】解：∵， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法是解题的关键． 【2题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【详解】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．图案是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误； B．图案是轴对称图形，也是中心对称图形，错误； C．图案不是轴对称图形，也不是中心对称图形，错误； D．图案是中心对称图形，不是轴对称图形，正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念． 【4题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数、平均数、中位数等知识，选择众数作为默认时长最合适，因它代表多数学生的设置，而平均数受极端值影响． 【详解】解：将时长数据从小到大排列为25，30，40，40，40，40，40，55，95． 中间的数为40，故中位数为40分钟， 40出现次数最多（5次），故众数为40分钟， 总和为，平均数为分钟， A（众数40）：反映多数学生的选择，适合作为默认值， B（最小值25）、D（最大值95）：均为极端值，不符合普遍需求， C（平均数45）：受极端值95影响偏高，偏离多数设置， 综上，众数40最符合平台推荐需求， 故选：A． 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案． 【详解】根据题意得，n≥2, S1=π×12=π， S2=π﹣π×（）2， … Sn=π﹣π×（）2﹣π×[（）2]2﹣…﹣π×[（）n﹣1]2， Sn+1=π﹣π×（）2﹣π×[（）2]2﹣…﹣π×[（）n﹣1]2﹣π×[（）n]2， ∴Sn﹣Sn+1=π×（）2n=（）2n+1π． 故选C． 【点睛】考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力． 跨生物学学科 【6题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取相关信息，认真读题，分析每个阶段的函数图象是解题的关键．根据图像，逐项分析即可得出结论． 【详解】解：A. 第5天的种群数量在之间，选项说法错误，故不符合题意； B. 前3天种群数量持续增长，选项说法正确，故符合题意； C. 第5天的种群数量达到最大，选项说法错误，故不符合题意； D. 由图可得，每天增加的种群数量不相同，选项说法错误，故不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 【7题答案】 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可． 【详解】解：因为32=9， 所以=3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方． 【8题答案】 【答案】（x+4）（x-4） 【解析】 【分析】 【详解】x2-16=(x+4)(x-4)， 故答案为：(x+4)(x-4) 【9题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多边形内角与外角、三角形的内角和定理，先求出，然后通过三角形内角和定理即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵硬币边缘镌刻一个正九边形， ∴， ∴， 故答案为：． 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解： 由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 故答案为： 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设甲种纪念品的进价为元，则可列方程，明确题意，准确得到数量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲种纪念品的进价为元， 根据题意得，， 故答案为：． 【12题答案】 【答案】或或 【解析】 【分析】先根据含30度直角三角形的性质得出，．再分三种情况，分别画出图形利用含30度直角三角形的性质，等腰三角形的判定以及性质以及角平分线的性质定理求解即可． 【详解】解：，， ，． ①如答图1，当平分时，． ， ． ， ②如答图2，当平分时， 则， ， ③如答图3，当平分时， 过点P作于点C， 则． ， ， 故答案为：，或 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，角平分线的定义以及角平分线的性质，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的判定以及性质，勾股定理等知识，学会分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 【13题答案】 【答案】（1）4（2）见解析 【解析】 【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简以及绝对值的运算，需要分别根据各自的运算法则进行计算，再按照实数的运算法则得出结果； 本题涉及平行线的性质（两直线平行，内错角相等）以及角平分线的定义，通过角平分线得到角的关系，再利用平行线的性质进行角的转化，从而证明两角互补. 【详解】解：（1）原式 ． 故答案为：. （2）证明：， ． 平分，平分， ， ， ， ， ． 故答案为：. 【点睛】本题考查了零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简、绝对值的运算、平行线的性质与判定以及角平分线的定义，解题关键是熟练掌握各自的运算法则并准确计算以及熟练运用平行线的性质和判定定理，通过角的关系证明直线平行，再利用平行直线的性质证明角的关系. 注重学习过程 【14题答案】 【答案】（1）① 分解因式 ②四 （2），2 【解析】 【分析】本题考查的知识点为分式的化简求值，熟练掌握分式化简求值的方法是解题的关键； （1）先分析第一步变形所用的方法，在检查各步骤找出错误； （2）使用正确的化简分式方式并代入求值. 【小问1详解】 解：第一项分子符合完全平方公式，分母符合平方差公式， 第二项分母可以提公因式x， 所以第一步变形采用的方法是因式分解； 第三步分子进行计算应为：， 但是第四步分子为1， 所以出现错误的步骤是第四步. 【小问2详解】 解：正确结果为：， 当时，原式. 【15题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图、全等三角形的判定与性质、圆周角定理及其推论、三角形的中线、等腰三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接，，相交于点，连接并延长，交于点，利用重心可知即为所求． （2）在（1）的基础上，连接并延长，交于点，连接并延长，交的延长线于点，结合圆周角定理及其推论、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定可知，即为所求． 【小问1详解】 解：如图，连接，，相交于点，连接并延长，交于点， ∵是的中点，是的中点， ∴点是的重心， ∴为的边上的中线， 即为所求作； 【小问2详解】 解：如图，在（1）的基础上，连接并延长，交于点，连接并延长，交的延长线于点，连接， 可知为的边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 即等腰三角形为所求． 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了概率计算，列表法或画树状图求概率． （1）根据概率公式计算即可． （2）列出表格，得出总的情况数以及不同词语卡片的情况，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵一共有“志存高远”、“锲而不舍”、“勇往直前”、“百炼成钢”四张看上去无差别的卡片， ∴甲同学从中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上写着“勇往直前”的概率为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 志存高远 锲而不舍 勇往直前 百炼成钢 志存高远 （志存高远，志存高远） （锲而不舍，志存高远） （勇往直前，志存高远） （百炼成钢，志存高远） 锲而不舍 （志存高远，锲而不舍） （锲而不舍，锲而不舍） （勇往直前，锲而不舍） （百炼成钢，锲而不舍） 勇往直前 （志存高远，勇往直前） （锲而不舍，勇往直前） （勇往直前，勇往直前） （百炼成钢，勇往直前） 百炼成钢 （志存高远，百炼成钢） （锲而不舍，百炼成钢） （勇往直前，百炼成钢） （百炼成钢，百炼成钢） 一共有种情况，不同词语卡片有种， 故两人抽到写有不同词语卡片的概率：． 【17题答案】 【答案】（1）的度数是的度数是 （2）的长为4 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据三角形的外角的性质可求出； 再根据直径所对的圆周角是直角得，再由直角三角形两锐角互余可得； （2）连接，过作，得，再证明四边形是矩形，再由勾股定理去求解即可． 【小问1详解】 解：如图①，连接． 四边形内接于， ． ． ． 为的直径， ， ， 的度数是的度数是． 【小问2详解】 如图②，连接，作于点，则． 与相切于点， ． ， 四边形是矩形． 为的直径，， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题主要考查了圆周角的相关定理，切线的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 【18题答案】 【答案】（1）， （2）1或9 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数过点，，得，，再运用待定系数法求解即可； （2）设出平移后直线的解析式得，故，结合一元二次方程的根的判别式解答即可； 【小问1详解】 解：∵反比例函数过点，， ∴， 解得：，， 反比例函数解析式为：，点， ∵一次函数解析式过点，， ∴， 解得：． ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解： 设直线向下平移n个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点， 则平移后的解析式为， 联立两个函数得：， 整理得：， ， ∴，或， ∴直线向下平移1个单位长度或向下平移9个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点． 【19题答案】 【答案】（1） （2）在舒适范围内 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质等知识；构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作于点Q，则，；易得四边形是矩形，则；在中，利用正切函数关系可求得，从而求得空调出风口A到地面的距离； （2）过I作于点P，延长交于点M；在中利用正切函数关系可求得的长，从而得的长，易得四边形是矩形，得；在中，利用正弦函数关系求得的长，从而可判断是否是舒适范围内． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点Q， 则，； ∵四边形是矩形， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， 则，， ∴； 在中，，则， ∴； 即空调出风口A到地面的距离为； 答：空调出风口A到地面的距离为． 【小问2详解】 解：过I作于点P，延长交于点M，如图； 由（1）知，； 在中，， 则， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，，， ∴； 而， 即在舒适范围内； 答：空调出风口到书桌的直线送风距离是否在舒适范围内． 【20题答案】 【答案】（1）10元，12元；（2）15杯；（3）11杯 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组应用和一元一次不等式，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和找出数量关系列出一元一次不等式． （1）设A款饮品的销售单价是x元，B款饮品的销售单价是y元，根据买3杯A款，2杯B款，共需54元；若买2杯A款，3杯B款，共需56元列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买B款饮品杯，则购买A款饮品杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花230元，列出一元一次不等式，求出最大值即可； （3）设嘉琪购买的饮品中，A款不加料的饮品买了杯，A款加料的饮品和B款不加料的饮品共买了杯，则B款加料的饮品买了杯，根据恰好用了260元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】解：（1）设A款饮品的销售单价是元，B款饮品的销售单价是元，由题意得 解得 答：A款饮品的销售单价是10元，B款饮品的销售单价是12元． （2）设购买B款饮品杯，则购买A款饮品杯， 由题意可得，解得． 答：最多买B种款饮品15杯． （3）设嘉琪购买的饮品中，A款不加料的饮品买了杯，A款加料的饮品和B款不加料的饮品共买了杯，则B款加料的饮品买了杯，即杯， 由题意得，整理得． 因为b，c，均为正整数， 所以， 所以， 即B款加料的饮品买了11杯． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 【21题答案】 【答案】（1）20；10 （2）见解析 （3）72 （4）60人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图信息关联，样本估计总体等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先由抽取的50名员工乘以的占比即可求解，再由50减去的人数即可求解； （2）根据（1）中求出的数据即可补全条形统计图； （3）由乘以的占比即可求解圆心角； （4）用样本估计总体的方法即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：20；10； 【小问2详解】 解：补全条形统计图如图： 【小问3详解】 解：， 故答案为：72； 【小问4详解】 解：（人）， 答：其中体重偏胖（）的人数是60人． 【22题答案】 【答案】（1）；（2）或（3）；（4） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）根据待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可； （3）根据题意设抛物线的解析式为，再代入求解即可． （4）首先求出，然后分别转化成顶点式求出顶点坐标，进而求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可得，即，， 抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， 将点代入可得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）将代入可得，， 解得：， 故小明到立柱的距离是或． （3）根据题意设抛物线的解析式为 ∴当时，， ∴绳子的最低点与单杠的距离为． （4）根据题意可得直线 与三条抛物线组成的图形只有三个交点， ，， ∴的顶点为， ∴直线与只有三个交点． ∴． 六、解答题（本大题共12分） 【23题答案】 【答案】（1）①见解析；②；；（2），见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）①根据证明即可； ②根据，得出，根据，求出结果即可；根据， 得出， 根据勾股定理得出，根据线段之间的数量关系，即可得出结论； （2）猜想：，连接，延长交于，证明，再利用勾股定理证明即可； （3）取的中点H，连接，过点O作于点G，证明为等边三角形，得出，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，设，则，，根据，得出，求出结果即可． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， ∵， ∴； ②∵正方形的边长为1， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 连接，如图所示： ∵O为矩形中心， ∴， 延长交于， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵中， ∴； （3）取的中点H，连接，过点O作于点G，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，H为的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵，为等边三角形， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 解得：，负值舍去， ， ∴， ∴菱形菜园围一圈篱笆，需要篱笆． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $