吉林省长春市押题卷-【押题卷】2026年初中学业水平考试数学押题卷

**基本信息** 立足核心素养，融合非遗文化、航天科技等时代情境，梯度覆盖代数运算、几何证明、函数应用等初中数学核心知识，注重思维能力与创新意识考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题|相反数、轴对称、整式运算、解不等式、科学记数法、三角函数、反比例函数、圆|以“二十四节气”非遗标识考轴对称，体现文化传承| |填空题|6题|因式分解、实数比较、坐标对称、尺规作图、矩形折叠、正方形综合|矩形折叠求最值，考查空间观念与几何直观| |解答题|10题|分式化简、概率计算、菱形证明、航天工程方程应用、网格作图、节水统计分析、一次函数综合、圆与几何模型、几何旋转探究、二次函数与矩形综合|航天探测器调配考二元一次方程，结合科技前沿；几何旋转探究题（23题）通过特例到一般，培养推理能力与创新意识|

吉林省长春市押题卷-2026年吉林省长春市初中学业水平考试数学押题卷 一．选择题（共8小题） 1．﹣2026的相反数是（　　） A．﹣2026 B．2026 C． D． 2．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（　　） A．（3xy）2＝9x2y2 B．（y3）2＝y5 C．x2•x2＝2x2 D．x6÷x2＝x3 4．不等式﹣3（x﹣1）≥6的解集是（　　） A．x≤3 B．x≥﹣3 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1 5．绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用．已知每个光量子的波长约为0.000698毫米，将数据“0.000698”用科学记数法表示为（　　） A．0.698×10﹣3 B．6.98×10﹣4 C．0.698×10﹣6 D．6.98×10﹣7 6．如图①，天窗打开后，天窗边缘AC与窗框AB夹角为23°，它的示意图如图②所示．若AC长为a米，则窗角C到窗框AB的距离CD的长度为（　　） A．米 B．米 C．αcos23°米 D．asin23°米 7．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直角△ABC的一条直角边AB落在y轴上，且点A与点O重合，AB＝2，将△ABC向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度．若点A、点C恰好同时落在函数（k＞0，x＞0）的图象上．则BC的长度为（　　） A． B． C．1 D．2 8．如图，OA是⊙O的半径，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交⊙O于B，C两点，点D是⊙O上一点，点A与点D分别在BC的两侧，连接BD，CD，则∠BDC的度数是（　　） A．45° B．60° C．80° D．无法确定 二．填空题（共6小题） 9．分解因式：a2﹣7a＝　 　 ． 10．比较大小：2　 　 ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 11．若点A（4，m+2）与点B（n﹣2，5）关于x轴对称，则m+n的值为　 　 ． 12．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠DAE＝25°．通过观察尺规作图的痕迹，可以求得∠C＝ 　 　 度． 13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，点F在AD上运动，沿直线EF折叠四边形CDFE，得到四边形GHFE，其中点C落在点G处，连接AG，AH，则AG的最小值是　 　 ． 14．如图，在正方形ABCD中，点M、P、Q分别在边AB、BC、CD上，连接AP、MQ交于一点，且AP＝MQ，N是AD延长线上一点，连接PN，CN，AC，MC，下列结论： ①AP⊥MQ；②若M为AB中点，则P一定是BC中点；③S△APN＝S△ACN；④若AP平分∠BAC，则MQ平分∠AMC． 其中正确的结论是　 　 （填写所有正确结论的序号）． 三．解答题（共10小题） 15．先化简，再求值：，其中x＝4． 16．如图，两条完全相同的绳子AA1，BB1穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一段绳子．已知每边每段绳子被选中的机会均等，用画树状图（或列表）的方法，求姐妹两人选中同一条绳子的概率． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、BC的中点，BF∥DE，EF∥DB．求证：四边形BDEF是菱形． 18． 2025年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共15艘．每艘“天问”需1名航天工程师保障，每艘“神舟”需2名工程师协同．现调配20名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？ 19．图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点和点E均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①，在AB边上画点D，使∠BCD＝45°； （2）如图②，以CE为直角边画等腰直角△ECF，使∠ECF＝90°； （3）如图③，在AC边上画点G，使∠BGC＝45°． 20．2025年3月22日是第33届“世界水日”，某社区为了响应“世界水日”的节水号召，将居民月用水量划分为A、B、C、D四个区间，并随机抽取了该社区120户居民的月用水量（单位：吨），将收集到的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．居民月用水量区间分布表如下表： 分类 名称 月用水量x（单位：吨） A 低耗区 0≤x＜5 B 标准区 5≤x＜8 C 预警区 8≤x＜12 D 高耗区 x≥12 根据以上信息，回答下列问题： （1）抽查的120户居民的月用水量的中位数在　 　 ；（填“低耗区”、“标准区”、“预警区”或“高耗区”） （2）该社区打算对C预警区和D高耗区实施整改，整改方案如下： C预警区：每户月用水量减少1吨，若新月用水量小于8吨则划入B区； D高耗区：每户月用水量减少20%，若新月用水量小于12吨则划入C区． 如果所有用户均按要求整改，则B区户数占比将从原来的37.5%升至45%． ①补全所有用户均按要求整改后居民用户分布表； 分类 名称 用户数（单位：户） A 低耗区 B 标准区 C 预警区 D 高耗区 ②该社区宣称“如果所有用户均按要求整改后，D高耗区居民月用水量分布更集中”．为验证此宣传，该社区随机抽取整改后D高耗区5户月用水量（吨）：12，12，12，13，13．若抽取的5户月用水量方差小于2.5则认为“分布更集中”，通过计算判断该社区的宣传是否可信． 21．如图，直线l：y＝kx+b经过点（4，1），并且与直线平行，与x轴交于点F． （1）求直线l的解析式和点F的坐标． （2）求直线l与y轴交点A的坐标，并求线段AF的长度． （3）若点P是直线l上的一个动点，横坐标为t，过点P分别作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，在四边形PMON上分别截取：，，，，求证：四边形BCDE是平行四边形． 22．[模型建立]如图①、②，点P分别在⊙O外、在⊙O内，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离，PB是点P到⊙O上的点的最长距离． [问题解决]请就图①中PB为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点P到⊙O上的点的最短距离为3，最长距离为7．则⊙O的半径为 　 　 ． （2）如图③，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．点E在边BC上，且CE＝2，动点P在半径为2的⊙E上，则AP的最小值是 　 　 ． [拓展延伸]如图④，点A（2，0），动点B在以P（4，4）为圆心，为半径的圆上，OB的中点为C，则线段AC的最大值为 　 　 ． 23．【问题背景】 如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，BD＝1，CE＝2，∠BAC＝2∠DAE． （1）【特例探究】 如图2，当∠BAC＝90°时，将△ACE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接DF．求证：△ADE≌△ADF． （2）【特例求解】 在（1）的条件下，直接写出DE的长． （3）【类比迁移】 如图3，当∠BAC＝60°时，直接写出DE的长． 24．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．点P在直线y＝3上，其横坐标为m，作射线OP，将射线OP绕点O顺时针旋转90°，旋转后的射线交抛物线y＝﹣x2+2x+3于点Q，连结OQ，以OP、OQ为邻边作矩形OPMQ． （1）求抛物线的对称轴及与y轴的交点坐标； （2）连结PQ，当PQ∥x轴时， ①点Q的坐标为　 　 ； ②求的值； （3）设矩形OPMQ的边与坐标轴相交于点C，连结OC．过点Q作OC的垂线与矩形OPMQ的边交于点D．连结QD，当QD＝2OC时，直接写出m的值． 吉林省长春市押题卷-2026年吉林省长春市初中学业水平考试数学押题卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．【解答】解：﹣2026的相反数是2026． 故选：B． 2．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3．【解答】解：A．（3xy）2＝9x2y2，故此选项符合题意； B．（y3）2＝y6，故此选项不合题意； C．x2•x2＝x4，故此选项不合题意； D．x6÷x2＝x4，故此选项不合题意． 故选：A． 4．【解答】解：由题意得，x﹣1≤﹣2， ∴x≤﹣1． 故选：C． 5．【解答】解：0.000698＝6.98×10﹣4． 故选：B． 6．【解答】解：在Rt△ACD中，AC＝a米，∠CAD＝23°， ∴CD＝AC•sin23°＝asin23°米， ∴窗角C到窗框AB的距离CD的长度为asin23°米， 故选：D． 7．【解答】解：设BC的长度为n， ∵点O是坐标原点，直角△ABC的一条直角边AB落在y轴上，且点A与点O重合，AB＝2， ∴B（0，2），C（﹣n，2），A（0，0）， ∵将△ABC向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∴A′（2，2），C′（﹣n+2，2+2）即C′（﹣n+2，4）， ∵点A′、点C′恰好同时落在函数（k＞0，x＞0）的图象上． ∴4（﹣n+2）＝4， 解得n＝1， 故选：C． 8．【解答】解：连接OB，OC，由作图知，BC是线段OA的垂直平分线， ∴OC＝AC，OB＝AB， ∵OC＝OB， ∴OC＝AC＝OA＝OB＝AB， ∴△AOB和△OAC都是等边三角形， ∴∠BAC＝∠BAO+∠CAO＝120°， ∴∠BDC＝180°﹣∠BAC＝60°， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 9．【解答】解：原式＝a（a﹣7）， 故答案为：a（a﹣7） 10．【解答】解：∵22＞（）2， ∴2． 故答案为：＞． 11．【解答】解：∵点A（4，m+2）与点B（n﹣2，5）关于x轴对称， ∴n﹣2＝4，m+2＝﹣5 解得m＝﹣7，n＝6． m+n＝﹣7+6＝﹣1． 故答案为：﹣1． 12．【解答】解：由作图痕迹得DF垂直平分AB，AE平分∠DAC， ∴DB＝DA，∠DAE∠DAC， ∴∠DAB＝∠B＝40°，∠CAD＝2∠DAE＝2×25°＝50°， ∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣40°﹣50°﹣40°＝50°， 故答案为：50． 13．【解答】解：如图，连接AE． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，BE＝EC＝3，AB＝4， ∴AE5． 当A、G、E共线时，AG最小， 此时AG′＝AE﹣EG′＝5﹣3＝2． 故答案为2． 14．【解答】解：如图，过点M作MG⊥CD，交AP于点E， 在正方形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD， 又∵∠MGD＝90°， ∴∠B＝∠MGQ，四边形AMGD是矩形， ∴MG＝AD＝AB，MG∥AD∥BC， 又∵AP＝MQ， ∴Rt△ABP≌Rt△MGQ（HL）， ∴∠BAP＝∠GMQ， ∵MG∥BC， ∴∠AEM＝∠APB， ∴∠GMQ+∠AEM＝∠BAP+∠APB＝90°， ∴AP⊥MQ，①正确； 当M为AB中点时，∵BP＝GQ， 显然，由于点Q的位置不确定，因此点P的位置也不确定， ∴②错误； ∵AD∥BC， ∴S△APN＝S△ACN，③正确； 当AP平分∠BAC时，点P的位置固定，即△APB为定三角形，且， ∵在正方形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AMQ＝∠MQG＝∠APB， 又∠QMG＝∠PAB＝22.5°， ∴若想要MQ平分∠AMC，则∠CMQ＝∠CMG+∠QMG＝∠AMQ， 则∠CMG+22.5°＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠CMG＝45°， 由于点M和点Q的位置不固定，显然不满足要求，④错误． 故答案为：①③． 三．解答题（共10小题） 15．【解答】解：原式• • ， 当x＝4时，原式． 16．【解答】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中姐妹两人选中同一条绳子的结果有2种， ∴姐妹两人选中同一条绳子的概率为． 17．【解答】证明：∵BF∥DE，EF∥DB， ∴四边形BDEF是平行四边形， ∵D、E分别是AB、BC的中点， ∴BDAB，ED是△ABC的中位线， ∴EDAC， ∵AB＝AC， ∴BD＝ED， ∴平行四边形BDEF是菱形． 18．【解答】解：设“天问”有x艘，“神舟”有y艘， 根据题意得：， 解得：． 答：“天问”有10艘，“神舟”有5艘． 19．【解答】解：（1）如图①，点D为所求； 由题意可得BD＝BC＝3，且BD⊥BC， ∴△BCD为等腰直角三角形 ∴∠BCD＝45°； （2）如图②，△ECF即为所求； ∵由网格得，， ∴CF2+CE2＝EF2， ∴∠ECF＝90°， ∴△ECF是等腰直角三角形； （3）如图③，点G即为所求； 取格点E、F，连接EF、CF、BF、OE， 由（2）得△ECF是等腰直角三角形，∠ECF＝90°， ∴∠CEF＝45°， ∵，， ∴四边形OEFB是平行四边形， ∴EF∥OB， ∴∠BGC＝∠CEF＝45°． 20．【解答】解：（1）∵抽取了120户居民的月用水量，中位数是第60，61户月用水量的平均数， ∴根据抽取的120户居民的月用水量条形统计图可知，落在C预警区， 故答案为：预警区； （2）①根据整改方案可知：A区户数为12（户）， ∵所有用户均按要求整改，B区户数占比将从原来的37.5%升至45%， ∴整改后B区户数为120×45%＝54（户），增加9户， 由扇形统计图可知，D高耗区用户月用水量在12≤x＜15有24×25%＝6（户），用水量在x＞15有24×75%＝18（户）， 则整改后每户月用水量为12×（1﹣20%）≤x＜15×（1﹣20%）即9.6≤x＜12的6个用户划入C区，整改后用水量在x≥15×（1﹣20%）即x≥12的18个用户还在D区， ∴整改后C区户数为39﹣9+6＝36（户），整改后D区户数为18（户）， 如图： 分类 名称 用户数（单位：户） A 低耗区 12 B 标准区 54 C 预警区 36 D 高耗区 18 ②抽取的5户月用水量平均数为（吨）， 根据一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，可得抽取的5户月用水量方差为：， 因为0.24＜2.5， 所以若抽取的5户月用水量方差小于2.5则认为“分布更集中”，该社区的宣传可信． 21．【解答】（1）解：∵直线l：y＝kx+b与直线平行， ∴，即． 又∵直线l：y＝kx+b经过点（4，1）， ∴将点（4，1）代入得，， 解得，b＝3， ∴直线l的解析式为； 当y＝0时，即， 解得，x＝6， ∴点F的坐标为（6，0）． （2）解：∵直线l的解析式为， ∴当x＝0时，y＝0+3＝3， 即点A的坐标为（0，3）． 又∵点F的坐标为（6，0）， ∴． （3）证明：∵PM⊥x，PN⊥y， ∴∠OMP＝∠ONP＝90°． 又∵∠MON＝90°， ∴四边形PMON为矩形， ∴∠MPN＝∠OMP＝∠ONP＝∠MON＝90°，OM＝PN，ON＝PM． ∵，，，， ∴OE＝NE＝PC＝CM，ND＝PD＝BM＝OB， 在△BOE和△DPC中， ， ∴△BOE≌△DPC（SAS）， ∴BE＝DC； 在△DNE和△BMC中， ， △DNE≌△BMC（SAS）， ∴DE＝BC， ∴四边形BCDE是平行四边形． 22．【解答】[问题解决]证明：在⊙O上任取一点C（不为点A、B），连接PC、OC． ∵PC＜PO+OC，OB＝OC， ∴PC＜PO+OB＝PB， ∴PB是点P到⊙O上的点的最长距离； [初步应用]（1）当点P在⊙O外部时，如图①，由题意可得：⊙O的半径2， 当点P在⊙O内部时，如图②，由题意可得：⊙O的半径5， 故答案为：2或5； （2）连接AE， ∵CE＝2，AC＝8， ∴AE2， 当点P在线段AE上时，AP最小值为22， 故答案为：22； [拓展延伸]取H（4，0），连接BH，HP，BP， ∵点A（2，0），点H（4，0）， ∴OA＝2，OH＝4， ∴点A是AH的中点， ∵点C是OB的中点， ∴BH＝2AC， ∴BH有最大值时，AC有最大值， ∵P（4，4）， ∴PH＝4， ∴点B在HP的延长线时，BH有最大值为4， ∴AC的最大值为2， 故答案为：2． 23．【解答】（1）证明：∵将△ACE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF， ∴AF＝AE，∠BAF＝∠CAE， ∵∠BAC＝90°，∠BAC＝2∠DAE， ∴∠DAE＝45°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°﹣45°＝45°， ∴∠BAD+∠BAF＝∠BAD+∠CAE＝45°， ∴∠DAF＝∠DAE， 在△ADF和△ADE中， ， ∴△ADF≌△ADE（SAS）； （2）解：∵将△ACE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF， ∴∠C＝∠ABF， 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠C＝45°， ∴∠DBF＝∠ABC+∠ABF＝45°+45°＝90°， ∵△ADF≌△ADE， ∴BF＝CE＝2，DF＝DE， 在直角三角形BDF中，BD＝1， 由勾股定理得：； （3）解：如图3，把△ACE绕点A顺时针旋转60°得△ABF，连接DF， ∴AF＝AE，∠BAF＝∠CAE， ∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵∠BAC＝2∠DAE，∠BAC＝60°， ∴∠DAE＝30°， ∴∠BAD+∠CAE＝60°﹣30°＝30°， ∴∠BAD+∠BAF＝∠BAD+∠CAE＝30°， ∴∠DAF＝∠DAE， 在△ADF和△ADE中， ， ∴△ADF≌△ADE（SAS）， ∴BF＝CE＝2，DF＝DE， 作FG⊥CB交于CB的延长线于点G， ∵把△ACE绕点A顺时针旋转60°得△ABF， ∴∠C＝∠ABF＝60°， ∴∠DBF＝∠ABC+∠ABF＝60°+60°＝120°， ∴∠FBG＝60°， ∴∠BFG＝30°， ∴， ∴DG＝BG+BD＝2， 在Rt△DGF中，由勾股定理得：． 24．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线， 当x＝0时，y＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）； （2）①当y＝3时，﹣x2+2x+3＝3， 解得：x1＝0，x2＝2， ∴Q（2，3）； 故答案为：（2，3）； ②如图，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为A、B， ∵Q（2，3）， ∴OB＝2， 由题可知，AP＝3， ∵OP⊥OQ， ∴∠POQ＝90°， ∴∠AOP+∠BOQ＝90°， ∵PA⊥x轴，OB⊥x轴， ∴∠OAP＝∠QBO＝90°， ∴∠APO+∠AOP＝90°， ∴∠APO＝∠QOB， ∴△AOP∽△BQO， ∴， （3）∵点P在直线y＝3上，其横坐标为m， ∴P（m，3）， 设Q（t，﹣t2+2t+3）， 如图，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为A、B， ∵OP⊥OQ， ∴∠POQ＝90°， ∴∠AOP+∠BOQ＝90°， ∵PA⊥x轴，OB⊥x轴， ∴∠OAP＝∠QBO＝90°， ∴∠APO+∠AOP＝90°， ∴∠APO＝∠QOB， 当C在y轴上时， ∵OC⊥DQ， ∴DQ∥AB， ∴∠OQD＝∠QOB＝α， 设∠APO＝∠QOB＝α． 当DQ＝2OC时， ∵MQ∥PO，QD∥AB， ∴∠MQD＝∠POA＝α． ∵四边形OPMQ是矩形， ∴MQ＝OP， ∴，CO， ∵DQ＝2OC， ∴MQ＝2OQ，即OP＝2OQ， 同（2）②可得△AOP∽△BQO． ∵Q（t，﹣t2+2t+3），P（m，3）， ∴2， ∴2， 解得：t，m； 当m＞0时，如图， 同理可得△AOP∽△BQO，2OP＝OQ， ∵Q（t，﹣t2+2t+3），P（m，3）， ∴， ∴， 解得：t＝6，； 综上所述，或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $