精品解析：吉林长春市2026年初中学业水平考试网上阅卷模拟练习 数学

长春市2026年初中学业水平考试网上阅卷模拟练习 数学 本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 长春市马拉松赛事定于2026年5月17日上午7：30鸣枪开跑，本届马拉松赛事全程约米．其中这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：． 3. 《孙子算经》中记载：“八八六十四，自相乘，得四千九十六．八人分之，人得……”将其大意用算式表示为，其结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把8用替换，再根据同底数幂乘除法的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 4. 如图，是的平分线，，若，则的度数为（ ） A. 17.5° B. 35° C. 55° D. 70° 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键． 5. 如图，山区公路管理处在山顶观景台处架设了监测设备，从处测得山下公路上事故点的俯角为．已知设备点到事故点的直线距离为米，观景台正下方的山脚点为，则事故点到山脚点的水平距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】先由平行线的性质得到，在中，由余弦函数定义列式计算即可． 【详解】解：由平行线性质可知， 在中，，米，则， （米）． 6. 下列函数中，随的增大而减小的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，二次函数的性质，根据一次函数和二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A、是一次函数，，随的增大而减小，故该选项符合题意； B、是一次函数，，随的增大而增大，故该选项不符合题意； C、是二次函数，开口向上，对称轴是轴，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意； D、是二次函数，开口向下，对称轴是轴，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意． 故选：A． 7. 如图是小慧同学用一副七巧板拼成的小房子，其中①②两个最大的三角形板块是全等的等腰直角三角形．要通过一次变换使这两个大三角形完全重合，下列说法正确的是（ ） A. 通过一次平移变换即可实现 B. 通过一次旋转变换即可实现 C. 通过一次轴对称变换即可实现 D. 上述单一变换都无法实现 【答案】A 【解析】 【详解】解：通过一次平移变换即可实现这两个大三角形完全重合． 8. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点为线段的中点．若点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，联立一次函数与反比例函数表达式，消去得到关于的一元二次方程，然后由一元二次方程根与系数关系式、中点坐标公式列式计算即可得到答案． 【详解】解：设， 联立， 消去得，则， ，则， 点为线段的中点， ， 则． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 比较大小：2________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题可利用无理数的大小估算，根据，从而比较实数的大小． 【详解】解：∵，， ∴． 10. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式分解因式得出即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键． 11. “与1的和小于零”用不等式表示：__． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列不等式，解题的关键是理解题意．根据“与1的和小于零”可列出不等式． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 12. 六边形的外角和是______度． 【答案】 360 【解析】 【详解】解：根据多边形外角和定理可知，任意多边形的外角和都为， ∴六边形的外角和是度． 13. 甲、乙两名学生进行实心球测试，每人投掷5次，他们各自成绩（单位：米）的平均数和方差如下表，则测试成绩更稳定的学生是_____．（填“甲”或“乙”） 学生 平均数 方差 甲 乙 【答案】甲 【解析】 【分析】当两组数据平均数相等时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，只需比较甲乙两人方差的大小即可求解． 【详解】解：由表格可得，甲乙两人测试成绩的平均数相等，甲的方差为，乙的方差为， 因为 ，即甲的方差小于乙的方差， 根据方差的意义，方差越小，成绩波动越小，测试成绩越稳定， 因此测试成绩更稳定的学生是甲． 14. 如图，为等边三角形的外接圆，为延长线上一点，连接与交于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若是的直径，则． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得到，，由同弧所对的圆周角相等可判断①；根据可得，据此可判断②；根据圆内接四边形对角互补和平角的定义可证明，再由，可证明，据此可判断③；由直径所对的圆周角是直角得到，再由直角三角形的性质可判断④． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴不成立，故②错误； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴，故③正确； 当是的直径时，， 又∵， ∴，故④正确； ∴正确的有①③④． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 如图，两条完全相同的绳子穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一段绳子．已知每边每段绳子被选中的机会均等，用画树状图（或列表）的方法，求姐妹两人选中同一条绳子的概率． 【答案】 【解析】 【分析】由画树状图的方法求概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 则共有种等可能的结果，其中姐妹两人选中同一条绳子的结果有种， 姐妹两人选中同一条绳子的概率． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，画线段，使，且点在格点上； （2）在图②中，画等腰三角形，点、在格点上，且三边长均为无理数． 【答案】（1）如图所示： （2） 如图所示： 【解析】 【分析】（1）选取矩形网格的对角线即可； （2）结合（1）中得到的边，选取矩形网格的对角线、小正方形对角线即可． 【小问1详解】 解：如图所示： ，点即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示： 由①知，同样可得，， ，且三边长均为无理数，等腰即为所求． 18. 在争创全国卫生城市的活动中，某市青年突击队决定义务清除80吨的垃圾．开工后，附近邻居主动参加义务劳动中，使清除垃圾的速度变为原计划的2倍，结果提前4小时完成了任务．求青年突击队原计划平均每小时清除多少吨垃圾？ 【答案】平均每小时清除10吨 【解析】 【分析】先设原计划平均每小时清除吨垃圾，再分别表示出原计划用时和实际用时，根据原计划用时实际用时小时这一等量关系列出分式方程，求解并检验后得到答案． 【详解】解：设青年突击队原计划平均每小时清除吨垃圾． 由题意，得． 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：青年突击队原计划平均每小时清除10吨垃圾． 19. 如图，、是直线同侧的两点，，，垂足分别是点，，并且．求证：． 【答案】 证明：， ． ， 四边形是平行四边形． ．即． 【解析】 【分析】先根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行，得到；再结合已知条件，根据平行四边形的判定定理，证明四边形是平行四边形；最后根据平行四边形的对边平行，推出，进而证明． 【详解】略 20. 某校要了解学生平均每天上学路上所花费的时间，从全校学生中随机抽取30名学生进行调查，将收集到的数据制作成如下的条形统计图． 抽取的30名学生上学路上所花费时间的条形统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）假如老师在抽取的30名学生中随机地问一名学生上学路上所花费的时间，老师最可能得到的回答是_____分钟； （2）该校共有600名学生，估计其中平均每天上学路上所花费的时间超过20分钟的学生人数； （3）从全校学生中再随机抽取一名学生．若该学生平均每天上学路上所花费的时间为15分钟，将这个数据加入到原数据中，得到一组新数据．下列指标中，与原数据相比，新数据中发生变化的是_____．（填序号） ①平均数 ②中位数 ③众数 【答案】（1）20 （2）200名 （3）① 【解析】 【分析】（1）根据题意可得抽取的学生上学路上所花费的时间为20分钟的可能性最大，据此可得答案； （2）用600乘以样本中平均每天上学路上所花费的时间超过20分钟的学生人数占比即可得到答案； （3）根据中位数，众数和平均数的定义求出加入前后的中位数，众数和平均数即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵学生上学路上所花费的时间为20分钟的人数最多， ∴抽取的学生上学路上所花费的时间为20分钟的可能性最大， ∴老师最可能得到的回答是20分钟； 【小问2详解】 解：名， 答：估计其中平均每天上学路上所花费的时间超过20分钟的学生人数为200名； 【小问3详解】 解：原来的众数为20分钟， 把原来30名学生上学路上所花费的时间按照从低到高排列，中位数为第15个数据和第16个数据的平均数， ∵， ∴中位数为分钟， 加1名学生的数据之和，一共有31个数据，众数仍为20分钟， 把这31个数据按照从低到高的顺序排列中位数为第16个数据， ∵， ∴中位数为分钟； 原来的平均数为分， 而加入的1名学生的每天上学路上所花费的时间为15分钟，故加入后的平均数要变小， ∴中位数和众数不变，平均数发生变化． 21. 清明假期期间，小刚从家出发，自驾匀速前往某景区游玩，途中经过服务区休息一段时间后，继续以另一速度匀速行驶前往目的地，小刚离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系如图所示． （1）小刚在服务区休息了_____小时； （2）求所在直线对应的函数表达式； （3）当小刚离家的距离恰好为200千米时，小刚离开家_____小时． 【答案】（1）1 （2） （3）3.2 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，可得两点之间的函数值无变化，即可求解； （2）待定系数法求解析式，即可求解； （3）将代入解析式，即可求解． 【小问1详解】 解： 根据函数图象可得小刚在服务区休息了1小时； 【小问2详解】 解：设所在直线对应的函数表达式为， 把代入， 得， 解得， 所以线段所在直线对应的函数表达式为． 【小问3详解】 解：当时， 解得：， ∴小刚离开家3.2小时． 22. 【定义】对于给定的一个大于且小于的角，我们这样定义它的内切圆：如果一个圆与这个角的两边都相切，那么我们称这个圆是这个角的内切圆．例如：如图①，都与的两边相切，所以都是的内切圆． （1）【探究】已知是的一个内切圆．求证：点在的平分线上．以下是小明的部分证明过程： 证明：因为是的一个内切圆， 不妨设与分别相切于点，如图②， 连接． …… 请你帮助小明完成上述证明过程． （2）【应用】如图③，是的一个内切圆，连接若，则的周长为_____． （3）【拓展】如图④，，点在边上，．若是的一个内切圆，以点为圆心，的长为半径作圆，则面积的最小值为_____． 【答案】（1） 证明：因为是的一个内切圆， 不妨设与分别相切于点，如图②， 连接． 所以，， 点在的平分线上； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质可得，，根据圆的半径相等可得，结合角平分线的判定定理，即可得证； （2）根据题意求得，再根据圆的周长公式，即可求解； （3）根据（1）可得点在的平分线上，则时，最小，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设与相切于点， 由（1）可得平分 ∴ ∴ ∴的周长为； 【小问3详解】 解：如图，连接 由（1）可得平分 ∴ ∵时，最小， ∴当时， ∴面积的最小值为 23. 如图①，直线（直线在直线之间），直线被这组平行线所截，与直线分别交于点（点在点的右上方）．点是直线上不与点重合的动点，连接并延长交直线于点，连接．若直线与直线所成锐角为． （1）求的值； （2）用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出点，使；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑）． （3）当点在点右侧，且时，求线段的长； （4）作点关于直线的对称点，连接，设线段交直线于点．当点落在直线上时，直接写出线段的长． 【答案】（1）2 （2）如图所示，点D即为所求； （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理可得，据此可得答案； （2）作线段的垂直平分线交直线b于点D，连接，则点D即为所求；由线段垂直平分线的性质得到； （3）求出，，根据相似三角形的性质得到，据此求解即可； （4）分两种情况：点C在点B右侧和点C在点B左侧，分别画出示意图讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， 由（1）得， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴或（舍去）； 【小问4详解】 解：如图所示，当点C在点B右侧时，过点B作于点T， 由轴对称的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点C在点B左侧时，过点B作于点T， 同理可证明， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； 24. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．点在直线上，其横坐标为，作射线，将射线绕点顺时针旋转，旋转后的射线交抛物线于点，连结，以为邻边作矩形． （1）求抛物线的对称轴及与轴的交点坐标； （2）连结，当轴时， ①点的坐标为_____； ②求的值； （3）设矩形的边与坐标轴相交于点，连结．过点作的垂线与矩形的边交于点．连结，当时，直接写出的值． 【答案】（1）， （2）①，② （3）或 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式求得抛物线的对称轴为直线，将代入解析式，即可得出抛物线与轴的交点坐标为， （2）①将代入抛物线解析式，即可求解； ②过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）先证明，设，分两种情况画出图形，分别得出或，得出或，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 当时，，则抛物线与轴的交点坐标为， 【小问2详解】 解：①当时， 解得： ， ②如图，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、 ， ， 由题可知，， ， ， ， 轴，轴， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：∵点在直线上，其横坐标为， ∴， 设 如图，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、 ， ， ， 轴，轴， ， ， ， 当在轴上时， ∵， ∴， ∴ 设 当时， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∵ ∴ 即 同（2）②可得 ∵， ∴ ∴ 解得：， 当时，如图， 同理可得， ∵， ∴ ∴ 解得：， 综上所述，或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市2026年初中学业水平考试网上阅卷模拟练习 数学 本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 长春市马拉松赛事定于2026年5月17日上午7：30鸣枪开跑，本届马拉松赛事全程约米．其中这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 《孙子算经》中记载：“八八六十四，自相乘，得四千九十六．八人分之，人得……”将其大意用算式表示为，其结果为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的平分线，，若，则的度数为（ ） A. 17.5° B. 35° C. 55° D. 70° 5. 如图，山区公路管理处在山顶观景台处架设了监测设备，从处测得山下公路上事故点的俯角为．已知设备点到事故点的直线距离为米，观景台正下方的山脚点为，则事故点到山脚点的水平距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 下列函数中，随的增大而减小的函数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是小慧同学用一副七巧板拼成的小房子，其中①②两个最大的三角形板块是全等的等腰直角三角形．要通过一次变换使这两个大三角形完全重合，下列说法正确的是（ ） A. 通过一次平移变换即可实现 B. 通过一次旋转变换即可实现 C. 通过一次轴对称变换即可实现 D. 上述单一变换都无法实现 8. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点为线段的中点．若点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 比较大小：2________．（填“>”、“<”或“=”） 10. 分解因式：_____． 11. “与1的和小于零”用不等式表示：__． 12. 六边形的外角和是______度． 13. 甲、乙两名学生进行实心球测试，每人投掷5次，他们各自成绩（单位：米）的平均数和方差如下表，则测试成绩更稳定的学生是_____．（填“甲”或“乙”） 学生 平均数 方差 甲 乙 14. 如图，为等边三角形的外接圆，为延长线上一点，连接与交于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若是的直径，则． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，两条完全相同的绳子穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一段绳子．已知每边每段绳子被选中的机会均等，用画树状图（或列表）的方法，求姐妹两人选中同一条绳子的概率． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，画线段，使，且点在格点上； （2）在图②中，画等腰三角形，点、在格点上，且三边长均为无理数． 18. 在争创全国卫生城市的活动中，某市青年突击队决定义务清除80吨的垃圾．开工后，附近邻居主动参加义务劳动中，使清除垃圾的速度变为原计划的2倍，结果提前4小时完成了任务．求青年突击队原计划平均每小时清除多少吨垃圾？ 19. 如图，、是直线同侧的两点，，，垂足分别是点，，并且．求证：． 20. 某校要了解学生平均每天上学路上所花费的时间，从全校学生中随机抽取30名学生进行调查，将收集到的数据制作成如下的条形统计图． 抽取的30名学生上学路上所花费时间的条形统计图 根据以上信息，回答下列问题： （1）假如老师在抽取的30名学生中随机地问一名学生上学路上所花费的时间，老师最可能得到的回答是_____分钟； （2）该校共有600名学生，估计其中平均每天上学路上所花费的时间超过20分钟的学生人数； （3）从全校学生中再随机抽取一名学生．若该学生平均每天上学路上所花费的时间为15分钟，将这个数据加入到原数据中，得到一组新数据．下列指标中，与原数据相比，新数据中发生变化的是_____．（填序号） ①平均数 ②中位数 ③众数 21. 清明假期期间，小刚从家出发，自驾匀速前往某景区游玩，途中经过服务区休息一段时间后，继续以另一速度匀速行驶前往目的地，小刚离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系如图所示． （1）小刚在服务区休息了_____小时； （2）求所在直线对应的函数表达式； （3）当小刚离家的距离恰好为200千米时，小刚离开家_____小时． 22. 【定义】对于给定的一个大于且小于的角，我们这样定义它的内切圆：如果一个圆与这个角的两边都相切，那么我们称这个圆是这个角的内切圆．例如：如图①，都与的两边相切，所以都是的内切圆． （1）【探究】已知是的一个内切圆．求证：点在的平分线上．以下是小明的部分证明过程： 证明：因为是的一个内切圆， 不妨设与分别相切于点，如图②， 连接． …… 请你帮助小明完成上述证明过程． （2）【应用】如图③，是的一个内切圆，连接若，则的周长为_____． （3）【拓展】如图④，，点在边上，．若是的一个内切圆，以点为圆心，的长为半径作圆，则面积的最小值为_____． 23. 如图①，直线（直线在直线之间），直线被这组平行线所截，与直线分别交于点（点在点的右上方）．点是直线上不与点重合的动点，连接并延长交直线于点，连接．若直线与直线所成锐角为． （1）求的值； （2）用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出点，使；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑）． （3）当点在点右侧，且时，求线段的长； （4）作点关于直线的对称点，连接，设线段交直线于点．当点落在直线上时，直接写出线段的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．点在直线上，其横坐标为，作射线，将射线绕点顺时针旋转，旋转后的射线交抛物线于点，连结，以为邻边作矩形． （1）求抛物线的对称轴及与轴的交点坐标； （2）连结，当轴时， ①点的坐标为_____； ②求的值； （3）设矩形的边与坐标轴相交于点，连结．过点作的垂线与矩形的边交于点．连结，当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $