吉林省押题卷-【押题卷】2026年初中学业水平考试数学押题卷

**基本信息** 本卷以神舟航天、非遗文创等真实情境为载体，覆盖数与代数、图形与几何等核心知识，通过基础题、综合题、创新题梯度设计，考查抽象能力、推理意识和模型观念，适配中考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题/18分|无理数判断、中心对称、整式运算等|第2题结合正方形中点考查中心对称，体现空间观念| |填空题|5题/15分|因式分解、古代数学问题、正多边形计算等|第9题以《算法统宗》"以碗知僧"考查方程建模，传承文化| |解答题|11题/87分|函数建模（弹珠运动）、跨学科（水瓶频率）、二次函数旋转等|18题弹珠运动分析v-t、y-t函数关系，培养模型观念；22题二次函数旋转综合考查空间观念与推理能力|

吉林省押题卷-2026年吉林省初中学业水平考试数学押题卷 一．选择题（共6小题） 1．下列各数中，是无理数的为（　　） A．﹣1 B． C．3.3 D． 2．如图，四边形ABCD是正方形，E，F，G，H分别为各边的中点，HF与EG交于点O，下列三角形中，与△HAE成中心对称的是（　　） A．△FCG B．△GOF C．△FBE D．△HOG 3．下列计算正确的是（　　） A．3a2+2a2＝5a4 B．4a2×5a3＝20a6 C．（﹣ab3）2＝a2b6 D．（﹣ab2）÷（﹣a2b）＝ab 4．不等式x+1≤0的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C．D． 5．如图，点P是∠AOB的边OA上一点，PC⊥OB于点C，PD∥OB，∠OPC＝35°，则∠APD的度数是（　　） A．60° B．55° C．45° D．35° 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝54°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE交AB于点F，则∠ACF的度数为（　　） A．25° B．20° C．18° D．15° 二．填空题（共5小题） 7．因式分解b2﹣10b+25＝　 　 ． 8．　 　 ． 9．我国明代数学家程大位编著的《算法统宗》中有“以碗知僧”趣题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三 百六十四只碗，恰合用尽不差争，三人共食一碗饭，四人共进一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意：某古寺用餐，3名僧人合吃一碗饭，4名僧人合分一碗汤，一共用了364只碗，问有多少名僧人？设寺内有x名僧人，则可列方程　 　 ． 10．如图，在正五边形ABCDE的外部，以AB为边作正六边形AB1C1D1FB，连结CF，则∠BCF的度数为　 　 ． 11．如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子ACDB分别与空竹⊙O相切于点C，D，且AC＝BD，连接左右两个绳柄A，B，AB经过圆心O，分别交⊙O于点M，N，经测量OM＝AM＝4，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 三．解答题（共11小题） 12．先化简，再求值：[（3x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷5x，其中x＝1，y＝5． 13．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2026年1月19日9时，神舟二十号飞船返回舱在东风着陆场成功着陆．下面是四张印有中国航天飞行任务标识图案的卡片A，B，C，D，四张卡片除正面图案外其他均相同．将这四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上．从这四张卡片中随机同时抽取两张卡片，用列表或画树状图的方法求出抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19”和“神舟21”飞行任务标识的概率． 14．某非遗文创店销售剪纸和皮影工艺品，已知3套剪纸工艺品和2套皮影工艺品的总售价为3900元；2套剪纸工艺品和4套皮影工艺品的总售价为4600元．求每套剪纸工艺品和每套皮影工艺品的售价各多少元？ 15．如图，在△AOB中，OA＝OB，OC是△AOB的中线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O．求证：AB是⊙O的切线． 16．图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．下列各图均是以格点O为圆心的圆，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． （1）在图①中，点A、点B、点C均为格点，在圆上作格点D，使∠ADB＝∠ACB； （2）在图②中，点B为格点，点A为圆上任意一点，在圆上作点C，使∠CAB＝90°； （3）在图③中，点A、点C为格点，点B在网格线上，∠ACB＝90°，在圆上作点D、E，使△ADE∽△ABC． 17．某校对八、九年级各400名学生进行了“环保知识竞赛”，并从中分别随机抽取20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下（得分用x表示，分成四组：A.80≤x＜85；B.85≤x＜90；C.90≤x＜95；D.95≤x≤100）， a，八年级20名学生的成绩是：80，82，83，83，85，85，86，87，89，90，90，91，94，95，95，95，95，96，99，100； b．九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：90，90，91，92，93，93，94； c．八、九年级抽取的学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数如表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 90 90 m 九年级 90 n 100 d．九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图显示： 根据以上信息，解答下列问题： （1）写出表中m，n的值和九年级D组的百分数；m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ，D组 　 　 %； （2）估计 　 　 年级学生成绩高于本年级平均分的人数更多；（填“八”或“九”） （3）如果学校计划对竞赛成绩不低于95分的学生进行奖励，估计八年级和九年级共有多少学生可以获得奖励？ 18．在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t（s）、运动快慢v（cm/s）、运动路程y（cm）的数据． 【收集整理数据】 运动时间t（s） 0 4 8 12 16 20 ．．． 运动快慢v（cm/s） 12 10 8 6 4 2 ．．． 运动路程y（cm） 0 44 80 108 128 140 ．．． 【数学建模探究】 （1）【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：（提示：函数图象要画在答题卡上） ①v与t之间的关系可以近似地用　 　 函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） ②y与t之间的关系可以近似地用　 　 函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） （2）【检验】直接写出v与t，y与t之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． （3）【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以4cm/s的速度向前匀速直线运动．当t＝10时，弹珠刚好追上小车，则A，B两点间的距离为　 　 cm． 19．如图，在△ABC中，，BC＝16cm，AD⊥BC于点D，点E从点B出发，沿射线BC运动，速度为4cm/s，点F从点C同时出发，沿CA+AB向终点B运动，速度为．当点F到达点B时，点E也停止运动，设运动时间为t秒． （1）求当t为何值时，△EFC和△ACD相似； （2）连接EF，设△EFC的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）连接EF、FD，当点E在线段BC上运动时，是否存在某一时刻，使得△EFD被AD分得的两部分面积之比为1：3，若存在，直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 20．【知识背景】某学校的学习小组计划用同种型号的玻璃瓶制作一组水瓶乐器．根据物理学中的振动频率和音调的关系可知，在敲击玻璃瓶时，声音的振动频率f（Hz）随瓶中水位高度h（cm）的变化而变化．水位越高，振动越慢，音调越低；水位越低，振动越快，音调越高． 【信息收集】学习小组通过查阅资料，列出以下音名与频率的对照表（表1）： 音名 G4 F4 E4 D4 C4 B3 频率f（Hz） 392.00 349.23 329.63 293.66 261.63 246.94 【数据记录】学习小组进行了多次实验，记录水瓶不同水位高度h与对应的振动频率f的部分数据如下表（表2）： 水位高度h（cm） 4 8 12 16 20 频率f（Hz） 410.02 389.99 370.03 349.98 330.01 【建立模型】学习小组以水位高度h为横坐标，频率f为纵坐标，根据表2中的数据绘制散点图．观察各点的分布特征，发现其大致分布在一条直线附近，表明f与h之间存在近似线性关系．基于此，学习小组将表2中的频率数据保留整数位后，采用线性函数对其变化规律进行近似刻画，进而求出水瓶乐器的频率f与水位高度h的函数关系式． 【解决问题】根据以上信息，解答下列问题： （1）请依照学习小组的方法，求水瓶乐器的频率f与水位高度h的函数关系式（不要求写出h的取值范围）． （2）若要制作能敲击出音名G4的水瓶乐器，求该水瓶中需要注入的水位高度． （3）已知水瓶乐器中的水量随水位高度均匀变化，当水位高度为4cm时，所使用的水量为80ml；当水位高度为20cm时，所使用的水量为400ml．若要制作能敲击出音名G4的水瓶乐器，直接写出该水瓶中需要注入的水量． 21．在四边形ABCD中，点G，E分别是线段AB，AD上的点，且AG＝AE，连结GE、BE，将线段EB绕点E逆时针旋转得到EF，连结DF． （1）如图①，若四边形ABCD是正方形，∠BEF＝90°，猜想DF与AE的数量关系是　 　 ，∠CDF＝　 　 °； （2）如图②，若四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝∠BEF＝120°，猜想DF与AE的数量关系及∠CDF的度数，并说明理由； （3）如图③，在（2）的条件下，若AB＝5，DE＝2，连结BF交DC于点H，直接写出的值． 22．如图1，二次函数的图象经过点A（2，n）．如图2，将二次函数y1的图象记为H1，将图象H1绕点A旋转180°得到的图象记为H2，将图象H1和H2组合成的图象记为H． （1）求n的值． （2）求图象H2对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （3）点P，Q是图象H上两个不同的点，其横坐标分别为m，4﹣|m|． ①当点P与点Q的纵坐标相等时，直接写出m的值． ②当图象H在点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6时，直接写出m的取值范围． 吉林省押题卷-2026年吉林省初中学业水平考试数学押题卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．【解答】解：﹣1是整数，3.3是有限小数，是分数，它们不是无理数， 是无限不循环小数，它是无理数， 故选：B． 2．【解答】解：∵△HAE绕点O旋转180°后与△FCG重合， ∴与△HAE成中心对称的是△FCG． 故选：A． 3．【解答】解：A、3a2+2a2＝5a2，故此选项不符合题意； B、4a2×5a3＝20a5，故此选项不符合题意； C、（﹣ab3）2＝a2b6，故此选项符合题意； D、（﹣ab2）÷（﹣a2b），故此选项不符合题意； 故选：C． 4．【解答】解：根据解一元一次不等式步骤可得： x≤﹣1， 在数轴上表示解集如图： 故选：D． 5．【解答】解：∵PC⊥OB，PD∥OB， ∴∠CPD＝90°， 又∵∠OPC＝35°， ∴∠APD＝55°， 故选：B． 6．【解答】解：由作图可得，CF⊥AB于F， ∴∠BFC＝90°， ∴∠BCF＝90°﹣∠B＝36°， 又∵AB＝AC，∠B＝54°， ∴∠ACB＝∠B＝54°， ∴∠ACF＝54°﹣36°＝18°， 故选：C． 二．填空题（共5小题） 7．【解答】解：原式＝b2﹣2•b•5+52 ＝（b﹣5）2， 故答案为：（b﹣5）2． 8．【解答】解：原式． 故答案为：． 9．【解答】解：根据题意得：xx＝364． 故答案为：xx＝364． 10．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC108°， ∵六边形AB1C1D1FB是正六边形， AB＝BF＝FD1＝D1C1＝C1B1＝AB1，∠ABF120°， ∴BC＝BF，∠CBF＝360°﹣∠ABC﹣∠ABF＝360°﹣108°﹣120°＝132°， ∴∠BCF＝∠BFC24°， 故答案为：24°． 11．【解答】解：如图，连接OC，OD， 由题意可得：∠ACO＝∠BDO＝90°， ∵AC＝BD，OC＝OD， ∴△ACO≌△BDO（SAS）， ∴∠AOC＝∠BOD，S△ACO＝S△BDO，OA＝OB， ∵OM＝AM＝4， ∴OA＝OB＝8，OC＝OM＝4， ∴， ∵， ∴∠A＝30°， ∴∠AOC＝∠BOD＝60°， ∴∠COD＝60°， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共11小题） 12．【解答】解：[（3x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷5x ＝（9x2﹣6xy+y2+x2﹣y2）÷5x ＝（10x2﹣6xy）÷5x ＝2xy， 当x＝1，y＝5时，原式＝2×15 ＝2﹣6 ＝﹣4． 13．【解答】解：根据题意，画树状图如下： 由图可知：符合条件的是AC或者CA，共2种， ∴抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19”和“神舟21”飞行任务标识的概率为． 14．【解答】解：设每套剪纸工艺品售价x元，每套皮影工艺品售价y元，由题意得： ， 解得：； 答：每套剪纸工艺品售价800元，每套皮影工艺品售价750元． 15．【解答】证明：∵OA＝OB，OC是△AOB的中线， ∴OC⊥AB． 又OC为⊙O半径， ∴AB是⊙O的切线． 16．【解答】解：（1）如图①2，△ABD即为所求（答案不唯一）； （2）如图②中，点C即为所求； （3）如图③中，点D，点E即为所求． 17．【解答】解：（1）由八年级20名学生的成绩可知，众数为95， ∴m＝95． ∵九年级A，B两组的人数共有20×（10%+25%）＝7（人）， ∴将九年级20名学生的成绩按从小到大的顺序排列，排在第10和11名的成绩为91，92， ∴n91.5． 九年级抽取的学生竞赛成绩在D组的人数为20﹣7﹣7＝6（人）， ∴D组的百分比为100%＝30%． 故答案为：95，91.5，30； （2）由题意知，八年级成绩在平均分以上的有9人，占总数的， ∴估计八年级学生的成绩高于平均分的人数为400， 九年级成绩在平均分以上的有6+5＝11（人），占总数的， ∴估计九年级学生的成绩高于平均分的人数为400， ∵180＜220， ∴估计九年级学生成绩高于本年级平均分的人数更多， 故答案为：九； （3）400400×30%＝260（人）， 答：估计八年级和九年级共有260名学生可以获得奖励． 18．【解答】解：（1）根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：图象如图所示， ①由图2可知，v与t近似一次函数； 故答案为：一次； ②y与t近似二次函数． 故答案为：二次； （2）设v＝kt+m， 将t＝0，v＝12；t＝4，v＝10代入v＝kt+m，得， ， 解得， ∴， 验证：当t＝8时，，与表格中的数据一致； 设y＝at2+bt+c， 将t＝0，y＝0；t＝4，y＝44；t＝8，y＝80代入y＝at2+bt+c，得， ， 解得，， ∴， 验证：当t＝12时，，与表格中的数据一致． （3）当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以4cm/s的速度向前匀速直线运动． 由（2）可知，， 当t＝10时，，即小球运动了95cm， 同一时间，电动小车运动的路程为4×10＝40cm， ∴A，B两点间的距离为95﹣40＝55（cm）． 故答案为：55． 19．【解答】解：（1）∵，BC＝16cm，AD⊥BC于D， ∴BD＝CDBC＝8cm， ∴， 由题意得：BE＝4t， 当0≤t≤4时，E在线段BC上，CE＝16﹣4t，F在AC上，， 当4＜t≤8时，E在线段BC外，CE＝4t﹣16，F在AB上，， ①若△ECF∽△ACD，如图1， 则， ∴， 解得：； ②若△FCE∽△ACD，如图2， 则， ∴， 解得：； 综上所述，或时，△EFC和△ACD相似． （2）过F作 FG⊥BC于G， 当0≤t≤4时，△FCG∽△ACD，如图3， ∴， ∴， ∴； 如图4，当4＜t≤8时，△BFG∽△BAD， ∴， ∴， ∴； ∴； （3）过F作 FG⊥BC于G，设EF与AD交点为H，如图5， 当E在BD上，F在AC上时，0＜t＜2， 由△FGC∽△ADC得：， ∴FG＝t，CG＝2t， ∵BE＝4t， ∴DE＝8﹣4t，EG＝16﹣4t﹣2t＝16﹣6t， ∵HD∥FG， ∴△EHD∽△EFG， ∴， i）若S△EHD：S△HDF＝1：3， 则S△EHD：S△EFD＝1：4， ∴， ∴， 解得：； ii）若S△EHD：S△HDF＝3：1， 则S△EHD：S△EFD＝3：4， ∴， ∴， 解得：t＝8（不符题意，舍去）； 当点E在CD上时，此时E、F、D在同一直线，无法组成三角形，不合题意； 综上，t． 20．【解答】解：（1）设f＝kh+b（k≠0），由题意可得： ∴， 解得， 则f＝﹣5h+430； （2）∵音名G4的频率f是392Hz， ∴当f＝392时，﹣5h+430＝392，解得h＝7.6， ∴该水瓶中需要注入的水位高度为7.6cm； （3）由题意可得：当水位高度为1cm时，所使用的水量为20ml， ∴当水位高度为7.6cm时，所使用的水量为7.6×20＝152ml． 21．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°， ∴∠ABE+∠AEB＝90°， ∵∠BEF＝90°， ∴∠DEF+∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝∠DEF， ∵AG＝AE， ∴BG＝DE，∠AGE＝∠AEG＝45°， ∴△BEG≌△EFD（SAS）， 由勾股定理得：，∠BGE＝∠AEG+∠BAD＝135°， ∴EG＝DF，∠EDF＝∠BGE＝135°， ∴，∠CDF＝∠EDF﹣∠ADC＝45°， 故答案为：；45； （2），∠CDF＝90°；理由如下： ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°， ∴AB＝AD，AB∥CD， ∴∠ABE+∠AEB＝180°﹣120°＝60°，∠ADC＝180°﹣∠BAD＝60°， ∵∠BEF＝120°， ∴∠DEF+∠AEB＝60°， ∴∠ABE＝∠DEF， ∵AG＝AE， ∴BG＝DE，， ∴△BEG≌△EFD（SAS），∠BGE＝∠AEG+∠BAD＝150°， ∴EG＝DF，∠EDF＝∠BGE＝150°， ∴∠CDF＝∠EDF﹣∠ADC＝90°， 如图2，过点A作AK⊥EG于点K，则EG＝2EK， ∵∠AEK＝30°， ∴， 在直角三角形AEK中，由勾股定理得：， ∴， ∴； （3）的值为．理由如下： 如图3，四边形ABCD是菱形，AB＝5，DE＝2，过点F作FP∥BC交CD于点P， ∴AD＝AB＝5， ∴AE＝AD﹣DE＝5﹣2＝3， 由（2）得：，∠CDF＝90°， ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°， ∴AB＝CD＝5，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠ADC＝180°﹣∠BAD＝60°，AD∥PF， ∴∠DPF＝∠ADC＝60°， ∴∠DFP＝30°， ∴PF＝2DP， ∴， ∴DP＝3，FP＝6， ∵FP∥BC， ∴△BCH∽△FPH， ∴． 22．【解答】解：（1）把A（2，n）代入，得n＝22＝4； （2）由条件可知顶点坐标为（0，0）， 将图象H1绕点A旋转180°得到的图象记为H2， 由（1）知：A（2，4） 则H2的顶点坐标为（4，8）， ∴H2的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+8（x≥2）； （3）①当m＜0时，则点Q的横坐标为4+m＜4， P，Q两点关于y＝x2的对称轴对称，即关于y轴对称， ∴m+4+m＝0， ∴m＝﹣2； 当m≥0时，则点Q的横坐标为4﹣m≤4， ∵，且P，Q两点的纵坐标相同， ∴点P，Q关于点A对称，且P，Q的纵坐标与点A的纵坐标相同， ∴4﹣m+2＝0， ∴m＝6； 综上：m＝﹣2或m＝6； ②当m≥0时，则点Q的横坐标为4﹣m， 当﹣（4﹣m﹣4）2+8﹣m2＝6，解得m＝1或m＝﹣1（舍去）， ∴当0≤m＜1，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6； 当﹣（m﹣4）2+8﹣（4﹣m）2＝6，解得m＝3或m＝5， ∴当m＞3时，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6； 当m＜0时，则Q点坐标为4+m， 当yQ＝6时，则﹣（4+m﹣4）2+8＝6，解得或（舍去）； ∴当时，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6； 当yP＝6时，则：m2＝6，解得或（舍去）， ∴当时，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6； 综上：或或m＞3时，点P与点Q之间部分（包括点P和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差大于6． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $