湖南省长沙市押题卷-【押题卷】2026年初中学业水平考试数学押题卷

**基本信息** 以“海葵一号”储油量、机器人分拣、古建筑窗花等现实情境为载体，通过基础题（科学记数法）、能力题（世界杯积分逻辑推理）及创新题（“双垂直四边形”新定义）的梯度设计，考查数学抽象、运算推理与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|数与式（科学记数法）、图形与几何（三视图、圆性质）、统计与概率（中位数）|结合科技情境（“海葵一号”）、逻辑推理（世界杯积分问题）| |填空题|6题|因式分解、概率（奶茶店抽奖）、几何计算（折叠圆桌面积）|生活应用（促销概率）、空间想象（立方体展开图）| |解答题|9题|函数（机器人采购最值）、几何综合（双垂直四边形）、统计（湖南文旅调查）|跨学科实践（文旅统计）、创新定义（高低差、双垂直四边形）|

湖南省长沙市押题卷-2026年湖南省长沙市初中学业水平考试数学押题卷 一．选择题（共10小题） 1．“海葵一号”是完全由我国自主设计建造的深水油气田“大国重器”，集原油生产、存储、外输等功能于一体，储油量达60000立方米．将60000用科学记数法表示为（　　） A．6×103 B．60×103 C．0.6×105 D．6×104 2．如图是一个由6个大小相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 3．在标准大气压下，液态氧的沸点是﹣183℃，液态氨的沸点是﹣33℃，酒精的沸点是78℃，水的沸点是100℃．其中沸点最低的液体是（　　） A．液态氧 B．液态氨 C．酒精 D．水 4．下列计算正确的是（　　） A．a+3a＝4a2 B．2a•3a＝5a2 C．（ab）2＝ab2 D．（a2）3＝a6 5．某校举办了关于航空航天的知识竞赛，随机抽取了10名参赛学生的成绩，绘制成如图所示的统计图，则参赛学生成绩的中位数是（　　） A．90 B．92.5 C．95 D．100 6．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（　　） A．6分 B．7分 C．8分 D．9分 7．折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA⊥AE，垂足为A，CD∥AE，则∠ABC+∠BCD＝（　　） A．200° B．230° C．250° D．270° 8．如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点E，点D是劣弧的中点，若CD＝4，∠ACD＝30°，则DE的长为（　　） A． B．1 C． D．2 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝29°，斜边AB＝10，则BC的长为（　　） A．5 B．10sin29° C．10cos29° D．10tan29° 10．如图是某古建筑的扇形窗花造型，点B，D分别是OA，OC的中点，∠AOC＝108°，图中阴影部分的面积为，则OB的长是（　　） A．10cm B． C．15cm D．20cm 二．填空题（共6小题） 11．分解因式：x2﹣4y2＝　 　 ． 12．某奶茶店开展促销活动，所用杯子的底部印有“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种字样，每种字样的杯子数量相同，小明随机购买一杯奶茶，抽到“一等奖”的概率是　 　 ． 13．代数式比代数式大1，则x＝　 　 ． 14．如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D．若AB＝6，PC＝4，则CD＝　 　 ． 15．如图①是一种可折叠圆桌，图②是其折叠前后的桌面示意图（阴影部分表示可折叠部分），已知折叠后的桌面是一个面积为1m2的正方形，则可折叠部分的面积为　 　 m2． 16．如图，在矩形MNPQ内正好放置一个立方体的表面展开图，正方形ABCD是原立方体的一个面，点E，F，G是原立方体的顶点，展开后点A，E，F，G均在矩形MNPQ的边上，若点C，D，Q在同一直线上，则tan∠AEM的值是　 　 ． 三．解答题（共9小题） 17．计算：． 18．先化简，再求值：（1），其中x＝﹣2． 19．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点．M是BC上一定点，按以下步骤尺规作图： ①以点D为圆心、DM为半径作弧，交BC于另一点N； ②分别以点M，N为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线DP，交BC于点F，点G在DE的延长线上，且DG＝FC． （1）求证：四边形DFCG是矩形． （2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求△CEG的面积． 20．为进一步宣传推广湖南文旅，某校开展“春假最想去的湖南特色景点”问卷调查，每人限选一项：A张家界武陵源，B南岳衡山，C凤凰古城，D岳阳楼．收集数据后绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，已知选C凤凰古城的人数占总抽取人数的25%． （1）本次调查一共抽取　 　 名学生，扇形统计图中“B南岳衡山”对应扇形的圆心角度数为　 　 ； （2）补全条形统计图； （3）甲、乙两名同学各自随机任选一个景点，用树状图或列表法，求两人选择同一景点的概率． 21．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠ODC＝∠OCD． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求四边形ABCD的面积． 22．2026马年央视春晚中；宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作；是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、3台B型机器人，共需260万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且B型机器人数量不超过A型机器人数量的4倍；当购买A型机器人多少台时采购总费用最少？最少采购总费用是多少？ 23．如图1是一种路灯的实物图，由灯杆AB和灯管支架BC两部分构成，图2是它的示意图，灯杆AB与地面垂直，灯管支架BC与灯杆AB的夹角∠ABC＝127°，在路灯正前方的点D处测得∠ADB＝37°，∠ADC＝45°，AD＝400cm．（结果精确到1cm．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） （1）求灯杆AB的长度． （2）求灯管支架BC的长度． 24．在平面直角坐标系中，对于某个函数图象上的任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），定义它们的高低差为．即右边点的纵坐标减去左边点的纵坐标．根据定义，回答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①若M（1，y1），N（2，y2）是正比例函数y＝kx（k＞0）的图象上的点，则H（M，N）＜0．（　 　 ） ②若M（2，y1），N（3，y2）是反比例函数的图象上的点，则H（M，N）＝1．（　 　 ） ③若M（1，y1），N（3，y2）是二次函数y＝x2﹣4x+3的图象上的点，则H（M，N）＝0．（　 　 ） （2）已知一次函数y＝x+a与二次函数y＝x2+bx+c（b≥2）的图象交于A（1，3），B两点，点P是二次函数y＝x2+bx+c图象上的一点，点P与点A的横坐标之和为4，求H（P，B）的最小值． （3）M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝x2+dx+e上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t，若对于﹣t＜x1＜1﹣t，2t﹣2＜x2＜2t﹣1，都有H（M，N）＞0，求t的取值范围． 25．定义：对于凸四边形，如果有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把它的对角分成一个直角和一个锐角，我们称这样的四边形为“双垂直四边形”．如图1，在四边形ABCD中，若∠ABC＝∠ADB＝90°，则称四边形ABCD为“双垂直四边形”． （1）如图1，在“双垂直四边形”ABCD中，∠ABC＝∠ADB＝90°，若∠A＝60°，则∠CBD的度数是　 　 ． （2）如图2，已知AB是⊙O的直径，C是上半圆O上一点，DC是⊙O切线，DA＝DC． ①求证：四边形ABCD是“双垂直四边形”； ②若BC＝2CD，求（tan∠B）2的值． （3）如图3，在“双垂直四边形”ABCD中，∠ABC＝∠CDB＝90°，BD的延长线与过A，B，C三点的⊙O相交于点E，连接AE，CE，已知BC＝2CE，记△ABD，△ADE，△CBD，△CDE的面积分别是S1，S2，S3，S4，若S1＝mS4，S2＝nS3，求m与n之间满足的关系式． 湖南省长沙市押题卷-2026年湖南省长沙市初中学业水平考试数学押题卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：60000＝6×104． 故选：D． 2．【解答】解：从正面看，底层是三个正方形，上层的右边是一个正方形． 故选：A． 3．【解答】解：∵|﹣33|＝33，|﹣183|＝183，183＞33， ∴﹣183＜﹣33＜78＜100， ∴沸点最低的液体是液态氧， 故选：A． 4．【解答】解：根据整式的加法和乘法运算法则逐项分析判断如下： A：a+3a＝4a，但右边为4a2，故A错误，不符合题意； B：2a•3a＝6a2，但右边为5a2，故B错误，不符合题意； C：（ab）2＝a2b2，但右边为ab2，故C错误，不符合题意； D：（a2）3＝a2×3＝a6，右边为a6，故D正确，符合题意； 故选：D． 5．【解答】解：从统计图中得到，第5名和第6名的成绩是：95分，95分， 所以中位数为： ＝95， 故选：C． 6．【解答】解：4个队单循环比赛共比赛4×3÷2＝6场，每场比赛后两队得分之和或为（2分）（即打平），或为（3分）（有胜负），所以6场后各队的得分之和不超过（18分）， ①若一个队得（7分），剩下的3个队得分之和不超过（11分），不可能有两个队得分之和大于或等于（7分），所以这个队必定出线， ②如果一个队得（6分），则有可能还有两个队均得（6分），而净胜球比该队多，该队仍不能出线． 故选：B． 7．【解答】解：过B作BK∥CD， ∵CD∥AE， ∴BK∥AE， ∴∠C+∠CBK＝180°，∠ABK+∠BAE＝180°， ∴∠C+∠CBK+∠ABK+∠BAE＝360°， ∴∠ABC+∠BCD+∠BAE＝360°， ∵BA⊥AE， ∴∠BAE＝90°， ∴∠ABC+∠BCD＝270°． 故选：D． 8．【解答】解：连接AO， ∵点D是劣弧的中点，CD是⊙O的直径， ∴AB⊥CD， ∵∠ACD＝30°， ∴∠AOD＝60°， ∵CD是⊙O的直径，CD＝4， ∴CO＝DO＝AO＝2， ， ∴DE＝DO﹣OE＝2﹣1＝1， 则DE的长为1， 故选：B． 9．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴sinA， 又∵∠A＝29°，AB＝10， ∴， ∴BC＝10sin29°． 故选：B． 10．【解答】解：设OB＝rcm， ∵点B，D分别是OA，OC的中点， ∴OA＝2OB＝2rcm， ∵S阴影＝S扇形OAC﹣S扇形OBD， ∴， 解得：r2＝225， ∵r＞0， ∴r＝15， 即OB的长是15cm． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．【解答】解：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）． 故答案为：（x+2y）（x﹣2y）． 12．【解答】解：由题意知，小明随机购买一杯奶茶，抽到“一等奖”的概率为． 故答案为：． 13．【解答】解：根据题意得：1， 去分母得：3x﹣2（x﹣1）＝6， 去括号得：3x﹣2x+2＝6， 移项得：3x﹣2x＝6﹣2， 合并同类项得：x＝4． 故答案为：4． 14．【解答】解：连接OC，OD，则OC＝OD， ∵PC，PD与⊙O相切， ∴PC＝PD，OC⊥PC， ∴OP垂直平分CD， ∴CD＝2CE， ∵AB为直径，且AB＝6， ∴OC＝3， 在Rt△OCP中，， ∴， 在Rt△OEC中，， ∴． 故答案为：． 15．【解答】解：解法一：如图②，正方形ABCD的面积为1m2，设圆形桌面的圆心为O，连接AC， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝1m， ∴AC为⊙O的直径，， ∴， ∴． 解法二：如图③，正方形ABCD的面积为1m2，设圆形桌面的圆心为O，连接OA，OB， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝1m， ∵OA⊥OB，OA＝OB， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴，∠AOB＝90°， ， 故答案为：． 16．【解答】解：过点G作GH⊥QC于点H，不妨设QH＝x，小正方形的边长为1，如图所示： ∵四边形MNPQ是矩形， ∴∠PQM＝∠M＝90°， ∵∠GHD＝∠HGF＝∠HCF＝90°， ∴四边形HCFG是矩形， ∴CF＝HG＝3，GF＝HC＝2， ∵∠ADQ＝∠AQP＝90°， ∵∠AQH+∠QAD＝∠GQH+∠AQH＝90°， ∴∠GQH＝∠QAD， ∴tan∠GQH＝tan∠QAD， ∵， ∴， ∴（舍去负值）， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∴AE∥QC， ∴∠MAE＝∠AQD， ∴180°﹣∠M﹣∠MAE＝180°﹣∠QDA﹣∠AQD， ∴∠AEM＝∠QAD， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共9小题） 17．【解答】解：原式＝21+2﹣2 1+2﹣2 ＝1． 18．【解答】解：原式• • ， 当x＝﹣2时， 原式 ． 19．【解答】（1）证明：如图，在△ABC中， ∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC． ∵DG＝FC， ∴四边形DFCG是平行四边形． 由尺规作图可知，DP⊥BC， ∴∠DFB＝∠DFC＝90°． ∴四边形DFCG是矩形； （2）解：∵∠B＝45°，∠DFB＝90°， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∴BF＝DF＝3， ∵DG＝FC＝5， ∴BC＝BF+FC＝8， 由（1）知，DE是△ABC的中位线，则， ∴DE＝4， ∴EG＝DG﹣DE＝1， ∵四边形DFCG是矩形， ∴CG＝DF＝3， ∴． 20．【解答】解：（1）本次一共抽取的学生人数是：30100（名）， 选C凤凰古城的人数为：100×25%＝25（名），选B南岳衡山的人数为100﹣（40+25+30）＝5（名）， ∴扇形统计图中“B南岳衡山”对应扇形的圆心角度数为360°18°， 故答案为：100，18°； （2）补全条形统计图如下： （3）画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人选择同一景点的结果有4种，即AA、BB、CC、DD， ∴两人选择同一景点的概率是． 21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OCAC，OB＝ODBD， ∵∠ODC＝∠OCD， ∴OB＝OC， ∴OA＝OB＝OC＝OD，即AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形； （2）解：∵OA＝OB∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝OB＝2， ∴AC＝4， ∵▱ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝2， ∴BC， ∴． 22．【解答】解：（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意可得： ， 解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）设购买A型机器人m台，总采购费用为w万元， 根据题意得15﹣m≤4m， 解得：m≥3， 根据题意可得w＝80m+60（15﹣m）＝20m+900， ∴当m＝3时，w取最小值， 此时w＝20×3+900＝960万元， 答：采购A型机器人3台时，采购费用最低，最低采购费用为960万元． 23．【解答】解：（1）∵灯杆AB与地面垂直， ∴∠A＝90°． 在Rt△ABD中， ∵tan∠ADB， ∴AB＝AD•tan∠ADB ≈400×0.75 ＝300（cm） 答：灯杆AB的长度为300cm． （2）过点C作CE⊥AD，垂足为E，过点B作BF⊥CE，垂足为F． ∵AB⊥AD，CE⊥AD，BF⊥CE，∴四边形AEFB是矩形． ∴BF＝AE，AB＝EF，∠ABF＝90°． ∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝37°． 在Rt△CED中， ∵∠ADC＝45°， ∴∠DCE＝45°． ∴CE＝DE． 设BF＝AE＝xcm，则DE＝CE＝（400﹣x）cm， ∴CF＝CE﹣EF＝（100﹣x）cm． 在Rt△CBF中， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 答：灯管支架BC的长度约为71cm． 24．【解答】解：（1）①令x＝1，则y1＝k， 令x＝2，则y2＝2k， ∴H（M，N）＝2k﹣k＝k＞0，故原说法错误； ②令x＝2，则， 令x＝3，则， ∴，故原说法错误； ③令x＝1，则y1＝1﹣4+3＝0， 令x＝3，则y2＝9﹣12+3＝0， ∴H（M，N）＝0﹣0＝0，故原说法正确； 故答案为：①×，②×，③√； （2）由条件可得3＝1+a，3＝1+b+c， ∴a＝b+c＝2， ∴一次函数y＝x+2，二次函数y＝x2+bx+2﹣b， 联立得x+2＝x2+bx+2﹣b， 整理得（x﹣1）（x+b）＝0， ∴点B的横坐标为﹣b， ∴点B（﹣b，﹣b+2）， 由条件可知点P的横坐标为4﹣1＝3， 令x＝3，则y＝9+3b+2﹣b＝11+2b， ∴P（3，11+2b）， ∵b≥2， ∴﹣b≤﹣2， ∴点P在点B的右边， ∴H（P，B）＝11+2b﹣（﹣b+2）＝9+3b， ∵b≥2， ∴H（P，B）＝9+3b≥15，即H（P，B）的最小值为15； （3）由条件可知，即d＝﹣2t， ∴y＝x2﹣2tx+e， 令x＝x1，则， 令x＝x2，则， 分两种情况， 第一种，， ∵x1﹣x2＞0， ∴x1+x2﹣2t＞0， 第二种，， ∵x2﹣x1＞0， ∴x2+x1﹣2t＞0， 综上，两种情况下，均只要满足x1+x2﹣2t＞0，则H（M，N）＞0， 又﹣t＜x1＜1﹣t，2t﹣2＜x2＜2t﹣1， ∴当x1，x2同时取得下限的值时，可知x1+x2﹣2t＞﹣t+2t﹣2﹣2t＝﹣t﹣2， ∴若x1+x2﹣2t＞0恒成立，则﹣t﹣2≥0， 解得t≤﹣2． 25．【解答】（1）解：∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∠A＝60°， ∴∠ABD＝30°， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°； 故答案为：60°； （2）①证明：如图，连接AC，OC． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°． ∵DC是⊙O的切线， ∴∠DCO＝90°， ∵DA＝DC，OA＝OC， ∴∠DCA＝∠DAC，∠OCA＝∠OAC， ∴∠DCA+∠OCA＝∠DAC+∠OAC，即∠DCO＝∠DAO＝90°． ∴在四边形ABCD中，∠DAO＝90°，且它的对角∠DCB被AC分成了直角∠ACB和锐角∠ACD， ∴四边形ABCD是“双垂直四边形”． ②解：连接AC，过点D作DE⊥AC于点E， ∵DA＝DC， ∴AE＝CE． 设AE＝CE＝a，AD＝CD＝b， ∴AC＝2a，， ∵BC＝2CD， ∴BC＝2b． ∵∠DAO＝90°，∠ACB＝90°， ∴∠DAC+∠CAB＝90°，∠ABC+∠CAB＝90°， ∴∠DAC＝∠ABC， ∴tan∠DAC＝tan∠ABC， 即， ∴，整理得：， 设，则， ∴，即x2+x﹣1＝0， 解得：，∴ ，x2（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴（tan∠B）2； （3）解：如图，过点A作AF⊥BD于点F， ∵A，B，C，E四点共圆，且∠ABC＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∵CD⊥BE， ∴∠ABD＝∠DCB，∠AEF＝∠DCE． ∵∠AFB＝∠BDC＝90°，∠AFE＝∠EDC＝90°， ∴△ABF∽△BCD，△AEF∽△ECD， ∴，， ∴BD•BF＝AF•CD＝DE•EF， 即（BF+DF）•BF﹣DE•（DF+DE）＝0， ∴（BF﹣DE）（BF+DF+DE）＝0， ∴BF＝DE， ∴S1＝S△AEF，S2＝S△ABF． ∵S1＝mS4，S2＝nS3， ∴， 又∵AB2+BC2＝AC2＝AE2+CE2， ∴n•BC2+BC2＝m•EC2+EC2． ∵BC＝2CE， ∴n•4EC2+4EC2＝m•EC2+EC2， ∴m与n之间的关系式是m＝4n+3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $