黑龙江省哈尔滨市押题卷-【押题卷】2026年初中学业水平考试数学押题卷

**基本信息** 该卷覆盖初中数学核心知识，以传统窗格、哈尔滨解放80周年等文化与现实情境为载体，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查抽象能力、推理意识与应用意识，适配中考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|无理数、三视图、科学记数法等|第7题以正六边形图案考规律探究，体现创新意识| |填空题|10|函数自变量、因式分解、概率等|第13题传统窗格概率题，渗透文化传承| |解答题|7|统计、几何证明、函数综合等|25题结合哈尔滨解放80周年考应用题，27题函数与几何综合考查推理能力|

黑龙江省哈尔滨市押题卷-2026年黑龙江省哈尔滨市初中学业水平考试数学押题卷 一．选择题（共10小题） 1．下列实数中，是无理数的是（　　） A．﹣2 B． C． D．1.414 2．如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 3．据我国文化和旅游部数据中心测算，2025年“五一”期间，国内游客出游314000000人次，将数据314000000用科学记数法表示为（　　） A．31.4×107 B．3.14×107 C．3.14×108 D．3.14×109 4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．下列计算中，结果正确的是（　　） A．（﹣pq）3＝p3q3 B．x•x3+x2•x2＝x8 C．±5 D．（a2）3＝a6 6．已知抛物线的解析式为，则该抛物线的顶点坐标是（　　） A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（1，2） 7．用完全相同的正六边形卡片拼出如图所示的图案，每个图案由若干个正六边形组成．其中第①个图案有2个正六边形，第②个图案有5个正六边形，第③个图案有8个正六边形，第④个图案有11个正六边形，…，按照图示规律，则第10个图案有（　　）个正六边形． A．32 B．31 C．30 D．29 8．在课堂上，侯老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC，小张和小李同学先画出了∠MBN＝90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（　　） A．小张同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长 B．小张同学作图判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是HL C．小李同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长 D．小李同学作图判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是SAS 9．如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，∠AMB的度数为（　　）度． A．22.5 B．45 C．30 D．60 10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B，C在x轴的正半轴上，D（2，），P（﹣1，﹣1），点M在菱形的边AD和DC上运动（不与点A，C重合），过点M作MN∥y轴，与菱形的另一边交于点N，连接PM，PN，设点M的横坐标为x，△PMN的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C．D． 二．填空题（共10小题） 11．在函数中，自变量x的取值范围是　 　 ． 12．分解因式：x3﹣6x2+9x＝　 　 ． 13．窗，让人足不出户便能将室外天地尽收眼底．如图，“步步锦”“龟背锦”“灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式，从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是 　 　 ． 14．关于x的不等式组无解，则实数a的取值范围是　 　 ． 15．已知一个扇形的面积是2π，圆心角是45°，则此扇形的半径为　 　 ． 16．已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，若电流I＝6A，则电阻R＝　 　 Ω． 17．定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（ac≠0，a≠c）称作一对“友好方程”．如2x2﹣7x+3＝0的“友好方程”是3x2﹣7x+2＝0．那么一元二次方程﹣10x2+3x+1＝0的“友好方程”的两根之和为　 　 ． 18．CD为△ABC的高，∠ACB＝90°，点E在AB上，∠CED＝45°，CD＝2，AB＝5．则BE的长为 　 　 ． 19．如图，下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为　 　 ． 20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，交CD于点E，交AC于点F．下列结论：①AC：CB＝AF：FC；②AF＝CF；③△ABF∽△CBE；④P为线段BE上一动点，连接PA、PD，当PA+PD的值最小时，△APD的面积为△ABC面积的．正确的是 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 21．先化简，再求值：（1），其中xsin45°﹣tan60°． 22．如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作锐角等腰△ABC，使点C在格点上； （2）在图2中的线段PB上作点Q，使∠PAQ＝45°，并直接写出PQ的长． 23．某公司有20名员工，他们每人所创年利润如表所示： 每人所创年利润/万元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数 0 0 1 3 4 3 3 3 2 1 （1）直接写出该公司所有员工所创年利润的众数及中位数，众数为　 　 ，中位数为　 　 ； （2）计算该公司每人所创造的平均年利润为多少万元，并补全统计图； （3）如果该公司打算从中位数、众数或平均数中选出一个作为员工的奖励目标，达到这个目标的员工可以给予一定的奖励，并让一半左右的员工都能达到这个目标，你认为中位数、众数及平均数哪个作为目标比较合理？请说明你的理由． 24．如图1，菱形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE、DE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，若∠ABC＝80°，点F在线段AD上，连接EF，当△AEF是等腰三角形时，请直接写出∠AEF的度数． 25．1946年4月28日哈尔滨宣告解放，是东北解放的标志性胜利．为纪念哈尔滨解放80周年，某大学组织150名学生中一部分进行演讲活动，其余学生进行诗歌朗诵活动．活动结束后，学校为参加演讲活动的学生发放了A种纪念品，为参加诗歌朗诵活动的学生发放了B种纪念品．若购买1个A种纪念品和1个B种纪念品共需44元；购买6个A种纪念品和5个B种纪念品的费用相同． （1）求A、B两种纪念品的销售单价各是多少元； （2）若参加演讲活动的人数不超过参加诗歌朗诵人数的，当多少人参加演讲活动时购买纪念品的总费用最低，最低费用是多少元？ 26．已知：AB为⊙O直径，弦CD交AB于点E，弧BD＝弧BC． （1）如图1，求证：CE＝DE； （2）如图2，连接AD，点F为弧AD上一点，点G和点H在弧AC上，连接CF，FG，GH，CH，∠F+∠DCH＝180°，求证：GH＝CD； （3）如图3，在（2）的条件下，点P为弧BD中点，连接OP，BP，FP，AG，3∠BAG﹣2∠GFP＝45°，若CD：AG＝3，求CH的长． 27．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，OB＝OC． （1）如图1，求c的值； （2）如图2，P为第四象限的抛物线上一点，连接AP，与y轴相交于点D，设点P的横坐标为t，OD的长度为d，求d与t的关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，将射线AP沿x轴翻折交抛物线于点Q，点M在x轴上，连接QM，点N为抛物线第二象限一点，点F为抛物线第一象限一点，其横坐标为m，连接AF，连接MN与AF交于点K，与AQ交于点E，AK＝QM，∠AKM+∠AQM＝180°，t﹣m＝3，tan∠QMN，求m的值． 黑龙江省哈尔滨市押题卷-2026年黑龙江省哈尔滨市初中学业水平考试数学押题卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：A、﹣2是有理数，故此选项不符合题意； B、3是有理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项符合题意； D、1.414是有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．【解答】解：从左边看有两层，底层是两个正方形，上层的左边的一个正方形． 故选：C． 3．【解答】解：314000000＝3.14×108． 故选：C． 4．【解答】解：A不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， B是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， C是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， D不是轴对称图形，但它是中心对称图形，不符合题意， 故选：B． 5．【解答】解：A：（﹣pq）3＝（﹣p）3q3＝﹣p3q3，故选项A错误， B：x•x3+x2•x2＝x4+x4＝2x4，故选项B错误， C：5，故选项C错误， D：（a2）3＝a2×3＝a6． 故答案为：D． 6．【解答】解：由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为（2，1）， 故选：A． 7．【解答】解：由所给图形可知， 第①个图案中正六边形的个数为：2＝1×3﹣1， 第②个图案中正六边形的个数为：5＝2×3﹣1， 第③个图案中正六边形的个数为：8＝3×3﹣1， …， 所以第n个图案中正六边形的个数为3n﹣1． 当n＝10时， 第⑩个图案中正六边形的个数为：3×10﹣1＝29． 故选：D． 8．【解答】解：∵小李同学先确定的是直角三角形的两条直角边， ∴确定依据是SAS定理；故D不符合题意； ∵小张同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边， ∴确定依据是HL定理，故B不符合题意； ∵小张同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长，故A不符合题意； 小李同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AB的长，故C符合题意， 故选：C． 9．【解答】解：由条件可知， ∴， 同理可得∠CBD＝22.5°， ∴∠AMB＝∠CBD+∠BCA＝45°． 故选：B． 10．【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝AD＝2，OA， 所以OB2＝222， OB＝1， OC＝1+2＝3． （1）当M横坐标在0～1之间， 在三角形PMN中，P点横坐标为（﹣1，﹣1），M平行y轴，M点横坐标为x， 所以高＝1+x， 直线AB所在的函数为：y＝kx+b，经过点A（0，），点B（1，0）， 代入解析式得到：k，b， 得到解析式：yx， 又因为MN平行于y轴， 所以点N的横坐标为x，代入yx， 即点N的坐标（x，x）， 所以MN（x）x， S△PMNx×（1+x）x2x， 所以当点M横坐标在0～1之间是开口向上的抛物线． （2）当点M横坐标在1～2之间， 在三角形PMN中，底为，高为1+x， 所以S△PMN（1+x）x， 所以点M横坐标在1～2之间是一次函数，即一条直线． （3）当M横坐标在2～3之间， 在三角形PMN中，高为1+x， 直线CD所在直线的函数为：y＝kx+b经过点C（3，0），点D（2，）， 代入解析式得到：yx+3， 将点M横坐标x代入解析式得到纵坐标为：x+3， S△PMN（1+x）×（x+3）x2x， 所以点M横坐标在2～3之间是二次函数，开口向下的抛物线． 故答案为A． 二．填空题（共10小题） 11．【解答】解：已知函数， 则2x﹣5≠0， 解得：x， 故答案为：x． 12．【解答】解：x3﹣6x2+9x ＝x（x2﹣6x+9） ＝x（x﹣3）2， 故答案为：x（x﹣3）2． 13．【解答】解：从这三种方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的概率是， 故答案为：． 14．【解答】解：解不等式2x﹣5＞﹣1得，x＞2， 解不等式x﹣a≤1得，x≤1+a， ∵不等式组无解， ∴1+a≤2，解得a≤1； 故答案为：a≤1． 15．【解答】解：∵一个扇形的面积是2π，圆心角是45°， ∴， ∴r＝4， 故答案为：4． 16．【解答】解：∵电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系， ∴． 由图象可知，当R＝12时，I＝4， ∴U＝I•R＝4×12＝48（V）， ∴． ∴把I＝6A代入得，（Ω）． 故答案为：8． 17．【解答】解：﹣10x2+3x+1＝0的“友好方程”是x2+3x﹣10＝0， ∴它的两根之和3． 故答案为：﹣3． 18．【解答】解：如图，设AD＝x，则DB＝5﹣x． ∵CD⊥AB， ∵∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°， ∵∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴△ACD∽△CBD， ∴， ∴CD2＝AD•DB， ∴22＝x（5﹣x）， 解得，x＝1或4， 当x＝1时，AD＝1，BD＝4， ∵∠CED＝45°， ∴CD＝DE＝2， ∴EB＝DB﹣DE＝4﹣2＝2， 当x＝4时，AD＝4，DB＝1，此时点E在AD上，BE＝DE+BD＝2+1＝3． 综上所述，BE的值为2或3， 故答案为：2或3． 19．【解答】解：由题知， 正方形左上角的数依次为1，3，5，…， 所以第n个正方形左上角的数可表示为2n﹣1． 正方形右上角的数比左上角的数大4， 所以第n个正方形右上角的数可表示为2n﹣1+4＝2n+3． 正方形左下角的数比左上角的数大2， 所以第n个正方形左下角的数可表示为2n﹣1+2＝2n+1． 因为14＝3×5﹣1，32＝5×7﹣3，58＝7×9﹣5， 所以第n个正方形右下角的数可表示为（2n+1）（2n+3）﹣（2n﹣1）． 当2n﹣1＝11时， n＝6， 则2n+1＝13，2n+3＝15， 所以m＝（2n+1）（2n+3）﹣（2n﹣1）＝13×15﹣11＝184． 故答案为：184． 20．【解答】解：过F点作FH⊥BC于H点，如图， ∵BF平分∠ABC， ∴AB：BC＝AF：FC， ∴AC：BC＝AF：FC，所以①正确； ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴AB：BC＝1：， ∴AF：FC＝1：，所以②错误； ∵AD∥BC，AD⊥CD， ∴CD⊥BC， ∴∠BCE＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAF＝∠BCE， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBE， ∴△ABF∽△CBE，所以③正确； ∵BF平分ABC，FA⊥BA，FH⊥BC， ∴FA＝FH， 在Rt△BAF和△BHF中， ， ∴Rt△BAF≌△BHF（HL）， ∴BA＝BH， ∴BF垂直平分AH， 连接DH交BE于P点，过A点作AM⊥BC于M点，如图，则PA＝PH， ∴PA+PD＝PH+PD＝DH， ∴此时PA+PD的值最小， ∵P点到BC和BA的距离相等， ∴P点到AD的距离小于P点到BC的距离， ∴S△PADS△HAD， ∵∠AMC＝∠ADC＝∠DCM＝90°， ∴四边形AMCD为矩形， ∴AD＝CM， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴CMBC， ∴ADBC， ∴S△AHDS△ABC， ∴S△PADS△ABC，所以④错误． 故答案为：①③． 三．解答题（共7小题） 21．【解答】解：（1） • ， 当xsin45°﹣tan60° ＝1时， 原式 ． 22．【解答】解：（1）如图1，△ABC即为所求作； （2）如图2，点P即为所求作，， 令小正方形边长为1， ∵∠ACQ＝∠DEA＝90°，∠CAQ＝∠ADE， ∴△ACQ∽△DEA， ∴，即， ∴， ∴． 23．【解答】解：（1）这20名员工所创年利润出现次数最多的是5万元，共出现4次，因此众数是5万元， 将这20名员工所创年利润从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为6万元，因此中位数是6万元， 故答案为：5，6； （2）该公司每人所创造的平均年利润为6.3（万元）， 补全统计图如下： （3）把平均数作为目标比较合理，理由：平均数是6.3万元，比平均数低的有11人，比平均数高的有9人，有利于调动员工的积极性． 24．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE， 在△ABE与△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）解：四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∠ABC＝80°， ∴∠BAD＝100°， ∴∠DAC， 如图，当AE＝AF时，则∠AEF＝∠AFE（180°﹣50°）＝65°； 如图，当AF＝EF时，则∠AEF＝∠EAF＝50°； 如图，当AE＝EF时，则∠EAF＝∠AFE＝50°， ∴∠AEF＝180°﹣∠EAF﹣∠AFE＝80°， 综上所述，∠AEF的度数为80°或50°或65°． 25．【解答】解：（1）设A种纪念品的销售单价为x元，B种纪念品的销售单价为y元， 由题意可得， 解得， 答：A种纪念品的销售单价为20元，B种纪念品的销售单价为24元； （2）设m人参加演讲活动，则（150﹣m）人参加诗歌朗诵活动，购买纪念品的总费用为W元， 由题意可得，W＝20m+24（150﹣m）＝﹣4m+3600， ∴W随m的增大而减小， ∵参加演讲活动的人数不超过参加诗歌朗诵人数的， ∴m（150﹣m）， 解得m≤66， ∵m为正整数， ∴m＝66时，W取得最小值，此时W＝3336⃯， 答：当66人参加演讲活动时，购买纪念品的总费用最低，最低费用是3336元． 26．【解答】（1）证明：连接OC，OD， ∵弧BD＝弧BC， ∴∠BOD＝∠BOC， ∵OC＝OD， ∴CE＝DE． （2）证明：连接DH，CG， ∵∠F+∠DCH＝180°，∠F+∠GHC＝180°， ∴∠DCH＝∠GHC， ∵弧CH＝弧CH， ∴∠CDH＝∠CGH． ∵CH＝CH． ∴△GHC≌△DCH（AAS）， ∴GH＝CD． （3）解：连接OD，OC，OH，OG，CG，作GQ⊥AO于点Q，作GR⊥CH交CH延长线于点R，作BT⊥OP于点T， ∵点P为弧BD中点， ∴弧BP＝弧DP． ∴∠BOP＝∠DOP． 设∠BOP＝∠DOP＝2α， ∵弧BD＝弧BC， ∴∠BOC＝∠BOD＝4α． ∵弧BD＝弧BD． ∴． ∵GH＝CD， ∴弧GH＝弧CD． ∴∠GOH＝∠COD＝8α． 设∠COH＝2β， ∵弧BG＝弧BG， ∴∠BAG∠BOG＝6α+β， ∵弧GP＝弧GP． ∴． ∵3∠BAG﹣2∠GFP＝45°． ∴4α+β＝45°， ∴∠GOC＝8α+2β＝90°． ∴∠GOQ+∠EOC＝90°． ∵∠EOC+∠OCE＝90°， ∴∠GOQ＝∠OCE． ∵∠GQO＝∠CEO＝90°，OG＝OC． ∴△GOQ≌△OCE（AAS）． ∴OQ＝CE． ∵， 设，则， ∵Rt△AQG中，QG2＝AG2﹣AQ2，Rt△OQG中，QG2＝OG2﹣OQ2，AQ+OQ＝AO＝GO． ∴AG2﹣AQ2＝OG2﹣OQ2，即100m2﹣（OG﹣3m）2＝OG2﹣45m2， ∴OG＝OA＝5m， ∴． ∴Rt△ADE中，． ∴． ∵Rt△OBT中，BT2＝OB2﹣OT2，， ∴． ∴． ∵S△OBPOP•BT， ∴5mm， 解得（舍），． ∴OC＝OG＝5，GH＝CD＝6， ∵RC△OCG中，GC2＝GO2+CO2， ∴． ∵弧GC＝弧GC． ∴． ∴∠GFC+∠GHC＝180°． ∴∠GHC＝135°． ∴∠GHR＝180°﹣∠GHC＝45°． ∵Rt△GHR中，GH2＝GR2+HR2，GR＝HR， ∴． ∵Rt△GCR中，GC2＝GR2+CR2， ∴． ∴CH＝CR﹣HR． 27．【解答】解：（1）令x＝0，y＝c， ∴点C（0，c）， ∵点C（0，c）与y轴交于正半轴， ∴c＞0， 又∵OB＝OC， ∴点B（c，0）， 将B（c，0）代入到解析式中得：﹣c2+2c+c＝0， 解得c＝0（舍去）或c＝3， ∴c＝3； （2）由（1）得，函数解析式y＝﹣x2+2x+3， 令y＝0，即﹣x2+2x+3＝0解得x1＝3，x2＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∵点P在第四象限，且横坐标为t， ∴P（t，﹣t2+2t+3），且﹣t2+2t+3＜0， 过点P作PH⊥x轴于点H， ∴△ADO∽△APH， ∴， ∴， ∴化简得d＝t﹣3； （3）过点F作FR⊥x轴于点R，延长MN至点T，使得KT＝EQ， ∠AKM+∠AQM＝180°， 且∠AKM+∠AKT＝180°， ∴∠AQM＝∠AKT， 在△AKT和△MQE中， ， ∴△AKT≌△MQE（SAS）， ∴∠EQM＝∠TKA，∠QEM＝∠KTA，∠QME＝∠KAT， ∵∠QEM＝∠AET， ∴∠KTA＝∠AET， ∴AT＝AE＝EM， ∵F（m，﹣m2+2m+3）， ∴， ∴∠AFR＝∠QME， ∴∠AFR＝∠KAT， ∴AT∥FR， 设∠PAM＝α，则∠QAM＝∠AME＝α， ∴∠TAE＝90°﹣α∠AET＝∠ATE＝2α， 在△ATE中，（90°﹣α）+2α+2α＝180°， 解得α＝30°， ∴△ATE为等边三角形， ∴∠QAM＝∠PAM＝30°， ∴由（2）可得，tan∠PAM＝t﹣3， ∴， 解得且t﹣m＝3， ∴， 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $