福建省押题卷-【押题卷】2026年初中学业水平考试数学押题卷

**基本信息** 2026年福建省中考数学押题卷，通过稀土储量、《田亩比类乘除捷法》、密码学等情境，融合数与式、图形与几何、统计与概率，梯度覆盖基础与综合应用，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|有理数、三视图、科学记数法等|第3题稀土储量体现科技前沿，第8题古代数学问题传承文化| |填空题|6|角平分线性质、一次函数、统计概率等|第14题正方形面积差结合方程思想，第16题动态几何渗透空间观念| |解答题|9|计算、证明、统计分析、综合探究|第24题密码学应用培养数学思维，第25题圆内接四边形综合考查推理能力与创新意识|

福建省押题卷-2026年福建省初中学业水平考试数学押题卷 一．选择题（共10小题） 1．下列各数，是有理数的是（　　） A．3 B．π C． D．0.101001000… 2．如图所示的钢块零件的主视图为（　　） A． B． C． D． 3．稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关统计数据表明：我国已探明稀土储量约4400万吨，居世界第一位．用科学记数法表示44000000为（　　） A．44×106 B．4.4×107 C．4.4×108 D．0.44×109 4．下列图案中，不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，数轴上的点M，N表示的数分别是﹣1，1．下列数中，所对应的点在M与N之间的是（　　） A． B． C． D．﹣1.5 6．将一个含45°的三角尺和一根直尺按如图所示的方式叠合在一起，若∠1＝110°，则∠2的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 7．分式方程1的解为正数，则m的取值范围（　　） A．m＞﹣3 B．m＞﹣3且m≠﹣2 C．m＜3 D．m＜3且m≠﹣2 8．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（　　） A．x（60﹣x）＝864 B．x（x﹣60）＝864 C．x（60+x）＝864 D．2[x+（x+60）]＝864 9．如图，⊙O与PA，PB分别相切于点A，B，点C在优弧AB上，若∠P＝50°，则∠ACB的大小为（　　） A．130° B．115° C．65° D．50° 10．抛物线C1过点P（a，0），Q（3a，0），将抛物线C1向上平移2个单位后，得到抛物线，若抛物线C2上有两点A（2a﹣2，y1），B（3a+1，y2），使得y1＜y2一定成立，则a的取值范围为（　　） A．﹣3＜a＜0或a＞1 B．﹣3＜a＜0 C．a＞1 D．﹣3＜a＜1 二．填空题（共6小题） 11．负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，其中有“把卖出货物收入的钱记作正，把买入货物支出的钱记作负”．如果收入16元记作+16，那么支出12元记作　 　 ． 12．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，垂足为D，若PD＝3，则点P到OB的距离为　 　 ． 13．已知关于x的一次函数y＝mx+4m+3，那么这个函数的图象一定经过第　 　 象限． 14．如图，四边形ABCD，CEFG都是正方形，点G在边CD上，它们的面积之差为51cm2，且BE＝17cm，则DG的长为　 　 cm． 15．某校初一年级开展“读书月”活动，并将授予该月阅读课外书籍4册以上（含4册）的学生“阅读之星”的称号．初一年级少先队大队委进行了随机调查，结果如表所示： 阅读册数 0 1 2 3 4 5 学生数 20 18 27 70 12 3 可以估计该年级学生获得此称号的概率是　 　 ． 16．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E是OA的中点，点F，G是BD上两个动点（F在G的下方），且满足AE＝FG，若正方形边长为2，则AG+EF的最小值为　 　 ． 三．解答题（共9小题） 17．计算：． 18．如图，已知四边形ABCD是菱形，E是边CD的中点，射线AE交BC的延长线于点F．证明：CF＝AB． 19．先化简，再求值：（x+2），其中x是满足条件x≤2的合适的非负整数． 20．某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81 【整理数据】 班级 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 甲班 6 3 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 a b 51.4 乙班 80 80 80，85 c 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由； （3）甲班共有学生45人，乙班共有学生40人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 21．若凸四边形的对角线平分一个内角，则称这个四边形是这条对角线的“内分四边形”． 已知凸四边形ABCD，AC＝AD＝BC，AB＝6，E，F分别是AB，CD的中点，M是EF与AC的交点． （1）若∠B+2∠D＝180°， ①如图，证明：四边形ABCD是对角线AC的内分四边形； ②过点A作AH⊥BC，垂足为H，N是AC的中点，判断以C，N，E，H为顶点的四边形是否是内分四边形，并说明理由； （2）若四边形ABCD是对角线AC的内分四边形，探究线段MC与AC的数量关系． 22．如图，射线AM在△ABC外，∠MAC＝∠BAC． （1）在射线AM上截取AD＝AB，连接CD；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：△ADC≌△ABC； 23．小明用代数推理的方法发现了反比例函数一个有趣的结论：如图，直线y＝kx+b（k＞0）与双曲线交于A，B两点，与x，y轴分别交于点C，D，可证明AC＝BD成立．他的思路是将直线和曲线联立，进而求得xA+xB与xC+xD的值，由xC+xD＝xA+xB，证得线段AB的中点与线段CD的中点重合，即可得到AC＝BD．请按小明的思路完成证明． 24．阅读材料，回答问题． 密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学．在密码学中，明文是末经过加密处理的原始信息，密文是由明文通过已知的密码规则进行加密变换后得到的信息．有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字1～26后进行数学变换从而获得密文． 现按照以下加密规则进行加密： ①选择一个“乘密钥”a和一个“加密钥”b（1≤a≤9，1≤b≤9，a，b均为整数）； ②对明文中的每个字母，先将其对应数字m乘a，再加上b，得到一个总和S，即S＝a•m+b； ③对每个字母得到的总和S逐个进行判断： 若S在1到26之间，则S就是该字母加密后的密文所对应的数字； 若S大于26，则不断减去26，直到结果落在1～26之间； ④将得到的对应数字转换为字母，从而获得明文中每个字母加密后的密文． 例如：设a＝3，b＝4，我们可以将明文中字母L（m＝12）转换成所对应的密文． 计算：S＝3×12+4＝40． ∵40＞26，∴40﹣26＝14， ∵14对应字母N，∴明文中字母L对应的密文是字母N． 请你根据以上材料，完成探究： （1）若密钥为a＝2，b＝5，则明文“HI”加密后的密文为　 　 ； （2）在某次加密中，使用的“乘密钥”a＝3．小明发现，明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，则这次加密使用的“加密钥”b的值为　 　 ； （3）小华截获了一段密文“OK”，它是由明文“GC”使用上述材料中的加密规则加密而成，且由“G”加密成“O”所使用的密钥（“乘密钥”a，“加密钥”b）与由“C”加密成“K”所使用的密钥（“乘密钥”a，“加密钥”b）一致．求加密规则中使用的“乘密钥”a和“加密钥”b的值； （4）利用（3）中求得的加密规则中的密钥a和b，求密文“TN”解密获得的明文． 25．如图，四边形ABCD内接于圆，AB＝AD，∠DAB＝120°，AE平分∠DAB交BC边于点E，点B，C分别在AE的两侧，点F在边CD上，且DF＝BE，FE与AB的延长线交于点G，设∠BEG＝x°． （1）当C与F重合，圆的半径为2时，在备用图中画出示意图，并求四边形ABCD的面积； （2）求∠AEF的大小； （3）求证：FG＝2AD． 福建省押题卷-2026年福建省初中学业水平考试数学押题卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：根据有理数和无理数的定义可得： 3是整数，属于有理数，A符合题意； π是无限不循环小数，属于无理数，B不符合题意； 是无限不循环小数，属于无理数，C不符合题意； 0.101001000…是无限不循环小数，属于无理数，D不符合题意， 故选：A． 2．【解答】解：从正面看是一个“凹”字形， 故选：A． 3．【解答】解：44000000＝4.4×107． 故选：B． 4．【解答】解：A、该图形是中心对称图形，本选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，本选项不符合题意； C、该图形是中心对称图形，本选项不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，本选项符合题意． 故选：D． 5．【解答】解：由题知， 因为点M和点N表示的数分别是﹣1和1， 所以在点M和点N之间的点所表示的数比﹣1大且比1小， 显然只有A选项符合题意． 故选：A． 6．【解答】解：如图， 根据题意得：∠2＝∠6（对顶角相等），AB∥CD，∠5＝45°，∠1＝110°， ∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣110°＝70°， ∴∠4＝∠3＝70°（两直线平行，内错角相等）， ∴∠2＝∠6＝180°﹣∠5﹣∠4＝180°﹣45°﹣70°＝65°， 故选：B． 7．【解答】解：去分母得：2＝x﹣1﹣m， 解得：x＝m+3， 由方程的解为正数，得到m+3＞0，且m+3≠1， 则m的范围为m＞﹣3且m≠﹣2． 故选：B． 8．【解答】解：利用矩形面积公式即可列出方程为： x（60﹣x）＝864， 故选：A． 9．【解答】解：如图所示，连接OA，OB， 由题意可得：∠PAO＝∠PBO＝90°， ∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠P＝130°， ∴． 故选：C． 10．【解答】解：由条件可知a≠0，且a≠3a， ∴其对称轴为：直线， ∵抛物线向上平移2个单位得到C2，对称轴不变， ∴的对称轴仍为x＝2a． ∵A（2a﹣2，y1），B（3a+1，y2），两点到对称轴x＝2a的距离分别为： dA＝|（2a﹣2）﹣2a|＝|﹣2|＝2， dB＝|（3a+1）﹣2a|＝|a+1|， 当a＞0时（开口向上）： 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大． 要使y1＜y2恒成立，需dB＞dA，即： |a+1|＞2， 解得a+1＞2或a+1＜﹣2， 即a＞1或a＜﹣3． ∵a＞0， ∴a＞1． 当a＜0时（开口向下）： 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小． 要使y1＜y2恒成立，需dB＜dA， 即：|a+1|＜2， 解得﹣2＜a+1＜2，即﹣3＜a＜1． ∵a＜0， ∴﹣3＜a＜0． 综合两种情况可得：a的取值范围为：﹣3＜a＜0或a＞1． 故选：A． 二．填空题（共6小题） 11．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果收入16元记作+16，那么支出12元记作﹣12． 故答案为：﹣12． 12．【解答】解：过P作PH⊥OB于H， ∵OC平分∠AOB，PD⊥OA， ∴PH＝PD＝3， ∴点P到OB的距离为3． 故答案为：3 13．【解答】解：当x＝﹣4时，y＝﹣4m+4m+3＝3， 即此一次函数的图象经过定点（﹣4，3）， 因为点（﹣4，3）位于第二象限，所以这个函数的图象一定经过第二象限． 故答案为：二． 14．【解答】解：∵四边形ABCD，CEFG都是正方形， 设BC为x，CE为y， 可得：， 解得：x﹣y＝3， ∴DG＝CD﹣CG＝BC﹣CE＝3（cm）， 故答案为：3． 15．【解答】解：阅读课外书籍4册（含4册）以上的有12+3＝15人， 所以估计该年级获得此称号的概率为， 故答案为：． 16．【解答】解：过点E作EH⊥AC交AD于点H，连接GH，GC，CH， 由条件可知∠CAD＝45°，BD⊥AC， ∴△AEH是等腰直角三角形，EH∥BD， ∴AE＝EH， ∵AE＝FG， ∴EH＝FG， ∵EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∴GH＝EF， 由条件可知AB＝CB，∠ABG＝∠CBG＝45°， ∵BG＝BG， ∴△ABG≌△CBG（SAS）， ∴AG＝CG， ∴AG+EF＝CG+GH≥CH， ∴AG+EF的最小值为CH的长， ∵EH∥OD， ∴， 由条件可知， ∴， ∴AG+EF的最小值为． 故答案为：． 三．解答题（共9小题） 17．【解答】解： ＝1﹣21+3﹣3+1+1 ＝﹣18． 18．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AD∥BC， ∴∠D＝∠ECF， ∵E是边CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴AD＝CF， ∴AB＝CF． 19．【解答】解：原式＝（） • ， ∵x≠0且x﹣2≠0， ∴x≠0且x≠2， ∴x＝1， 则原式1． 20．【解答】解：（1）甲班成绩从低到高排列为：70、71、72、78、79、79、85、86、89、91，故中位数a＝79； 众数b＝79， 乙班的方差为：[2×（85﹣80）2+2×（80﹣80）2+（81﹣80）2+（77﹣80）2+（73﹣80）2+（74﹣80）2+（90﹣80）2+（75﹣80）2]＝27； 故答案为：79，79，27； （2）乙班成绩比较好，理由如下： 两个班的平均数相同，中位数、众数高于甲班，方差小于甲班，代表乙班成绩比甲班稳定，所以乙班成绩比较好； （3）454042（人）， 答：估计这两个班可以获奖的总人数大约是42人． 21．【解答】解：（1）①证明：设∠B＝α， ∵AC＝AD，AC＝BC， ∴∠ACD＝∠D，∠CAB＝∠B＝α． ∵∠B+2∠D＝180°， ∴， ∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠D＝α， ∴∠CAD＝∠CAB，即AC平分∠BAD， ∴四边形ABCD是对角线AC的内分四边形． ②设∠B＝α， 由①可得：∠CAD＝∠CAB＝α，，∠ACB＝180°﹣2α． 在凸四边形ABCD中，∠DAB＜180°且∠DCB＜180°， ∴∠DAB＝∠CAD+∠CAB＝2α＜180°， 且． ∴36°＜α＜90°，即36°＜∠B＜90°； 当∠B＝45°时，∠ACB＝90°，此时点H与点C重合， 所以有36°＜∠B＜45°和45°＜∠B＜90°两种情况． （i）当45°＜∠B＜90°时，如图， 此时∠ACB＜90°，则点H在BC上，连接CE，HE，NE， ∵AC＝BC，E是AB的中点， ∴CE平分∠NCH． ∴四边形CNEH是对角线CE的内分四边形． （ii）当36°＜∠B＜45°时，如图， 此时∠ACB＞90°，则点H在BC延长线上，连接CE，HE，NE， ∵AH⊥BC，即∠AHB＝90°， 又∵N是AC中点，E是AB的中点， ∴NE是△ABC的中位线， 且在Rt△AHC中，． ∴，NE∥BC． 又∵AC＝BC， ∴NH＝NE，∠NEH＝∠EHB． ∴∠NEH＝∠NHE． ∴∠EHB＝∠NHE，即HE平分∠NHC． ∴四边形HNEC是对角线HE的内分四边形． 综上，以C，N，E，H为顶点的四边形是内分四边形． （2）解：如图，连接CE，AF， ∵AC＝AD＝BC，E，F分别是AB，CD的中点， ∴AF⊥CD，CE⊥AB， ∴∠AFC＝∠AEC＝90°， ∴点A，E，C，F在以AC为直径的圆上． ∴∠ACF＝∠AEF． ∵四边形ABCD是对角线AC的“内分四边形”， ∴AC平分∠BAD或AC平分∠BCD． （i）当AC平分∠BAD时，∠CAD＝∠CAB． 又∵∠ACF＝∠AEF， ∴∠AME＝180°﹣∠AEF﹣∠CAB＝180°﹣∠ACF﹣∠CAD＝∠D． ∵AC＝AD，AB＝6， ∴∠D＝∠ACF＝∠AEF． ∴∠AME＝∠AEF． ∴． ∴MC＝AC﹣AM，即MC＝AC﹣3． （ii）如图，当AC平分∠BCD时，∠ACD＝∠ACB． 又∵∠ACF＝∠AEF， ∴∠AEF＝∠ACB． 又∵∠MAE＝∠BAC， ∵△MAE∽△BAC． ∴．即． ∴． 综上，MC＝AC﹣3或． 22．【解答】（1）解：根据题意在射线AM上截取AD＝AB，连接CD，作图如图， ； （2）证明：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SAS）． 23．【解答】证明：联立 得kx2+bx﹣a＝0， ∴， 在y＝kx+b中，令y＝0，则， 又∵xD＝0， ∴， ∴， ∴线段AB的中点与线段CD的中点重合， 设线段AB的中点为E 则AE﹣CE＝BE﹣DE， ∴AC＝BD． 24．【解答】解：（1）明文H对应数字m＝8，I对应数字m＝9， ∵a＝2，b＝5， ∴SH＝8×2+5＝21，SI＝9×2+5＝23， ∵21对应字母U，23对应字母W， ∴明文“HI”加密后的密文为UW， 故答案为：UW； （2）密文“M”对应的数字是13，即S＝13，明文“B”对应的数字m＝2， ∵S＝a•m+b，“乘密钥”a＝3， ∴b＝S﹣a•m＝13﹣3×2＝7， 故答案为：7； （3）明文“G“对应的数字m＝7，明文“C”对应的数字m＝3， 密文“O”对应的数字为15，即S＝15，密文“K”对应的数字为11，即S＝11， ∵“乘密钥”a，“加密钥”b所使用的密钥规则一致， ∴，解得：， ∴加密规则中使用的“乘密钥”a和“加密钥”b的值分别为1和8； （4）密文“T”对应的数字为20，“N”密文对应的数字为14， ∴ST＝20，SN＝14， ∵a＝1，b＝8，S＝a•m+b， ∴，解得：mT＝12，mN＝6， ∵12对应的字母是L，6对应的字母是F， ∴密文“TN”解密获得的明文是“LF”． 25．【解答】解：（1）示意图如图所示： ∵∠DAB＝120°，AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠EAB＝60°， 连接DE，BD， ∵AD＝AB，AE＝AE， ∴△ADE≌△ABE（SAS）， ∴DE＝BE，∠DEA＝∠AEB， 又∵四边形ABCD是圆的内接四边形， ∴∠C＝180°﹣∠DAB＝60°， 又∵DF＝BE，F，C重合， ∴DE＝DC， ∴△DEC是等边三角形， ∴∠CDE＝∠DEC＝60°， ∴， ∴△ADE和△AEB都是等边三角形， ∴∠ADE＝60°， ∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝120°， ∵AD＝AB，∠DAB＝120°， ∴∠ADB＝30°， ∴∠BDC＝90°， ∴BC是圆的直径， ∵圆的半径为2， ∴△DEC，△ADE，△AEB的边长都为2， ∴四边形ABCD的面积为3个边长为2的等边三角形的面积和， ∵边长为2的等边三角形的高为， ∴； （2）连接DE， 同（1）可证∠C＝60°，DF＝DE，∠DEA＝∠AEB， ∴∠DFE＝∠DEF， ∵∠BEG＝x°， ∴∠CEF＝x°， ∴∠DEF＝∠DFE＝∠C+∠CEF＝60°+x°， ∴， ∴∠AEF＝60°+x°+60°﹣x°＝120°； （3）证明：由（2）可知，DF＝DE，∠DEA＝∠AEB＝60°﹣x°，∠DFE＝∠DEF＝60°+x°，∠AEF＝120°，∠DAE＝∠EAG＝60°， ∴∠AEG＝∠AEB+∠BEG＝60°， ∴△AEG是等边三角形， ∴∠AGE＝60°，AG＝AE， 在FG上截取一点H使得GH＝AD， ∵∠DAE＝60°＝∠G＝60°， ∴△ADE≌△GHA（SAS）， ∴∠ADE＝∠AHG＝180°﹣∠HAG﹣∠AGE＝180°﹣（60°﹣x°）﹣60°＝60°+x°，AH＝DE，∠HAG＝∠DEA＝60°﹣x°， ∴AH＝DF，∠AHG＝∠DFE， ∴AH∥DF， ∴四边形AHFD是平行四边形， ∴AD＝FH， ∴GH＝FH， ∴FG＝2AD． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $