精品解析：2026年重庆市万州高级中学九年级下第二次阶段学情自测数学试题

2026年重庆万州中学九年级下第二次月考数学试题 （ 全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟 ） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0即可求解． 【详解】解：因为-+＝0， 所以-的相反数是． 故选：D． 【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键． 2. 传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； 故选：B． 3. 下列调查中，适合采用普查方式的是（ ） A. 调查某品牌电视机的市场占有率 B. 调查某电视连续剧在全国的收视率 C. 调查八年级（1）班的男女学生的比例 D. 调查某品牌电动车的使用寿命 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断． 【详解】解：A．调查某品牌电视机的市场占有率，适合抽样调查，故不符合题意； B．调查某电视连续剧在全国的收视率，适合抽样调查，故不符合题意； C．调查八年级（1）班的男女同学的比例，适合普查，故符合题意； D．调查某品牌电扇的使用寿命，适合抽样调查，不符合题意． 故选：C． 4. 已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过点(﹣1，2) B. y随x的增大而增大 C. 图象在第二、四象限内 D. 若x＞1，则﹣2＜y＜0 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，k=＜0，函数位于二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，反比例函数的图象是中心对称图形解答． 【详解】解： A、把点（-1，2）代入反比例函数y=，得2=2成立，故说法正确，不符合题意； B、∵k=＜0，函数位于二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，故选项错误，，符合题意； C、∵k=-2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故说法正确，不符合题意； D、当x=1时，y=-2，故当x＞1时，-2＜y＜0说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大． 5. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求出答案． 【详解】解：A、∵，根据不等式两边同时减去一个数，不等号方向不变可知：，故选项不成立，不符合题意； B、∵，根据不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变可知：，故选项成立，符合题意； C、∵，当时，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变可知：，故选项不成立，不符合题意； D、∵，根据不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变可知：，故选项不成立，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 6. 据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为，则可以列出方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．根据5月2日的全国旅游收入5月1日全国旅游收入，5月3日的全国旅游收入5月1日全国旅游收入，据此列出方程即可得． 【详解】解：由题意，可以列出方程为， 故选：A． 7. 观察图形的规律，第①个图形中共有3个小黑点，第②个图形中共有9个小黑点，第③个图形中共有18个小黑点，按照此规律第⑥个图形中共有（ ）个小黑点 A. 54 B. 63 C. 84 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了探索图形规律问题．根据所画出的图形中小黑点的个数，按照规律即可得到第6个图形中小黑点的个数． 【详解】解：由图形1、2、3可以看出， 第1个图形小黑点的个数：； 第2个图形小黑点的个数：； 第3个图形小黑点的个数：； ∴第个图形小黑点的个数：； ∴第6个图形小黑点的个数：． 故选：B． 8. 如图，在菱形中，，点是的中点，以为圆心，为半径作弧，交于点，连接、、，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积计算，灵活运用图形割补法是解题的关键． 根据菱形性质与已知角度，可判定为等边三角形，结合中点条件得到；再由及推出的角度关系，进而得到为等边三角形；最后通过“阴影面积”的割补思路，代入等边三角形与扇形面积公式，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形，， 点是的中点， ，即， ，， ， ， 由对称性可得，， 是等边三角形， 在中，，， ，， ，， ． 故选：． 9. 如图，正方形的边长为6，点在边上，连接，作交的角平分线于点，交于点，连接交于点．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，延长交的延长线于点，证明得出，，进而勾股定理求得，根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，再证明进而得出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中， 在中， ∵是的角平分线， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 故选：C． 10. 已知整式，其中，为正整数，，，…，均为整数，满足且．下列说法： ①当时，则的最小值为； ②存在一个满足条件的三次四项式，使得； ③当时，所有满足条件的二次三项式的和为； ④当时，所有满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目给出的整式系数的条件，逐一判断四个说法的正误，最终统计正确说法的个数得到答案，用到整数的性质和分类列举的方法． 【详解】解：整式， 其中，为正整数，，，…，均为整数， 满足且， ① 当时，为正整数，满足， ∵， 当，满足条件， 此时， 故①错误； ② 若存在满足条件的三次四项式，使， 当，满足， 且，符合要求， 故②正确； ③ 当时，为二次三项式， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所有满足条件的二次三项式共个，相加得总和为：，不等于，故③错误； ④ 当时，按次数枚举所有满足条件的整式： 当时：，，共个， 分别为； 当时：共个， 分别为； 当时：共个， 分别为； 当时：五个不同整数的最小绝对值和为，不存在符合条件的整式； ∴总个数为，故④正确； 综上，正确的说法是②④，共个． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 桌上倒扣着背面图案相同的张扑克牌，其中张红桃，张黑桃．从中随机抽取张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，直接应用概率公式：事件发生的概率等于该事件可能发生的结果数除以所有可能的结果数。 【详解】解：从7张扑克牌中随机抽取张，共有种等可能结果， 其中抽到红桃的有种结果， 抽取红桃的概率为． 故答案为：． 12. 如图是共享单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉，已知，，，，则的度数是____________°． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． 13. 已知：，则整数_________． 【答案】 【解析】 【分析】先估算无理数的取值范围，再得到的取值范围，结合已知不等式确定整数的值. 【详解】解：，， ， ∴， ∴， ，且为整数， . 14. 已知：，求_________． 【答案】1 【解析】 【分析】先确定，得到，结合已知得到，利用非负性求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 15. 如图，为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，．则的半径_________；线段_________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】连接，由切线长定理得，，，得到，，由勾股定理得，设的半径为，则，，然后通过勾股定理即可求解；根据已知条件求出，，，证明，得到，代入计算即可 【详解】解：连接， ，分别切于点，， ，，， ，， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ， 解得：， 的半径为； ，， ，， ， 在中，， ，， ， ， ， ． 16. 若一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等且均不为零，其中满足（，且为整数），则称这个四位自然数为“和方数”．例如四位数1267，因为各个数位上的数字互不相等且均不为零，，故1267是“和方数”．按照这个规定，最大的“和方数”为____；对于“和方数”，若为整数，且，则满足条件的所有M的最大值与最小值的差为____． 【答案】 ①. 9871 ②. 6993 【解析】 【分析】先说明只能取16或，再根据“和方数”的定义，要使“和方数”最大，则a取9，b取8，c取7，再通过枚举求得符合题意的c的值即可解答；先说明，再分和两种情况，分情况讨论a，b，c，d的取值，逐一代入验证确定最大值和最小值，最后作差即可解答． 【详解】解：∵数字和的最小值为 ，最大值为， ∴只能取16或． 要使四位数最大，千位、百位应尽可能大，优先取 9、8、7，剩余两位数字和为，即最大的 “和方数” 为 9871． ∵， ∴， ∵各个数位上的数字互不相等且均不为零， ∴， ∴， （1）当时，数字和为，则， ∴，且a、b、d互不相等、不为 0，也不等于 5． 又∵为整数， ∴当时，是整数符合题意； 经验证：时都不是整数，不符合题意； 当时，是整数符合题意； ①当时：，且b、d不为 0、1、5，互不相等． 可能的组合： 当时，可得数：，符合题意； 当，可得数：，符合题意； 当，可得数：，符合题意； 当，可得数：，符合题意； 当，可得数：，符合题意； 当，可得数：，符合题意； 当，重复，不合题意； ②当时，，且b、d不为 0、5、8，互不相等． 可能的组合： 当时，可得数：，符合题意； 当，可得数：，符合题意； 在情况（1）中，最小的数是1258，最大数； 情况（2）：当时，数字和为，则， ∴，且a、b、d互不相等、不为 0，也不等于6． 又∵为整数， 经验证：，时都不是整数，不符合题意； 综上，最小的数是1258，最大数，差值为． 三、解答题（本大题共9小题，17、18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组 解：解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来： 所以原不等式组的解集为 ． 【答案】； 【解析】 【分析】分别根据不等式的性质解两个不等式，并在数轴上表示这两个不等式的解集，找到这两个解集的公共部分，所以原不等式组的解集即为这两个解集的公共部分． 【详解】略． 18. 如图，在矩形中，连接，点在边上，且满足平分，． （1）用尺规完成以下基本作图，过点作的垂线，交于点，交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由） 证明：四边形是矩形 ，， ， 平分， ① ， ， ， ② ， ， ， ， ， 在和中， ． ， 四边形是④． ， 四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2），平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据过一点作已知直线的垂线的尺规作图方法作图即可； （2）通过证明，得，又因为，所以可证四边形是平行四边形，因为平分，，可证得，则， 所以可证四边形是菱形． 【小问1详解】 解：画法：以E为圆心任意长为半径画弧，交于，分别以为圆心大于为半径画弧，两弧交于一点，连接此点和点E，交于点，交于点，连接，则． 理由：根据过一点作已知直线的垂线的尺规作图方法作图； 【小问2详解】 证明：四边形是矩形 ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ． ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 故答案为：，平行四边形． 【点睛】本题考查尺规作图作已知直线的垂线，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形三线合一，掌握相关知识是解决问题的关键． 19. 月日是世界读书日．学校为了解同学们的课外阅读情况，从七、八年级学生中各随机抽取名学生进行问卷调查，对所得数据进行了整理、描述和分析，用表示每个同学每学期的课外阅读量（本），共分五组：；；；；．下面给出了部分信息： 七年级名学生每学期的课外阅读量在组中的数据是：． 八年级名学生每学期的课外阅读量为：． 七、八年级所抽取学生每学期课外阅读量统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的课外阅读量更大？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级每学期课外阅读量不低于本的学生共有多少人？ 【答案】（1）；； （2）七年级的成绩更好，理由如下： 七年级的中位数、平均数、众数都比八年级高，所以七年级的成绩更好（答案不唯一）； （3）该校七、八年级每学期课外阅读量不低于本的学生共有人 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义计算即可得出的值，通过计算七年级组的占比，用减去其他分类的占比即可得到的值. （2）根据七年级的中位数、平均数、众数都比八年级高即可得出答案. （3）首先计算出样本中阅读量不低于本的学生的占比，再用总量乘计算出的占比即可得到答案. 【小问1详解】 解：∵七年级共抽取个人， ∴中位数取第个数据的平均数， 组有个数据， ∵对组进行排序即，共个数据， ∴第个数据即为组的第个数据， ∴， ∵八年级名学生每学期的课外阅读量是：，出现的次数最多， ∴， ∵七年级组的占比为， ∴， ∴， 故答案为：；；； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：七年级每学期课外阅读量不低于本的学生人数为：（人）， 八年级每学期课外阅读量不低于本的学生人数为：（人）， ∴该校七、八年级每学期课外阅读量不低于本的学生共有（人）， ∴该校七、八年级每学期课外阅读量不低于本的学生共有人． 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】原式根据分式的混合运算法则进行化简得最简结果，再求出的值，代入化简结果进行计算即可． 【详解】解： ； 又， ∴原式． 21. 某车间生产一种仪器，每台仪器需要1个主体、3个配件才能配套．车间共有20名工人，每人每天可生产主体15个或配件30个． （1）如何分配工人，才能使每天生产的主体和配件刚好配套？ （2）在另一生产方案下，已知一名工人单独完成120个主体的时间，比单独完成90个配件的时间多1天，且每人每天生产主体比配件少5个．求每人每天生产配件多少个？ 【答案】（1）分配8名工人生产主体，12名工人生产配件，刚好配套 （2）每人每天生产配件45个 【解析】 【分析】（1）设生产主体的工人有x名，则生产配件的工人有名．由题意得，然后进行求解即可； （2）设每人每天生产配件m个，则每人每天生产主体个．根据题意得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设生产主体的工人有x名，则生产配件的工人有名．由题意得： ， 解得：， ∴（名）， 答：分配8名工人生产主体，12名工人生产配件，刚好配套． 【小问2详解】 解：设每人每天生产配件m个，则每人每天生产主体个． 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 经检验：符合题意，是原方程的解． 答：每人每天生产配件45个． 22. 如图，在平行四边形中，，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿B→C方向运动，动点M以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿C→D→A方向运动．点P、Q、M三点同时出发，当点P到达点A时，点P，Q和M均停止运动，设动点P运动的时间为x秒，的面积为，点M与点D之间的距离为 （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围．(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.3) 【答案】（1）， （2）函数图象如图所示： 函数的性质：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】（1）过点P作于点N，根据题意可得，则，结合30度直角三角形的性质表示出，然后利用三角形面积公式即可表示出，进而分点M在上和在上时，分别表示出即可； （2）根据（1）中所求表达式，利用描点法作图即可； （3）根据图象找出的图象在的图象下方时，x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：如图，过点P作于点N， ∵在平行四边形中，，，， ∴，， 根据题意可得，，则， ∵在中，， ∴， ∴； 当点M在上时，即时，， 当点M在上时，即时，； ∴综上可知：； 【小问2详解】 解：描点如下： x 1 2 3 4 5 6 7 3.5 6 7.5 8 7.5 6 3.5 6 4 2 0 2 4 6 所作函数图象（略）；性质略（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：由函数图象，当时，x的取值范围是或． 23. 随着智能物流系统的普及，许多仓储中心开始使用机器人协同作业．某分拣中心为优化路径，设置了四个智能站点A，B，C，D（位于同一平面）．如图，A在B的南偏西方向72米处，C在A的东北方向，且在B的正北方向，D在A的北偏东方向，且在C的正西方向．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）两个物流机器人同时从不同站点出发执行运输任务，机器人甲从C出发沿着前往D处取货，机器人乙从D出发沿着前往A装货，乙的速度是甲的2倍．机器人之间通过车间通信系统保持实时数据同步，有效通信距离为33米．请通过计算说明，当甲距离C多少米时，两个机器人之间的直线距离开始超出通信范围？（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1） （2）当甲距离C大于米时，两个机器人之间的直线距离开始超出通信范围 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，特殊角的三角函数，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）过点B作于点E，过点A作，交的延长线于点F，推导出，，，求出，，得到米，进而求出米，则，计算求解即可． （2）设当甲距离C的距离为x米时，两个机器人之间的直线距离为33米，此时甲所在位置为M，乙所在位置为N，过点N作，交的延长线于点P，推导出米，，米，继而求出，再根据勾股定理，得到，求出或（不符合题意，舍去），即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点E，过点A作，交的延长线于点F， ∴， 由题意及图，得 米， ∴， ∴， ∴， 米， ∴， ， ∴米， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 解：设当甲距离C的距离为x米时，两个机器人之间的直线距离为33米，此时甲所在位置为M，乙所在位置为N，如图，过点N作，交的延长线于点P， ∴， ∴， ∵，，米， ∴米， ∴米米， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． ∴当甲距离C大于米时，两个机器人之间的直线距离开始超出通信范围． 24. 如图1，抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，已知，连接，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P是位于直线上方抛物线上一点，过点P做轴交于点E，连接，点F是直线上一动点，当时，求出此时点P的坐标周长的最小值； （3）如图3，抛物线关于原点对称后得新抛物线y，新抛物线交x轴于点，交y轴于点，点Q是新抛物线y上位于x轴下方的一点，满足，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一种情况的推理过程． 【答案】（1） （2）；周长的最小值为 （3）或或，推理过程见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，四点共圆，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，画出正确的辅助线是解题的关键． （1）根据求得点，利用待定系数法即可解答； （2）利用相似三角形的判定和性质求得点的坐标，再根据将军饮马原理可得周长的最小值； （3）求得新抛物线解析式，利用定弦定角原理作圆，则可得圆与新抛物线在轴下方的点都符合题意，利用相似三角形的判定和性质逐一解答即可． 【小问1详解】 解：， ， 把代入解析式可得， ， 解得， 所以抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，作，交于点，过点作，交于点， 当时，， 解得， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 所以直线的解析式为， 轴， ， 轴，， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在直线上， ， 解得， ； 如图，作点关于的对称点，连接，连接，延长交轴于点， ，轴， ， 点关于的对称点， ， ， ， 周长等于，当三点共线时，最短，即的长， 周长的最小值为， ， ， ， 即周长的最小值为； 【小问3详解】 解：抛物线关于原点对称后得新抛物线y，新抛物线交x轴于点， ， 设新抛物线的解析式为， 把代入可得，解得， 新抛物线的解析式为， ， ，, ， 当点和点重合时，符合题意，此时； 如图，过点作交于点，以点为圆心长度为半径作圆，交新抛物线轴下方部分于点，此时，符合题意， 当点在轴左边时，过点作，交于点，过点作交的延长线于点， 为直径， ， , ， ，， ， ， 设，则，，，， 故可得方程， 整理得， ， 解得（正值舍去）， 经检验，是原方程的解， ， 当点在轴右边时，过点作，交于点，过点作交的延长线于点， 同理可得， ， 设，则，，，， 故可得方程， 解得（负值舍去）， 经检验，是原方程的解， ， 综上所示，的坐标为或或． 25. 如图1，在中，，，是线段上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，为的对应点，连接、，为延长线和延长线的交点． （1）如图1，当时，求此时四边形的面积； （2）如图2，连接，若、分别是、的中点，连接、，猜想和的关系，并证明你的猜想； （3）如图3，当在射线上运动时，将沿着翻折，得到，连接，与交于点，当时，直接写出的长． 【答案】（1）18.5 （2），理由见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后根据勾股定理可得，然后问题可进行求解； （2）分别取的中点M、N，连接，然后根据三角形中位线可得，进而可得，最后通过证明进行求证即可； （3）由折叠可知，分别过点E、作，垂足分别为R、Q，根据“K型全等”可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由旋转可知：， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由旋转可知：， ∵分别是的中点，， ∴， 分别取的中点M、N，连接，如图所示： ∴， ∵点M、N、O分别是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由旋转可知：， ∴， 根据沿着翻折，得到，可知：， ∴， 分别过点E、作，垂足分别为R、Q，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、三角形中位线、旋转的性质、轴对称的性质、直角三角形斜边中线定理、勾股定理及等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键是正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年重庆万州中学九年级下第二次月考数学试题 （ 全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟 ） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（　　） A. B. 2 C. D. 2. 传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适合采用普查方式的是（ ） A. 调查某品牌电视机的市场占有率 B. 调查某电视连续剧在全国的收视率 C. 调查八年级（1）班的男女学生的比例 D. 调查某品牌电动车的使用寿命 4. 已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过点(﹣1，2) B. y随x的增大而增大 C. 图象在第二、四象限内 D. 若x＞1，则﹣2＜y＜0 5. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 6. 据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为，则可以列出方程为（　　） A. B. C. D. 7. 观察图形的规律，第①个图形中共有3个小黑点，第②个图形中共有9个小黑点，第③个图形中共有18个小黑点，按照此规律第⑥个图形中共有（ ）个小黑点 A. 54 B. 63 C. 84 D. 90 8. 如图，在菱形中，，点是的中点，以为圆心，为半径作弧，交于点，连接、、，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为6，点在边上，连接，作交的角平分线于点，交于点，连接交于点．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中，为正整数，，，…，均为整数，满足且．下列说法： ①当时，则的最小值为； ②存在一个满足条件的三次四项式，使得； ③当时，所有满足条件的二次三项式的和为； ④当时，所有满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 桌上倒扣着背面图案相同的张扑克牌，其中张红桃，张黑桃．从中随机抽取张，则抽取的扑克牌的花色是红桃的概率是_____． 12. 如图是共享单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉，已知，，，，则的度数是____________°． 13. 已知：，则整数_________． 14. 已知：，求_________． 15. 如图，为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，．则的半径_________；线段_________． 16. 若一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等且均不为零，其中满足（，且为整数），则称这个四位自然数为“和方数”．例如四位数1267，因为各个数位上的数字互不相等且均不为零，，故1267是“和方数”．按照这个规定，最大的“和方数”为____；对于“和方数”，若为整数，且，则满足条件的所有M的最大值与最小值的差为____． 三、解答题（本大题共9小题，17、18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组 解：解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来： 所以原不等式组的解集为 ． 18. 如图，在矩形中，连接，点在边上，且满足平分，． （1）用尺规完成以下基本作图，过点作的垂线，交于点，交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由） 证明：四边形是矩形 ，， ， 平分， ① ， ， ， ② ， ， ， ， ， 在和中， ． ， 四边形是④． ， 四边形是菱形． 19. 月日是世界读书日．学校为了解同学们的课外阅读情况，从七、八年级学生中各随机抽取名学生进行问卷调查，对所得数据进行了整理、描述和分析，用表示每个同学每学期的课外阅读量（本），共分五组：；；；；．下面给出了部分信息： 七年级名学生每学期的课外阅读量在组中的数据是：． 八年级名学生每学期的课外阅读量为：． 七、八年级所抽取学生每学期课外阅读量统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的课外阅读量更大？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级每学期课外阅读量不低于本的学生共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中 21. 某车间生产一种仪器，每台仪器需要1个主体、3个配件才能配套．车间共有20名工人，每人每天可生产主体15个或配件30个． （1）如何分配工人，才能使每天生产的主体和配件刚好配套？ （2）在另一生产方案下，已知一名工人单独完成120个主体的时间，比单独完成90个配件的时间多1天，且每人每天生产主体比配件少5个．求每人每天生产配件多少个？ 22. 如图，在平行四边形中，，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿B→C方向运动，动点M以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿C→D→A方向运动．点P、Q、M三点同时出发，当点P到达点A时，点P，Q和M均停止运动，设动点P运动的时间为x秒，的面积为，点M与点D之间的距离为 （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围．(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.3) 23. 随着智能物流系统的普及，许多仓储中心开始使用机器人协同作业．某分拣中心为优化路径，设置了四个智能站点A，B，C，D（位于同一平面）．如图，A在B的南偏西方向72米处，C在A的东北方向，且在B的正北方向，D在A的北偏东方向，且在C的正西方向．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）两个物流机器人同时从不同站点出发执行运输任务，机器人甲从C出发沿着前往D处取货，机器人乙从D出发沿着前往A装货，乙的速度是甲的2倍．机器人之间通过车间通信系统保持实时数据同步，有效通信距离为33米．请通过计算说明，当甲距离C多少米时，两个机器人之间的直线距离开始超出通信范围？（结果保留小数点后一位）． 24. 如图1，抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，已知，连接，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P是位于直线上方抛物线上一点，过点P做轴交于点E，连接，点F是直线上一动点，当时，求出此时点P的坐标周长的最小值； （3）如图3，抛物线关于原点对称后得新抛物线y，新抛物线交x轴于点，交y轴于点，点Q是新抛物线y上位于x轴下方的一点，满足，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一种情况的推理过程． 25. 如图1，在中，，，是线段上的一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，为的对应点，连接、，为延长线和延长线的交点． （1）如图1，当时，求此时四边形的面积； （2）如图2，连接，若、分别是、的中点，连接、，猜想和的关系，并证明你的猜想； （3）如图3，当在射线上运动时，将沿着翻折，得到，连接，与交于点，当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $