精品解析：重庆市万州第三中学2024-2025学年九年级下学期第一次数学月考试卷

重庆市万州第三中学2024-2025学年九年级下学期 第一次数学月考试卷 考试范围：初中全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 0，－1，4，－2这四个数中最小的是（ ） A. 0 B. －1 C. 4 D. －2 2. 北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，，，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，分别是的边上的点，且，相交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列整数中，与最接近的是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 观察下列一组图形中点的个数，其中第①个图形中共有3个点，第②个图形中共有9个点，第③个图形中共有18个点，按此规律，第⑥个图形中共有点的个数是（ ） A. 45 B. 63 C. 84 D. 108 7. 下列命题中真命题是（ ） A. 三角形按边可分为不等边三角形，等腰三角形和等边三角形 B. 等边三角形有条对称轴，它们是三条边上的高 C. 三角形的一个外角大于任何一个内角 D. 三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D．若BC＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A. π+1 B. π+2 C. 2 π+1 D. 2π+2 9. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB、AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，则AF的长为（　　） A. 4 B. 3 C. 2.5 D. 2 10. 有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①b3＝2a+5； ②当a＝2时，第3项为16； ③若第4项与第5项之和为25，则a＝7； ④第2022项为（a+2022）2； ⑤当n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k2； 以上结论正确的是（　　） A. ①②⑤ B. ①③⑤ C. ①②④ D. ②④⑤ 第II卷（非选择题） 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算_____． 12. 两个人做游戏：每个人从、、1这三个数中随机选一个数字写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率是________． 13. 已知一个正多边形的内角和与其外角和的和为，那么从这个正多边形的一个顶点出发，可以作______条对角线． 14. 如图，是⊙的直径，是⊙的切线，连接交⊙于点D，点E为上一点，满足，连接交于点F，若，，则_____，_____． 15. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 16. 若一个四位自然数A千位上的数字的2倍等于百位、十位、个位上的数字之和，则称A为“和数”，那么最小的“和数”为______．已知一个四位自然数（其中a，b，c，d均为整数，，且，）是“和数”，且能被6整除，将B的千位数字的2倍与百位数字的差记为，个位数字的2倍与十位数字的和记为，则满足条件的的最大值为______． 三、解答题：（本大题共8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包含辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，四边形是平行四边形，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，分别交、、于点、、．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接，，猜想四边形的形状，并证明你的结论． 解：猜想四边形的形状为菱形，证明如下： 是的垂直平分线， ，，①______， 又四边形是平行四边形， ②______， ． 在和中， ， ③______， ， 四边形是菱形． 结论：平行四边形一条对角线的端点和这条对角线的垂直平分线与④______． 19. 某校为了加强反霸凌相关方面的教育，提高学生的法律意识，举办了“霸凌！”法律知 识竞赛，从中随机抽取20名学生的成绩(成绩得分用x 表示，单位：分)：94，83，83，86， 94，88，96，100，97，82，94，82，84，89，88，93，98，94，93，92．整理数据，得到频数分布表和扇形统计图． 等级 成绩/分 频数 A a B 7 C 4 D 5 根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ；20名学生成绩的中位数是 ． （2）若成绩不低于90分为优秀，请估计该校2000名学生中达到优秀等级的人数． （3）已知 A 等级中有2名男生，现从 A 等级中随机抽取2名同学成为学校法律宣讲员，试用列表法或树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率 20. 重庆动物园“四喜丸子”火爆全网，为迎接即将到来的端午节旅游热，重庆一玩具加工厂计划安排甲车间加工熊猫玩偶1000个．甲车间工作一周后还未加工完，于是从乙车间借调了一些工人，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多40个，又加工了3天才完成了任务． （1）求甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数； （2）由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排甲，乙车间共同加工生产该熊猫玩偶3000个，在加工完成一半后，改进了加工技术，两个车间每天均比改进技术前多加工，结果比原计划提前2天完成任务，求改进技术前乙车间每天加工玩偶的个数． 21. 如图，在 中， ， ，， 点 D为的中点， 过点D作交于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线(含端点) 运动，到达E点停止运动，过点P作交于点Q． 设点P的运动时间为x秒，的长度为，请解答下列问题： （1）直接写出关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）的函数图象如图所示，当时，请直接写出x的取值范围．(结果保留一位小数，误差不超过) 22. 五边形是围绕河修建的步道，小依和爸爸从A前往D处，有两条线路，如图：①；②．经勘测，点B在点A的正南方向，米，点C在点B的正东方向，米，点D在点C的北偏东，点E在点A的东北方向，点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向．（参考数据：） （1）求的长度（结果精确到1米）； （2）小依选择线路①，爸爸选择线路②，小依步行速度是80米/分钟，爸爸步行速度是95米/分钟，小依和爸爸同时从A处出发且始终保持匀速前进，请计算说明小依和爸爸谁先到达D处？ 23. 如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知，抛物线的对称轴为：． （1）求抛物线的表达式； （2）点为对称轴左侧，第三象限抛物线上一动点，点为抛物线的顶点，过点作直线交对称轴于点，连接．求的最大值以及此时点的坐标； （3）如图2，在（2）成立的情况下，连接，将抛物线沿着射线方向平移个单位得抛物线．点是抛物线的顶点，点是抛物线与轴的交点，直线与轴交于点，过抛物线上一点（不与点重合）作轴于点，直线交于点，连接．若点关于直线的对称点恰好落在轴上，请直接写出点的横坐标． 24. 如图所示，为等腰三角形，，点D是上一点，连接． （1）如图1，若，，以为边在的右侧作等边，连接，求的长； （2）如图2，若，以为底边在的右侧作等腰直角，连接，求证：； （3）如图3，若，点E为中点，将绕点A顺时针旋转得到线段，连接，直线与直线交于点F，当取得最小值时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市万州第三中学2024-2025学年九年级下学期 第一次数学月考试卷 考试范围：初中全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 0，－1，4，－2这四个数中最小的是（ ） A. 0 B. －1 C. 4 D. －2 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可． 【详解】∵-2＜-1＜0＜4， ∴最小的数是-2， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较法则，能熟记有理数的大小比较法则的内容是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 2. 北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可 【详解】A,B,C都不是轴对称图形，故不符合题意； D是轴对称图形， 故选D. 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，准确理解定义是解题的关键． 3. 如图，直线，，，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，三角形的外角定理，准确识图，熟练掌握平行线的性质和三角形的外角定理是解答此题的关键．首先根据平行线的性质得，再由三角形的外角定理可得结论． 【详解】解：如图： ，， ∴， 又∵， ∴． 故选：A． 4. 如图，分别是的边上的点，且，相交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可证明，再利用相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出对应边的比值． 【详解】解：∵ ∴ ∴根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可知对应边的比为． 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的性质，主要有①相似三角形周长的比等于相似比；②相似三角形面积的比等于相似比的平方；③相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 5. 下列整数中，与最接近的是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先估算出的范围，再估算的范围即可． 【详解】解：，16离15更近， ，且更接近4， ，且更接近， ，且更接近4． 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的估算，估算的范围是解题的关键． 6. 观察下列一组图形中点的个数，其中第①个图形中共有3个点，第②个图形中共有9个点，第③个图形中共有18个点，按此规律，第⑥个图形中共有点的个数是（ ） A. 45 B. 63 C. 84 D. 108 【答案】B 【解析】 【分析】由图可知：其中第1个图中共有1×3=3个点，第2个图中共有1×3+2×3=9个点，第3个图中共有1×3+2×3+3×3=18个点，…由此规律得出第n个图有1×3+2×3+3×3+…+3n个点． 【详解】解：第1个图中共有1×3=3个点， 第2个图中共有1×3+2×3=9个点， 第3个图中共有1×3+2×3+3×3=18个点， … 第n个图有1×3+2×3+3×3+…+3n个点． 所以第6个图中共有点的个数是1×3+2×3+3×3+…+6×3=63． 故选：B． 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律，利用规律解决问题． 7. 下列命题中真命题是（ ） A. 三角形按边可分为不等边三角形，等腰三角形和等边三角形 B. 等边三角形有条对称轴，它们是三条边上的高 C. 三角形的一个外角大于任何一个内角 D. 三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形的分类、轴对称图形、三角形外角的性质及角平分线的性质定理直接进行排除选项即可． 【详解】A、三角形按边可分为不等边三角形，等腰三角形，故错误，是假命题； B、等边三角形有3条对称轴，它们是三条经过边上的高的直线，故错误，是假命题； C、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，故错误，是假命题； D、三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等，是真命题； 故选D． 【点睛】本题主要考查三角形的分类、轴对称图形、三角形外角的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握三角形的分类、轴对称图形、三角形外角的性质及角平分线的性质定理是解题的关键． 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D．若BC＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A. π+1 B. π+2 C. 2 π+1 D. 2π+2 【答案】B 【解析】 【分析】连接AD、OD，证明DO是△ABC的中位线，根据阴影部分的面积=S扇形AOD+ S△BOD列式求解即可． 【详解】解：连接AD、OD． ∵AB=AC，∠ABC=45°， ∴∠C=45°， ∴∠BAC=90°， ∵BC=4， ∴AB=AC=4， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BDA=90°，即AD⊥BC， ∴BD=DC， ∴DO是△ABC的中位线， ∴OD∥AC． ∴∠BOD=∠BAC=90°，∠DOA=90°， ∴阴影部分的面积=S扇形AOD+ S△BOD=， 故选：B． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积计算方法，圆周角定理，三角形中位线，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 9. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB、AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，则AF的长为（　　） A. 4 B. 3 C. 2.5 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】延长FD到G，使DG＝BE，连接CG、EF，先利用正方形的性质和SAS证明△BCE≌△DCG，得CE＝CG，再利用SAS证明△GCF≌△ECF，于是GF＝EF，然后利用勾股定理求出BE的长，设AF＝x，在Rt△AEF中利用勾股定理列出方程，解方程即得答案. 【详解】解：如图，延长FD到G，使DG＝BE，连接CG、EF； ∵四边形ABCD为正方形，∴BC=DC，∠B=∠CDG=90°， ∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴CE＝CG，∠BCE＝∠DCG， ∵∠BCE+∠DCF=45°，∴∠DCG+∠DCF=45°，∴∠GCF＝45°， ∴∠GCF=∠ECF，又∵CF=CF，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF， ∵CE＝3，CB＝6，∴BE＝＝3，∴AE＝3， 设AF＝x，则DF＝6﹣x，GF＝3+（6﹣x）＝9﹣x，∴EF＝9﹣x． 在Rt△AEF中，由勾股定理得：（9﹣x）2＝9+x2， 解得：x＝4，即AF＝4． 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，构建全等三角形、利用方程思想是解题的关键. 10. 有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①b3＝2a+5； ②当a＝2时，第3项为16； ③若第4项与第5项之和为25，则a＝7； ④第2022项为（a+2022）2； ⑤当n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k2； 以上结论正确的是（　　） A. ①②⑤ B. ①③⑤ C. ①②④ D. ②④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中的描述，按规律写出前几项验证相关选项，最后得到，第项为，进一步验证即可得到结论． 【详解】解：第一项是a2， 第二项是a2+2a+1， 用第二项减去第一项，所得之差记为b1，则， 将b1加2记为b2，则， 将第二项与b2相加作为第三项，则第三项是， 当a＝2时，第三项是，②正确； 将b2加2记为b3，则，①正确； 第三项与b3相加作为第四项，则第四项是， 将b3加2记为b4，则， 第四项与b4相加作为第五项，则第五项是， 第4项与第5项之和为25，则，解得a＝0或，③错误； … 综上所述：，第项为， 第2022项为，④错误； 当时， ， 故选：A． 【点睛】本题考查整式规律，根据题目要求，通过前面几项找到一般项的规律是解决问题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算_____． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂和二次根式的性质分别化简即可解答. 【详解】， 故答案为：1. 【点睛】此题考查实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，解题关键在于掌握运算法则. 12. 两个人做游戏：每个人从、、1这三个数中随机选一个数字写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到符合题意的结果数即可求解； 【详解】解：由题可得到树状图如下图所示： ∵， ∴一共有9种等可能性的结果数，两人所写整数的绝对值相等的结果数有5种 ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用树状图求概率，准确画图是解题的关键． 13. 已知一个正多边形的内角和与其外角和的和为，那么从这个正多边形的一个顶点出发，可以作______条对角线． 【答案】9 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形的外角和以及内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式．首先根据多边形外角和求出内角和的度数，再利用内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数． 【详解】解：多边形的外角和都是， 内角和等于， 设这个多边形有条边， ，解得：， 从这个正多边形的一个顶点出发，可以作条对角线． 故答案为：9． 14. 如图，是⊙的直径，是⊙的切线，连接交⊙于点D，点E为上一点，满足，连接交于点F，若，，则_____，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质等知识，连接、，由是的直径，是的切线，推导出，则，，由，得，所以，则，，可证明，得，求得，则，，再证明，得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵是的直径，是的切线， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 15. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别通过解一元一次不等式组和分式方程确定的取值范围，再确定所有满足条件的整数，最后求解此题结果． 【详解】∵不等式组， 解不等式组得， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴， ∴， ∵， 解分式方程得：， ∵是负数且， ∴是负数且， ∴且， ∵且为整数， ∴且， ∴的值为、、、， ∴所有满足条件的整数的值之和为：， 故答案为： 【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，正确求解分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键． 16. 若一个四位自然数A千位上的数字的2倍等于百位、十位、个位上的数字之和，则称A为“和数”，那么最小的“和数”为______．已知一个四位自然数（其中a，b，c，d均为整数，，且，）是“和数”，且能被6整除，将B的千位数字的2倍与百位数字的差记为，个位数字的2倍与十位数字的和记为，则满足条件的的最大值为______． 【答案】 ①. 1002 ②. 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的应用，分式的化简求值，新定义，正确理解定义是解题的关键． 根据和数”的定义确定即可；根据题意得出自然数B的千位数字为a，百位数字是b，十位数字是，个位数字是，，再根据“和数”的定义以及该“和数”能被6整除得出或，再分类讨论解答即可． 【详解】解：根据“和数”的定义，得到最小“和数”百位、十位、个位上的数字之和最小且为2的正整数倍， 百位、十位、个位上的数字之和为2，该自然数千位上的数字为1， 最小的“和数”为1002， 根据题意可得自然数B的千位数字为a，百位数字是b， ∵， ∴， ∴， ∴十位数字是，个位数字是， 为，为， ， 根据“和数”定义得， 该“和数”能被6整除， ∴该“和数”为偶数且各位上的数字之和为3的倍数， ，为偶数， 或6， ①当时，，即， ， 令，则，原式， 当时，原式取到最大值为； ②当时，，， 令，则， 原式， 当时，原式取到最大值为， 综上所述，的最大值为， 故答案为：1002；． 三、解答题：（本大题共8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包含辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据单项式乘以多项式的法则、完全平方公式计算，再合并同类项； （2）根据分式混合运算的法则解答即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了整式和分式的运算，属于基本计算题型，熟练掌握整式和分式混合运算的法则是解题的关键． 18. 如图，四边形是平行四边形，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，分别交、、于点、、．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接，，猜想四边形的形状，并证明你的结论． 解：猜想四边形的形状为菱形，证明如下： 是的垂直平分线， ，，①______， 又四边形是平行四边形， ②______， ． 在和中， ， ③______， ， 四边形是菱形． 结论：平行四边形一条对角线的端点和这条对角线的垂直平分线与④______． 【答案】（1）见解析 （2）；；；对边交点形成的四边形是菱形 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键.也考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质. （1）利用基本作图作AC的垂直平分线即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到 ，再证明 得到则 ，于是可判断四边形是菱形. 【小问1详解】 如图, 为所求； 【小问2详解】 解：猜想四边形的形状为菱形，证明如下： 是的垂直平分线， ，，， 又四边形是平行四边形， ． 在和中， ， ， ， 四边形是菱形． 结论：平行四边形一条对角线的端点和这条对角线的垂直平分线与对边交点形成的四边形是菱形． 故答案为：；；；对边交点形成的四边形是菱形． 19. 某校为了加强反霸凌相关方面的教育，提高学生的法律意识，举办了“霸凌！”法律知 识竞赛，从中随机抽取20名学生的成绩(成绩得分用x 表示，单位：分)：94，83，83，86， 94，88，96，100，97，82，94，82，84，89，88，93，98，94，93，92．整理数据，得到频数分布表和扇形统计图． 等级 成绩/分 频数 A a B 7 C 4 D 5 根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ；20名学生成绩的中位数是 ． （2）若成绩不低于90分为优秀，请估计该校2000名学生中达到优秀等级的人数． （3）已知 A 等级中有2名男生，现从 A 等级中随机抽取2名同学成为学校法律宣讲员，试用列表法或树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率 【答案】（1）4，35，； （2）名； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图，用样本估计总体，列表法与树状图法求概率等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用20分别减去B、C、D等级的人数得到a的值，再计算B等级人数所占的百分比得到b的值，然后根据中位数的定义求出20名学生成绩的中位数； （2）用2000乘以样本中A、B等级人数所占的百分比即可； （3）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一男一女的结果数，然后根据概率公式求解； 【小问1详解】 解：， ， 即， 将这20名学生的成绩从小到大的顺序排列，排在第10、11的成绩是：92、93， ∴20名学生成绩的中位数为：， 故答案为：4，35，； 【小问2详解】 解：(名)， ∴估计该校2000名学生中，达到优秀等级的人数为1100名； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果数为8种， ∴恰好抽到一男一女的概率． 20. 重庆动物园“四喜丸子”火爆全网，为迎接即将到来的端午节旅游热，重庆一玩具加工厂计划安排甲车间加工熊猫玩偶1000个．甲车间工作一周后还未加工完，于是从乙车间借调了一些工人，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多40个，又加工了3天才完成了任务． （1）求甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数； （2）由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排甲，乙车间共同加工生产该熊猫玩偶3000个，在加工完成一半后，改进了加工技术，两个车间每天均比改进技术前多加工，结果比原计划提前2天完成任务，求改进技术前乙车间每天加工玩偶的个数． 【答案】（1）88个 （2）62个 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键； （1）设甲车间增加工人前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个，再利用“一共加工熊猫玩偶1000个”建立方程求解即可； （2）设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个，则改进技术后两个车间每天加工玩偶的个数为个，根据“结果比原计划提前2天完成任务”建立分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设甲车间增加工人前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个， 由题意得：， 解得：， 答：甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数为88个； 【小问2详解】 设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个，则改进技术后两个车间每天加工玩偶的个数为个， 由题意得：， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意； 答：乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为62个． 21. 如图，在 中， ， ，， 点 D为的中点， 过点D作交于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线(含端点) 运动，到达E点停止运动，过点P作交于点Q． 设点P的运动时间为x秒，的长度为，请解答下列问题： （1）直接写出关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）的函数图象如图所示，当时，请直接写出x的取值范围．(结果保留一位小数，误差不超过) 【答案】（1） （2） 画出函数图象如下图所示：图中折线即为所求作函数图象． 性质：当时，有最大值，最大值为4(答案不唯一) （3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，描点法画函数图象，通过图象观察函数的性质，根据图象求不等式的解集等知识，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． （1）先运用勾股定理和相似三角形的判定与性质求出、和，再分①当点P在线段上时，②当点P在线段上，不含点D时，两种情况讨论分别求出对应函数关系式，即可得解． （2）运用描点法画函数图象，并观察图象得出性质即可； （3）根据图象得出交点横坐标的近似值，再根据图象写出x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵在 中， ， ，， ∴， 又∵点 D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ①当点P在线段上时，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ②当点P在线段上，不含点D时，， ∴， 此时点E即为点Q， ∴， 即， ∴关于x的函数关系式是： 【小问2详解】 列表格得： x 0 5 9 0 4 0 【小问3详解】由图象可知两函数图象交点的横坐标约为：，， ∴当时， x的取值范围是． 22. 五边形是围绕河修建的步道，小依和爸爸从A前往D处，有两条线路，如图：①；②．经勘测，点B在点A的正南方向，米，点C在点B的正东方向，米，点D在点C的北偏东，点E在点A的东北方向，点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向．（参考数据：） （1）求的长度（结果精确到1米）； （2）小依选择线路①，爸爸选择线路②，小依步行速度是80米/分钟，爸爸步行速度是95米/分钟，小依和爸爸同时从A处出发且始终保持匀速前进，请计算说明小依和爸爸谁先到达D处？ 【答案】（1）424米 （2）爸爸先到达D处 【解析】 【分析】本题考查了与方向角有关的解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）过点A作于点H，易得是等腰直角三角形，由勾股定理即可求解； （2）由（1）求得的长，从而在中，利用解三角形知识分别求得，分别计算出及，即可计算出到达终点的时间，比较时间即可． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点H； 则； 由题意知，， 即， 故四边形是矩形， 米，； ， 即是等腰直角三角形， 米， 由勾股定理得：（米）； 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形是矩形， 米， 米； 点E在点C的正北方向，点D在点E的正东方向， ； 在中，， 则米，米； （米）， （米）， 则小依到达终点的时间为：（分）， 小依爸爸到达终点的时间为：（分）； 综上，小依爸爸先到达D处． 23. 如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知，抛物线的对称轴为：． （1）求抛物线的表达式； （2）点为对称轴左侧，第三象限抛物线上一动点，点为抛物线的顶点，过点作直线交对称轴于点，连接．求的最大值以及此时点的坐标； （3）如图2，在（2）成立的情况下，连接，将抛物线沿着射线方向平移个单位得抛物线．点是抛物线的顶点，点是抛物线与轴的交点，直线与轴交于点，过抛物线上一点（不与点重合）作轴于点，直线交于点，连接．若点关于直线的对称点恰好落在轴上，请直接写出点的横坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为，此时点P的坐标为 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）先根据对称轴计算公式求出，再把代入抛物线解析式中进行求解即可； （2）先求出，得到，则；如图所示，过点P作于E，设与x轴交于F，由平行线的性质可得，则是等腰直角三角形，可得；求出顶点D的坐标为；设，则，，，进而得到，则，据此利用二次函数的性质求解即可； （3）先求出，进而求出，则可求出，进而求出，利用待定系数法求出直线解析式为，则；再分，当点G在点E右侧时，当点G在点H和点E之间时，当点G在x轴下方且在点H右侧时，当点G在点H左侧且在x轴上方时，四则情况，设，则 ，表示出，通过证明，进而建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 把代入中得，解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点P作于E，设与x轴交于F， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为； 设， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：在中，当时，解得或， ∴， ∴， ∴， ∴将抛物线沿着射线方向平移个单位得抛物线相当于将抛物线向右移动2个单位长度，向下移动1个单位长度得到抛物线， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 如图所示，当点G在点E右侧时，设，则 ，交于T， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴点G的横坐标为； 如图所示，当点G在点H和点E之间时，同理有， 此时，， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴点G的横坐标为； 如图所示，当点G在x轴下方且在点H左侧时，同理有， 此时，， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴点G的横坐标为； 如图所示，当点G在点H左侧且在x轴上方时，同理有， 此时，， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴点G的横坐标为； 综上所述，点G的横坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于推出是等腰直角三角形，解（3）的关键在于证明． 24. 如图所示，为等腰三角形，，点D是上一点，连接． （1）如图1，若，，以为边在的右侧作等边，连接，求的长； （2）如图2，若，以为底边在的右侧作等腰直角，连接，求证：； （3）如图3，若，点E为中点，将绕点A顺时针旋转得到线段，连接，直线与直线交于点F，当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，可以得到，然后过点A作于点F， 利用勾股定理解题即可； （2）延长到F，使得，连接，，证明，得到，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题即可； （3）过作交于点G，交于点H，设，可以得到，即可知道点在的垂直平分线上运动，当时，长最小，然后利用解直角三角形求出和长解题即可． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 过点A作于点F， 则，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：延长到F，使得，连接，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：过作交于点G，交于点H，设， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴点在的垂直平分线上运动，当时，长最小， 这时， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，旋转的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $