精品解析：广东中山市华侨中学2025-2026学年八年级下学期数学学情自测试题

2025-2026学年广东省中山市华侨中学八年级下学期数学开学考 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件. 直接根据二次根式有意义的条件作答即可. 【详解】若代数式有意义，则 ∴ 故选：A 2. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） A. 5，12，13 B. 0.3，0.4，0.5 C. 6，8，10 D. 7，24，25 【答案】B 【解析】 【分析】判断是否为勾股数，须满足勾股数必须为正整数，且两小边的平方和等于最长边的平方． 【详解】选项A：，是勾股数，不符合题意，故错误； 选项B：，但不是整数，因此不是勾股数，符合题意，故正确； 选项C：，是勾股数，不符合题意，故错误； 选项D：，是勾股数，不符合题意，故错误； 故选B． 【点睛】本题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数，熟练掌握知识点是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减乘除运算，据此逐一判断即可．熟记二次根式的加减乘除运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、不是同类二次根式，无法合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意， 故选：D． 4. 下列各式属于最简二次根式的有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、是最简二次根式，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在中，，对角线与相交于点O．若，则的周长为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．根据平行四边形的性质可得出，，，根据已知条件可得出，最后根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长为：， 故选：C． 6. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 【详解】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，则，， 在中，， 即． 故选D． 7. 关于正比例函数的描述，错误的是（ ） A. 图象是一条过原点的直线 B. 随的增大而增大 C. 图象过 D. 图象过一、三象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：当时，， ∴点在图象上， ∴函数图象不经过．选项C说法错误，其他选项说法正确． 故选：C． 8. 如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是2，于点B，且，以A点为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再由勾股定理可求得， 再由，即可得点D表示的数． 【详解】∵点A表示的数是，点B表示的数是2， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点A表示的数是， ∴点D表示的数是：， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、数轴上的点表示实数，掌握勾股定理是关键． 9. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，算术平方根，由勾股定理得：，又，由此即可求出，因此小正方形的边长为9． 【详解】解：由题意知小正方形的边长是，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴小正方形的边长为9． 故选：B． 10. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积公式，熟练掌握它们的性质和掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 连接，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】如图，连接， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ． ． 故选：A． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】分子分母同时乘以即可； 【详解】原式， 故答案是． 【点睛】本题主要考查了二次根式分母有理化，准确计算是解题的关键． 12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，解题的关键是掌握定义．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式，根据定义可得答案． 【详解】解：∵同类二次根式的被开方数相同， ∴， 解得． 故答案为：． 13. 把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式：______． 【答案】如果三角形三边长a，b，c，满足，那么这个三角形是直角三角形 【解析】 【分析】命题都能写成“如果…，那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，题设和结论互换后就是原命题的逆命题． 【详解】解: ∵原命题的题设是：直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c；原命题的结论是：这个三角形是直角三角形； ∴逆命题是：如果a、b、c是一个三角形的三条边，并且，那么这个三角形是直角三角形. 故答案为如果a、b、c是一个三角形的三条边，并且，那么这个三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查把命题写成“如果…，那么…”的形式以及逆命题的概念，难度适中明确题意，准准确得到条件和结论是解题的关键． 14. 如图，在菱形中，，对角线，则菱形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理；连接交于点O，由菱形的性质及勾股定理求得，从而求得，由菱形面积即可求解． 【详解】解：连接交于点O，如图， ∵在菱形中，， ∴，，，， ∴， 由勾股定理得：，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 正方形ABCD的边长为12，点E在BC上，且BE=5，点P是对角线BD上的一个动点，则PE+PC的最小值是______． 【答案】13 【解析】 【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解． 【详解】如图连接AE交BD于P点， 则AE就是PE+PC的最小值， ∵正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=5， ∵AB=12， ∴AE==13， ∴PE+PC的最小值是13． 故答案为13． 【点睛】本题主要考查的是轴对称--路径最短问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明确当点A、P、E在一条直线上时，PE+PA有最小值是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 已知是的正比例函数，当时，． （1）求关于的函数表达式； （2）当，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义，设，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入中，即可求解． 【小问1详解】 解：∵y与x成正比例， ∴设， 将，代入中，得 解得， ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 将代入中，得：， 解得． 18. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为（2，3），B点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣1）． （1）求证：AC⊥BC； （2）若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出D点的坐标． 【答案】（1）证明见解析；（2）点的坐标或或． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理计算出，，，再利用勾股定理的逆定理判断即可． （3）根据平行四边形的性质，画出图形，利用点平移规律即可解决问题． 【详解】（1）解：∵．，， ∴， 是以为斜边的直角三角形， ． （2）如图所示：点的坐标或或． 【点睛】本题考查勾股定理以及逆定理，坐标与图形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 19. 如图，等腰中，，交于点，点是的中点，分别过、两点作线段的垂线，垂足分别为、两点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，根据等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，求解线段长，解题的关键根据题意找到长度相等的线段． （1）欲证明四边形为矩形，先根据中位线的性质得到，再根据“垂直同一条直线的两直线平行”得到，从而证明为平行四边形，最后根据“有一内角为直角的平行四边形为矩形”即可证得； （2）先根据“直角三角形斜边上中线的性质”求得，然后在利用勾股定理得到的长度，最后结合求解即可． 【小问1详解】 证明：，， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ． ，， ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形为矩形； 【小问2详解】 解：，点是的中点，， 在中，， 由（1）知，四边形为矩形，则． 在中，由勾股定理得：． ， ． 20. 如图，公路和公路在点P处交汇，且． 点A处有一栋居民楼，． 假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响． （1）该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由． （2）若受影响，已知拖拉机的速度为，则居民楼受到影响的时间有多长？ 【答案】（1）该居民楼会受到噪声的影响，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三线合一，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，是解题的关键： （1）作，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进行判断即可； （2）以为圆心，为半径画弧，交于点，三线合一结合勾股定理求出的长，再除以速度，求出时间即可． 【小问1详解】 解：该居民楼会受到噪声的影响，理由如下： 作，则：， ∵，， ∴， ∵， ∴该居民楼会受到噪声的影响； 【小问2详解】 以为圆心，为半径画弧，交于点，则：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； 答：居民楼受到影响的时间有． 21. 先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简． 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； （2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简 ①． ②． 【答案】（1）④；；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）第④步出现了错误，==． （2）类比例题，将13和8分别拆分成两个二次根式的平方和，再用完全平方公式变形，计算求值即可． 【详解】解：（1）第④步出现了错误； = =． （2）① = = =． ② = = ． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及完全平方公式的应用，利用完全平方公式对二次根式进行化简是解题关键． 四、解答题 22. 阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1）如图1，已知四边形是“等对角四边形”，．求的度数． （2）如图2，在中，，为斜边边上的中线，过点作交于点，证明：四边形是“等对角四边形”． （3）如图3，已知在“等对角四边形”中，，，，请你直接写出对角线的长． 【答案】（1） （2） 证明：∵在中，为斜边的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是“等对角四边形”； （3） 【解析】 【分析】此题是四边形综合题， 主要考查了新定义“等对角四边形”的理解和应用，矩形的判定和性质， 勾股定理， 正确作出辅助线是解本题的关键 ． （1） 利用“等对角四边形”的定义借助四边形的内角和定理即可得出结论； （2） 先判断出，进而判断出，最后判断出，即可得出结论； （3） 先构造直角三角形求出和，最后用勾股定理即可得出结论 ． 【小问1详解】 解：四边形是“等对角四边形“，， ， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图 3 ，过点作于，于， ， ， ， 根据勾股定理得，， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， 由勾股定理得， ∴， ， ， 在中，． 23. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是，连接，，，设点P、Q运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形是矩形？ （2）当t为何值时，四边形是菱形？此时菱形的面积是多少？ （3）当t为何值时，是以为一条腰的等腰三角形？ 【答案】（1）当时，四边形是矩形 （2）当时，四边形是菱形，菱形面积为 （3）当或3时，是以为一腰的等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的定义等知识，解题的关键是： （1）根据矩形的判定得出当时，四边形是矩形，然后列出关于t的方程求解即可； （2）先证明四边形AQCP为平行四边形，然后根据菱形的判定得出时，四边形为菱形，后列出关于t的方程求解即可； （3）分，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，， 当时，四边形是矩形，即：， 解得． 答：当时，四边形是矩形； 【小问2详解】 解：，， ，即 ， 四边形为平行四边形， 在矩形中， 当，即时，四边形为菱形． 解得：． 答：当时，四边形是菱形； 当时，，面积为：； 【小问3详解】 解：①当，即时，为等腰三角形， 解得：； ②法一：当，即时，为等腰三角形， 整理得：， 解得， 法二：过点作交于点， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ， 又， ， 解得， 综上所述，当或3时，是以为一腰的等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省中山市华侨中学八年级下学期数学开学考 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） A. 5，12，13 B. 0.3，0.4，0.5 C. 6，8，10 D. 7，24，25 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式属于最简二次根式的有（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，对角线与相交于点O．若，则的周长为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 17 6. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 关于正比例函数的描述，错误的是（ ） A. 图象是一条过原点的直线 B. 随的增大而增大 C. 图象过 D. 图象过一、三象限 8. 如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是2，于点B，且，以A点为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 10. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 化简：______． 12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则___________． 13. 把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式：______． 14. 如图，在菱形中，，对角线，则菱形的面积为________． 15. 正方形ABCD的边长为12，点E在BC上，且BE=5，点P是对角线BD上的一个动点，则PE+PC的最小值是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1） （2） 17. 已知是的正比例函数，当时，． （1）求关于的函数表达式； （2）当，求的值． 18. 如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为（2，3），B点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣1）． （1）求证：AC⊥BC； （2）若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出D点的坐标． 19. 如图，等腰中，，交于点，点是的中点，分别过、两点作线段的垂线，垂足分别为、两点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 20. 如图，公路和公路在点P处交汇，且． 点A处有一栋居民楼，． 假设一拖拉机在公路上沿方向行驶，周围以内（包括）会受到噪声的影响． （1）该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由． （2）若受影响，已知拖拉机的速度为，则居民楼受到影响的时间有多长？ 21. 先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简． 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； （2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简 ①． ②． 四、解答题 22. 阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1）如图1，已知四边形是“等对角四边形”，．求的度数． （2）如图2，在中，，为斜边边上的中线，过点作交于点，证明：四边形是“等对角四边形”． （3）如图3，已知在“等对角四边形”中，，，，请你直接写出对角线的长． 23. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是，连接，，，设点P、Q运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形是矩形？ （2）当t为何值时，四边形是菱形？此时菱形的面积是多少？ （3）当t为何值时，是以为一条腰的等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $