精品解析：广东广州天省实验学校2025--2026学年八年级下学期5月阶段数学学情自测

数学 （满分150分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．函数自变量的取值范围，根据二次根式的性质，被开方数为非负数，即，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， ∴， 故选：B． 2. 下列函数是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义进行逐一判断即可 【详解】解：A、是正比例函数，符合题意； B、不是正比例函数，不符合题意； C、不是正比例函数，不符合题意； D、不是正比例函数，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟知正比例函数的定义是解题的关键：一般地，形如的函数叫做正比例函数． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的除法、二次根式的加减运算法则逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，故选项计算正确，符合题意； B、和不是同类二次根式，不能直接相加，故选项计算错误，不符合题意； C、，故选项计算错误，不符合题意； D、和不是同类二次根式，不能直接相加，故选项计算错误，不符合题意． 4. 下列各曲线中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应判断即可． 【详解】解：A．对于的每一个取值，可能有2个值与之对应，故不是的函数； B．对于的每一个取值，可能有多个值与之对应，故不是的函数； C．对于的每一个取值，可能有2个值与之对应，故不是的函数； D．对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数． 5. 若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据-3＜4即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y=2x+1中，k=2＞0， ∴y随着x的增大而增大． ∵点（-3，y1）和（4，y2）是一次函数y=2x+1图象上的两个点，-3＜4， ∴y1＜y2． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键． 6. 若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高是（　　） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意求出斜边的长，再根据三角形的面积公式即可求出斜边上的高． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长为6和8， 斜边长为：＝10， 三角形的面积＝×6×8＝24， 设斜边上的高为x，则x•10＝24， 解得x＝4.8． 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积公式，解决问题的关键是掌握直角三角形的面积公式的两种计算方法． 7. 如图，四边形中，，，，连接，，，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC，根据勾股定理得到AC＝，由三角形的中位线的性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接AC， ∵∠ADC＝90°，AD＝3，CD＝1， ∴AC＝， ∵AE＝BE，BF＝CF， ∴EF＝AC＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 8. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形面积=对角线乘积的一半可求BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO=CO=6，BO=DO，S菱形ABCD= =48， ∴BD=16， ∵DH⊥AB，BO=DO=8， ∴OH=BD=4． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题． 9. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先根据勾股定理算出的长度，再进行求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得图形：， 在中：， 所以． 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3厘米～6厘米之间． 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 10. 如图①，在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴．直线：沿轴正方向平移，被矩形截得的线段的长度与平移的距离之间的函数图象如图②，那么矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象折线中各个点的位置，判断出与矩形顶点的关系，求出矩形的长和宽，再计算面积． 【详解】解：由图可知，当时，直线过点． 当时，直线经过点． 当时，直线经过点． 当时，直线经过点． 故当在上移动时，，， 当在上移动时，， 又∵， ， ∴矩形的面积为：， 故选：C． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象．解题的关键在于根据图中的数据求出矩形的长和宽． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知菱形的两条对角线，，则菱形的面积为__________． 【答案】30 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线，， ∴． 故答案为：30． 【点睛】本题考查菱形的性质，记住菱形的面积公式是解题的关键． 12. 如图，在平行四边形中，已知，，平分交边于点，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查平行四边形基本性质，角平分线基本性质，等腰三角形基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键． 先通过角平分线性质和平行四边形性质得到，再通过线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图所示： ∵平分， ∴． ∵四边形是平行四边形 ∴，，， ∴， ∴． ∴， ∴． ∴． 13. 如图，在中，，，，在数轴上，点对应的数为1，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是__________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：在 中，，，， 由勾股定理得，， 则点表示的数为． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，是边的中点，点是边的中点，若，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 根据含角的直角三角形的性质得，根据三角形的中位线的性质即可得到结论． 【详解】解：在中，，，， ， 是边的中点，是的中点， 是的中位线， ， 故答案为：． 15. 如图，一次函数与图像的交点是，观察图像，直接写出方程组的解为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据图象交点坐标直接写出方程组的解即可． 【详解】解：一次函数与图象的交点是， 方程组的解为． 16. 已知：如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE=CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论： ①△OEF是等腰直角三角形； ②△OEF面积的最小值是； ③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是； ④四边形OECF的面积是1． 所有正确结论的序号是_________________________ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①易证得△OBE≌△OCF（SAS），则可证得结论①正确； ②由OE的最小值是O到BC的距离，即可求得OE的最小值1，根据三角形面积公式即可判断选项②错误； ③利用勾股定理求得≤EF＜2，即可求得选项③正确； ④证明△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确． 【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O， ∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°， 在△OBE和△OCF中， ， ∴△OBE≌△OCF（SAS）， ∴OE＝OF， ∵∠BOE＝∠COF， ∴∠EOF＝∠BOC＝90°， ∴△OEF是等腰直角三角形； 故①正确； ②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝BC＝1， ∴△OEF面积的最小值是×1×1＝， 故②错误； ③∵BE＝CF， ∴CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝2， 假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2＋， 则EF＝， 由①得△OEF是等腰直角三角形， ∴OE＝． ∵OB＝，OE的最小值是1， ∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2＋． 故③正确； ④由①知：△OBE≌△OCF， ∴S四边形OECF＝S△COE＋S△OCF＝S△COE＋S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD＝×2×2＝1， 故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 三、解答题（本大题有9小题，共86分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）由二次根式的性质进行化简，然后合并同类二次根式，即可得到答案； （2）先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，在计算除法，再计算减法运算，即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以12海里/时速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？ 【答案】海里/时． 【解析】 【分析】通过两船的航线角度可知，，则为直角三角形，可以通过勾股定理计算出的长度，然后求乙船的速度． 【详解】解：通过两船的航线角度可知，，则为直角三角形，又为甲船航行的路程，则（海里）， 由，可知： （海里）， 所以乙船的航速为（海里/时）． 19. 如图，在中，点E是的中点，连接，、的延长线相交于点F，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）通过证明可得，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形； （2）利用三角形外角的性质和角的倍数关系求得，然后求得，从而可得平行四边形是矩形． 【小问1详解】 证明：在中，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形； ∴， 又由（1）可得，四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴，即四边形是矩形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． 20. 如图，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上，另一端F在AD上，，． （1）求证：四边形BGEF为菱形； （2）求FG的长． 【答案】（1）见解析; （2）． 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，根据折叠的性质，易证得△EFG是等腰三角形，即可得EF＝BG，又由EF∥BG，即可得四边形BGEF为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得四边形BGEF为菱形； （2）过点F作FK⊥BG于K，可得四边形ABKF是矩形，然后根据勾股定理，即可求得AF的长，继而求得FG的长． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EFG＝∠BGF， ∵图形翻折后点B与点E重合，GF为折线， ∴∠BGF＝∠EGF， ∴∠EFG＝∠EGF， ∴EF＝GE， ∵图形翻折后BG与GE完全重合， ∴BG＝GE， ∴EF＝BG， ∴四边形BGEF为平行四边形， ∴四边形BGEF为菱形； 【小问2详解】 解：过点F作FK⊥BG于K，则∠FKB＝90°， ∵∠A＝∠ABK＝∠FKB＝90°， ∴四边形ABKF是矩形， ∴FK＝AB＝8，BK＝AF， 在Rt△ABF中，AB＝8，∠A＝90°，BF＝BG＝10， ∴AF＝， ∴BK＝AF＝6， ∴GK＝BG﹣BK＝10﹣6＝4， ∴FG＝． 【点睛】此题考查了折叠的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 21. 如图，直线的函数解析式为，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点． （1）求直线的函数解析式； （2）求点C的坐标． 【答案】（1） （2）(，) 【解析】 【分析】（1）直线的函数解析式为，由点B、D坐标待定系数法求函数解析式即可； （2）由直线、建立方程组求得C点横坐标，再代入求得C点纵坐标即可； 【小问1详解】 解：设直线的函数解析式为， 点B（6，0）、D（4，-1）代入可得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由直线、解析式联立可得： ， ， ， 解得：， 代入得：， ∴C（，）； 【点睛】本题考查了一次函数解析式，两直线交点坐标的计算，掌握交点坐标的意义是解题关键． 22. 小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： （1）计算：． （2）若． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1） （2）①; ② 【解析】 【分析】（1）结合题意进行分母有理化即可得解； （2）分母有理化后推得， ①将原式化为后代入求解即可； ②将原式化为，代入推得原式后，再代入即可得解． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ①； ②， ， ， ， ， ． 23. 如图1，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点． （1）求一次函数的表达式． （2）如图2，点C在线段上．将沿折叠，点O恰好落在直线上的点D处．求线段的长． （3）若点P在y轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先由勾股定理求解，然后根据折叠的性质以及等面积法求解即可； （3）分两种情况讨论，画出图形，根据等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点． ∴ 解得 ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵和 ∴ ∵ ∴， ∵翻折， ∴， 设，则， ∵ ∴ 解得 ∴线段的长为； 【小问3详解】 解：如图： 当时，∵ ∴点的纵坐标为或 ∴或 当时，由于， 则， ∴此时， 综上：当是以为腰的等腰三角形，点P的坐标为或或． 24. 如图1，和都是等腰直角三角形，，，，的顶点在的斜边上． （1）线段与线段的数量关系为：______． （2）在（1）的条件下，求证：； （3）如图2，若，，点是的中点，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据是等腰直角三角形，＝，根据勾股定理，即可求解； （2）由“”可证，可得，，由勾股定理可求解； （3）过点作于，由勾股定理可求的长，由等腰直角三角形的性质可得，可求的长，由勾股定理可求的长． 【小问1详解】 证明：是等腰直角三角形，， ∴， ∴ 故答案为：． 【小问2详解】 和都是等腰直角三角形，，， ，，， ， 连接，如图所示： 在和中，， ， ，， ， 是直角三角形， ， ， ； 【小问3详解】 解：过点作于，如图所示： ，，， ， ， 点是的中点， ， 是等腰直角三角形，，， ， ， ． 25. 【模型建立】（1）如图，在正方形中，分别是边上的点，连接，，连接，探究线段之间的数量关系．小明发现可以将沿折叠，沿折叠，和恰好重合在上，进而利用折叠的性质来证明此问题．请你根据小明的解题方法探究之间的数量关系； 【类比探究】（2）如图，在等腰直角中，，点在边上，连接，，探究线段之间的数量关系； 【拓展迁移】（3）如图，在中，于点，若，，，求的面积． 【答案】（1），理由见解析（2），理由见解析（3） 【解析】 【分析】（1），由折叠得到，，，从而推出，，，，得到，推出点三点共线，即可说明； （2），将绕点逆时针旋转，得到，连接，由旋转可得，，得到，，，，推出，证得，得到，再利用勾股定理即可说明； （3）将沿翻折得到，将沿翻折得到，延长，交于点，得到，，，，，，从而可得，，可证明四边形是正方形，设，则，，，利用勾股定理，可得到，解得，（舍去），得到，即可求解． 【详解】（1）解：， 理由：由折叠可得，，， ∴，，，， ∴， ∴点三点共线， ∵， ∴； （2）解：，理由： 如图所示，将绕点逆时针旋转，得到，连接， 由旋转可得，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴； （3）解：如图所示，将沿翻折得到，将沿翻折得到，延长，交于点， ∴，，， ，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则，，， 在中，由勾股定理，得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （满分150分，时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各曲线中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8，则斜边上的高是（　　） A. 5 B. 10 C. D. 7. 如图，四边形中，，，，连接，，，则的长为( ) A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图①，在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴．直线：沿轴正方向平移，被矩形截得的线段的长度与平移的距离之间的函数图象如图②，那么矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知菱形的两条对角线，，则菱形的面积为__________． 12. 如图，在平行四边形中，已知，，平分交边于点，则__________． 13. 如图，在中，，，，在数轴上，点对应的数为1，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是__________ 14. 如图，在中，，，是边的中点，点是边的中点，若，则的长是______． 15. 如图，一次函数与图像的交点是，观察图像，直接写出方程组的解为______ 16. 已知：如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE=CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论： ①△OEF是等腰直角三角形； ②△OEF面积的最小值是； ③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是； ④四边形OECF的面积是1． 所有正确结论的序号是_________________________ 三、解答题（本大题有9小题，共86分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以12海里/时速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？ 19. 如图，在中，点E是的中点，连接，、的延长线相交于点F，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：四边形是矩形． 20. 如图，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上，另一端F在AD上，，． （1）求证：四边形BGEF为菱形； （2）求FG的长． 21. 如图，直线的函数解析式为，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点． （1）求直线的函数解析式； （2）求点C的坐标． 22. 小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的： ，， ，，， ． 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： （1）计算：． （2）若． ①求的值； ②求的值． 23. 如图1，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点． （1）求一次函数的表达式． （2）如图2，点C在线段上．将沿折叠，点O恰好落在直线上的点D处．求线段的长． （3）若点P在y轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 24. 如图1，和都是等腰直角三角形，，，，的顶点在的斜边上． （1）线段与线段的数量关系为：______． （2）在（1）的条件下，求证：； （3）如图2，若，，点是的中点，请直接写出的长． 25. 【模型建立】（1）如图，在正方形中，分别是边上的点，连接，，连接，探究线段之间的数量关系．小明发现可以将沿折叠，沿折叠，和恰好重合在上，进而利用折叠的性质来证明此问题．请你根据小明的解题方法探究之间的数量关系； 【类比探究】（2）如图，在等腰直角中，，点在边上，连接，，探究线段之间的数量关系； 【拓展迁移】（3）如图，在中，于点，若，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $