2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷（一）（北师大版）

**基本信息** 高一下册数学期末模拟卷，覆盖向量、三角函数、立体几何等核心知识，以金刚石结构、仿射坐标系等创新情境题设计，考查数学眼光观察、思维推理及语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|向量模、扇形面积、三角函数求值|基础巩固，如向量模计算直接考查概念| |多项选择|3/18|复数性质、不等式性质、函数图像|能力辨析，如复数虚部判断与象限定位| |填空|3/15|三角恒等变换、向量分解、空间距离|创新应用，如金刚石碳原子空间距离计算| |解答|5/77|立体几何证明、复数应用、解三角形、仿射坐标、体积最值|综合探究，如四棱锥体积最值与二面角关联考查逻辑推理|

高一下册数学期末模拟卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知向量，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知扇形的周长为16cm.圆心角为2rad，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（     ） A． B． C． D． 4．如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 5．在△中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则与相交 D．若，，则与至多有一个公共点 7．已知正三棱台，，侧棱，则正三棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 8．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0 9．设复数，则（   ） A． B．的虚部为 C．复数是纯虚数 D．在复平面内对应的点在第二象限 10．下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D． 11．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上不单调 第II卷（非选择题） 三．填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知，则__________. 13．已知 ，在 中，点 是边 上靠近点 的三等分点，若 ，则 的值为 ______. 14．金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用．如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点，，，处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点处），如图2所示，设，则到平面的距离为____________． 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．如图，在长方体中，，点，分别是棱，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面． 16．已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根. (1)设、满足方程，求，； (2)设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 17．如图，在平面四边形中，，． (1)若，，，求的大小； (2)若，，，求． 18．如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为. (1)若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； (2)设，若对恒成立，求的最大值. 19．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，与全等． (1)求证：平面平面； (2)设平面平面． （i）求证：平面； （ii）当二面角的大小为多少时，四棱锥的体积取得最大值？求出该最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下册数学期末模拟卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知向量，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由向量的数量积坐标运算公式和线性运算公式计算即得． 【详解】，，则， 所以. 2．已知扇形的周长为16cm.圆心角为2rad，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用扇形周长公式、弧长公式求出半径和弧长，再代入扇形面积公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，已知圆心角， 由题意可得， ，解得，； 代入扇形面积公式，计算得. 3．（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解析：. 4．如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】根据斜二测画法的规则，分析出原图形中的位置及数量关系，再根据三角形面积公式计算即可. 【详解】在直观图中，因为，， 所以 在直观图中，在轴上且， 所以在原图形中，在轴上，且， 在直观图中，在轴上且，， 所以在原图形中，在轴上，且， 并且在原图形中，， 所以. 5．在△中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，， 所以由正弦定理得，可得， 又， 所以是锐角，可得． 6．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则与相交 D．若，，则与至多有一个公共点 【答案】D 【分析】根据直线与直线的位置关系及直线与平面的位置关系判断即可. 【详解】对于A，若，，则，可能平行、可能相交、可能异面，A错误. 对于B，若，，则或，B错误. 对于C，若，，，则，可能平行、可能相交、可能异面，C错误. 对于D，若，则与平行或相交，当时，因为，所以与无公共点；当与相交于一点时，因为，所以与至多有一个公共点.综上，D正确. 7．已知正三棱台，，侧棱，则正三棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，将正三棱台补成正三棱锥， 作平面分别交平面、平面于、， 作平面交于，则、分别为、的中心. 因为，所以，， 所以， 设该正三棱台的高为， 因为，所以， 故，故选C. 8．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，根据函数的周期性，结合正弦函数的零点，列出相关的不等式，求解可得的取值范围. 【详解】由题意可得，，则的最小正周期是. 若函数在上没有零点，则，所以. 当时，. 所以. 所以或. 若，则； 若，则. 所以的取值范围是. 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0 9．设复数，则（   ） A． B．的虚部为 C．复数是纯虚数 D．在复平面内对应的点在第二象限 【答案】BC 【详解】对于A，因为，则，所以A错误， 对于B，复数的虚部为，所以B正确， 对于C，因为，则为纯虚数，故C正确， 对于D，在复平面内对应的点为，在第四象限，故D错误. 10．下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】由向量的数量积可以判断A；举反例判断B；由向量的数量积及线性运算判断C；向量加法的三角形法则判断D. 【详解】对于A，因为， 当为非零向量时， 所以或， 所以， 当为或为零向量时，上式也成立，故A正确； 对于B，当时，不一定成立，故B错误； 对于C，因为， 所以，故C正确； 对于D，根据向量加法的三角形法则， 可知成立，故D正确． 11．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上不单调 【答案】AC 【分析】A选项，先通过图象算出周期，从而确定的值，再根据图象的最高点确定的值，从而得到解析式；B选项，将代入解析式，即可计算函数值；C选项，通过正弦函数的取值范围即可推导不等式的解集；D选项，平移后得到新的函数，根据即可判断出不单调. 【详解】对于A，由图象可知，最小正周期，所以， 因为图象过点，所以，又，所以， 所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，令，则，所以，，解得，， 所以不等式的解集为，，故C正确； 对于D，将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，当时，， 此时函数在区间上单调递增，故D错误. 第II卷（非选择题） 三．填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知，则__________. 【答案】 【分析】先求出，再求. 【详解】由，， 可得， 所以. 13．已知 ，在 中，点 是边 上靠近点 的三等分点，若 ，则 的值为 ______. 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算将转化为和的线性组合，对比系数即可求得的值. 【详解】 因为点是边上靠近点的三等分点，所以. 所以 ， 又，且与不共线， 由平面向量基本定理可知，. 14．金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用．如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点，，，处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点处），如图2所示，设，则到平面的距离为____________． 【答案】 【分析】求出正四面体的体积，结合点到各平面的距离相等，从而根据体积得到方程，求出答案 【详解】取的中点，连接，过点作⊥于点， 则⊥平面，其中， ，则， 故，由勾股定理得， 故， 显然，点到平面，平面，平面和平面的距离均相等，设为， 其中， 故， 故. 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．如图，在长方体中，，点，分别是棱，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)如图，连接，交于点，连接．    在长方体中，四边形是矩形， 因为对角线与交于点，所以为的中点， 又点是棱的中点，所以 ， 又平面 平面，所以平面． (2)连接． 在长方体中，四边形是矩形，所以 ， 因为点分别是棱的中点，， 所以 ，所以四边形是正方形，． 在长方体中，平面， 又平面，所以． 因为 平面， 所以平面． 【分析】（1）根据中位线得到线线平行，再根据线线平行证明线面平行； （2）先证明线线垂直，然后得到线面垂直． 【详解】（1）略 （2）略 16．已知为虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个虚根. (1)设、满足方程，求，； (2)设，复数、所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由于、是实系数一元二次方程的两个虚根，故、互为共轭复数，设，则，再利用方程求解； （2）利用复数的几何意义表示向量，再根据向量与的夹角为钝角，最后利用向量的数量积求出实数的取值范围. 【详解】（1）由于、是实系数一元二次方程的两个虚根，故、互为共轭复数， 设，则，那么 代入 可得 ， 即， 则有，故. （2）设，则，故与， 那么，， 由于向量与的夹角为钝角， 那么且向量与不共线， 则解得 且， 故实数的取值范围为. 17．如图，在平面四边形中，，． (1)若，，，求的大小； (2)若，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理求解即可. （2）根据，得到，结合诱导公式得到，在中，得到，在中，根据余弦定理列方程求解即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理得 ， 所以. 由正弦定理得，所以， 因为，所以，，所以， 故. （2）设，则， 因为，所以，则. 在中，，即. 在中，由余弦定理得， 即，整理得，解得或（舍去）. 当时，，，，能构成三角形，满足条件. 故. 18．如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为. (1)若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； (2)设，若对恒成立，求的最大值. 【答案】(1)不正确，理由如下，因为，则， 又， 则， 若，则，则， 所以“”的充要条件是“”， 故“”的充要条件是“”是不正确的 (2). 【分析】(1)根据条件，利用向量数量积的运算得到，再利用，即可求解； (2)由，转化为对恒成立，求得，再由向量的夹角公式，得到，进而求得其最值，得到答案. 【详解】（1）略 （2）因为，则， ，，， 由，得，所以， 即对恒成立，又因为， 所以，解得， 因为，所以满足题意， 所以， 又因为，所以，所以的最大值为． 19．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，与全等． (1)求证：平面平面； (2)设平面平面． （i）求证：平面； （ii）当二面角的大小为多少时，四棱锥的体积取得最大值？求出该最大值． 【答案】(1)因为与全等，所以，， 因为为与中点，所以，， 因为平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以平面平面 (2)（i）因为，平面，平面， 所以平面，又因为平面，平面平面， 所以，又因为平面， 平面，所以平面. （ii） 【分析】（1）通过三角形全等得到，，再由线面垂直的判定定理即可证明； （2）（i）由平面得到，由线面平行的判定定理即可证明； （ii）作，，确定二面角，再结合体积公式，三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）作，，垂足分别为，，如图所示， 因为，，所以，， 所以为二面角的平面角，所以， 设，与全等， 所以， 又因为，， ，，则，， 因为，，， 平面，平面，所以平面，因为平面， 所以， 当且仅当时，即二面角的大小为时， 四棱锥的体积取得最大值500. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $