高一下学期期末重难点检测卷（提高卷）-2025-2026学年高一数学下册重难点专题提升精讲精练（人教A版必修第二册）

**基本信息** 高一下期末提高卷涵盖向量、立体几何、概率统计等核心知识，解答题如几何体表面积体积计算、灯谜竞猜概率应用，体现知识综合与能力梯度，适配期末重难点检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量几何意义、复数概念、立体几何判定|第1题向量轨迹考查几何直观| |多选题|3/18|概率事件关系、向量性质|第10题独立事件判断体现推理能力| |填空题|3/15|向量运算、复数旋转|第14题复数旋转结合空间想象| |解答题|5/77|几何体体积表面积、概率计算|15题表面最短距离考查空间观念，19题概率应用培养数据意识|

高一下学期期末重难点检测卷（提高卷） 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．是所在平面内一点，动点满足，则的轨迹一定通过的（      ） A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心 2．下列四个命题中，正确的是（    ） ①若、，则. ②若，则. ③若，，且，则与的夹角为 ④已知向量，不共线，，，，则三点共线 A． B． C． D． 3．已知复数为纯虚数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 4．下列命题错误的个数是（    ） （1）有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥. （2）正棱锥的侧面是全等的等腰三角形. （3）一个棱柱至少有6个面. （4）平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（   ） A． B． C． D． 6．已知、、是三条不重合的直线，、、是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的中位数为m，众数为n，平均数为p，则（   ） A． B． C． D． 8．某果园为检测两试验园苹果的质量，现从试验园抽取30个苹果，其平均质量为，方差为48，从试验园抽取20个苹果，其平均质量为，方差为40，则抽取的这50个苹果的方差为（   ） （参考公式：样本分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为，，，，，，记样本的平均数为，方差为，则.） A．45.8 B．140.8 C．176 D．183.2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．则正确的猜数方案是（   ） A．猜“是奇数”或“是偶数”能保证游戏的公平性 B．猜“是4的整数倍的数”甲获胜的希望较大 C．猜“是大于4的数”乙获胜的希望较大 D．猜“是大于5的数”或“小于6的数”也能保证游戏的公平性 10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（   ） A．A与B为互斥事件 B． C． D．B与C相互独立 11．关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知平面向量，满足：，，，，则的取值范围是_______. 13．已知向量，，．若，，三点共线，则_________． 14．已知向量对应的复数为，复数可以将向量按逆时针方向旋转_____得到（填最小正角）． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．如图，一个几何体由一个长方体与一个半圆柱组成，且，分别为圆柱上下底面的直径，，，设，试求：（以下结果用表示） (1)该几何体的表面积与体积； (2)从点沿几何体表面到点的最短距离； 16．将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，求． 17．如图，在长方体中，，，为线段上的动点， (1)求三棱锥的体积； (2)若，求点到平面的距离． 18．如图，在正方体中，分别为中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面． 19．某学校在元宵节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道. (1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率； (2)假设从第二关的20道灯谜中任选一道，甲猜对该题的事件与乙猜对该题的事件相互独立，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期期末重难点检测卷（提高卷） 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．是所在平面内一点，动点满足，则的轨迹一定通过的（      ） A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据单位向量的和向量终点在的角平分线上，再由向量的数乘及加法可得点的轨迹. 【详解】因为是与，同方向的单位向量的和向量， 所以向量所在的直线平分， 所以向量终点在的角平分线上， 则的轨迹一定通过的内心. 2．下列四个命题中，正确的是（    ） ①若、，则. ②若，则. ③若，，且，则与的夹角为 ④已知向量，不共线，，，，则三点共线 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量线性运算法则和共线定理逐一分析判断选项. 【详解】命题①： 当时，零向量与任意向量平行，此时、，但与不一定平行，因此①错误； 命题②： 对等式两边平方： ，， 若，则，因此，即，②正确； 命题③：两边同时平方得：， 代入，得，计算得,又， 故，③错误； 命题④：， 即，又二者有公共点，故三点共线，④正确. 3．已知复数为纯虚数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据题意得到，进而求出和. 【详解】复数为纯虚数，可设， ，， ，，， 当时，， 当时，， 故选：A. 4．下列命题错误的个数是（    ） （1）有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥. （2）正棱锥的侧面是全等的等腰三角形. （3）一个棱柱至少有6个面. （4）平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】结合棱锥、棱柱、正棱锥、平行六面体的定义与性质，逐个判断四个命题的真假，统计错误命题的个数得到结果. 【详解】命题(1)：棱锥的所有侧面都是三角形，只有底面是多边形。平行四边形是四边形，因此若棱锥存在一个面是平行四边形，该面一定是底面，故这个棱锥一定是四棱锥，命题正确； 命题(2)：正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心，所有侧棱长度相等，因此侧面是全等的等腰三角形，命题正确； 命题(3)：棱柱底面边数最少为3（三棱柱），三棱柱有2个底面+3个侧面，共5个面，因此棱柱至少有5个面，命题错误； 命题(4)：平行六面体的所有面都是平行四边形，相对的面对应边相等、对应角相等，因此相对面是全等的平行四边形，命题正确； 错误的命题共1个. 5．在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为，设，内切球半径为，根据题意求出侧棱长以及，再根据切线的性质及等腰梯形和梯形的几何特点列方程组求出半径即可． 【详解】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为， 设，内切球半径为，因为，棱台的高为， ， ，同理， 内切球与平面相切，切点在上， ①， 在等腰梯形中，②， ， 在梯形中，③， 由②③得，代入得，则， 此棱台的表面积是： ． 6．已知、、是三条不重合的直线，、、是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据线面、面面的位置关系逐项判断，即可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，若，，，，则、平行或相交，A错； 对于B选项，若，，则、平行或相交，B错； 对于C选项，若，，则或，C错； 对于D选项，若，，则，D对. 故选：D. 7．如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的中位数为m，众数为n，平均数为p，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】由频率分布直方图可知，单峰不对称且右“拖尾”，最高峰偏左，众数最小. 平均数受极端值影响，与中位数相比，平均数总在“拖尾”那边，故平均数大于中位数， 故得. 8．某果园为检测两试验园苹果的质量，现从试验园抽取30个苹果，其平均质量为，方差为48，从试验园抽取20个苹果，其平均质量为，方差为40，则抽取的这50个苹果的方差为（   ） （参考公式：样本分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为，，，，，，记样本的平均数为，方差为，则.） A．45.8 B．140.8 C．176 D．183.2 【答案】B 【分析】求出平均数后，利用所给方差公式计算即可得. 【详解】这50个苹果的平均数， 则方差 . 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．则正确的猜数方案是（   ） A．猜“是奇数”或“是偶数”能保证游戏的公平性 B．猜“是4的整数倍的数”甲获胜的希望较大 C．猜“是大于4的数”乙获胜的希望较大 D．猜“是大于5的数”或“小于6的数”也能保证游戏的公平性 【答案】ABCD 【分析】结合古典概型的概率计算公式计算即可. 【详解】1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中，“奇数”有5个，“偶数”有5个，“是4的整数倍的数”有2个，“是大于4的数”有6个，“是大于5的数”有5个或“小于6的数”有5个. 对于A：“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，故能保证游戏的公平性，A正确. 对于B：“是4的整数倍的数”有2个，则乙获胜的概率为0.2，故甲获胜的希望较大，B正确. 对于C：“是大于4的数”有6个，则乙获胜的概率为0.6，故乙获胜的希望较大，C正确. 对于D：“是大于5的数”或“小于6的数”的概率均为0.5，故能保证游戏的公平性，D正确. 10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（   ） A．A与B为互斥事件 B． C． D．B与C相互独立 【答案】BD 【分析】首先根据题意将的可能情况列出来，然后根据互斥事件、独立事件和概率知识对选项逐一判断即可. 【详解】不放回的随机取两次，共有种不同结果. 由题意，共15种结果； 共15种结果. 共12种结果. , 对于选项A： 事件和事件能同时发生，比如，所以不是互斥事件，所以A错误； 对于选项B：，所以B正确； 对于选项C：，，所以，所以C错误； 对于选项D：，. 由于，所以相互独立，所以D正确. 故选：BD. 11．关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【详解】对于A，向量的模可以比较大小，而向量无法比较大小，故A错误； 对于B，若，根据向量相等的定义，这意味着它们大小相等且方向相同，所以一定满足，故B正确； 对于C，当时，满足，，不一定满足，故C错误； 对于D，若，则与大小相等且方向相同； 又因为，则与大小相等且方向相同； 所以，与大小相等且方向相同，所以，故D正确. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知平面向量，满足：，，，，则的取值范围是_______. 【答案】 【分析】由及向量模长公式表示出，由数量积性质得到的范围，再根据向量模长公式及数量积性质求的取值范围. 【详解】由得，， 又，则， 因为，则， 即，解得， ，因为， 又，， 所以， 因为，所以. 13．已知向量，，．若，，三点共线，则_________． 【答案】 【分析】求出，后，借助向量共线的坐标运算计算即可得. 【详解】由，，，则，， 由，，三点共线，则，解得. 14．已知向量对应的复数为，复数可以将向量按逆时针方向旋转_____得到（填最小正角）． 【答案】/90° 【分析】利用复数的三角形式的几何意义，设旋转角为，根据复数相等列出方程，求解即得. 【详解】因，则， 设将向量按逆时针方向旋转角，可得到复数对应的向量， 则由，化简得：， 故有，解得，故得， 依题意求最小正角，则. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．如图，一个几何体由一个长方体与一个半圆柱组成，且，分别为圆柱上下底面的直径，，，设，试求：（以下结果用表示） (1)该几何体的表面积与体积； (2)从点沿几何体表面到点的最短距离； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）直接计算体积和表面积得到答案. （2）当路径经过正方体表面时，；当路径经过半圆柱表面时，，根据大小关系得到答案. 【详解】（1）几何体的体积为： ； 几何体的表面积为：， （2）当路径经过正方体表面时，； 当路径经过半圆柱表面时，； 取，即， 当时，，， 当时，，， 即 16．将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，求． 【答案】 【分析】利用斜二测画法规则，可得到，，，最后利用余弦定理可求得边长. 【详解】由题意，在平面直角坐标系中，三角形是边长为的正三角形， 所以，边上的高为， 按“斜二测”画法如下图所示： 可得，， 在三角形中，， 由余弦定理得 . 17．如图，在长方体中，，，为线段上的动点， (1)求三棱锥的体积； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）三棱锥以为底面，高为，直接代入体积公式计算； （2）由得，计算和面积；利用等体积法，以 体积为媒介，求出点到平面的距离. 【详解】（1）， 易知的长即为三棱锥的高， 所以 ． （2）记点到平面的距离为， 由 ，， 由勾股定理，， 又平面，为直角三角形，则， 由（1）知. 18．如图，在正方体中，分别为中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用等体积法求解即可； （2）由线面平行的判定定理可得平面,平面,从而可得平面平面,根据面面平行的性质定理，即可得证. 【详解】（1）因为； （2）证明：连接, 由题意可得且， 所以四边形为平行四边形， 所以, 又因为平面,平面, 所以平面, 同理可证平面, 又因为平面，， 所以平面平面, 又因为平面， 所以平面. 19．某学校在元宵节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道. (1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率； (2)假设从第二关的20道灯谜中任选一道，甲猜对该题的事件与乙猜对该题的事件相互独立，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率. 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）设事件“任选2道灯谜，甲都猜对”，用1，2，3，4，5表示第一关的5道灯谜，其中1，2，3，4表示甲猜对的4道， 则样本空间为，， 所以，， 根据古典概型的计算公式， 得． （2）设事件“任选一道灯谜，甲猜对”，事件“任选一道灯谜，乙猜对”， 事件“任选一道灯谜，甲、乙两人恰有一个人猜对”， 根据题意可得， ，，，． 因为，且，互斥， 由已知相互独立，所以，相互独立，，也相互独立． 所以 ． 即甲、乙两人恰有一个人猜对的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $