第04讲 两条直线的交点（五大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（苏教版2019选择性必修第一册）

第04讲 两条直线的交点 【苏教版2019】 模块一 两条直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线,直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 【题型1 求直线的交点坐标】 【例1】（24-25高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】两个方程的联立，加减消元法计算即可. 【解答过程】……① ……② ①+②得：……③ ③代入②有：……④ 由③④得交点坐标为：. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为(　 ) A． B． C． D． 【解题思路】先根据垂直关系求解出的值，然后联立直线方程可求交点坐标. 【解答过程】因为与互相垂直， 所以，所以， 所以，解得， 所以交点坐标为， 故选：B. 【变式1-2】（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】联立方程组可解得答案. 【解答过程】联立方程组，解得， 所以两直线的交点坐标为. 故选：B. 【变式1-3】（24-25高二上·新疆和田·期中）已知直线方程为，直线方程为，则两直线交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】联立两直线方程，可得出两直线的交点坐标. 【解答过程】联立，解得，因此，两直线的交点坐标为. 故选：A. 【题型2 由直线交点的个数求参数】 【例2】（24-25高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【解题思路】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【解答过程】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 【变式2.1】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可. 【解答过程】由，即两直线交点坐标为， 代入得：. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意联立方程得，再解不等式即可得答案； 【解答过程】联立，得， ∵直线与射线恒有公共点， ∴， 解得. ∴m的取值范围是. 故选：C. 【变式2.3】（24-25高二上·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【解答过程】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B. 【题型3 由直线的交点坐标求参数】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）三条直线相交于两点.已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】先求两直线的交点，进而得是直线上的点，将点代入直线即可得解. 【解答过程】联立，解得， 所以是直线上的点， 代入直线得，解得. 故选：B. 【变式3.1】（2025·海南海口·二模）若直线与直线的交点在直线上，则实数（    ） A．4 B．2 C． D． 【解题思路】求出直线与直线的交点，再代入求解作答. 【解答过程】解方程组，得直线与直线的交点， 依题意，，解得， 所以实数. 故选：A. 【变式3.2】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【解题思路】联立直线方程求交点坐标，再由点在直线上求参数. 【解答过程】联立，可得，即交点为， 由题意. 故选：B. 【变式3.3】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【解答过程】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A. 【题型4 三线能围成三角形的问题】 【例4】（24-25高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分线线平行和三线共点讨论即可. 【解答过程】若，则，解得．若，则，解得． 若，，交于一点，联立方程组，解得得， 代入，得，解得，故a的取值集合为． 故选：D. 【变式4-1】（24-25高二上·四川遂宁·期中）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（    ） A．a≠ B．a≠ C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1 【解题思路】由三条直线两两不平行，且不交于同一点可得． 【解答过程】已知三条直线能构成三角形，首先不平行， 若，则三条直线围成三角形， 若，则，，解得， 时，由，得，代入得，或，因此 综上：且． 故选：C． 【变式4-2】（24-25高二·全国·课后作业）若三条直线能构成三角形，则a应满足的条件是（    ） A．或 B． C．且 D．且 【解题思路】先排除平行与重合情况，再排除交于一点的情况，最后给出答案. 【解答过程】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点. ①若，则由，得. ②若，则由，得. ③若，则由，得. 当时，与三线重合，当时，平行. ④若三条直线交于一点，由解得 将的交点的坐标代入的方程， 解得（舍去）或. 所以要使三条直线能构成三角形，需且. 故选：D. 【变式4-3】（24-25高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【解题思路】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案. 【解答过程】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B. 模块二 直线系方程 1．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为 ,λ∈R，但不包括直线l2. 【题型5 直线交点系方程问题】 【例5】（24-25高二上·四川凉山·期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先求出两条直线的交点坐标，再根据垂直求出斜率，点斜式写方程即可. 【解答过程】由题知：，解得：，交点. 直线的斜率为，所求直线斜率为. 所求直线为：，即. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出两直线的交点坐标，再利用二倍角的正切公式求出直线的斜率即可求解. 【解答过程】由，解得，即所求方程的直线过点， 令直线的倾斜角为，则，显然是锐角， 因此所求方程的直线斜率， 所以所求的直线方程为，即. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高二上·山东聊城·期中）经过两条直线，的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出交点，由方向向量可得斜率，然后由点斜式可得方程. 【解答过程】联立，解得：， 即直线的交点为， 又直线的一个方向向量，所以直线的斜率为， 故该直线方程为：，即 故选：D. 【变式5-3】（24-25高二上·安徽合肥·期末）过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用直线系方程结合直线平行的条件可得参数，进而即得． 【解答过程】由已知，可设所求直线的方程为：， 即， 又因为此直线与直线平行， 所以：， 解得：， 所以所求直线的方程为：，即． 故选：A． 一、单选题 1．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）直线：与：的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】联立两直线方程，求出交点坐标. 【解答过程】联立方程组解得， 故与的交点坐标为. 故选：A. 2．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出两条直线的交点，并根据交点在第一象限，解出的取值范围即可. 【解答过程】由得， 因为两直线的交点在第一象限，所以， 解得：. 故选：B. 3．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先利用垂直关系求出，再代入方程联立求解交点. 【解答过程】直线与互相垂直,可得，即. 把代入直线，得到. 联立方程组 解得.把代入，得. 所以交点坐标为. 故选：C. 4．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【解答过程】直线与直线的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为：， 代入得，所以， 所以直线的方程为. 故选：A. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两直线垂直充要条件列式求出，再联立方程组求出交点坐标. 【解答过程】因为直线与直线垂直， 所以，解得， 直线的方程为. 由，解得，故交点坐标为. 故选：A. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【解题思路】先求出两条已知直线的交点，再将求得的交点代入直线即可得解. 【解答过程】联立，解得， 将点代入到直线，得，故. 故选：C. 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，则直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出直线的方程与的方程联立,即可解得交点坐标为. 【解答过程】设直线的方程为，因为直线经过两点， 所以，解得， 所以的方程为， 将直线与直线的方程联立，解得， 所以直线与的交点坐标为． 故选：C. 8．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【解答过程】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）已知，，这三条直线有唯一公共点，则实数的可能取值有（    ） A． B． C． D． 【解题思路】联立直线与，可得两直线交点坐标，代入，可得解. 【解答过程】由题意可得这三条直线交于同一点，联立， 解得直线和直线的交点坐标为， 把交点坐标代入直线的方程可得， 解得或， 故选：AC． 10．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）与直线相交，且交点在第四象限的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】联立直线方程求出交点坐标判断即可. 【解答过程】联立，得交点坐标为，在第一象限，故错误； 联立，得交点坐标为，在第一象限，故错误； 联立，得交点坐标为，在第四象限，故C正确； 联立，得交点坐标为，在第四象限，故D正确． 故选：. 11．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）若三条直线可以围成一个三角形，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．1 D．3 【解题思路】由题意可得三条直线两两都不平行且不同时过同一个点，写出限定条件即可得结果. 【解答过程】根据题意可知三条直线两两都不平行，且不同时过同一个点； 当平行时可得，此时不合题意，因此； 联立，即，解得交点坐标为， 因此不在上，即可得，可得； 所以若三条直线围成一个三角形，只需且即可. 故选：BD. 三、填空题 12．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）直线：与直线：的交点坐标为 . 【解题思路】联立方程即可求解. 【解答过程】联立，解得，故交点为， 故答案为：. 13．（24-25高二上·广西玉林·期中）若直线经过两直线和的交点，则 . 【解题思路】先求出两条已知直线的交点，再将求得的交点代入直线即可得解. 【解答过程】联立，解得， 将点代入到直线，得，故. 故答案为：. 14．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）斜率为，且过两条直线和交点的直线方程为 ． 【解题思路】求两条直线交点，再由斜截式方程可得. 【解答过程】联立方程组，解得， 由题意斜率为，且过的直线方程为. 即所求直线方程为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二·全国·课堂例题）判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标． (1)； (2)． 【解题思路】（1）将直线化成斜截式，比较斜率即可得到答案； （2）联立直线得到方程组，解出即可. 【解答过程】（1）将与的方程分别化为斜截式可知． 因此与的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行． （2）解方程组， 可得． 因此与相交，而且交点的坐标为. 16．（24-25高二·全国·课后作业）两条直线与互相垂直，交于点，求的值． 【解题思路】利用两直线垂直斜率的关系求出，再将点分别代入直线，的方程中求出，即可得出的值. 【解答过程】直线，相互垂直， ，解得， 将代入，即 解得， 将代入，解得， . 17．（24-25高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【解题思路】（1）解方程组得到两直线的交点坐标； （2）通过方程组的解判断两直线的位置关系； （3）通过方程组的解判断两直线的位置关系. 【解答过程】（1）解方程组，得 因此直线和相交，交点坐标为． （2）方程组有无数个解，这表明直线和重合． （3）方程组无解，这表明直线和没有公共点，故． 18．（24-25高二上·四川广元·期中）求经过直线的交点，且满足下列条件的直线的方程. (1)与直线平行， (2)与直线垂直. 【解题思路】（1）联立直线方程后可求，利用平行直线系可求直线方程； （2）利用垂直直线系可求直线方程. 【解答过程】（1）由可得，故， 设所求直线为，代入可得， 故与已知直线平行的直线方程为. （2）设所求直线为，代入可得， 故与已知直线垂直的直线方程为. 19．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）直线经过两直线和的交点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 【解题思路】（1）由题意求得两直线交点坐标，利用直线平行求得直线的斜率，进而可求直线的方程. （2）求得直线的方程，计算可求线与坐标轴围成的三角形周长. 【解答过程】（1）由题意联立，解得，即直线过点， 直线的斜率为， 又直线与直线平行，所以直线的斜率为， 由直线的点斜式方程可得直线的方程为，即 （2）由直线，可得，所以直线的斜率， 由（1）知直线过点，所以直线的方程为， 令，可得，所以直线与的交点， 令，可得，所以直线与的交点， 所以，又， 所以直线与坐标轴围成的三角形周长为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 两条直线的交点 【苏教版2019】 模块一 两条直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线,直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 【题型1 求直线的交点坐标】 【例1】（24-25高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为(　 ) A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·新疆和田·期中）已知直线方程为，直线方程为，则两直线交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型2 由直线交点的个数求参数】 【例2】（24-25高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【变式2.1】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【变式2.2】（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高二上·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 由直线的交点坐标求参数】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）三条直线相交于两点.已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3.1】（2025·海南海口·二模）若直线与直线的交点在直线上，则实数（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式3.2】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3.3】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型4 三线能围成三角形的问题】 【例4】（24-25高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·四川遂宁·期中）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（    ） A．a≠ B．a≠ C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1 【变式4-2】（24-25高二·全国·课后作业）若三条直线能构成三角形，则a应满足的条件是（    ） A．或 B． C．且 D．且 【变式4-3】（24-25高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 模块二 直线系方程 1．直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为 ,λ∈R，但不包括直线l2. 【题型5 直线交点系方程问题】 【例5】（24-25高二上·四川凉山·期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·山东聊城·期中）经过两条直线，的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二上·安徽合肥·期末）过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）直线：与：的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线经过两点，则直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）已知，，这三条直线有唯一公共点，则实数的可能取值有（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）与直线相交，且交点在第四象限的直线方程是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）若三条直线可以围成一个三角形，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．1 D．3 三、填空题 12．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）直线：与直线：的交点坐标为 . 13．（24-25高二上·广西玉林·期中）若直线经过两直线和的交点，则 . 14．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）斜率为，且过两条直线和交点的直线方程为 ． 四、解答题 15．（24-25高二·全国·课堂例题）判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标． (1)； (2)． 16．（24-25高二·全国·课后作业）两条直线与互相垂直，交于点，求的值． 17．（24-25高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 18．（24-25高二上·四川广元·期中）求经过直线的交点，且满足下列条件的直线的方程. (1)与直线平行， (2)与直线垂直. 19．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）直线经过两直线和的交点. (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$