精品解析：2026年湖北省孝感市孝南区二模数学试题

2025—2026学年度下学期初中学业水平考试第二次模拟演练 数学试卷 （本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟） 一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ） A. a B. b C. c D. d 2. 鲁班锁作为一种传统的、具有中国文化特色的玩具，其设计原理源于中国古代建筑中的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，则（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 两实数根之积为1 D. 两实数根之和为 6. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 抛出的篮球会下落 B. 明天会下雨 C. 任意三角形，其内角和是 D. 太阳从东方升起 7. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，，，，请确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，则点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的半径，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，点为边的中点，连接，沿折叠，点落在矩形内部，点的对应点为，连接，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 已知正比例函数（是常数，），随的增大而减小，写出一个符合条件的的值为_____． 12. 为培养学生运用的意识，在某校主办的科学艺术节展示活动中，确定了“”“”“豆包”和“千问”四个展示主题．若八年级的1班随机选择其中一个主题来展示，则这个班选择“豆包”这一主题的概率是_________． 13. 定滑轮常用来升降物体．在水平地面上，小明用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，绳子拉直后，物体位于点处．如图，在同一平面内，、均垂直于，垂足分别为、，，测得，，，则滑轮与地面的距离的值为_________．（参考数据：，，） 14. 计算：________． 15. 如图1，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点，若点的运动速度为，设点的运动时间为，长度为，与函数图象如图2所示，则： （1）__________； （2）当恰好平分时，点运动的时间__________． 三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共9小题，满分75分．请认真读题，冷静思考．将必要的文字说明、证明过程或演算步骤直接填写在答题卡相应位置上） 16. 计算：； 17. 如图，在和中，点、、、在同一直线上，已知，，若__________，则． 请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（填写序号），使结论成立，并说明理由． 18. 综合与实践 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢进一就是进制．计算机使用的即是二进制数．为了区分不同的进位制，常在数的右下角表明基数，例如就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材1 十进制数：，记作：234； 二进制数：，记作：； … 各进制之间可以进行转换，如： 二进制数（或进制数）转换成与其相等的十进制数，只要将二进制数（进制数）的每个数字，依次乘2（或）的相应基数的幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数； 素材2 将十进制数转换成与其相等的二进制数，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．如： ， 素材3 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．二进制的四则运算规则如下： 加法：，，，； 减法：，，，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十进制的竖式加法、减法规则进行运算．如： ，． 解决任务： 探究不同进位制的数之间的转换 （1）将二进制数转化成十进制数的值为________； （2）十进制数9转化成二进制数的值为； 探究进位制数的加法运算 （3）； 19. 近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查（调查问卷如图），所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为_________；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有__________人，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； （3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 20. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）当的面积为3时，求m的值． 21. 如图，是的直径，，是上两点，，过作交的延长线于． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 22. 如图是某跳水运动员在进行跳水训练时的截面图，运动员身体（看成一点）在空中的运动路线是一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距水面的高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系． （1）画出平面直角坐标系，并求当时，这条抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点的距离； （3）图中米，米，若跳水运动员在区域内（不含点，）入水时才能达到训练要求，直接写出的取值范围是__________． 23. 已知四边形是边长为4的正方形，点是边上一点，点是边上一点，连接，过点作交的延长线于点，与边交于点． （1）【问题发现】 如图1，求证：； （2）【问题探究】 如图2，若点是的中点，，求的长度； （3）【拓展迁移】 若点是的中点，连接，作点关于直线的对称点，若、、三点在一条直线上，根据题意补全图形，并求出的值． 24. 如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，若点是轴上方抛物线上一动点，点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，过点作轴于点，求的值； （3）若过点作轴交直线于点，过点作轴于点，过点作轴于点，得矩形，令矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②若在轴上取点，点也是抛物线上一点，其横坐标比点的横坐标大2，以为对角线作正方形（字母按顺时针方向排列），当随的增大而增大，且正方形的顶点落在轴上时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期初中学业水平考试第二次模拟演练 数学试卷 （本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟） 一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ） A. a B. b C. c D. d 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小．根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断． 【详解】解：由数轴知，， 则最小的实数为a， 故选：A． 2. 鲁班锁作为一种传统的、具有中国文化特色的玩具，其设计原理源于中国古代建筑中的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用简单几何体的三视图的定义进行求解即可． 【详解】解：观察该鲁班锁部件的结构，俯视图应当是一个长方形，内部有两条竖直的实线，将长方形分割为左、中、右三个小长方形， 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项和同底数幂的乘除法则，逐项判断即可解答． 【详解】A． 和 不是同类项，不能合并，故该选项计算错误； B．，故该选项计算错误； C．，故该选项计算错误； D．，故该选项计算正确． 4. 如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据邻补角的性质求出，再由平行线的性质求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴． 5. 一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 两实数根之积为1 D. 两实数根之和为 【答案】C 【解析】 【分析】先利用判别式判断根的存在情况，再计算两根之和与两根之积，即可判断选项正误． 【详解】解：对于一元二次方程 ，可得 ，，， 计算根的判别式： ， ∴方程有两个不相等的实数根，选项A，B错误； 根据一元二次方程根与系数的关系： 两根之和 ，∴选项D错误； 两根之积 ，∴选项C正确． 6. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 抛出的篮球会下落 B. 明天会下雨 C. 任意三角形，其内角和是 D. 太阳从东方升起 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，具有不确定性． 根据随机事件的定义作答即可． 【详解】解：A选项抛出的篮球会下落是必然事件； B选项明天会下雨是随机事件； C选项任意三角形内角和是是不可能事件； D选项太阳从东方升起是必然事件； 故选：B． 7. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据甲和乙的陈述，甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍；乙得甲9只羊后，两人羊数相等．由此列出二元一次方程组． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且； 乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且； ∴方程组为． 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，，，，请确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，则点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先需要明确平行四边形是中心对称图形，只有特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）才是轴对称图形，普通平行四边形仅为中心对称图形，不是轴对称图形，据此逐项验证即可． 【详解】解：平行四边形是中心对称图形，只有特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）才是轴对称图形，普通平行四边形仅为中心对称图形，不是轴对称图形， ∵，， 选项A：当点D的坐标为时，连接点A、B、C、D，则该四边形无法构成平行四边形，因此不是中心对称图形，故A不符合题意； 选项B、当点D的坐标为时，点A、B、D的横坐标均为，则这三点在同一条直线上，无法构成四边形，故B不符合题意； 选项C、当点D的坐标为时， 线段在直线上，且，线段在直线上，且， 且， 四边形是平行四边形， ，， ， 、， 平行四边形不是菱形，也不是矩形、正方形， 该四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C符合题意； 选项D、当点D的坐标为时， 同理可得：四边形是平行四边形， 、， ， 平行四边形是矩形， 该四边形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故D不符合题意． 9. 如图，是的半径，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图可知，垂直平分，则，进而得到是等边三角形，则，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， 根据作图可知，垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 10. 如图，在矩形中，点为边的中点，连接，沿折叠，点落在矩形内部，点的对应点为，连接，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图， 作，由线段中点得，根据折叠可得，得出为等腰三角形，再根据等腰三角形的三线合一得到，在 中利用 即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵ 四边形为矩形， ∴． ∵ 点是的中点， ∴． 根据折叠可得，， ∴． ∵， ∴． 在  中，， 设，则， 根据勾股定理得：，即， 解得或（舍）， ∴ ， ． 二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 已知正比例函数（是常数，），随的增大而减小，写出一个符合条件的的值为_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据正比例函数图像与性质，由正比例函数增减性直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数（是常数，），随的增大而减小， ∴， ∴的值可以取（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查正比例函数图像与性质，熟练掌握正比例函数增减性是解决问题的关键． 12. 为培养学生运用的意识，在某校主办的科学艺术节展示活动中，确定了“”“”“豆包”和“千问”四个展示主题．若八年级的1班随机选择其中一个主题来展示，则这个班选择“豆包”这一主题的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】确定所有等可能结果数和所求事件包含的结果数后，根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，该班选择主题共有种等可能的结果，其中选择“豆包”这一主题的结果有种． 所以，选择“豆包”这一主题的概率是． 13. 定滑轮常用来升降物体．在水平地面上，小明用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，绳子拉直后，物体位于点处．如图，在同一平面内，、均垂直于，垂足分别为、，，测得，，，则滑轮与地面的距离的值为_________．（参考数据：，，） 【答案】4.5 【解析】 【分析】由题意可知，四边形是矩形，在直角三角形中，利用角的正切值求出，即可得解． 【详解】解：由题意可知，四边形是矩形， ，， ，，， 在中，， ， ． 14. 计算：________． 【答案】2 【解析】 【分析】先将异分母分式通过变形转化为同分母分式，再依据同分母分式的加减运算法则进行计算，最后对结果约分得到最简形式． 【详解】解： ． 15. 如图1，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点，若点的运动速度为，设点的运动时间为，长度为，与函数图象如图2所示，则： （1）__________； （2）当恰好平分时，点运动的时间__________． 【答案】 ①. 72 ②. 【解析】 【分析】（1）根据函数图像可得，则，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）如图：作的平分线，则，即，进而得到，由相似三角形的性质求出的长，然后求运动时间即可． 【详解】解：（1）点的运动速度为，结合图2可知：， ∴， ∵， ∴； （2）如图，作的平分线，则 ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ，即 ，解得：（已舍去负值）， ∴． 三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共9小题，满分75分．请认真读题，冷静思考．将必要的文字说明、证明过程或演算步骤直接填写在答题卡相应位置上） 16. 计算：； 【答案】0 【解析】 【详解】解： ． 17. 如图，在和中，点、、、在同一直线上，已知，，若__________，则． 请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（填写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】选择① 理由：， ， ． 在与中， ． 或选择② 理由：， ． 在与中， ． 若选择③，此时已知两边及其中一边的对角，不能判定全等， 不能选择③． 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理，若添加条件① ，可用 判定全等，若添加条件② ，可用 SAS 判定全等，若添加条件③ ，不能判定全等，故③不能作为条件。 【详解】略． 18. 综合与实践 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢进一就是进制．计算机使用的即是二进制数．为了区分不同的进位制，常在数的右下角表明基数，例如就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材1 十进制数：，记作：234； 二进制数：，记作：； … 各进制之间可以进行转换，如： 二进制数（或进制数）转换成与其相等的十进制数，只要将二进制数（进制数）的每个数字，依次乘2（或）的相应基数的幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数； 素材2 将十进制数转换成与其相等的二进制数，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直到商为1，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．如： ， 素材3 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．二进制的四则运算规则如下： 加法：，，，； 减法：，，，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十进制的竖式加法、减法规则进行运算．如： ，． 解决任务： 探究不同进位制的数之间的转换 （1）将二进制数转化成十进制数的值为________； （2）十进制数9转化成二进制数的值为； 探究进位制数的加法运算 （3）； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，依据二进制转十进制的算法求出对应的十进制数即可． （2）由题意，依据十进制转二进制的算法求出9对应的二进制数即可． （3）根据素材，列竖式运算即可． 【小问1详解】 解： 由题意可得，． 【小问2详解】 解：由题意可得， 十进制数9转化成二进制数的值为． 【小问3详解】 解：由题意可得， 19. 近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查（调查问卷如图），所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）． 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为_________；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有__________人，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数； （3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议． 【答案】（1）36；135；见解析 （2）450人 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体等等，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用360度乘以“公共交通”的人数占比可求出对应的圆心角度数；用300乘以“骑电动自行车”的人数占比可求出对应的人数，再求出时间段骑电动车的人数并补全统计图即可； （2）用1500乘以样本中用私家车接送孩子的家长人数占比即可得到答案； （3）电动车和私家车接送孩子的人数占比多，容易造成拥堵；时间段电动车和私家车接送孩子的人数比较多，容易造成拥堵；建议可从换接送方式和换接送时间段两个方面阐述． 【小问1详解】 解：， ∴扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为； 人， ∴本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有135人； ∴时间段骑电动车的人数为人， 补全统计图如下所示： 【小问2详解】 解；人， 答：估计用私家车接送孩子的家长人数为450人； 【小问3详解】 解：由扇形统计图可知用电动车和私家车接送孩子的人数占比为，容易造成放学后校门口交通拥挤；由条形统计图可知，在时间段内，接送孩子的电动车和私家车比较多，容易造成放学后校门口交通拥挤； 建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子或者使用电动车或私家车接送孩子时避开时间段． 20. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）当的面积为3时，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及了求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题等知识点，熟记相关结论即可； （1）由题意得：点在一次函数的图象上，可求出，即可求解； （2）对于一次函数，令求出；一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：；求出，即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得：点在一次函数的图象上， ∴， ∴； ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：对于一次函数，令，则； ∴； 一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：； 对于一次函数，令，则； ∴； ∴； 解得： 21. 如图，是的直径，，是上两点，，过作交的延长线于． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 【答案】（1）证明：如图，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2）5 【解析】 【分析】（1）如图，连接，则，易证，从而得到，进而求得，再根据切线定义即可证明结论； （2）如图，连接，过点作于，易证四边形是矩形，则，利用垂径定理可得，在中，最后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于， ，， ∴四边形是矩形， ∴， ， 在中，， 的半径长为5． 22. 如图是某跳水运动员在进行跳水训练时的截面图，运动员身体（看成一点）在空中的运动路线是一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距水面的高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系． （1）画出平面直角坐标系，并求当时，这条抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点的距离； （3）图中米，米，若跳水运动员在区域内（不含点，）入水时才能达到训练要求，直接写出的取值范围是__________． 【答案】（1） （2）5米 （3） 【解析】 【分析】 （1）根据抛物线顶点坐标，设抛物线解析为：，将点代入求得a的值即可； （2）先求得抛物线与x轴交点为：，进而完成解答； （3）若跳水运动员在区域内（不含点E，F）入水达到训练要求，则在函数中，当时，；当米，时，据此列关于的不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，点， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：依题意，当，则． 解得：，． 故抛物线与x轴交点为：． ∴观察图中，得出运动员落水点与点C的距离为5米． 【小问3详解】 解： ∵跳板长为2米，跳板距水面的高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度米，是固定不变的， ∴设抛物线的解析式为，且过点， ∴， 则， ∵米，米， ∴当时，， 则， 解得：； 当时，， 则， 解得． 综上所述，的取值范围是． 23. 已知四边形是边长为4的正方形，点是边上一点，点是边上一点，连接，过点作交的延长线于点，与边交于点． （1）【问题发现】 如图1，求证：； （2）【问题探究】 如图2，若点是的中点，，求的长度； （3）【拓展迁移】 若点是的中点，连接，作点关于直线的对称点，若、、三点在一条直线上，根据题意补全图形，并求出的值． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明结合，即可证明； （2）根据，代入数据求得，勾股定理求得，根据，证明，根据相似三角形的性质，即可求解． （3）连接，作点关于直线的对称点，过作交于，得出四边形是平行四边形，证明得出，设，则，由（1）知：，求得，进而求得，同理可得，根据相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点是的中点，， ， 由（1）知：， ，即：， ， 在中，，， ， ， ∴ ，即：， ， ． 【小问3详解】 如图，过作交于， ∴四边形是平行四边形， ， 关于直线的对称， ， ， ，， ， 设，则， 由（1）知：， ， ， ，，（舍去） ， ， ∴ ， ． 24. 如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，若点是轴上方抛物线上一动点，点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，过点作轴于点，求的值； （3）若过点作轴交直线于点，过点作轴于点，过点作轴于点，得矩形，令矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②若在轴上取点，点也是抛物线上一点，其横坐标比点的横坐标大2，以为对角线作正方形（字母按顺时针方向排列），当随的增大而增大，且正方形的顶点落在轴上时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）2 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出点，然后求出，，，再代入求出结果即可； （3）①先求出直线解析式为，再根据，得出点在轴右侧时，求出点，得出，最后求出矩形的周长即可； ②分两种情况进行讨论：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入得， ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：将代入，得， ， 解得：或， ∴点， 由题：，， ，，， ∴； 【小问3详解】 解：①设直线为，代入，， ， 解得：， 直线为：， ∵， ∴点在轴右侧时，如图所示： ∵点，且轴， ， 轴， ， 将代入直线得， ， 解得：， ∴点， ， ； ②根据题意得：，，则， 当时，如图所示，若点在轴上，过作轴于， 则， ∵正方形中，，， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 而此时， 对称轴为：， 随的增大而增大， ， 又， ， ； 当时，如图所示，若点不在轴上； 综上：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $