精品解析：2025年湖北省孝感市孝南区中考二模数学试题

2025年孝南区九年级第二次教学质量监测 数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 通常把标准大气压下水结冰时的温度规定为，那么比水结冰时的温度低应记作（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个三棱柱，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 关于的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 4. 2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 调查某班45名学生的身高情况，宜采用抽样调查 B. “守株待兔”不可能事件 C. “湖北某地明天降雨的概率为0.6”，表示该地方明天一定降雨 D. 在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率 8. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，若客人为人，银子为两，可列方程组（ ） A. B. C. D. 9. 已知，作图． 步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 长为半径画弧交于点E，画射线． 步骤2：在上任取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点P，Q，C； 步骤3：连接，． 则下列结论不正确的是（ ） A B. C. 垂直平分 D. 10. 如图，抛物线过点，对称轴为直线，有以下结论正确的为（ ） A B. C. D. 方程两根分别为，4 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若方程有两个不相等的实数根，则实数c的值可能是________（写出一个即可）． 12. 化简：________． 13. 如图，O是原点，，将绕O逆时针旋转得，则点C的坐标为________． 14. 2024年11月20日至25日，我市在文化中心举办湖北省第十三届“黄鹤美育节”，文化中心出入口示意图如图所示，则小颖从A入口进入C出口走出的概率是________． 15. 如图，E，F是正方形的边的三等分点，P是对角线上的动点，当取最小值时，________，________． 三、解答题（共9题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：； 17. 如图，在中，点分别在上，且相交于点，求证：． 18. 为测量学校旗杆的高度，某中学数学兴趣小组的同学经过讨论，设计了以下两种方案： 方案一 方案二 测量工具 含角的教学用直角三角板、足够长的皮尺． 升旗用的绳子、足够长的皮尺． 测量方案 示意图 实施方案及测量数据 一同学站在C点，双手水平托好直角三角板，恰好看到旗杆顶A点，测得旗杆底部B处与C点的距离，人的眼睛与地面的距离． 升旗用的绳子从旗杆顶端垂落地面后还多出1m，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②旗杆半径忽略不计． ①实施过程中，旗杆顶端绳子保持不动． 请从以上两种方案中任选一种，计算旗杆的高度． 19. 为增强初中生的国家安全意识，共筑国家安全防线，培养爱国主义精神．我市某学校在今年国家安全教育日（4月15日），隆重举行了国家安全知识竞赛活动． 【收集数据】从七、八年级各随机抽选取了20名同学的竞赛成绩．（满分100分，成绩都是整数且不低于80分，90分及以上为优秀） 【整理数据】将抽取的两个年级的成绩分别进行整理，分成A，B，C，D四组（用x表示测试成绩），A组：，B组：，C组：，D组：．其中： 七年级C组同学的分数分别为：91，92，93，94； 八年级C组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94． 【描述数据】根据统计数据，绘制成如下统计图． 七年级抽取的学生成绩条形统计图 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 【分析数据】七年级、八年级抽取的学生成绩分析统计如下表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 a 95 八年级 91 93 b 根据以上统计数据，解答下列问题： （1）填空：________，________，________，八年级B组所在扇形的圆心角度数是________； （2）该校现有七年级学生420名，八年级学生400名，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为多少人？ （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在国家安全知识竞赛中，哪个年级学生对国家安全的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． （1）求k和m的值； （2）将直线沿y轴方向向上平移个单位后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，若，请直接写出n的取值范围． 21. 如图，已知为直径，平分，交于点C，交于点F，．延长至点E，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 22. 某校积极开展阳光体育活动，在一场九年级的篮球比赛中，队员甲正在投篮（如图），已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面． （1）建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线解析式； （2）问甲投出的这个球能否准确命中？ （3）此时，若对方队员乙在甲前面附近处准备跳起拦截，已知乙跳起的最大摸高为，如果队员乙要拦截成功，那么他离甲不能超过多少？（参考数据：，，，，） 23. 综合与实践 【问题情境】在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N． 【猜想证明】（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 24. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接．点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合），设点P的横坐标为t． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点P是抛物线第二象限内一点，连接交于Q，若，求点P的坐标； （3）若点P为x轴上方抛物线上一点，连接、、，设以A，O，C，P为顶点的四边形的面积为S． ①求S关于t函数解析式； ②根据S的不同取值，直接写出点P的个数情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年孝南区九年级第二次教学质量监测 数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 通常把标准大气压下水结冰时的温度规定为，那么比水结冰时的温度低应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正负数的运用，掌握正负数的意义是解题的关键． 根据题意，比规定温度低，运用负数表示，由此即可求解． 【详解】解：标准大气压下水结冰时的温度规定为， ∴比水结冰时的温度低应记作， 故选：C ． 2. 如图是一个三棱柱，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的主视图．从正面看到的是主视图，看到的轮廓线用实线，看不到的轮廓线用虚线．根据主视图的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，主视图如下， 故选：C． 3. 关于的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，然后对比数轴求解即可． 【详解】解：解得， 由数轴得：， 解得：， 故选：B． 【点睛】题目主要考查求不等式的解集及参数，熟练掌握求不等式解集的方法是解题关键． 4. 2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算．根据合并同类项，同底数幂的乘除法，完全平方公式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不能合并，本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：B． 6. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，代入数据，即可求解． 【详解】解：依题意，水面与容器底面平行， ∴ ∵，， ∴ 故选：B． 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 调查某班45名学生的身高情况，宜采用抽样调查 B. “守株待兔”是不可能事件 C. “湖北某地明天降雨的概率为0.6”，表示该地方明天一定降雨 D. 在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与普查，随机事件，事件分类，概率的性质．根据全面调查与普查，随机事件，事件分类，概率的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、调查某班45名学生的身高情况，宜采用全面调查，故该选项不符合题意； B、“守株待兔”是随机事件，故该选项不符合题意； C、“湖北某地明天降雨的概率为0.6”，表示该地方明天不一定降雨，故该选项不符合题意； D、在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率,故该选项符合题意； 故选：D． 8. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，若客人为人，银子为两，可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设客人为x人，银子为y两，根据题意列出二元一次方程组，即可解答． 【详解】解：设客人为x人，银子为y两，根据题意得， 故选：A． 9. 已知，作图． 步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 长为半径画弧交于点E，画射线． 步骤2：在上任取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点P，Q，C； 步骤3：连接，． 则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 垂直平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理的推论，平行线的判定和性质，根据四量关系定理求出，根据垂径定理的推论得出垂直平分，根据圆周角定理得出，根据平行线的判定得出即可． 【详解】解：．由作图可知：， ，垂直平分，故选项A、C正确，不符合题意； B．为半圆的直径， ，， ， ，选项B正确，不符合题意； D．度数未知，和互余， 不一定等于， 不一定等于，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 10. 如图，抛物线过点，对称轴为直线，有以下结论正确的为（ ） A. B. C. D. 方程两根分别为，4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程，根据图象判断的符号，判断A，特殊值，判断B，对称轴判断C，对称性和图象法求出方程的根，判断D． 【详解】解：由图象可知：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故C选项错误， ∴，故选项A错误； 由图象可知，当时，，故选项B错误； ∵抛物线过点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点的坐标为， ∴方程两根分别为，4；故选项D正确； 故选D． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若方程有两个不相等的实数根，则实数c的值可能是________（写出一个即可）． 【答案】0（答案不唯一，填写0或任意一个负数均可） 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式计算即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等实数根， ∴， 解得． 故c可以是0， 故答案为：0． 12. 化简：________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分式的乘除混合运算解答即可． 本题考查了分式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：1． 13. 如图，O是原点，，将绕O逆时针旋转得，则点C的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作于点D，结合条件是等腰直角三角形建构起一线三直角全等模型，利用模型的二级结论解决问题． 【详解】解：过点C作轴于点D，过点A作轴于点B， 根据绕O逆时针旋转得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点C在第二象限， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，坐标与线段的关系，坐标与象限的关系，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 14. 2024年11月20日至25日，我市在文化中心举办湖北省第十三届“黄鹤美育节”，文化中心出入口示意图如图所示，则小颖从A入口进入C出口走出的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据列表法或画树状图法求概率，解题的关键在于根据题意列出表格． 根据题意列出表格，得到总情况，以及从A入口进入C出口走出的情况数，再结合概率公式求解，即可解题． 【详解】解：根据题意列表如下： 进 出 C D E A A，C A，D A，E B B，C B，D B，E 由表格可知，总共有种情况，其中从A入口进入C出口走出的情况数为， ⸫小颖从A入口进入C出口走出的概率是， 故答案为：． 15. 如图，E，F是正方形的边的三等分点，P是对角线上的动点，当取最小值时，________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作点F关于的对称点，连接交于点，此时取得最小值，根据正切的定义，求出，过点作的垂线段，交于点K，根据题意可知点落在上，设正方形的边长为，求得的边长，证明，可得，即可解答． 【详解】解：作点F关于的对称点，连接交于点，过点作的垂线段，交于点K，连接，则 由题意得：此时落在上，且根据对称的性质，当P点与重合时取得最小值，， 设正方形的边长为a，则，， 四边形是正方形， ，，，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当取得最小值时，的值是为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了线段和的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，解直角三角形，正确画出辅助线是解题的关键． 三、解答题（共9题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂和负整数指数幂，先计算算术平方根，零指数幂和负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在中，点分别在上，且相交于点，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，连接，证明四边形为平行四边形即可得证． 【详解】证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵相交于点， ∴． 18. 为测量学校旗杆的高度，某中学数学兴趣小组的同学经过讨论，设计了以下两种方案： 方案一 方案二 测量工具 含角的教学用直角三角板、足够长的皮尺． 升旗用的绳子、足够长的皮尺． 测量方案 示意图 实施方案及测量数据 一同学站在C点，双手水平托好直角三角板，恰好看到旗杆顶A点，测得旗杆底部B处与C点的距离，人的眼睛与地面的距离． 升旗用的绳子从旗杆顶端垂落地面后还多出1m，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②旗杆半径忽略不计． ①实施过程中，旗杆顶端绳子保持不动． 请从以上两种方案中任选一种，计算旗杆的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理，解方程是解题的关键． 方案一过D作于E，则四边形是矩形，利用等腰直角三角形的性质，解答即可；方案二，设旗杆的高，，在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：若选方案一： 过D作于E，如图所示， 依题意：， 四边形矩形， ，， 在中，， ， 若选方案二： 设，则， 在中，， ， 解得：， 19. 为增强初中生的国家安全意识，共筑国家安全防线，培养爱国主义精神．我市某学校在今年国家安全教育日（4月15日），隆重举行了国家安全知识竞赛活动． 【收集数据】从七、八年级各随机抽选取了20名同学的竞赛成绩．（满分100分，成绩都是整数且不低于80分，90分及以上为优秀） 【整理数据】将抽取的两个年级的成绩分别进行整理，分成A，B，C，D四组（用x表示测试成绩），A组：，B组：，C组：，D组：．其中： 七年级C组同学的分数分别为：91，92，93，94； 八年级C组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94． 【描述数据】根据统计数据，绘制成如下统计图． 七年级抽取的学生成绩条形统计图 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 【分析数据】七年级、八年级抽取的学生成绩分析统计如下表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 a 95 八年级 91 93 b 根据以上统计数据，解答下列问题： （1）填空：________，________，________，八年级B组所在扇形的圆心角度数是________； （2）该校现有七年级学生420名，八年级学生400名，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为多少人？ （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在国家安全知识竞赛中，哪个年级学生对国家安全的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）92.5，94，60， （2）512人 （3）八年级学生对国家安全的了解情况更好，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据众数，中位数的定义，优秀的条件，圆心角的计算方法计算解答． （2）利用样本估计总体思想解答即可． （3）比较中位数，众数，平均数，优秀率的大小作出决策． 【小问1详解】 解：根据中位数是第10个数据，第11个数据的平均数，即（分）， 出现次数最多是数据是94， 故b为94； 优秀率为：， 解得； B等级所占圆心角为：． 故答案为：；94，60，． 【小问2详解】 解：根据题意，该校现有七年级学生420名，八年级学生400名， 两个年级成绩为优秀的总人数为：（人）， 答：两个年级成绩为优秀的总人数为512人． 【小问3详解】 八年级掌握情况较好，理由如下： 由样本数据可知：八年级的中位数93大于七年级的中位数，所以八年级水平高于七年级． 【点睛】本题考查了圆心角的计算，样本估计总体，中位数的计算，众数的计算，根据平均数、中位数、平均数提出决策，熟练掌握中位数，样本估计总体是解题的关键． . 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． （1）求k和m的值； （2）将直线沿y轴方向向上平移个单位后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，若，请直接写出n的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及函数图象的平移，理解是关键． （1）把的坐标代入反比例函数的解析式求得的坐标，然后把的坐标代入直线解析式，利用待定系数法求得k的值几； （2）记平移后的直线与轴的交点为，则，根据可得，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：点在反比例函数的图象上， ， ． 点． 把点代入，得：， ． 【小问2详解】 解：记平移后的直线与轴的交点为，连接，则， 由平移的性质可得． ， ∵ ∴． ． 21. 如图，已知为的直径，平分，交于点C，交于点F，．延长至点E，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知得出，根据，得出，进而证明是等边三角形，根据等边对等角以及三角形的外角的性质得出，即可得证； （2）先求得，再求出，进而根据即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， 为的直径 ， 平分 ， 是等边三角形， 又， ， 又是半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：在中，，， ， 是等边三角形， ， 在中，， ． 22. 某校积极开展阳光体育活动，在一场九年级篮球比赛中，队员甲正在投篮（如图），已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面． （1）建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线解析式； （2）问甲投出的这个球能否准确命中？ （3）此时，若对方队员乙在甲前面附近处准备跳起拦截，已知乙跳起的最大摸高为，如果队员乙要拦截成功，那么他离甲不能超过多少？（参考数据：，，，，） 【答案】（1） （2）能投中 （3）他离甲不能超过 【解析】 【分析】（1）由题意，球出手点的坐标，顶点坐标是，根据题意，不妨设二次函数解析式为，将代入得：，解答即可； （2）计算时的函数值，等于3命中，否则不命中． （3）计算时自变量的值即可． 【小问1详解】 解：由题意，球出手点的坐标，顶点坐标是， 设二次函数解析式为， 将代入得：， 解得：， （或）． 【小问2详解】 解：能投中； 理由如下： 将代入抛物线解析式， 篮圈中心的坐标是， 一定能投中． 【小问3详解】 解：当时，， 解得：，（舍去）， ， 他离甲不能超过m． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，求函数值，求自变量的值，二次函数的应用，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键． 23. 综合与实践 【问题情境】在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N． 【猜想证明】（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 【答案】（1）四边形为矩形，理由见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得，可得，再根据“有三个角是直角的四边形是矩形”得出答案； （2）先根据勾股定理求出，即可得，再结合已知得，接下来根据等腰三角形的性质得，然后证明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案； （3）延长至H，使，连接，，，先根据“边角边”证明，可得，，接下来说明，再设，可表示，，，在中，根据勾股定理可得，求出解，即可得出答案． 【详解】解：（1）四边形为矩形． 理由如下：点M为中点，点D为中点， 是的中位线， ， . ， ． ， ， ∴四边形为矩形； （2）在中，，，， ． 点D是的中点， ． ， ． ，， ． ． 过点N作于点G． ，． ，， ∴． ， 即， ； （3）． 延长至H，使，连接，，， ， ， 是中点， ， 又， ， ，． ， ， ， ， 设，则，，， 在中，， ， 解得， ． 【点睛】本题主要考查了中位线的性质，矩形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理是求线段长的常用方法． 24. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接．点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合），设点P的横坐标为t． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点P是抛物线第二象限内一点，连接交于Q，若，求点P的坐标； （3）若点P为x轴上方抛物线上一点，连接、、，设以A，O，C，P为顶点四边形的面积为S． ①求S关于t的函数解析式； ②根据S的不同取值，直接写出点P的个数情况． 【答案】（1） （2）或 （3）S关于t函数解析式为；当时，存在3个符合条件的点P；当时，存在2个符合条件的点P；当时，存在1个符合条件的点P 【解析】 【分析】（1）把A，C坐标分别代入解析式，构造方程组解答即可； （2）过P作，得到，由，，，，得到，整理解方程即可． （3）①分点P在第一象限和第二象限两种情况求解即可； ②根据解析式画出图象，利用数形结合思想分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入得， ， 解得：， 该二次函数解析式为． 【小问2详解】 由题，，， 设直线为：，代入得： ， 解得：， ， 过P作，交于点M， ∴ 由，，，， ， 解得：， 或． 【小问3详解】 解：①令，则， 解得：，， ， ． 当点P在第二象限内，即时： 过点P作于点D，连接，如图， 则，， ， ． 当点P在第一象限内，时， 过点P作于点E，如图， 则， ， ． 综上，S关于t函数解析式为； ②当时，存在3个符合条件的点P； 当时，存在2个符合条件的点P； 当时，存在1个符合条件的点P． 根据题意，画出函数的大致图象如图： 由图象可知： 当时，存在3个符合条件的点P； 当时，存在2个符合条件的点P； 当时，存在1个符合条件的点P． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，解方程，分割法求图形的面积，画函数的图象，数形结合思想的应用，熟练掌握抛物线的性质，数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$