预习第05讲 空间中点、直线和平面的向量表示-2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019选择性必修第一册）

第05讲 空间中点、直线和平面的向量表示 1.掌握空间直线方向向量的概念及其求法； 2.掌握空间平面的法向量的概念及其求法. 1 空间中直线的向量表示 (1)直线的方向向量 若是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. (2) 直线的向量表示 空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 2 空间中平面的向量表示 (1)空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定 取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，， 使. (2)空间中任意平面由空间一点及平面的法向量唯一确定 若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，向量叫做平面的法向量. (3)平面的法向量的求法(待定系数法) ① 建立适当的坐标系； ② 设平面的法向量为； ③ 求出平面内两个不共线向量的坐标 ； ④ 根据法向量定义建立方程组 ⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. 【题型一】 求空间中直线的方向向量 相关知识点讲解 (1)直线的方向向量 若是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. 注 同一直线的方向向量不唯一. (2) 直线的向量表示 空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 【例】若在直线上，则直线的一个方向向量为　　 A． B． C． D． 【典题1】 已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则(    ) A． B． C．1 D．2 变式练习 1.设与都是直线的方向向量，则下列关于与的叙述正确的是　　 A． B．与同向 C． D．与有相同的位置向量 2.(多选)直线的方向向量，点在直线上，则以下点在直线上的是( ). B. C. D. 3.如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是(    )    A． B． C． D． 【题型二】 求空间中平面的法向量 相关知识点讲解 空间中平面的向量表示 (1)空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定 取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，， 使. (2)空间中任意平面由空间一点及平面的法向量唯一确定 ①若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，向量叫做平面的法向量. 注 一平面的法向量不唯一. 【例】正方体中，边长为，那以下 是平面的法向量， 是平面的法向量. A． B． C． D． ②给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【例】已知平面，其中点，法向量，则下列各点中不在平面内的是　　 A． B． C． D． (3)平面的法向量的求法(待定系数法) ① 建立适当的坐标系； ② 设平面的法向量为； ③ 求出平面内两个不共线向量的坐标 ； ④ 根据法向量定义建立方程组 ⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. 角度1 法向量的理解 【典题1】 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数(    ) A． B． C．1 D．2 【典题2】已知点是法向量为的平面内的一点，则下列各点中，不在平面内的是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为(    ) A． B． C． D． 2.已知向量，平面α的一个法向量，若，则(　　) A． B． C． D． 3.平面的一个法向量，则点的坐标可以是(    ) A． B． C． D． 4.如图，在正方体中，以下可视为平面的法向量是(    )    A． B． C． D． 5.如图，在空间直角坐标系中，有正方体，给出下列结论： ①直线的一个方向向量为；②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为；④平面的一个法向量为． 其中正确的个数为(    )． A．1 B．2 C．3 D．4 角度2 求法向量 【典题1】 如图所示，正三棱柱，各条棱长均为2，点，分别是棱，的中点，是的中点.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则以下不是平面法向量的有(    )    ① ② ③ ④ A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【典题2】四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量. 变式练习 1.已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为(    ) A． B． C． D． 2.已知点，则下列向量可作为平面的一个法向量的是(    ) A． B． C． D． 3.已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，以A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图).则平面ABE的一个法向量为(     )    A． B． C． D． 4.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为(    )    A． B． C． D． 5.如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数(    ) A． B． C． D． 【A组---基础题】 1.已知，，则直线的方向向量可以表示为(     ) A． B． C． D． 2.已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则(    ) A．或 B．或 C． D． 3.已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则(    ) A．4 B．3 C．2 D．1 4.已知平面上的两个向量，，则平面的一个法向量为(　　) A． B． C． D． 5.如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，，分别在棱，上，且，，则下列向量中，能作为平面的法向量的是(    ) A． B． C． D． 6.已知，若直线的一个方向向量为，则 . 7.已知四边形是直角梯形，，平面， ， ，则平面的一个法向量为 8.如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    9.如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量： (1)平面ABCD；(2)平面；(3)平面． 【B组---提高题】 1.一平面截正四棱锥，与棱的交点依次为，已知，则的值为(    ) A． B． C． D． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 空间中点、直线和平面的向量表示 1.掌握空间直线方向向量的概念及其求法； 2.掌握空间平面的法向量的概念及其求法. 1 空间中直线的向量表示 (1)直线的方向向量 若是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. (2) 直线的向量表示 空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 2 空间中平面的向量表示 (1)空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定 取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，， 使. (2)空间中任意平面由空间一点及平面的法向量唯一确定 若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，向量叫做平面的法向量. (3)平面的法向量的求法(待定系数法) ① 建立适当的坐标系； ② 设平面的法向量为； ③ 求出平面内两个不共线向量的坐标 ； ④ 根据法向量定义建立方程组 ⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. 【题型一】 求空间中直线的方向向量 相关知识点讲解 (1)直线的方向向量 若是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量. 注 同一直线的方向向量不唯一. (2) 直线的向量表示 空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 【例】若在直线上，则直线的一个方向向量为　　 A． B． C． D． 解 在直线上，则直线的一个方向向量为：， 故选：． 【典题1】 已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则(    ) A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可. 【详解】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 变式练习 1.设与都是直线的方向向量，则下列关于与的叙述正确的是　　 A． B．与同向 C． D．与有相同的位置向量 【答案】C 【详解】根据直线的方向向量定义，把直线上的非零向量以及与之共线的非零向量叫做直线的方向向量．因此，直线的方向向量都应该是共线的，故选：． 2.(多选)直线的方向向量，点在直线上，则以下点在直线上的是( ). B. C. D. 【答案】AC 【详解】设在直线上的点为，则， 所以，所以， 所以，，所以， 选项中满足要求的点是，故选. 3.如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O为上底面中心，E，F，G分别为棱、、的中点.若平面与平面的交线为l，则l的方向向量可以是(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出平面、平面截正四棱柱所得截面，进而确定出交线l，再求出其方向向量. 【详解】连接，正四棱柱的对角面是矩形，则， 而分别是中点，则，又O为上底面中心，则， 因此四边形是平面截正四棱柱所得截面， 延长，由是的中点，得，连接， 则四边形是平面截正四棱柱所得截面， 显然与相交，令交点为，，四边形是正方形，则， 而，又，所以向量是直线的一个方向向量，A满足， 选项BCD中向量与不共线，即选项BCD不满足. 故选：A    【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 【题型二】 求空间中平面的法向量 相关知识点讲解 空间中平面的向量表示 (1)空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定 取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，， 使. (2)空间中任意平面由空间一点及平面的法向量唯一确定 ①若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，向量叫做平面的法向量. 注 一平面的法向量不唯一. 【例】正方体中，边长为，那以下 是平面的法向量， 是平面的法向量. A． B． C． D． 解 因为平面，所以是平面的法向量； 因为平面，所以是平面的法向量，向量平行， 所以也是平面的法向量； 故填，. ②给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【例】已知平面，其中点，法向量，则下列各点中不在平面内的是　　 A． B． C． D． 解 对于，，，故选项在平面内； 对于，，，故选项不在平面内； 对于，，，故选项在平面内； 对于，，，故选项在平面内． 故选：． (3)平面的法向量的求法(待定系数法) ① 建立适当的坐标系； ② 设平面的法向量为； ③ 求出平面内两个不共线向量的坐标 ； ④ 根据法向量定义建立方程组 ⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量. 角度1 法向量的理解 【典题1】 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数(    ) A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据线面垂直，可知，由此可得两向量坐标之间有倍数关系，即可求得答案. 【详解】当时，，所以， 则，解得，． 故选：C． 【典题2】已知点是法向量为的平面内的一点，则下列各点中，不在平面内的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据平面内的点与点构成的向量与垂直来逐一判断. 【详解】假设选项中的点为点， 对于A：，此时，点在平面内； 对于B：，此时，点不在平面内； 对于C：，此时，点在平面内； 对于D：，此时，点在平面内； 故选：B. 变式练习 1.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，结合空间向量数量积的坐标运算求解. 【详解】若，则， 可得，解得. 故选：D. 2.已知向量，平面α的一个法向量，若，则(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得到得到，从而得到关系式. 【详解】由题意可知，故， 故选：C 3.平面的一个法向量，则点的坐标可以是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量，验证选项即可. 【详解】设点在平面上， 因为，所以， 由， 得，依次验证选项，只有满足. 故选：D 4.如图，在正方体中，以下可视为平面的法向量是(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明直线平面即可. 【详解】，    连接，在正方体中有平面，平面， 所以 ， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 同理可得， 平面， 所以平面，所以是与平面垂直的向量. 故选：B 5.如图，在空间直角坐标系中，有正方体，给出下列结论： ①直线的一个方向向量为； ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为； ④平面的一个法向量为． 其中正确的个数为(    )． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由直线的方向向量及平面的法向量的定义即可求解. 【详解】解：设正方体的边长为1，则，，，，，， 对①：因为，所以直线的一个方向向量为正确； 对②：因为，所以直线的一个方向向量为不正确； 对③：因为平面，又，所以平面的一个法向量为不正确； 对④：因为，，，，， 所以平面的一个法向量为不正确. 故选：A. 角度2 求法向量 【典题1】 如图所示，正三棱柱，各条棱长均为2，点，分别是棱，的中点，是的中点.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则以下不是平面法向量的有(    )    ① ② ③ ④ A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】利用平面向量的法向量的定义求解. 【详解】依题意，， 所以， 设平面的一个法向量为：， 则，即， 令，则，，所以， 令，则，，所以， 令，则，，所以， 令，则，，所以， 故选：B. 【典题2】四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量. 【答案】即为平面的法向量，是平面的法向量 【分析】先证出是三条两两垂直的线段，建立空间直角坐标系，得到点的坐标，求出平面的法向量. 【详解】因为，，所以， 因为平面，平面，平面， 所以， 所以是三条两两垂直的线段， 以A为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 于是，，.    易得是平面的法向量. 设平面的一个法向量为， 则，解得. 又，解得. 所以即为平面的法向量， 所以即为平面的法向量，是平面的法向量. 变式练习 1.已知平面α上的两个向量，，则平面α的一个法向量为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面法向量的定义，列式计算得解. 【详解】显然与不平行，设平面α的法向量为， 则，所以，令，得，. 所以． 故选：C. 2.已知点，则下列向量可作为平面的一个法向量的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面的一个法向量为，利用列方程求解即可. 【详解】由知， 设平面的一个法向量为，所以， 取，解得，选项D符合， 另外选项ABC中的向量与选项D中的向量不共线. 故选：D 3.已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，以A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图).则平面ABE的一个法向量为(     )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平面ABE的法向量为，然后由，可求出其法向量. 【详解】由题意可得，，， 所以， 设平面ABE的法向量为， 由，得到，取，则， 所以平面ABE的一个法向量为， 所以是平面ABE的法向量.    故选：C. 4.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，可得、、的坐标，由此可得向量、的坐标，由此可得关于、、的方程组，利用特殊值求出、、的值，即可得答案． 【详解】根据题意，设，则，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则有，令，可得，则. 故选：B． 5.如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由正棱锥的结构特征构建空间直角坐标系，根据已知条件确定相关点坐标并求出面PBC的法向量，结合线面平行及向量共线定理求参数即可. 【详解】由题设，△为边长为的等边三角形，且， 等边△的高为， 在正棱锥中，以为原点，平行为x轴，垂直为y轴，为z轴，如上图示， 则，且， 所以，，， 若为面PBC的法向量， 则，令，则， 又平面PBC，则且k为实数，，故. 故选：D 【A组---基础题】 1.已知，，则直线的方向向量可以表示为(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，则， 对选项A：与不共线，不满足； 对选项B：，满足； 对选项C：与不共线，不满足； 对选项D：与不共线，不满足； 故选：B. 2.已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则(    ) A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】首先根据得到，再分类讨论根据求解即可. 【详解】因为，，所以，解得. 当时，， 因为，所以，解得，. 当时，， 因为，所以，解得，. 综上：或. 故选：A 3.已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则(    ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可； 【详解】解：因为，，所以， 因为平面的一个法向量为，所以， 则，解得， 故选：C. 4.已知平面上的两个向量，，则平面的一个法向量为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平面的法向量为，根据向量垂直的坐标表示求解可得答案. 【详解】设平面的法向量为，因为向量，， 所以，取，得， 故平面的一个法向量为. 故选：C 5.如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，，分别在棱，上，且，，则下列向量中，能作为平面的法向量的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设正方体的棱长为1，平面的法向量为，求出，令，即可得答案. 【详解】设正方体的棱长为1，平面的法向量为. 则，，， 所以，， 则，即不妨取，则，， 故. 故选：A. 【点睛】本题考查空间中平面法向量的求解，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题. 6.已知，若直线的一个方向向量为，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由直线方向向量的定义，设,2,，即,,,2,,,，由此分析可得答案． 【详解】根据题意，,,，若直线的一个方向向量为,2,， 则设,2,，即,,,2,,,， 则，解得. 故答案为：． 7.已知四边形是直角梯形，，平面， ， ，则平面的一个法向量为 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据题设建空间直角坐标系，应用向量法求平面的一个法向量即可. 【详解】由题设，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，则， 设平面SCD的一个法向量为，则， 令，故是平面SCD的一个法向量．    故答案为：(答案不唯一) 8.如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    【答案】(答案不唯一). 【分析】首先根据面面垂直的性质可得平面，进而结合等边三角形的性质可得，再建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，从而利用，即可得到答案. 【详解】连接，因为是边长为1的正三角形，，F为的中点， 所以，又因为平面⊥平面，平面平面，平面， 所以平面. 连接AC，因为，，所以是等边三角形，又F为的中点，所以. 综上可知，直线两两垂直， 所以建立以为原点，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：    由题意，在正和正中，， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，化简得， 令，则，即 所以平面的一个法向量为(答案不唯一). 9.如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量： (1)平面ABCD；(2)平面；(3)平面． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， (1)由于平面，所以为平面的一个法向量， (2)设平面的法向量为，则，从而可求出法向量， (3)设平面的法向量为，则，从而可求出法向量 【详解】(1)以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因为平面，所以为平面的一个法向量， 所以平面的一个法向量为， (2)设平面的法向量为， 因为， 所以，令，则， 所以平面的一个法向量为， (3)设平面的法向量为， 因为， 所以，令，则 所以平面的一个法向量为 【B组---提高题】 1.一平面截正四棱锥，与棱的交点依次为，已知，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接相交于点，连接，以为原点，分别以所在的直线为轴正方向建立空间直角坐标系，设，求出，求出平面的一个法向量，利用可得答案. 【详解】如图，在正四棱锥中，连接相交于点，连接， 则平面，且， 以为原点，分别以所在的直线为轴正方向建立空间直角坐标系， 设，由， 可得， 则，， 设为平面的一个法向量， 则，令，则，， 可得，所以， 解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是建立空间直角坐标系，利用平面的法向量和向量的数量积为零求解. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$