第05讲 立体几何解答题常见模型（1大知识点+8大题型）（讲义）-2026-2027学年新高二数学暑假衔接进阶讲义（人教A版2019）

第05讲 立体几何解答题常见模型 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：方法总结 3 03 题型精讲举一反三 4 题型 1：非常规空间几何体题型 4 题型 2：立体几何存在探索问题 9 题型 3：立体几何折叠类问题 19 题型 4：立体几何作图类问题 27 题型 5：立体几何复杂建系问题 35 题型 6：传统法辅助建系问题 40 题型 7：空间找点困难类问题 48 题型 8：立体几何新定义问题 55 04 过关测试 61 知识点一：方法总结 高考立体几何解答题常以柱体、锥体、球体、旋转体及各类多面体为核心命题载体，围绕空间几何体的性质与度量设置多层考点，是高考数学的重点考查模块。 基础运算层面，体积与表面积的公式精准应用是必考内容；截面形状判断与性质分析、几何体组合与相交问题，则侧重考查考生对空间结构的拆解与分析能力。 位置关系与度量计算是考查核心：平行、垂直的判定与性质证明，要求考生熟练掌握定理的逻辑与应用场景；空间角的计算是重难点，涵盖异面直线所成角、线面角与二面角三类典型题型；空间距离求解以点面距、平行平面间距离为代表，有成熟的解题路径与方法体系。 考生需吃透各类几何体的基本性质，梳理清不同考点的解题思路，才能在答题中从容应对，稳步提升立体几何解答题的解题能力与得分率。 题型 1：非常规空间几何体题型 例1．如图，三角形是半圆锥的一个轴截面，，，四棱锥的底面为正方形，且与半圆锥的底面共面. (1)若为半圆锥的底面半圆周上的一点，且，证明：； (2)在半圆锥的底面半圆周上确定点的位置，使母线与平面所成角的正弦值为. 【解析】（1）∵为半圆锥的底面半圆周上的一点，∴. 又，∴. ∵平面，平面，∴. ∵，∴平面. ∵平面，∴. （2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，. 设平面的法向量为，则由，得，得，取，则.∴平面的一个法向量为. ∵为半圆锥的底面半圆周上的一点，可设，则， 依题意，得，解得，∴， ∴点的坐标为或. 例2．（2026·高二·江苏镇江·期中）如图，在圆台中，已知上、下底面半径分别为1和2，体积为．为下底面圆周上一点，，为的中点，连接． (1)证明：平面； (2)若在下底面以为圆心，以为半径的圆上存在一点，使得． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）在圆台中，，分别为上下底面的圆心，有平面，由于平面，所以．且，，平面，，所以平面． （2）由圆台体积公式可得解得． 由于，，两两相交且垂直， 则以为一组正交基底建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，， 因为的中点，则． （ⅰ）设，则． 则，， 由于，即存在,使得, 即，解得，，，即， 所以半径． （ⅱ）由于平面， 不妨设平面的一个法向量． 设平面的一个法向量， 有，即，故可取． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 例3．（2026·高三·上海浦东新·期末）如图，该几何体由一个棱长为4的正方体与一个半圆柱拼接而成，圆心、分别为线段、的中点，动点在弧上滑动. (1)若点为弧的中点，求直线与平面所成角的大小； (2)若弧的长度为，求证：平面平面. 【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系： 则：，，，，， 若点为弧的中点，则 所以 平面的一个法向量为 所以 所以直线与平面所成角的大小 （2）若弧的长度为，由弧长得，则 ， 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为 令 所以 所以平面平面 变式1．（2026·吉林·模拟预测）如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，．    (1)求证：； (2)若面，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到直线距离的最大值． 【解析】（1）取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 连接，在中，，，则， 于是， 设，则，其中，， 因此，即， 所以. （2）由平面，得， 又，则，而平面， 则平面，即为平面的一个法向量， ，由平面，得， 又，解得，此时， 设是平面的法向量，则，取，得， 设是平面的法向量，则，取，得， 则平面FOD与平面夹角的余弦值为. （3）， 则点到直线的距离， 当时，即的坐标为时，点到直线的距离取最大值为 题型 2：立体几何存在探索问题 例4．（2026·山东泰安·模拟预测）在斜三棱柱中，，，为菱形，，，为中点． (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 【解析】（1） 法一：如图，连接，交于， 取中点，连接，． 为中点，且， 又且，且， 所以四边形为平行四边形，，， 平面，平面， 平面． 法二：如图，连接，交于，连接． 分别为中点，， 平面，平面， 平面． （2）不存在，理由： 四边形为菱形，，又， 为等边三角形，为中点，， 又，，，平面，平面， ，又，，，平面， 平面， 如图，以为原点，在平面内过点作的平行线为轴， 所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系． 得，，， ，，， ． 设，，， ，， 设平面法向量，且，， ，令，解得， ，而设平面法向量， 则，由题意得二面角为， 得到，化简得  ． 故不存在点满足二面角等于． 例5．（2026·高二·江苏苏州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点． (1)求与所成角的余弦值： (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)记是与的交点，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题意得：以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 由，，所以， 所以， 所以； （2）由题意得， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 显然为平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为， 所以， 所以； （3）由题意得四边形为矩形，所以点为的中点， 所以，所以， 设，所以， 所以， 设平面的法向量为， 由， 所以，令，得， 由平面，所以， 解得， 所以当时，平面. 例6．（2026·高二·江苏徐州·阶段检测）已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)线段上是否存在一个动点（不包括端点），使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由. 【解析】（1）在四棱锥中，由分别是的中点，得， 由正方形，得，因此，而平面，平面， 所以平面， 又分别是的中点，得，而平面，平面， 所以平面， 因为,平面，所以平面平面， 又平面，所以平面； （2）取的中点，连接，由是正三角形，得，而平面， 平面平面，平面平面，则平面， 又为正方形边的中点，则，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则， 取，， 设平面的法向量为，则， 取，， 因此，，显然二面角的大小为锐角， 所以二面角的大小为. （3）由（2）得，， 设， 则， 假定直线与平面所成角为，则 ，而，解得，此时， 所以在线段上存在点M，使得直线与平面所成角为，. 变式2．（2026·高二·重庆·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，， ，，，，，且平面平面. (1)求二面角的余弦值； (2)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 【解析】（1）由题意，过点作，垂足为，连接， 在中，，，， 可得，，所以， 又，所以在中，可得，， 又底面为直角梯形，，所以， 所以且， 所以四边形为矩形，所以， 又平面平面，且平面与平面相交于， 所以平面， 又平面，所以. 综上可得，，，， 所以，以为原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得，，所以平面的法向量为， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得，，所以平面的法向量为， 设二面角的大小为（）， 则， 所以二面角的余弦值为； （2）设（）， 由（1）可得，，，，， 则，所以， 又由（1）可得平面的法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 解得或（舍）. 所以. 变式3．（2026·高二·广东河源·期末）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点在母线上，且． (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）如图，设，连接，由圆锥的性质可知⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为为底面圆的内接正三角形，由，可得， ，， 又，所以，即，⊥， 故， 在中，， 所以，故⊥， 因为⊥平面，平面，所以平面⊥平面， 又平面，平面平面，⊥，故⊥平面， 又平面，所以平面⊥平面； （2）易知，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设，可得， 设平面与平面的法向量为， 则， 令，则，，故， 则， 令，则，，故， 设平面与平面夹角为， 则， 整理得，解得，则，， 故线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，且. 题型 3：立体几何折叠类问题 例7．（2026·山东青岛·三模）如图，在矩形中、，．为线段中点，将沿翻折至，使得． (1)证明：平面； (2)点，分别为线段，上的点，，当直线与平面所成角最大时，求点到平面的距离． 【解析】（1）由，得，则， 又，平面，则平面，平面，故， 由，为中点，得，而平面， 所以平面. （2）作，由（1）得平面，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设， ， 设平面的法向量为，则， 取，得， 记直线与平面所成角为， 则 ， 当时，；当时，， 当且仅当时取等号，此时最大， 平面的法向量为，， 所以点到平面的距离. 例8．（2026·高二·吉林长春·期中）如图1，在菱形中，，点分别是边的中点，，沿直线将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥． (1)证明：； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）因为点分别是边的中点， 所以由中位线定理得，由菱形性质得， 则，即，作面， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 因为，所以，由中位线性质得， 而，则，由余弦定理得， 得到，则，设， 由菱形的性质得，得到，， 可得，，设， 则，，由折叠性质得， 因为，所以，得到，解得， 此时，得到， 可得，故得证. （2）由已知得，且， 由两点间距离公式得， 因为，所以， 联立两式子，解得，（另一情况等效）， 得到，则，， 设面的法向量为，得到， 令，解得，，则， 设面的法向量为，而， 又，得到， 得到，令，解得，， 则，设平面与平面夹角为， 得到. 例9．（2026·高二·浙江杭州·期中）如图，为正三角形，四边形为等腰梯形，，，现将沿翻折到，使，如图所示.    (1)证明：平面平面； (2)设为侧棱上一个动点，若二面角的余弦值为，求的长. 【解析】（1）如图，分别取的中点，的中点，连接， 显然，所以，又因为，，由勾股定理得， 由条件得，所以，即， 又，平面，平面， 又平面，故平面平面. （2）由（1）知，平面，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设， 则， 设平面的一条法向量为，由得， 令，则，即， 又平面的一条法向量为，设二面角的大小为，由为锐角，得， 化简得，解得或（舍） 则， 故. 变式4．（2026·高三·江苏扬州·开学考试）如图，在梯形中，，过点作于点.现将沿翻折到的位置，使得平面平面. (1)证明：； (2)已知，，且，，，在同一个球面上，设该球面的球心为. ①证明：点在平面上； ②求与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）因为平面平面，平面平面， 又易知，平面，所以平面， 又平面，所以. （2）法一：①在平面内作的垂直平分线，交于，连接，， 因为，，所以，，因为，， 所以，因为，，所以， 所以在以为球心，为半径的球面上，即与重合，故点在平面上； ②记点到平面的距离为，由，可得， 由（1）知平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，又，，则， 所以， 则，解得，又， 记与平面所成角为，则， 即与平面所成角的正弦值为. 法二：①以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 若在同一个球面上，设球的半径为，则， 设，则， 解得，即点在平面上； ②，，. 设平面的法向量为，则， 取，则， 记与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 变式5．（2026·高二·河北邢台·期末）如图，在梯形ABCD中，，过点作于点．将沿BE翻折到的位置，使得平面平面ABED.已知四棱锥的体积为8． (1)证明：． (2)若A，B，D，P在同一个球面上，设该球面的球心为，证明：在平面ABCD上． (3)求平面PAD与平面PAB的夹角的余弦值． 【解析】（1） 设，因为，所以． 因为平面平面ABED，平面平面，平面，平面， 所以平面ABED， 由四棱锥的体积为8，，， 得，解得，即，   连接AE，在Rt中，． 在Rt中，所以． 因为，所以，即 因为平面平面ABED，所以 因为平面AEP，所以平面， 又平面AEP，所以； （2）在平面ABCD内作AB的垂直平分线，交于，连接MB，MP． 因为，所以， 因为，所以 ， 因为，所以， 所以A，B，D，P在以为球心，3为半径的球面上， 即与重合，故在平面ABCD上． （3）以为坐标原点，EB，EC，EP所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以． 设平面PAD的法向量为， 则，令，则． 设平面PAB的法向量为， 则，令，则． 因为， 所以平面PAD与平面PAB的夹角的余弦值为． 题型 4：立体几何作图类问题 例10．（2026·高二·福建漳州·期末）如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为正方形，，，，平面平面.    (1)证明：平面； (2)若平面与平面的交线为， （i）作出交线（需要写出必要的作图步骤，保留作图痕迹，无需证明）； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）证明：如图， 在上取点，使，连接，， 因为，所以， 所以，且， 又在正方形中，， 所以，， 又在三棱台中，， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）（i）（i）延长和交于一点，连接，如图， 则直线即为平面与平面的交线. （ii）. （ii）由平面平面，平面平面，， 平面， 所以平面，又，所以，，两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，，， ， 又因为，，所以在中，， 所以， ， 取直线的方向向量为， 设平面的法向量为， 由得，取， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 例11．（2026·高二·广东佛山·阶段检测）如图所示，在四棱锥中；平面平面，，且，设平面与平面的交线为．    (1)作出交线（写出作图步骤），并证明平面； (2)记与平面的交点为，点在交线上，且，求平面与平面夹角的正弦值． 【解析】（1）延长，交于点，连接，则直线即为所求作的直线；       因为，所以， 又因为，所以，分别为，中点， 且为正三角形，所以，       又，平面平面且交线为，且平面， 所以平面， 且面PAB，所以，     又，且平面，平面， 所以平面，即平面：       （2）取的中点，连结，则， 又平面平面且交线为，且平面， 所以平面，     以为原点，，所在直线为，轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，，，， 由，得， 所以，，     显然平面的一个法向量为，      设平面的法向量为， 则，即 取，则，， 所以平面的一个法向量为，   设平面与平面夹角为， 所以， 则， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 例12．（2026·贵州黔东南·三模）如图1所示，在边长为3的正方形中，将沿折到的位置，使得平面平面，得到图2所示的三棱锥．点分别在上，且，，．记平面与平面的交线为l． (1)在图2中画出交线l，保留作图痕迹，并写出画法． (2)求二面角的余弦值． 【解析】（1）作图步骤：如图所示，延长EF，AB交于点M，延长AC，EG交于点N，连接MN，则直线MN即为交线l． 保留作图痕迹且正确． （2）四边形ABCD是长为3的正方形，取中点，连接，则，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以， ， ． 设平面AFG与平面EFG的法向量分别为，，则 由，得到， 不妨设，则， 所以， 由，得到，取，则，所以， 所以． 由图知，二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为． 变式6．（2026·高二·山东潍坊·期中）已知正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，如图所示． (1)作出过点O与平面PAD平行的截面，在答题卡上作出该截面与四棱锥表面的交线，写出简要作图过程及理由； (2)设PD的中点为G，，求AG与平面PAB所成角的正弦值． 【解析】（1）如图所示， 取PC中点E，DC的中点F，连接EF，FO，并延长FO交AB于M， 截面EFN交侧棱PB于N，则， 连接AC，O为AC的中点，所以， 又，， 截面EFMN，截面EFMN， 平面PAD，平面PAD，所以平面平面EFMN． 所以平面EFMN为所求截面． （2）不妨设四棱锥的所有棱长均为2，以O为原点，过O点且分别与AB，BC平行的直线为x轴、y轴，OP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系（图）． 可得，，，． 则，， ， 设平面PAB的一个法向量为， 则，即，取，则， 设AG与平面PAB所成角为，则， 所以AG与平面PAB所成角的正弦值为． 变式7．（2026·高一·辽宁·期末）如图，直四棱柱的底面为直角梯形，，，，，，分别为棱，的中点. （1）在图中作出平面与该棱柱的截面图形，并用阴影部分表示(不必写出作图过程)； （2）为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 【解析】（1）取中点，连结､，则四边形是平面与该棱柱的截面图形. （2）∵直四棱柱的底面为直角梯形，，， ，，，分别为棱，的中点， ∴以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设异面直线与所成角为， 则. ∴异面直线与所成角的余弦值为. 题型 5：立体几何复杂建系问题 例13．（2026·高二·天津·期末）三棱台中，若平面，；，，，分别是，中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥的体积． 【解析】（1）证明：以点为原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， ∴，设平面的一个法向量为， ∵，， 令，∴，∵，∴， 又∵平面，所以平面. （2）∵， 设平面的一个法向量为，则， 令，设直线与平面所成角为θ， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3），平面的法向量为， 设点到平面的距离为d，， 又， ，. 例14．（2026·高二·重庆·期中）如图，在正三棱台中，，侧棱长为2，P为棱上的动点.    (1)求证：平面； (2)是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点P；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）延长三条侧棱交于一点， 因为正三棱台的侧棱长为2，且，即， 可得，且， 所以，， 即，，， 且，平面， 所以平面，即平面. （2）由（1）知， 以为原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，则，可得， 由题意可得：， 整理可得，解得或（舍去）， 故当点为靠近的三等分点时，使得直线与平面所成角的正弦值为. 例15．（2026·高二·湖北黄冈·期中）已知斜三棱柱的底面是正三角形，侧面是边长为2的菱形，且与底面的夹角为，，点为中点．    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）在斜三棱柱中，由点为等边边的中点，得， 在菱形中，由，得为正三角形，， 而平面，则平面，又平面， 所以平面平面. （2）由（1）知为侧面与底面所成的角，则， 由，得，则为正三角形， 在平面内过点作于D，由平面平面， 平面平面，则平面，过作， 则直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 变式8．（2026·高二·山东菏泽·期末）如图，在斜三棱柱中，为的中点，且平面. (1)证明：四边形为矩形； (2)若点在线段上（异于点），直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【解析】（1）在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，连接OA，由AB=AC=√2,O为BC的中点，得OA⊥BC， 又，则，而平面，则直线两两垂直， 如图，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 由，得， 又四边形为平行四边形，所以四边形为矩形. （2）由（1）得，， 则， 设， ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成的角为， 则 ， 即，解得或， 所以的值为或. 题型 6：传统法辅助建系问题 例16．（2026·高一·北京东城·期末）如图，正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2.为棱上一动点，平面截正四棱柱所得截面交棱于点. (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)写出当的长为何值时，四边形的周长最小，并求此时平面与平面的夹角的正切值. 【解析】（1）证明：在正四棱柱中，平面∥平面． 且平面平面，且平面平面． ． （2）连接． 正四棱柱中，底面边长为1． ． ． ． ；． ． （3）将平面与面展开在同一平面上，如图所示． 且．四边形为平行四边形． 四边形的周长. 若使四边形的周长最小，即三点共线时有最小值． 即当为中点时，，四边形的周长最小． 以为原点，分别以所在直线为轴，如图所示建立空间直角坐标系． 则． . 设面的法向量． ． 令，则；面的法向量． 平面的法向量为． 设平面与平面的夹角为，则． .． 即平面与平面的夹角的正切值为． 例17．（2026·高一·河南南阳·期末）如图，在矩形ABCD中，，，E为边AD上的动点，将沿CE折起，记折起后D的位置为P，且P在平面ABCD上的射影O恰好落在折线CE上． (1)设，当为何值时，的面积最小？ (2)当的面积最小时，在线段BC上是否存在一点F，使平面平面POF，若存在求出BF的长，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为 ,所以 , 由于 平面 , ,故在中， ， 在 中，由余弦定理可得 ， 在 中， 在 中， 因为 ，所以，当 时，即 ， 最大，此时，而也为最小值，故 （2）以为坐标原点，以 为 轴的正方向，过 向上作平面 的垂线为 轴正方向，如图，建立空间直角坐标系； 当时，此时是 中点，故 ,故 设 ,则 ; 设平面的法向量为 ，所以 ，取 ，则 同理可得平面的法向量为， 因为平面平面POF，所以 ，即 或 ， 故存在点 ,使得平面平面POF，且 或 例18．（2026·河北衡水·一模）已知矩形与直角梯形，，点为的中点，，在线段上运动. (1)证明：平面； (2)当运动到的中点位置时，与长度之和最小，求二面角的余弦值. 【解析】（1）连接交于，连，为的中点. ∴为的中位线， ∴，而平面，平面， ∴平面. （2）延长至，使，连，，则，∴， 当、、三点共线时，与长度之和最小，即与长度之和最小， ∵为中点，∴. 在中，，∴， ，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系， ∴，，，， ∴，，， 设为平面的一个法向量，为平面的一个法向量， ∴，即， 令，∴，，∴. ，即， 令，∴，∴. 设二面角的大小为，则为钝角， ∴，∴求二面角的余弦值. 变式9．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图1，正方形的边长为2．如图2，现将正方形沿着对角线翻折，其中O为原正方形的中心．    (1)证明：平面； (2)翻折至四面体的体积最大时，求与平面所成的角的正弦值． 【解析】（1）在图1中连接，， 因为和都是等腰三角形，且O是正方形中心， 所以，， 因为，，平面， 所以平面． （2）在翻折过程中，四面体的体积取最大值时，D点到平面的距离最大， 此时平面平面，因为，所以平面． 所以，，两两垂直，如图3， 以O为坐标原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 因为正方形的边长为2， 所以，，，， ，，， 设平面的一个法向量， 因为，即， 令，则，，得， 设与平面所成角为，， 即与所成的角的正弦值为． 变式10．（2026·高二·河南新乡·阶段检测）如图，正方体的棱长为6，点，分别是棱，上的动点（包含端点），且． (1)证明：； (2)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值； (3)若直线和平面所成角的正弦值为，求的长． 【解析】（1）证明：以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，，，，，． 因为，， 所以， 所以，即． （2）三棱锥的体积即三棱锥的体积，此时． 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当三棱锥的体积最大时，，此时， 所以，． 设平面的一个法向量为，则 令，则，，所以． 因为平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）设平面的法向量为，则 因为，，所以 令，则，，所以． 设直线和平面所成的角为，则． 因为，， 所以，解得或（舍去），     所以． 题型 7：空间找点困难类问题 例19．（2026·高二·河北沧州·阶段检测）如图，在斜三棱柱中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，为的中点，且，为的中点，为的中点，. (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）如图，连接，， 平面平面，平面平面平面， 平面，是边长为2的等边三角形，. 以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系， 则，. 则. 设平面的法向量为，则 令，可得， 平面的一个法向量为， 点到平面的距离为. （2）由（1）知，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 平面的一个法向量为. 由（1）可知平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 例20．（2026·高二·云南玉溪·阶段检测）如图，在四边形中，，，为的中点，点在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 【解析】（1）证明：如图所示，过作交于，连接， 因为，，且， 所以四边形为矩形，四边形为矩形， 所以，且，，且，所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为，平面，，所以平面平面， 因为平面，所以平面． （2）因为， 所以即为平面与平面所成的二面角， 所以，同理可得， 过点作交于点， 因为，，且，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为，且，平面，所以平面， 以为坐标原点，以和过点且平行于的直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 设，则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设平面与平面所成的二面角的平面角为， 可得， 则，即平面与平面所成的二面角的正弦值. 例21．（2026·高二·江苏南京·期末）如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． (1)若， （i）证明：平面平面； （ii）求二面角的大小； (2)求与平面所成角的正弦值的范围． 【解析】（1）（i）略； （ii）以为原点，以、所在直线分别为、轴， 以平面内过点垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 则、、、， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 易知平面的一个法向量为， 则， 结合图形可知，二面角的平面角为钝角， 所以二面角的大小为. （2）设，因为，， 即，所以， 结合图形不妨取，所以， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设与平面所成角为， 所以， 设，， 由，不妨取，则，所以， 所以 ， 令，所以， 因为函数、在上为减函数， 故函数在上为减函数， 故当时，，所以， 所以与平面所成角的正弦值的范围是. 变式11．（2026·高二·浙江绍兴·期末）如图所示，在三棱台中，，其中，分别为棱与的中点，且平面． (1)求证：； (2)若直线与平面所成角为，求平面与平面的夹角的正弦值． 【解析】（1）证明：因为平面，平面，所以，    因为，且，分别为棱与的中点，则， 又因为，且平面，故平面， 因为平面，所以． （2）作于点， 由平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 在等腰梯形中，由， 可得，则， 又由，可知，则，， 以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，， 可得，，，    设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面与平面的夹角为，则， 则， 所以平面与平面的夹角的正弦值为．    题型 8：立体几何新定义问题 例22．（2026·高二·福建福州·期中）如图，已知向量，可构成空间向量的一个基底，若，，．在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，显然的结果仍为一向量，记作 (1)求证：向量为平面OAB的法向量； (2)若，，求以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与的大小； (3)将四边形OADB按向量平移，得到一个平行六面体，试判断平行六面体的体积V与的大小．（注：第（2）小题的结论可以直接应用） 【解析】（1）证明：因为 ， 所以，即， 因为 ， 所以，即， 又因， 所以向量为平面OAB的法向量； （2）， 则， 故， 由，，得， 所以， 所以； （3）设点到平面的距离为，与平面所成的角为， 则， 由（1）得向量为平面OAB的法向量， 则， 又， ． 例23．（2026·四川南充·二模）已知两个非零向量，的夹角为，定义与的外积分记为，其结果是一个向量，它的长度规定为，它的方向规定为与，均垂直；如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为上一点，. (1)求的值； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若为上一点，，求. 【解析】（1）在四棱锥中，底面为矩形，底面， 以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，，得， ，， ， ， ， 化简得， 即，又，解得. （2）若为线段的中点，有， ，设平面的一个法向量为， ，令，则，即， 又，设直线与平面所成角为， 则. （3）为上一点，设，， 则，设，， ，又，， 则有，解得， 所以，， 又，则. 例24．（2026·高二·江苏宿迁·期中）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线方向式方程为；过点，且法向量为的平面法向式方程为，将其整理成一般式方程为，其中.已知直线的方向式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为. (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)求与所成角的正弦值； (3)若，不在平面内，证明：. 【解析】（1）设直线与平面所成角为， 因为直线的方向式方程为，平面的一般式方程为 所以直线的一个方向向量为 平面的一个法向量为. 所以. 所以. （2）设平面和所成角为， 因为平面的一般式方程为， 平面的一般式方程为， 所以平面的一个法向量为，平面的一个法向量为. 所以， 所以， （3）证明：设直线的一个方向向量为，则，所以， 令，则，所以直线的一个方向向量为. 因为平面的一般式方程为， 所以平面的一个法向量为. 所以， 所以，又因为不在平面内所以. 变式12．（2026·高二·安徽阜阳·阶段检测）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． (1)求经过的直线的点方向式方程； (2)已知平面，平面，平面，若，证明：； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小． 【解析】（1）由得，直线的方向向量为， 故直线的点方向式方程为． （2）由平面可知，平面的法向量为， 由平面可知，平面的法向量为， 设交线的方向向量为，则， 令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，即， 且，所以． （3）因平面经过三点，可得， 设侧面所在平面的法向量， 则，令，解得，可得， 由平面可知，平面法向量为， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，解得，即， 则， 故平面与平面夹角的大小为． 1．（2026·高三·福建福州·阶段检测）如图，几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点 (1)证明：平面BCG； (2)若，且点到平面ABG的距离为. （i）求AD； （ii）若是劣弧上的动点，是半圆弧上的动点，求直线AP与直线DQ所成角余弦值的最大值. 【解析】（1） 连接DG、CE，因为， 所以为等腰直角三角形，， 在半圆DGC上，是半圆弧中点，所以，所以， 因为，所以四边形ECBF为在平行四边形，， 所以，在半圆DGC上，，所以， 又因为平面平面ABF，所以， 因为平面平面， 所以平面BCG . （2）（i）由题意，构建如图示空间直角坐标系. 设，则， 所以， 若是平面ABG的一个法向量， 则，令，     因为点到面ABG的距离， 所以，解得，即 所以. （ii）（法一）设，其中， 由（i）得，，所以， 设直线AP与直线DQ所成角为， 所以 其中， 所以， 等号成立当且仅当， 所以直线AP与直线DQ所成角余弦值的最大值为. （法二）设，其中， 则， 由（i）得，，所以， 设直线AP与直线DQ所成角为， 所以 ， 当时，， 所以， 令在上单调递增， 所以， 当时，， 所以， ， ， 所以， 综上，此时. 2．（2026·高二·北京大兴·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，E，F分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知： （i）求二面角的大小； （ⅱ）线段上是否存在一点M，使得平面？若存在，说明点M的位置，若不存在，说明理由． 条件①：； 条件②：． 【解析】（1）证明：取中点G，连接、， F，G分别为，的中点， 且， 为的中点，底面为菱形， 且， 则且， 四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 平面； （2）选条件①：，连接， 平面平面，平面平面， 又，平面， 平面， 平面， ， ，，，平面， 平面，则， 以D为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， ， （i）设平面EFC的法向量为，由 ，， 得，令，则 ， 平面， 为平面的一个法向量， 可得，，， ， 由图可知二面角为钝角，故二面角的大小为； （ii）设且，则， ， 平面，，则，无解， 故不存在M，使得平面． 选条件②：，连接，， 平面平面，平面平面， 又，平面， 平面， 平面， ， ，则， ，则， E为中点， ，由菱形得， ， 以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， ， （i）设平面EFC的法向量为，由 ，， 得，令，则 ， 平面， 为平面的一个法向量， 可得，，， ， 由图可知二面角为钝角，故二面角的大小为； （ii）设且，则， ， 平面，，则，无解， 故不存在M，使得平面． 3．（2026·高二·福建莆田·期末）如图，已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，侧面MAD是等边三角形，，N为侧棱MC上一点． (1)证明：平面平面ABCD； (2)求MC与平面BMD所成角的正弦值； (3)过A，N两点的平面分别交线段MD，MB于E，F两点，且平面AENF，是否存在点N，使得平面AENF与平面ABCD夹角为？若存在，求的值：若不存在，说明理由． 【解析】（1）连接BD，因，所以， 侧面MAD是等边三角形，所以，又，故， 由题意得平面MAD，平面MAD，可得平面MAD， 又因平面ABCD，所以平面平面ABCD. （2）取AD的中点O，的中点，连接PO，OM，因为侧面MAD是等边三角形，所以， 由（1）知平面平面ABCD，平面平面，则平面ABCD， 在平面ABCD内，由，易得， 以AD中点O为坐标原点，分别以OA，OP，OM所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面BMD的一个法向量为， 则，令，则， 所以为平面BMD的一个法向量， 又，设MC与平面BMD所成角为， 则， 所以MC与平面BMD所成角的正弦值为. （3）因为平面AENF，平面平面，平面MBD， 所以，假设存在点N，使得平面AENF与平面ABCD夹角为， 设，则， 设平面AENF的一个法向量为，由， 则， 令，则，所以为平面AENF的一个法向量， 因为z轴⊥平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量， 设平面AENF与平面ABCD夹角为 可得， 化简得：，又因解得， 所以存在点N，使得平面AENF与平面ABCD夹角为，此时． 4．（2026·高二·重庆·期末）如图1，在直角梯形中，，，且，，，在边和分别取点，使得，现沿边将四边形进行翻折，使平面平面，如图2． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）依题意可得，四边形为正方形，故， 又平面平面，且平面平面平面， 平面， 又平面，则， 在直角梯形中，，得， 在中，，则，则， 平面， 平面； （2）以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 所以， 则，， 设平面的一个法向量为， 所以，即，取，则， 设与平面所成角为， 则． 所以与平面所成角的正弦值为． 5．（2026·高二·山东潍坊·期末）如图1，在直角梯形中，，是的中点，.将沿翻折至的位置，连接，如图2. (1)若平面平面，证明：； (2)当几何体的体积取得最大值时. （i）求点到平面的距离； （ii）若为棱上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求的值. 【解析】（1） 翻折前，翻折后，又是的中点，所以， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面，又平面，平面平面， 所以； （2）（i）当点到平面的距离最大时，几何体的体积取得最大值， 即当平面平面时，几何体的体积取得最大值， 取的中点为，连接， 又，所以，又平面平面，平面平面， 所以平面， 又，所以，所以， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 所以点到平面的距离； （ii）设点，由， ， 又四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以， 设， 所以， 所以 , 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设直线与平面所成角为， 所以， 当时，取最大值为，所以，所以. 6．（2026·高二·湖南长沙·阶段检测）如图，已知正三棱柱中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱，的中点. (1)求与平面AEF所成角的正弦值； (2)过A、E、F三点作一个平面，则平面AEF与平面有且只有一条公共直线，在图中作出这条公共直线，简略写清作图过程，并求这条公共直线在正三棱柱底面内部的线段长度. 【解析】（1）正三棱柱中，取AC中点O，连接OB，OF，而F为的中点，则，   四边形是平行四边形，即，又平面，则有平面，即OA，OB，OF两两垂直， 以O为原点，射线OA，OB，OF分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，，， 设平面AEF的一个法向量为，则，令，得， 设与平面AEF所成角为，则， 所以与平面AEF所成角的正弦值为. （2）如图，延长交延长线于点M，经过点F，M画直线FM，则直线FM即为所作， 因点直线，而平面，则点平面，同理点平面， 而点平面，点平面，因此直线FM是平面AEF与平面的公共直线， 令，因是中点，则且，即是的一条中位线， 因此是中点，又是中点，则是的重心，， 在中，，由余弦定理得：， 所以这条公共直线在正三棱柱底面内部的线段长度为. 7．（2026·安徽马鞍山·三模）如图多面体中，面面，为等边三角形，四边形为正方形，，且，、分别为、的中点． （1）做出平面与平面的交线，记该交线与直线交点为，则的值是多少？（不需说明理由，保留作图痕迹）； （2）求二面角的余弦值． 【解析】（1）延长交延长线于点，则直线为所求交线，延长交于点，由比例关系知； （2）取、的中点，分别记为、，联结、、，则 面面，交线为，，，故面， 面，，故，，两两垂直，以为原点建系如图，则 ，，，，， 又，，，知面．故面的一个法向量为， 设面的法向量为，则 取，得一个面的法向量， 易知所求二面角为锐角，记为，故． 8．如图，已知斜四棱柱的侧面和底面均为全等的菱形，且，． (1)证明：平面平面； (2)若为的中点，求二面角的余弦值. 【解析】（1）解法一： 如图，取中点，连接， 因为斜四棱柱的侧面和底面均为全等的菱形，且， 所以和均为等边三角形， 所以，， 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以． 由底面为菱形，可知， 又，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面． 解法二： 如图，设交于点，则为的中点， 连接， 由侧面均为全等的菱形可知，所以， 又由底面为菱形可知， 又，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）以的交点为原点，以所在的直线分别为轴，轴，过且垂直于底面作轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 由题知四面体为正四面体， 记为的中心，则平面， 因为， 所以，则， 又由，得， 则， 故，，， 设平面的法向量为， 则即 令，则，， 则平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则即 令，则，， 则平面的一个法向量， 设二面角的大小为，由图知为锐角， 所以， 故二面角的余弦值为． 9．（2026·高二·河南·阶段检测）如图，已知斜四棱柱，底面为等腰梯形，E为线段的中点，四边形为菱形，点到底面的距离为，且为线段的中点．    (1)证明：平面; (2)求二面角的平面角的余弦值． 【解析】（1） 连接，因为四边形为菱形， 所以，， 又因为底面为等腰梯形，E为线段的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，， 又因为， 所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. （2）过点向作垂线，垂足为，所以， 由（1）得平面， 因为平面，所以， 又因为平面， 平面， 又因为，，所以， 又因为，所以为中点， 所以以为坐标原点，所在直线为轴，过作平行于直线为轴，如图建立空间直角坐标系， ，，，， ，，， 设平面的法向量为， ，， 所以，令，则， 所以， 平面法向量为， ， 由图知，二面角的平面角为钝角， 所以二面角的平面角的余弦值为. 10．（2026·高二·河北衡水·期中）如图，在三棱锥中，是的中点，且，. (1)证明：平面平面. (2)若，当面积最大时，求二面角余弦值的大小. 【解析】（1）在中，是的中点，且， 所以，， 又因为，即，故， 所以， 又因为，，、平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面； （2）由（1）知，在中，，解得， 取的中点，连接、， 因为为的中点，所以，且， 由（1）知平面，所以平面， 因为平面，所以，则， 当时，的面积最大，此时， 因为，，，平面， 所以平面， 以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 易知平面的一个法向量为，所以， 由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 11．（2026·高二·浙江杭州·期末）如图，在正四棱台中，，N为棱，的中点，点在棱上，且满足．    (1)求证：平面； (2)当正四棱台的体积最大时，求与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）作交于，再作交于，连接． 因为，，所以点均为的四等分点， 则， 因为是的中点，所以，则， 又，所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）由（1）知为的四等分点，，所以点在点的正上方， 所以底面． 设，则，所以， 所以该正四棱台的体积， 而． 当且仅当，即时取等号，此时，． 以为原点，所在直线分别为轴、轴，过平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 由得，令，则． 则， 故与平面所成角的正弦值为． 12．（2026·高二·湖南长沙·期末）在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，平面ADE与平面BCE的交线为l， (1)求证: (2)若平面平面 . （ⅰ）求平面AED与平面AEB所成角的余弦值； （ⅱ）已知点O为底面ABCD的中心，点Q在侧面AEB内，且 求三棱锥的体积的最大值． 【解析】（1）因为，平面，平面，从而平面， 又平面，平面平面，则． （2）平面平面，平面平面，，可得平面， （ⅰ）在底面为正方形的四棱锥中，以为坐标原点，，分别为，轴， 过且垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，设， 则，，， 所以，因为， 又， 所以，解得，所以， 则，又，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则得取，则， 设平面的法向量为， 则得取，则， ，故平面与平面所成角的余弦值为． （ⅱ）设点到平面的距离为，因为， 所以，即点到平面的距离为， 则到平面的距离为． 过点作平面的垂线，垂足为， 又，，即点在以为圆心，为半径的圆上， 由（1）知平面，，，为二面角的平面角， 则到平面的距离为， 所以到平面的距离最大值为，则的最大值为． 13．（2026·高二·安徽合肥·期中）如图，在三棱柱中，平面. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)若球为三棱锥的外接球，求平面截球的截面面积. 【解析】（1）因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以. 又由（1）知两两垂直， 所以可以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的一个法向量为，则， 令，则，所以， 而. 设与平面所成角为， 则， 因为，所以. （3）以三棱锥的顶点为顶点补成正方体，则正方体中心为三棱锥外接球球心， 所以，则球的半径为， 设球心到平面的距离为，则. 设平面截球的截面圆的半径，则， 所以平面截球的截面面积为. 14．（2026·高二·四川成都·期中）在四棱锥中，底面为正方形，是中点，平面，平面平面．    (1)求证：； (2)如图，且，求点到平面的距离； (3)设四棱锥的外接球球心为，点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【解析】（1）∵四边形为正方形，∴， 又平面，平面，∴平面 又平面，平面平面， ∴ （2）如图所示，取中点，连接，则， ∵平面，平面，平面， ∴，， ∴以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 于是，，， 设平面的法向量为， 则，得，取 ∴点M到平面PBC的距离为 （3）∵，且平面为正方形， ∴点在平面上的射影是的中心，可设，且， ∴，解得，即 设，则 又，设平面的法向量为 则，，取 设直线与平面所成角为，则 ， 所以当时，直线与平面所成角的正弦值取最大值，最大值为． 15．（2026·高二·江苏盐城·阶段检测）对于实数，，，，称为二阶行列式，定义其一种运算：．对于向量，，称为与的向量积，定义一种运算：．在三棱锥中，已知，，，． (1)试计算，并指出向量的几何意义． (2)求三棱锥的高h． (3)求三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值． 【解析】（1）由题可得，， 所以，， 所以， 由于，所以； 又因为，所以，且， 而显然与不共线， 所以是底面的一个单位法向量． （2）因为，所以， 即三棱锥P－ABC的高． （3）设侧棱与底面所成角为． 因为，所以， 即侧棱与底面所成角的正弦值为． 16．（2026·高三·河北·阶段检测）已知，，，定义一种运算：，在平行六面体中，，，. (1)证明：平行六面体是直四棱柱； (2)计算，并求该平行六面体的体积，说明的值与平行六面体体积的关系. 【解析】（1）证明：由题意，， ∴，，即，， ∵，是平面内两相交直线，∴平面， ∴平行六面体是直四棱柱； （2）， 由题意，，， ，所以， ，， ∴. ∴， 故的值表示以，，为邻边的平行六面体的体积. 17．（2026·高二·山东潍坊·期中）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴､轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．若，且，求 【解析】（1）由，，知，， 所以， 所以； （2）设，，分别为与，，同方向的单位向量， 则，，， 由题， 因为，所以， 由知 则． 18．（2026·高二·北京·期中）对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. (1)已知，. ①写出，写出（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时x的值； (2)设，，求证： (3)在空间直角坐标系O−xyz中，，，，点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P的坐标. 【解析】（1）由题可知： ,，， ，. 在同一个坐标系中作出的图像如下图所示： 因为， 则函数的图像是图中加粗部分折线， 直线与交于点， 直线与直线交于点， 由图可知，当时，有最小值4. （2）证明：, 因为， 所以,, 所以. （3）因为是以为球心，1为半径的球面上的动点，不妨设， 则， 点是内部的动点，不妨设， 即， 化简得，设面ABC的法向量为， ， 易知当平面且在球心和平面之间的时候，最小， 设， ， 设，则， 是内部的动点，， 此时， 综上，时最小. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 立体几何解答题常见模型 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：方法总结 3 03 题型精讲举一反三 4 题型 1：非常规空间几何体题型 4 题型 2：立体几何存在探索问题 6 题型 3：立体几何折叠类问题 9 题型 4：立体几何作图类问题 12 题型 5：立体几何复杂建系问题 14 题型 6：传统法辅助建系问题 17 题型 7：空间找点困难类问题 20 题型 8：立体几何新定义问题 22 04 过关测试 25 知识点一：方法总结 高考立体几何解答题常以柱体、锥体、球体、旋转体及各类多面体为核心命题载体，围绕空间几何体的性质与度量设置多层考点，是高考数学的重点考查模块。 基础运算层面，体积与表面积的公式精准应用是必考内容；截面形状判断与性质分析、几何体组合与相交问题，则侧重考查考生对空间结构的拆解与分析能力。 位置关系与度量计算是考查核心：平行、垂直的判定与性质证明，要求考生熟练掌握定理的逻辑与应用场景；空间角的计算是重难点，涵盖异面直线所成角、线面角与二面角三类典型题型；空间距离求解以点面距、平行平面间距离为代表，有成熟的解题路径与方法体系。 考生需吃透各类几何体的基本性质，梳理清不同考点的解题思路，才能在答题中从容应对，稳步提升立体几何解答题的解题能力与得分率。 题型 1：非常规空间几何体题型 例1．如图，三角形是半圆锥的一个轴截面，，，四棱锥的底面为正方形，且与半圆锥的底面共面. (1)若为半圆锥的底面半圆周上的一点，且，证明：； (2)在半圆锥的底面半圆周上确定点的位置，使母线与平面所成角的正弦值为. 例2．（2026·高二·江苏镇江·期中）如图，在圆台中，已知上、下底面半径分别为1和2，体积为．为下底面圆周上一点，，为的中点，连接． (1)证明：平面； (2)若在下底面以为圆心，以为半径的圆上存在一点，使得． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 例3．（2026·高三·上海浦东新·期末）如图，该几何体由一个棱长为4的正方体与一个半圆柱拼接而成，圆心、分别为线段、的中点，动点在弧上滑动. (1)若点为弧的中点，求直线与平面所成角的大小； (2)若弧的长度为，求证：平面平面. 变式1．（2026·吉林·模拟预测）如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，．    (1)求证：； (2)若面，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到直线距离的最大值． 题型 2：立体几何存在探索问题 例4．（2026·山东泰安·模拟预测）在斜三棱柱中，，，为菱形，，，为中点． (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 例5．（2026·高二·江苏苏州·期中）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点． (1)求与所成角的余弦值： (2)求平面与平面所成角的正弦值； (3)记是与的交点，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由． 例6．（2026·高二·江苏徐州·阶段检测）已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)线段上是否存在一个动点（不包括端点），使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由. 变式2．（2026·高二·重庆·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，， ，，，，，且平面平面. (1)求二面角的余弦值； (2)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 变式3．（2026·高二·广东河源·期末）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点在母线上，且． (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 题型 3：立体几何折叠类问题 例7．（2026·山东青岛·三模）如图，在矩形中、，．为线段中点，将沿翻折至，使得． (1)证明：平面； (2)点，分别为线段，上的点，，当直线与平面所成角最大时，求点到平面的距离． 例8．（2026·高二·吉林长春·期中）如图1，在菱形中，，点分别是边的中点，，沿直线将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥． (1)证明：； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 例9．（2026·高二·浙江杭州·期中）如图，为正三角形，四边形为等腰梯形，，，现将沿翻折到，使，如图所示.    (1)证明：平面平面； (2)设为侧棱上一个动点，若二面角的余弦值为，求的长. 变式4．（2026·高三·江苏扬州·开学考试）如图，在梯形中，，过点作于点.现将沿翻折到的位置，使得平面平面. (1)证明：； (2)已知，，且，，，在同一个球面上，设该球面的球心为. ①证明：点在平面上； ②求与平面所成角的正弦值. 变式5．（2026·高二·河北邢台·期末）如图，在梯形ABCD中，，过点作于点．将沿BE翻折到的位置，使得平面平面ABED.已知四棱锥的体积为8． (1)证明：． (2)若A，B，D，P在同一个球面上，设该球面的球心为，证明：在平面ABCD上． (3)求平面PAD与平面PAB的夹角的余弦值． 题型 4：立体几何作图类问题 例10．（2026·高二·福建漳州·期末）如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为正方形，，，，平面平面.    (1)证明：平面； (2)若平面与平面的交线为， （i）作出交线（需要写出必要的作图步骤，保留作图痕迹，无需证明）； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 例11．（2026·高二·广东佛山·阶段检测）如图所示，在四棱锥中；平面平面，，且，设平面与平面的交线为．    (1)作出交线（写出作图步骤），并证明平面； (2)记与平面的交点为，点在交线上，且，求平面与平面夹角的正弦值． 例12．（2026·贵州黔东南·三模）如图1所示，在边长为3的正方形中，将沿折到的位置，使得平面平面，得到图2所示的三棱锥．点分别在上，且，，．记平面与平面的交线为l． (1)在图2中画出交线l，保留作图痕迹，并写出画法． (2)求二面角的余弦值． 变式6．（2026·高二·山东潍坊·期中）已知正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，如图所示． (1)作出过点O与平面PAD平行的截面，在答题卡上作出该截面与四棱锥表面的交线，写出简要作图过程及理由； (2)设PD的中点为G，，求AG与平面PAB所成角的正弦值． 变式7．（2026·高一·辽宁·期末）如图，直四棱柱的底面为直角梯形，，，，，，分别为棱，的中点. （1）在图中作出平面与该棱柱的截面图形，并用阴影部分表示(不必写出作图过程)； （2）为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 题型 5：立体几何复杂建系问题 例13．（2026·高二·天津·期末）三棱台中，若平面，；，，，分别是，中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥的体积． 例14．（2026·高二·重庆·期中）如图，在正三棱台中，，侧棱长为2，P为棱上的动点.    (1)求证：平面； (2)是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点P；若不存在，请说明理由. 例15．（2026·高二·湖北黄冈·期中）已知斜三棱柱的底面是正三角形，侧面是边长为2的菱形，且与底面的夹角为，，点为中点．    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 变式8．（2026·高二·山东菏泽·期末）如图，在斜三棱柱中，为的中点，且平面. (1)证明：四边形为矩形； (2)若点在线段上（异于点），直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 题型 6：传统法辅助建系问题 例16．（2026·高一·北京东城·期末）如图，正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2.为棱上一动点，平面截正四棱柱所得截面交棱于点. (1)求证：； (2)求四棱锥的体积； (3)写出当的长为何值时，四边形的周长最小，并求此时平面与平面的夹角的正切值. 例17．（2026·高一·河南南阳·期末）如图，在矩形ABCD中，，，E为边AD上的动点，将沿CE折起，记折起后D的位置为P，且P在平面ABCD上的射影O恰好落在折线CE上． (1)设，当为何值时，的面积最小？ (2)当的面积最小时，在线段BC上是否存在一点F，使平面平面POF，若存在求出BF的长，若不存在，请说明理由． 例18．（2026·河北衡水·一模）已知矩形与直角梯形，，点为的中点，，在线段上运动. (1)证明：平面； (2)当运动到的中点位置时，与长度之和最小，求二面角的余弦值. 变式9．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图1，正方形的边长为2．如图2，现将正方形沿着对角线翻折，其中O为原正方形的中心．    (1)证明：平面； (2)翻折至四面体的体积最大时，求与平面所成的角的正弦值． 变式10．（2026·高二·河南新乡·阶段检测）如图，正方体的棱长为6，点，分别是棱，上的动点（包含端点），且． (1)证明：； (2)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值； (3)若直线和平面所成角的正弦值为，求的长． 题型 7：空间找点困难类问题 例19．（2026·高二·河北沧州·阶段检测）如图，在斜三棱柱中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，为的中点，且，为的中点，为的中点，. (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 例20．（2026·高二·云南玉溪·阶段检测）如图，在四边形中，，，为的中点，点在上，，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 例21．（2026·高二·江苏南京·期末）如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． (1)若， （i）证明：平面平面； （ii）求二面角的大小； (2)求与平面所成角的正弦值的范围． 变式11．（2026·高二·浙江绍兴·期末）如图所示，在三棱台中，，其中，分别为棱与的中点，且平面． (1)求证：； (2)若直线与平面所成角为，求平面与平面的夹角的正弦值． 题型 8：立体几何新定义问题 例22．（2026·高二·福建福州·期中）如图，已知向量，可构成空间向量的一个基底，若，，．在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，显然的结果仍为一向量，记作 (1)求证：向量为平面OAB的法向量； (2)若，，求以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与的大小； (3)将四边形OADB按向量平移，得到一个平行六面体，试判断平行六面体的体积V与的大小．（注：第（2）小题的结论可以直接应用） 例23．（2026·四川南充·二模）已知两个非零向量，的夹角为，定义与的外积分记为，其结果是一个向量，它的长度规定为，它的方向规定为与，均垂直；如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为上一点，. (1)求的值； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若为上一点，，求. 例24．（2026·高二·江苏宿迁·期中）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线方向式方程为；过点，且法向量为的平面法向式方程为，将其整理成一般式方程为，其中.已知直线的方向式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为. (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)求与所成角的正弦值； (3)若，不在平面内，证明：. 变式12．（2026·高二·安徽阜阳·阶段检测）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． (1)求经过的直线的点方向式方程； (2)已知平面，平面，平面，若，证明：； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小． 1．（2026·高三·福建福州·阶段检测）如图，几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点 (1)证明：平面BCG； (2)若，且点到平面ABG的距离为. （i）求AD； （ii）若是劣弧上的动点，是半圆弧上的动点，求直线AP与直线DQ所成角余弦值的最大值. 2．（2026·高二·北京大兴·期中）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，E，F分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知： （i）求二面角的大小； （ⅱ）线段上是否存在一点M，使得平面？若存在，说明点M的位置，若不存在，说明理由． 条件①：； 条件②：． 3．（2026·高二·福建莆田·期末）如图，已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，侧面MAD是等边三角形，，N为侧棱MC上一点． (1)证明：平面平面ABCD； (2)求MC与平面BMD所成角的正弦值； (3)过A，N两点的平面分别交线段MD，MB于E，F两点，且平面AENF，是否存在点N，使得平面AENF与平面ABCD夹角为？若存在，求的值：若不存在，说明理由． 4．（2026·高二·重庆·期末）如图1，在直角梯形中，，，且，，，在边和分别取点，使得，现沿边将四边形进行翻折，使平面平面，如图2． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 5．（2026·高二·山东潍坊·期末）如图1，在直角梯形中，，是的中点，.将沿翻折至的位置，连接，如图2. (1)若平面平面，证明：； (2)当几何体的体积取得最大值时. （i）求点到平面的距离； （ii）若为棱上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求的值. 6．（2026·高二·湖南长沙·阶段检测）如图，已知正三棱柱中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱，的中点. (1)求与平面AEF所成角的正弦值； (2)过A、E、F三点作一个平面，则平面AEF与平面有且只有一条公共直线，在图中作出这条公共直线，简略写清作图过程，并求这条公共直线在正三棱柱底面内部的线段长度. 7．（2026·安徽马鞍山·三模）如图多面体中，面面，为等边三角形，四边形为正方形，，且，、分别为、的中点． （1）做出平面与平面的交线，记该交线与直线交点为，则的值是多少？（不需说明理由，保留作图痕迹）； （2）求二面角的余弦值． 8．如图，已知斜四棱柱的侧面和底面均为全等的菱形，且，． (1)证明：平面平面； (2)若为的中点，求二面角的余弦值. 9．（2026·高二·河南·阶段检测）如图，已知斜四棱柱，底面为等腰梯形，E为线段的中点，四边形为菱形，点到底面的距离为，且为线段的中点．    (1)证明：平面; (2)求二面角的平面角的余弦值． 10．（2026·高二·河北衡水·期中）如图，在三棱锥中，是的中点，且，. (1)证明：平面平面. (2)若，当面积最大时，求二面角余弦值的大小. 11．（2026·高二·浙江杭州·期末）如图，在正四棱台中，，N为棱，的中点，点在棱上，且满足．    (1)求证：平面； (2)当正四棱台的体积最大时，求与平面所成角的正弦值． 12．（2026·高二·湖南长沙·期末）在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，平面ADE与平面BCE的交线为l， (1)求证: (2)若平面平面 . （ⅰ）求平面AED与平面AEB所成角的余弦值； （ⅱ）已知点O为底面ABCD的中心，点Q在侧面AEB内，且 求三棱锥的体积的最大值． 13．（2026·高二·安徽合肥·期中）如图，在三棱柱中，平面. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)若球为三棱锥的外接球，求平面截球的截面面积. 14．（2026·高二·四川成都·期中）在四棱锥中，底面为正方形，是中点，平面，平面平面．    (1)求证：； (2)如图，且，求点到平面的距离； (3)设四棱锥的外接球球心为，点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 15．（2026·高二·江苏盐城·阶段检测）对于实数，，，，称为二阶行列式，定义其一种运算：．对于向量，，称为与的向量积，定义一种运算：．在三棱锥中，已知，，，． (1)试计算，并指出向量的几何意义． (2)求三棱锥的高h． (3)求三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值． 16．（2026·高三·河北·阶段检测）已知，，，定义一种运算：，在平行六面体中，，，. (1)证明：平行六面体是直四棱柱； (2)计算，并求该平行六面体的体积，说明的值与平行六面体体积的关系. 17．（2026·高二·山东潍坊·期中）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴､轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)若，，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．若，且，求 18．（2026·高二·北京·期中）对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. (1)已知，. ①写出，写出（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时x的值； (2)设，，求证： (3)在空间直角坐标系O−xyz中，，，，点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P的坐标. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $