精品解析：2026年河南平顶山市宝丰县第四教研区二模数学试题

2026年中考学科第二次调研考试 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意思是：把一长方体沿对角面一分为二，相同的这两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的主视图为（　　） A. B. C. D. 3. 清代诗人袁枚的诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图．已知调整前、后的灯杆，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度（    ）． A. B. C. D. 6. 已知一元二次方程，则该方程根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 7. 在平行四边形中，分别以，为圆心，任意长为半径画弧，交，，于，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，连接，并延长相交于点，点恰好在上，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 河南地处中原，省内17处国家级旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．正面分别印有“少林寺”“龙门石窟”“云台山”“殷墟”图片的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上正面恰好是“少林寺”和“云台山”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为5的菱形中，对角线与相交于点O，，点E在线段上，，点F在线段上，，连接，点P为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 在一次物理实验中，小明同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值是定值）亮度的实验（如图1）．已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，图2是I关于R的函数图象，则下列说法中错误的是（　　） A. 灯丝的阻值为 B. 用含R的代数式表示I为 C. 当滑动变阻器的电阻为时，串联电路电流为 D. 要使通过灯泡的电流不低，则调节滑动变阻器电阻的范围为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请你取一个的值，说明命题“”是假命题，那么__________． 12. 某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表： 项目 员工 听 说 读 写 最终成绩 甲 A 70 80 90 82 乙 B 90 80 70 82 由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A_______B．（填“>”“=”或“<”） 13. 化简____________． 14. 如图所示的扇形中，，过点作，交于点，若，则阴影部分的面积为 _____． 15. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“豫点”．如图中，于E，，若点D是边上的“豫点”，则线段的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算和化简： （1）计算：； （2）化简：． 17. 2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ；请将频数分布直方图补充完整； （2）所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； （3）计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 18. 如图，四边形中，连接． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的垂直平分线，分别交于点E、F； （2）连接，若，求的度数． 19. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点P为射线上位于点A右侧的一点，且，过点P作轴，垂足为Q，交反比例函数的图象于点M． （1）求反比例函数的解析式； （2）求，的长． 20. 为打造花园式居住环境，某物业公司计划购进A、B两种花木对小区进行美化，已知B种花木比A种花木每棵贵20元，且购买2棵A种花木与3棵B种花木共需要210元． （1）求A、B两种花木的单价各是多少元？ （2）如果购进的这批花木共6000棵，A种花木至多购进4000棵，为了使购进的这批花木的费用最低，应购进A种花木和B种花木各多少棵？并求出最低费用． 21. 图是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为米，地面上的观察点到点的距离为米，平面示意图如图所示． （1）当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离； （2）已知摩天轮匀速转动一周需要分钟，当座舱距离地面不低于米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，，） 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若，求证：抛物线与轴一定有两个交点． （2）若，点在抛物线上，其中， ①若的最小值是，求函数的表达式； ②若对于，都有，求的取值范围． 23. 定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫作菱形的“和谐线”．如图1，在菱形中，P是的中点，连接，，则折线叫作菱形的“和谐线”，折线的长叫作“和谐线”的长．已知在菱形中，，P是的中点，连接，． （1）如图1，若，，求“和谐线”的长； （2）如图2，若，请探究“和谐线”的长与菱形的边长a之间满足的等量关系式，并说明理由； （3）若，且“和谐线”中的或与菱形的一条对角线相等，求“和谐线”的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第二次调研考试 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需根据负数的绝对值是它的相反数进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴根据绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数，可得：． 2. 中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意思是：把一长方体沿对角面一分为二，相同的这两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的主视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图可知，这个立体图形的主视图为． 3. 清代诗人袁枚的诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查小于的正数的科学记数法表示，科学记数法的形式为，其中，为整数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前的个数，据此确定和即可． 【详解】解：． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法运算，负整数指数幂性质，二次根式的运算与性质，对各选项逐一计算验证即可得出结果． 【详解】解：∵，∴A计算错误． ∵，∴B计算正确． ∵，∴C计算错误． ∵， ∴，∴D计算错误． 5. 如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图．已知调整前、后的灯杆，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度（    ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：如图，设与的交点为， ∵，， ∴， ∵是的外角， ∴． 6. 已知一元二次方程，则该方程根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，利用判别式的符号即可判断根的情况．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根． 7. 在平行四边形中，分别以，为圆心，任意长为半径画弧，交，，于，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，连接，并延长相交于点，点恰好在上，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图可得，根据平行四边形的性质可得，，进而结合平行线的性质可得出，根据等角对等边可得，即可求解． 【详解】解：根据作图可得分别平分 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ 8. 河南地处中原，省内17处国家级旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．正面分别印有“少林寺”“龙门石窟”“云台山”“殷墟”图片的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上正面恰好是“少林寺”和“云台山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用画树状图法解答即可． 【详解】解：设“少林寺”表示为A，“龙门石窟” 表示为B，“云台山”表示为C，“殷墟” 表示为D，根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中这两张卡片上正面恰好是“少林寺”和“云台山”的结果有2种， 这两张卡片上正面恰好是“少林寺”和“云台山”的概率是． 9. 如图，在边长为5的菱形中，对角线与相交于点O，，点E在线段上，，点F在线段上，，连接，点P为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的性质得到，，利用勾股定理求得，从而求得的长，取中点Q，连接，由三角形中位线定理结合勾股定理即可求得最终结果． 【详解】在菱形中，对角线与相交于点O， ，， ∴，， 由勾股定理可得， ∵， ∴， 如图，取中点Q，连接， ∴， ∵点P为的中点，点Q为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 10. 在一次物理实验中，小明同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值是定值）亮度的实验（如图1）．已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，图2是I关于R的函数图象，则下列说法中错误的是（　　） A. 灯丝的阻值为 B. 用含R的代数式表示I为 C. 当滑动变阻器的电阻为时，串联电路电流为 D. 要使通过灯泡的电流不低，则调节滑动变阻器电阻的范围为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用．观察图象得：当时，，可得，再根据反比例函数的性质解答，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，， ∴，解得：， 即灯丝的阻值为，故A选项正确，不符合题意； ∴用含R的代数式表示I为，故B选项正确，不符合题意； 当时，， 即当滑动变阻器的电阻为时，串联电路电流为，故C选项正确，不符合题意； ∵通过灯泡的电流不低， ∴，解得：， 即要使通过灯泡的电流不低，则调节滑动变阻器电阻的范围为，故D选项错误，符合题意； 故选：D 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请你取一个的值，说明命题“”是假命题，那么__________． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查举例说明假命题，根据绝对值的意义，一个负数的绝对值等于它的相反数，举出一个反例即可． 【详解】解：当时，，，此时； ∴“”是假命题， 故答案为：0（答案不唯一）． 12. 某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表： 项目 员工 听 说 读 写 最终成绩 甲 A 70 80 90 82 乙 B 90 80 70 82 由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A_______B．（填“>”“=”或“<”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，能够掌握计算公式且准确计算是解决问题的关键．利用加权平均数的计算公式求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为；． 13. 化简____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先对括号内的表达式进行通分相加，然后将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式并约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 如图所示的扇形中，，过点作，交于点，若，则阴影部分的面积为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不规则面积的计算，扇形面积的计算，解直角三角形，用扇形的面积减去三角形的面积即可求解，掌握扇形的面积公式和解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 15. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“豫点”．如图中，于E，，若点D是边上的“豫点”，则线段的长为________． 【答案】或2 【解析】 【分析】先求出，设，则，，再分三种情况：①点在上；②点与点重合，③点在上，利用勾股定理求出的值，再根据“豫点”的定义求出的值，两者建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ①如图，当点在上时，则， ∴， 在中，， ∵点是边上的“豫点”， ∴， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴此时； ②如图，当点与点重合时，则， ∴，， ∴，这与点是边上的“豫点”矛盾，则的情形不存在； ③如图，当点在上时，则， ∴， 在中，， ∵点是边上的“豫点”， ∴， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴此时； 综上，线段的长为或2． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算和化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ． 17. 2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ；请将频数分布直方图补充完整； （2）所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； （3）计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 【答案】（1）10%，30%，见解析 （2）4 （3）全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人 【解析】 【分析】本题考查了频率和频数，频数分布直方图，中位数，利用样本估计总体． （1）根据第2组的频数和百分比，求出抽取的学生人数，再求出相应的值，补全频数分布直方图即可； （2）根据中位数的定义求解即可 （3）利用全校人数乘以成绩不低于91分的学生占比，即可求解． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为人， 则， ， ，， 补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：抽取的名学生竞赛成绩中，中位数为第和名学生竞赛成绩的平均数， 由（1）可知，第1组有5人，第2组有10人，第3组有15人，第4组有40人， 前三组人数为人，前四组人数为人， 则中位数处于第4组的分数段内， 故答案为：4； 【小问3详解】 解：由（1）可知，，即全校91分以上的同学占比约为， 则全校91分以上的同学约有（人）， 答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人． 18. 如图，四边形中，连接． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的垂直平分线，分别交于点E、F； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）如图1所示：直线即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形的外角的含义，掌握线段的垂直平分线的作图与性质的运用是解本题的关键． （1）分别以，为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，再过两弧的交点画直线，分别交于点E、F即可； （2）证明，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2．连接， ∵垂直平分，， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． 19. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点P为射线上位于点A右侧的一点，且，过点P作轴，垂足为Q，交反比例函数的图象于点M． （1）求反比例函数的解析式； （2）求，的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先确定，代入求解即可； （2）过点A作轴，垂足为N，证明，利用函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点A作轴，垂足为N， ∵轴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 将代入正比例函数， 得， 将代入反比例函数， 得， ∴， ∴，； 20. 为打造花园式居住环境，某物业公司计划购进A、B两种花木对小区进行美化，已知B种花木比A种花木每棵贵20元，且购买2棵A种花木与3棵B种花木共需要210元． （1）求A、B两种花木的单价各是多少元？ （2）如果购进的这批花木共6000棵，A种花木至多购进4000棵，为了使购进的这批花木的费用最低，应购进A种花木和B种花木各多少棵？并求出最低费用． 【答案】（1）A，B两种花木的单价分别是30元和50元 （2）购进A种花木4000棵，B种花木2000棵，能使得购进这批花木的费用最低，为220000元 【解析】 【分析】（1）设A种花木每棵x元，B种花木每棵y元，依据题意可得，求解即可； （2）设购进A种花木t棵，这批花木的费用为w元，则．根据函数的性质求解即可； 【小问1详解】 解：设A种花木每棵x元，B种花木每棵y元， 依据题意可得， 解得． 答：A，B两种花木的单价分别是30元和50元． 【小问2详解】 解：设购进A种花木t棵，这批花木的费用为w元， 则． ∵， w随着t的增大而减小，， ∴当时，w最小． 此时，B种花木有（棵）， ． 答：购进A种花木4000棵，B种花木2000棵，能使得购进这批花木的费用最低，为220000元． 21. 图是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为米，地面上的观察点到点的距离为米，平面示意图如图所示． （1）当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离； （2）已知摩天轮匀速转动一周需要分钟，当座舱距离地面不低于米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，，） 【答案】（1）米； （2）10分钟；米． 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用，勾股定理，弧长公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接，，作，垂足为，根据勾股定理得（米），又，所以，因为与相切，所以，可得，所以，（米），从而可得，所以（米）； （）过点作，交于点．延长，交于点，连接，不妨设米，又因为，所以，则（米），然后通过，可得，则，故有最佳观赏风景的时间为（分钟），最后通过弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解：连接，，作，垂足为， 根据题意可知，（米）， 在中，米，， 所以（米）， 因为， 所以， 因为与相切， 所以， 所以， 因为米， 所以， 所以，（米）， 所以， 在中，（米）， 所以，点处的座舱到地面的距离约为米； 【小问2详解】 解：过点作，交于点．延长，交于点，连接，不妨设米， 因为， 所以， 所以（米）， 因为米， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以最佳观赏风景的时间为（分钟）， 所以的长（米）， ∴座舱经过的的长约为米． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若，求证：抛物线与轴一定有两个交点． （2）若，点在抛物线上，其中， ①若的最小值是，求函数的表达式； ②若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）见详解 （2）①，②或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，理解二次函数与不等式的关系是解题的关键． （1）把代入抛物线方程，根据抛物线与一元二次方程的关系求解即可； （2）把代入抛物线方程，得，①根据抛物线的开口向上，且顶点为最低点列方程求出m的值即可；②先求出当和时的函数值，比较后，根据最大函数值小于列不等式求解即可． 【小问1详解】 证明：当时，抛物线方程化为， ∵ 抛物线与轴一定有两个交点； 【小问2详解】 解：当时，抛物线方程化为， 抛物线的顶点为，开口向上， ①抛物线开口向上，对称轴为且， 当时，抛物线的最小值为，即顶点纵坐标， ， ， 故函数表达式为； ②当时，， ∵抛物线开口向上，在内的最大值出现在区间端点离对称轴更远的点， 若对于，都有成立，需保证在取值范围内，两端点的函数值均小于， 当时，， 当时，， ， 化简，得， 解得：或， 的取值范围为或． 23. 定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫作菱形的“和谐线”．如图1，在菱形中，P是的中点，连接，，则折线叫作菱形的“和谐线”，折线的长叫作“和谐线”的长．已知在菱形中，，P是的中点，连接，． （1）如图1，若，，求“和谐线”的长； （2）如图2，若，请探究“和谐线”的长与菱形的边长a之间满足的等量关系式，并说明理由； （3）若，且“和谐线”中的或与菱形的一条对角线相等，求“和谐线”的长． 【答案】（1）“和谐线”的长为 （2）“和谐线”的长等于，理由见解析 （3）“和谐线”的长为或 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意证得为等边三角形，利用勾股定理求出，，即可解答； （2）证明，列出比例式，求出代入比例式求解即可； （3）由已知得“和谐线”中的或只能与菱形中较短的对角线相等，分以下情况讨论：当时，过点P作，交的延长线于点E，过点B作于点F；当时，过点C作，交的延长线于点E，分别计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图1，连接， 在菱形中，，， ∴为等边三角形， ∵点P为的中点， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴“和谐线”的长为． 【小问2详解】 解：“和谐线”的长等于． 理由：如图2， 在菱形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴“和谐线”的长为． 【小问3详解】 解：“和谐线”的长为或． 由已知得“和谐线”中的或只能与菱形中较短的对角线相等， ①当时，如图3，过点P作，交的延长线于点E，过点B作于点F， ∴，， 在中，， 在中，， ∵，， 在中，， ∴； ②当时，同理可证，，； ③当时，同理可得，，； ④当时，如图4，过点C作，交的延长线于点E， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，得， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，“和谐线”的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $