专题02 一元二次方程的实际问题建模（高效培优专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程实际应用，通过8类典型题型系统构建从情境抽象到方程建模的逻辑链条，强化模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何图形面积问题|5题|矩形剪拼、道路修筑等图形面积关系|从图形边长关系抽象等量关系，建立面积方程| |数学文化|6题|《九章算术》等古籍问题情境|用方程解决传统数学问题，体现文化传承| |传播问题|5题|病毒传播、信息扩散等连锁反应|基于传播次数与数量关系构建增长模型| |数字问题|4题|两位数的数字关系与运算|用数位表示法转化数字问题为方程| |单双循环问题|5题|球赛、互赠礼品等计数问题|区分单双循环差异，建立组合计数方程| |平均增长率问题|5题|利润、销量等变化率问题|运用增长率公式（a(1±x)²=b）建模| |销售利润问题|6题|售价、销量与利润关系|通过利润公式（售价-成本）×销量建立方程| |几何动点问题|5题|三角形、矩形中动点运动|结合运动时间表示线段长度，建立面积方程|

专题02 一元二次方程的实际问题建模 题型一 一元二次方程与几何图形面积问题 题型二 一元二次方程与数学文化 题型三 一元二次方程与传播问题 题型四 一元二次方程与数字问题 题型五 一元二次方程与单双循环问题 题型六 一元二次方程与平均增长率问题 题型七 一元二次方程与销售利润问题 题型八 一元二次方程与几何动点问题 题型一 一元二次方程与几何图形面积问题 1．小明把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为，设剪去的正方形边长为，那么x满足的方程是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 3．为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣题探究”活动．同学们对《增删算法统宗》中的“圆中方”问题进行了实地模拟：在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池，打造“可耕可赏”的校园景观．已知除水池外，可种植绿植的面积恰好为平方米，从水池边到圆周，每边均相距米．设水池的边长为米，则下列方程能正确表示数量关系的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________ 5．综合与实践 主题：如何制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的一张长为，宽为的长方形硬纸板（如图①）． 实践操作：在长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形（如图②），然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖长方体收纳盒（如图③）． 问题解决： (1)若剪去的小正方形的边长为，则折成的无盖长方体收纳盒的侧面积为 ； (2)若折成的无盖长方体收纳盒的底面积为时，请通过计算判断能否把家里的一个冰墩墩玩具完全放入该收纳盒里（冰墩墩的高度不能超过收纳盒的高度）．冰墩墩的实物图和尺寸大小如图④． 题型二 一元二次方程与数学文化 1．《九章算术》“勾股”章中有一道题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设从出发到相遇时间为，则符合题意的方程是（ ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少?若设门的对角线长为尺，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 3．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设第一天学习的知识量为100，每天“遗忘”的百分比是，根据“两天不练丢一半，即连续两天不练习，所学习的知识就会变为原来的一半”，则满足的方程是（ ） A． B． C． D． 4．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样的一个问题：“今有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门（和）门边缘、两点到门槛的距离是1尺（即、到线段的距离为1尺），两扇门的间隙为2寸，则门宽是多少寸？（1尺寸）设单门的宽度是尺，则所列方程为（ ） A． B． C． D． 5．我国古代经典数学著作《九章算术》有一“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边的中点，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多少？（小知识：1丈=10尺）若设水深为尺，则符合题意的方程是（ ） A． B． C． D． 6．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱，绳索比木柱长3尺，长为8尺，求绳索长为多少？设绳索长为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 题型三 一元二次方程与传播问题 1．春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（ ） A． B． C． D． 2．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（ ） A． B． C． D． 3．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有人知晓．若每轮平均1人传播给x人，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 4．某网络平台遭遇黑客袭击导致服务器感染病毒，最初有3台服务器感染病毒，经过两轮传播后共有147台服务器被感染，设每轮传播中平均一台服务器感染x台服务器，则根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 5．两位物理科代表在老师的培训下，学会了如何探究凸透镜成像规律的实验，回到班上后，第一节课每位科代表手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每位同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班人恰好都会做这个实验了．求每位同学每节课能教会多少名同学？ 题型四 一元二次方程与数字问题 1.有一个两位数，个位上数字和十位上数字之和为6，这个两位数是这个两位数的个位上数字与十位上数字之积的3倍，则这个两位数为（ ） A．24 B．15 C．24或15 D．42或51 2．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，若设个位数字为x，列出方程为 ． 3．根据下面的问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式． 一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数． 4．一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换一下后平方，所得数值比原来的两位数大138，求这原来的两位数． 题型五 一元二次方程与单双循环问题 1．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　） A．x（x+1）＝45 B． C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45 2．毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，根据题意可列方程为（　　） A．x2＝1560 B．x（x﹣1）＝1560 C．x（x+1）＝1560 D． 3．一个小组共有x人，端午节互送荷包，若全组共送72个，下面所列方程正确的是（　　） A．x2＝72 B．x（x﹣1）＝72 C．（x﹣1）2＝72 D．72 4．“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C． D． 5．毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为多少？ 题型六 一元二次方程与平均增长率问题 1．某超市2019年的销售利润是100万元，计划到2021年利润要达到144万元，若设每年平均增长率是，则可得方程（ ） A． B． C． D． 2．某智能无人机前年售价为每台5000元，随着科学技术的提高，今年售价为每台3200元，则该智能无人机每台的售价在这两年的年平均下降率为（ ） A． B． C． D． 3．某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位4月份用纸量为1000张，6月份用纸量下降至640张．则该单位用纸量的月平均下降率是（ ） A． B． C． D． 4．某商品在网上销售，在“双十一”之前将价格提高，“双十一”期间为促进销售，将其两次降价，还比原价高，若两次降价的百分比相同，求两次降价的百分比是多少．（保留一位小数） 5．我国2019年并网太阳能发电装机容量约为2.5亿kW，经过两年努力，我国2021年并网太阳能发电装机容量约为3.6亿kW，求我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率． 题型七 一元二次方程与销售利润问题 1．一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价x元，由题意可列方程（　　） A．（60﹣x）（20+4x）＝1400 B．（40﹣x）（20+4x）＝1400 C．（60﹣x）（20+2x）＝1400 D．（40﹣x）（20+0.5x）＝1400 2．山西剪纸是一项古老的民间艺术，有极高的审美价值．某经销商销售“广灵剪纸”“浮山剪纸”“晋城剪纸”“中阳剪纸”等礼盒，进价均为每盒50元，售价为每盒70元，平均每天可售出100盒，经市场调查发现，单价每降低2元，平均每天可多售出20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，则每盒剪纸礼盒应降价多少元？设每盒剪纸礼盒应降价x元，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．哪吒的乾坤圈工坊以每个30灵石的进价购入一批迷你风火轮，并以每个50灵石售出，每日可售出80个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低2灵石，每日可多售出10个，若哪吒希望单日盈利达4000灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价x灵石，则列出方程为（　　） A． B． C．（50﹣x﹣30）（80+10x）＝4000 D．（50﹣2x﹣30）（80+10x）＝4000 4．某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件．通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．售价为（　　）元时，每天的利润可得到700元． A．13 B．15 C．13或15 D．10 5．某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克． （1）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克樱桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ （2）在降价情况下，该专卖店销售这种樱桃平均每天获利可以达到2400元吗？如果可以，请求出应降价多少元；如果不可以，请说明理由． 6．在政府消费补贴政策推动下，各大商圈销售持续升温，某精品店借着这一波热度，在5月份用5100元购进了一批遮阳帽和防晒衣共80件进行销售．已知遮阳帽每顶的进价为60元，售价为80元；防晒衣每件的进价为75元，售价为120元． （1）该精品店5月份遮阳帽和防晒衣各购进多少件？ （2）市场热销，5月份购进的遮阳帽和防晒衣全部售出，6月份精品店再购进一批遮阳帽和防晒衣．为增加6月份防晒衣的销量，老板采取降价促销．据市场调查发现，在5月份的基础上，若防晒衣的售价每降低2元，则可多售出1件（实际售价不低于进价）．若6月份遮阳帽的售价、销售量与5月份相同，两种商品6月份的销售总额为7800元，则6月份每件防晒衣的售价为多少元？ 题型八 一元二次方程与几何动点问题 1．如图，在中，，点分别从两点同时出发，沿方向向点匀速移动，它们的速度都是．如果设后的面积为面积的一半，那么所列方程应该是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始沿，运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，当点Q移动到点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为，当的面积为时，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，cm，cm，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点的速度为1cm/s，点的速度为2cm/s，点移动到点后停止，点也随之停止运动，若使的面积为15cm2，则点运动的时间是（ ） A．s B．5s C．4s D．3s 4．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ） A． B．或4 C．或 D． 5．如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程的实际问题建模 题型一 一元二次方程与几何图形面积问题 题型二 一元二次方程与数学文化 题型三 一元二次方程与传播问题 题型四 一元二次方程与数字问题 题型五 一元二次方程与单双循环问题 题型六 一元二次方程与平均增长率问题 题型七 一元二次方程与销售利润问题 题型八 一元二次方程与几何动点问题 题型一 一元二次方程与几何图形面积问题 1．小明把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为，设剪去的正方形边长为，那么x满足的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定折成的长方体盒子底面的长：因为矩形的长为8cm，左右各剪去一个边长为x的正方形，所以底面长为． 确定折成的长方体盒子底面的宽：因为矩形的宽为，上下各剪去一个边长为x的正方形，所以底面宽为． 利用矩形面积公式列方程：因为长方体底面积=长×宽，且已知底面积为，所以可列关于x的方程． 【详解】设剪去的正方形边长为，由题意，得． 2．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质可得草坪正好是一个长方形，其长为，宽为，据此列出方程即可． 【详解】解：由平移的性质可知，草坪正好是一个长方形，其长为，宽为， 则可列方程为． 3．为传承中华优秀传统文化，某校开展了“古法数学趣题探究”活动．同学们对《增删算法统宗》中的“圆中方”问题进行了实地模拟：在校园规划一块圆形空地，中间设计正方形的水池，打造“可耕可赏”的校园景观．已知除水池外，可种植绿植的面积恰好为平方米，从水池边到圆周，每边均相距米．设水池的边长为米，则下列方程能正确表示数量关系的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设水池的边长为米，每边均相距米，则圆的半径为米，可种植绿植的面积为圆的面积减去正方形的面积，根据可种植绿植的面积恰好为平方米即可列出方程． 【详解】解：设水池的边长为米，每边均相距米， 则圆的半径为米， 可种植绿植的面积恰好为平方米， ． 4．如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽x应该满足的方程为_______________________________ 【答案】 【分析】根据草坪的总面积为长为，宽为的长方形的面积，列出方程即可. 【详解】解：由题意，可列方程为. 5．综合与实践 主题：如何制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的一张长为，宽为的长方形硬纸板（如图①）． 实践操作：在长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形（如图②），然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖长方体收纳盒（如图③）． 问题解决： (1)若剪去的小正方形的边长为，则折成的无盖长方体收纳盒的侧面积为 ； (2)若折成的无盖长方体收纳盒的底面积为时，请通过计算判断能否把家里的一个冰墩墩玩具完全放入该收纳盒里（冰墩墩的高度不能超过收纳盒的高度）．冰墩墩的实物图和尺寸大小如图④． 【答案】(1)520 (2)冰墩墩玩具能完全放入该收纳盒里 【分析】（1）分别求出侧面小长方形的长，再根据侧面积公式，计算即可； （2）设剪去的小正方形的边长为，列出一元二次方程，求解，从而求出收纳盒的长、宽和高，最后比较即可． 【详解】（1）解：（），（）， （）， 则折成的无盖长方体收纳盒的侧面积为520； （2）解：设剪去的小正方形的边长为， 由题意得，， ，（不合题意，舍去）， 即剪去的小正方形的边长为12cm， 此时收纳盒的长为（），宽为（），高为12． ，，， 冰墩墩玩具能完全放入该收纳盒里． 题型二 一元二次方程与数学文化 1．《九章算术》“勾股”章中有一道题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设从出发到相遇时间为，则符合题意的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用．根据题意画出三角形，表示三边长，利用勾股定理可得方程． 【详解】解：如图，设x秒两人再B处相遇，这时乙行驶，甲共行驶， ∵， ∴， ∵， 由勾股定理得：， 故选：B． 2．《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少?若设门的对角线长为尺，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； 设门的对角线长为尺，根据：竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，结合勾股定理即可列出方程，得到答案． 【详解】解：设门的对角线长为尺，则可列方程为； 故选：D． 3．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设第一天学习的知识量为100，每天“遗忘”的百分比是，根据“两天不练丢一半，即连续两天不练习，所学习的知识就会变为原来的一半”，则满足的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，能够读懂题意找到等量关系是解题关键；根据“两天不练丢一半”的含义列出方程即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为x， 则根据题意可得：， 故选：D． 4．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样的一个问题：“今有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门（和）门边缘、两点到门槛的距离是1尺（即、到线段的距离为1尺），两扇门的间隙为2寸，则门宽是多少寸？（1尺寸）设单门的宽度是尺，则所列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，作于点E，设尺，根据题意得出尺，尺，再结合勾股定理列方程，即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E． 设尺， 则尺，尺，尺． 在中，，即， 故选：B． 5．我国古代经典数学著作《九章算术》有一“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边的中点，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多少？（小知识：1丈=10尺）若设水深为尺，则符合题意的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为尺，根据勾股定理可得方程即可． 此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 【详解】解：设水池的深度为x尺，由题意得：， 故选：A． 6．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱，绳索比木柱长3尺，长为8尺，求绳索长为多少？设绳索长为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设绳索长为尺，则， 根据题意得：， 故选：D． 题型三 一元二次方程与传播问题 1．春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设主干长出支支干，分别计算主干、支干、小分支的数量，根据三者总数为21列方程即可． 【详解】解：∵主干只有1根，设主干长出支支干， ∴支干的总数量为， ∵每根支干又分出支小分支， ∴小分支的总数量为， ∵主干、支干和小分支总数是21， ∴可列方程为． 2．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． ∵初始有人患流感， ∴第一轮传染后，总患病人数为， ∵第二轮传染中，有个患者，每人传染人， ∴新增患病人数为， ∴． 3．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有人知晓．若每轮平均1人传播给x人，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，属于传播类问题，解题思路是按传播顺序计算两轮传播后的总知晓人数，再据此列出方程． 【详解】解：∵初始有1人知晓政令，每轮平均1人传播给人， ∴第一轮传播结束后，总共有人知晓， 第二轮传播中，所有已知晓的人都会传播给人，因此第二轮新增的知晓人数为， ∵两轮传播后总共有49人知晓， ∴可列方程为 ，故选C． 4．某网络平台遭遇黑客袭击导致服务器感染病毒，最初有3台服务器感染病毒，经过两轮传播后共有147台服务器被感染，设每轮传播中平均一台服务器感染x台服务器，则根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据病毒传播过程，初始感染台数加上每轮新增感染台数，两轮后总感染台数为147，列方程求解即可． 【详解】解：∵初始感染服务器数为3台， 第一轮传播中，每台感染x台，新增感染数为台，第一轮后总感染数为台， 第二轮传播中，有台服务器，每台感染x台，新增感染数为台， ∴两轮后总感染数为． 故选：A． 5．两位物理科代表在老师的培训下，学会了如何探究凸透镜成像规律的实验，回到班上后，第一节课每位科代表手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每位同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班人恰好都会做这个实验了．求每位同学每节课能教会多少名同学？ 【答案】名 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每位同学每节课能教会名同学，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每位同学每节课能教会名同学， 根据题意得，， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：每位同学每节课能教会名同学． 题型四 一元二次方程与数字问题 1.有一个两位数，个位上数字和十位上数字之和为6，这个两位数是这个两位数的个位上数字与十位上数字之积的3倍，则这个两位数为（　　） A．24 B．15 C．24或15 D．42或51 【答案】C 【解答】解：设原来的两位数个位数字为x，则十位数字为6﹣x．则， 3x（6﹣x）＝10（6﹣x）+x， 解得x1＝4，x2＝5， 当x＝4时，即原来的两位数个位数字为4，十位数字为2． ∴这个两位数是24， 当x＝5时，即原来的两位数个位数字为5，十位数字为1． ∴这个两位数是15， 故选：C． 2．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，若设个位数字为x，列出方程为 ． 【答案】x（x+1）＝72． 【解答】解：设个位数字为x，则十位数字为x+1， 由题意得x（x+1）＝72， 故答案为：x（x+1）＝72． 3．根据下面的问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式． 一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数． 【答案】2x2﹣3x﹣20＝0． 【解答】解：设个位数为x，则十位数字为（x+4），根据题意可得： 10（x+4）+x﹣4＝（x+4）2+x2， 整理得：2x2﹣3x﹣20＝0． 4．一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换一下后平方，所得数值比原来的两位数大138，求这原来的两位数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设原来两位数的个位数字为x，则十位数为x+2， 根据题意列出方程得： [10（x+2）+x]+138＝（10x+x+2）2， 整理得11x2+3x﹣14＝0， 解得x1＝1，x2（不合题意舍去）． 答：这原来的两位数是31． 题型五 一元二次方程与单双循环问题 1．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　） A．x（x+1）＝45 B． C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45 【答案】B 【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， ∴共比赛场数为x（x﹣1）， ∴共比赛了45场， ∴x（x﹣1）＝45， 故选：B． 2．毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，根据题意可列方程为（　　） A．x2＝1560 B．x（x﹣1）＝1560 C．x（x+1）＝1560 D． 【答案】B 【解答】解：∵九（1）班共有x名学生， ∴每名学生赠祝福卡（x﹣1）张． 根据题意得：x（x﹣1）＝1560． 故选：B． 3．一个小组共有x人，端午节互送荷包，若全组共送72个，下面所列方程正确的是（　　） A．x2＝72 B．x（x﹣1）＝72 C．（x﹣1）2＝72 D．72 【答案】B 【解答】解：由题意得，x（x﹣1）＝72． 故选：B． 4．“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝28． 故选：D． 5．毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设该兴趣小组的人数为x人，则每个同学需送出（x﹣1）件礼物， 依题意，得：x（x﹣1）＝30， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）． 答：该兴趣小组的人数为6人． 题型六 一元二次方程与平均增长率问题 1．某超市2019年的销售利润是100万元，计划到2021年利润要达到144万元，若设每年平均增长率是，则可得方程（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得，. 2．某智能无人机前年售价为每台5000元，随着科学技术的提高，今年售价为每台3200元，则该智能无人机每台的售价在这两年的年平均下降率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出年平均下降率，根据价格变化关系列方程求解，舍去不符合实际意义的根即可得到结果． 【详解】解：设该智能无人机每台售价的年平均下降率为， ∵初始售价为元，经过两年下降后最终售价为元， ∴可列方程：， 整理得， 开方得， 解得，， ∵下降率不可能大于， ∴舍去不符合题意的， 因此年平均下降率为． 3．某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位4月份用纸量为1000张，6月份用纸量下降至640张．则该单位用纸量的月平均下降率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设月平均下降率为，根据初始量a和最终量b的关系“”列方程，舍去不符合实际意义的解即可得到结果． 【详解】解：设该单位用纸量的月平均下降率为， 根据题意，得， 解得 ，（舍去）， 该单位用纸量的月平均下降率为． 4．某商品在网上销售，在“双十一”之前将价格提高，“双十一”期间为促进销售，将其两次降价，还比原价高，若两次降价的百分比相同，求两次降价的百分比是多少．（保留一位小数） 【答案】 【分析】设原价为a，两次降价的百分比为x，则“双十一”之前价格为，“双十一”期间售价为，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设原价为a，两次降价的百分比为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：两次降价的百分比约为． 5．我国2019年并网太阳能发电装机容量约为2.5亿kW，经过两年努力，我国2021年并网太阳能发电装机容量约为3.6亿kW，求我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率． 【答案】年均增长率为 【详解】解：设我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率为， 根据题意得：， ， ， ，， 增长率不能为负数， 不合题意，舍去， ． ∴年均增长率为． 题型七 一元二次方程与销售利润问题 1．一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价x元，由题意可列方程（　　） A．（60﹣x）（20+4x）＝1400 B．（40﹣x）（20+4x）＝1400 C．（60﹣x）（20+2x）＝1400 D．（40﹣x）（20+0.5x）＝1400 【答案】B 【解答】解：设每件商品降价x元， 由题意可得：（60﹣20﹣x）（20+4x）＝1400， 即（40﹣x）（20+4x）＝1400， 故选：B． 2．山西剪纸是一项古老的民间艺术，有极高的审美价值．某经销商销售“广灵剪纸”“浮山剪纸”“晋城剪纸”“中阳剪纸”等礼盒，进价均为每盒50元，售价为每盒70元，平均每天可售出100盒，经市场调查发现，单价每降低2元，平均每天可多售出20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，则每盒剪纸礼盒应降价多少元？设每盒剪纸礼盒应降价x元，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意可列方程为（70﹣x﹣50）（10020）＝2240， 故选：B． 3．哪吒的乾坤圈工坊以每个30灵石的进价购入一批迷你风火轮，并以每个50灵石售出，每日可售出80个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低2灵石，每日可多售出10个，若哪吒希望单日盈利达4000灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价x灵石，则列出方程为（　　） A． B． C．（50﹣x﹣30）（80+10x）＝4000 D．（50﹣2x﹣30）（80+10x）＝4000 【答案】B 【解答】解：根据题意得：（50﹣x﹣30）（8010）＝4000， 故选：B． 4．某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件．通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．售价为（　　）元时，每天的利润可得到700元． A．13 B．15 C．13或15 D．10 【答案】C 【解答】解：设涨价t元， 根据题意列方程得：（10+t﹣8）[200﹣10×（t÷0.5）]＝700， ∴（2+t）（10﹣t）＝35， 整理得，t2﹣8t+15＝0， 解得t1＝3，t2＝5， ∴10+3＝13（元）或10+5＝15（元）， 即售价为13或15元时，每天的利润可得到700元， 综上所述，只有选项C正确，符合题意． 故选：C． 5．某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克． （1）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克樱桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ （2）在降价情况下，该专卖店销售这种樱桃平均每天获利可以达到2400元吗？如果可以，请求出应降价多少元；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）①每千克樱桃应降价4元或6元；②该店应按原售价的9折出售； （2）不可以达到，理由见解析． 【解答】解：（1）①设每千克樱桃应降价x元，根据题意列一元二次方程得： ， 解得x1＝4，x2＝6， 答：每千克樱桃应降价4元或6元； ②由（1）可知每千克樱桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克樱桃应降价6元．此时，售价为60﹣6＝54（元）， ∴． 即该店应按原售价的9折出售； （2）设每千克樱桃应降价y元，根据题意列方程得： （60﹣y﹣40）（100+10y）＝2400， 整理得，3y2+40y+400＝0， ∵Δ＝402﹣4×3×400＝﹣3200＜0， ∴原方程没有实根． 答：该专卖店销售这种樱桃平均每天获利不可以达到2400元． 6．在政府消费补贴政策推动下，各大商圈销售持续升温，某精品店借着这一波热度，在5月份用5100元购进了一批遮阳帽和防晒衣共80件进行销售．已知遮阳帽每顶的进价为60元，售价为80元；防晒衣每件的进价为75元，售价为120元． （1）该精品店5月份遮阳帽和防晒衣各购进多少件？ （2）市场热销，5月份购进的遮阳帽和防晒衣全部售出，6月份精品店再购进一批遮阳帽和防晒衣．为增加6月份防晒衣的销量，老板采取降价促销．据市场调查发现，在5月份的基础上，若防晒衣的售价每降低2元，则可多售出1件（实际售价不低于进价）．若6月份遮阳帽的售价、销售量与5月份相同，两种商品6月份的销售总额为7800元，则6月份每件防晒衣的售价为多少元？ 【答案】（1）该精品店5月份遮阳帽购进60件，防晒衣各购进20件； （2）6月份每件防晒衣的售价为100元． 【解答】解：（1）设该精品店5月份遮阳帽购进x件，防晒衣各购进y件， 由题意得：， 解得：， 答：该精品店5月份遮阳帽购进60件，防晒衣各购进20件； （2）设每件防晒衣降价m元，则售价为（120﹣m）元，销量为（201）件， 由题意得：60×80+（120﹣m）（201）＝7800， 整理得：m2﹣80m+1200＝0， 解得：m1＝20，m2＝60（不符合题意，舍去）， ∴120﹣m＝100， 答：6月份每件防晒衣的售价为100元． 题型八 一元二次方程与几何动点问题 1．如图，在中，，点分别从两点同时出发，沿方向向点匀速移动，它们的速度都是．如果设后的面积为面积的一半，那么所列方程应该是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用含的代数式表示长度，然后结合的面积为面积的一半这一条件列方程即可。 【详解】解：后，， ，. ， ，． ， ． 故选：． 2．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始沿，运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，当点Q移动到点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为，当的面积为时，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程在几何图形中的应用，当运动时，，，根据“的面积为”即可列出方程． 【详解】当运动时，，，， ∵， ∴， 即． 故选：D 3．如图，在中，，cm，cm，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点的速度为1cm/s，点的速度为2cm/s，点移动到点后停止，点也随之停止运动，若使的面积为15cm2，则点运动的时间是（ ） A．s B．5s C．4s D．3s 【答案】D 【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2， 则BP为(8−t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得， ×(8−t)×2t＝15， 解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）． ∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2． 故答案为:D 4．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ） A． B．或4 C．或 D． 【答案】C 【点评】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键． 作，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解． 【详解】解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是, 作，垂足为H，    则，，. ， 可得：， 解得，． 答：P，Q两点从出发经过或秒时，点P，Q间的距离是. 故答案为：C. 5．如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)的值为2或8秒 (3)的面积不能达到，理由见解析 【分析】（1）根据，可得，的长，即可求解； （2）由题意得，，，则，即可求解； （3）由（2）可得，令，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴． （2）解：由题意得，，， ∴， 整理，得， 解得． 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意；∴ ∴的值为2或8秒． （3）解：不能．理由如下： 由（2）可知，， 令， 整理，得， ∵， ∴无实数根， ∴的面积不能达到． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程的实际问题建模 题型一 一元二次方程与几何图形面积问题 题型二 一元二次方程与数学文化 题型三 一元二次方程与传播问题 题型四 一元二次方程与数字问题 题型五 一元二次方程与单双循环问题 题型六 一元二次方程与平均增长率问题 题型七 一元二次方程与销售利润问题 题型八 一元二次方程与几何动点问题 题型一 一元二次方程与几何图形面积问题 1．D 2．B 3．B 4． 5．(1)520 (2)冰墩墩玩具能完全放入该收纳盒里 【分析】（1）分别求出侧面小长方形的长，再根据侧面积公式，计算即可； （2）设剪去的小正方形的边长为，列出一元二次方程，求解，从而求出收纳盒的长、宽和高，最后比较即可． 【详解】（1）解：（），（）， （）， 则折成的无盖长方体收纳盒的侧面积为520； （2）解：设剪去的小正方形的边长为， 由题意得，， ，（不合题意，舍去）， 即剪去的小正方形的边长为12cm， 此时收纳盒的长为（），宽为（），高为12． ，，， 冰墩墩玩具能完全放入该收纳盒里． 题型二 一元二次方程与数学文化 1．B 2．D 3．D 4．B 5．A 6．D 题型三 一元二次方程与传播问题 1．B 2．C 3．C 4．A 5．名 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每位同学每节课能教会名同学，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每位同学每节课能教会名同学， 根据题意得，， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：每位同学每节课能教会名同学． 题型四 一元二次方程与数字问题 1.C 2．x（x+1）＝72． 3．2x2﹣3x﹣20＝0． 【解答】解：设个位数为x，则十位数字为（x+4），根据题意可得： 10（x+4）+x﹣4＝（x+4）2+x2，整理得：2x2﹣3x﹣20＝0． 4．见试题解答内容 【解答】解：设原来两位数的个位数字为x，则十位数为x+2， 根据题意列出方程得： [10（x+2）+x]+138＝（10x+x+2）2， 整理得11x2+3x﹣14＝0， 解得x1＝1，x2（不合题意舍去）． 答：这原来的两位数是31． 题型五 一元二次方程与单双循环问题 1．B 2．B 3．B 4．D 5．见试题解答内容 【解答】解：设该兴趣小组的人数为x人，则每个同学需送出（x﹣1）件礼物， 依题意，得：x（x﹣1）＝30， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）． 答：该兴趣小组的人数为6人． 题型六 一元二次方程与平均增长率问题 1．B 2．B 3．D 4． 5．年均增长率为 【详解】解：设我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率为， 根据题意得：， ， ， ，， 增长率不能为负数， 不合题意，舍去， ．∴年均增长率为． 题型七 一元二次方程与销售利润问题 1．B 2．B 3．B 4．C 5．（1）①每千克樱桃应降价4元或6元；②该店应按原售价的9折出售； （2）不可以达到，理由见解析． 【解答】解：（1）①设每千克樱桃应降价x元，根据题意列一元二次方程得： ， 解得x1＝4，x2＝6， 答：每千克樱桃应降价4元或6元； ②由（1）可知每千克樱桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克樱桃应降价6元．此时，售价为60﹣6＝54（元）， ∴． 即该店应按原售价的9折出售； （2）设每千克樱桃应降价y元，根据题意列方程得： （60﹣y﹣40）（100+10y）＝2400， 整理得，3y2+40y+400＝0， ∵Δ＝402﹣4×3×400＝﹣3200＜0， ∴原方程没有实根． 答：该专卖店销售这种樱桃平均每天获利不可以达到2400元． 6．（1）该精品店5月份遮阳帽购进60件，防晒衣各购进20件； （2）6月份每件防晒衣的售价为100元． 【解答】解：（1）设该精品店5月份遮阳帽购进x件，防晒衣各购进y件， 由题意得：， 解得：， 答：该精品店5月份遮阳帽购进60件，防晒衣各购进20件； （2）设每件防晒衣降价m元，则售价为（120﹣m）元，销量为（201）件， 由题意得：60×80+（120﹣m）（201）＝7800， 整理得：m2﹣80m+1200＝0， 解得：m1＝20，m2＝60（不符合题意，舍去）， ∴120﹣m＝100， 答：6月份每件防晒衣的售价为100元． 题型八 一元二次方程与几何动点问题 1．A 2．D 3．D 4．C 5．(1)100cm2 (2)t的值为2或8秒 (3)△PQC的面积不能达到120cm2，理由见解析 【分析】（1）根据，可得，的长，即可求解； （2）由题意得，，，则，即可求解； （3）由（2）可得，令，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴． （2）解：由题意得，，， ∴， 整理，得， 解得． 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意；∴ ∴的值为2或8秒． （3）解：不能．理由如下： 由（2）可知，， 令， 整理，得， ∵， ∴无实数根， ∴的面积不能达到． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $