精品解析：重庆市第八中学校2025-2026学年九年级下学期第二次模拟考试数学试卷

数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图(包括作辅助线)请一律用黑色铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回. 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 有理数7的相反数是（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数． 【详解】解：有理数7的相反数是， 故选B． 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A的F，不是轴对称图形，不符合题意； 选项B的P，不是轴对称图形，不符合题意； 选项C的T，沿过图形中点的竖直线折叠，直线两侧部分可以完全重合，是轴对称图形，符合题意； 选项D的G，不是轴对称图形，不符合题意． 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解全国中学生的视力情况 B. 了解某品牌冰淇淋的质量情况 C. 了解某班同学投掷实心球的水平 D. 了解某批次烟花的燃放效果 【答案】C 【解析】 【分析】根据调查范围大小，调查是否具有破坏性判断对应调查方式即可，普查适用于范围小，易操作，无破坏性的调查． 【详解】解：A、调查对象为全国中学生，调查范围过大，不适合普查； B、检测冰淇淋质量，调查具有破坏性，不适合普查； C、调查对象为一个班级的学生，范围小，调查易操作，适合普查，符合题意； D、测试烟花燃放效果，调查具有破坏性，会损坏被调查产品，不适合普查． 4. 如图，点在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断四边形是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得，代入的度数即可求解． 【详解】解：∵点在上， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 5. 下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，图案③需22根火柴棒......按此规律，图案⑧需要火柴棒的根数为（ ） A. 56 B. 57 C. 63 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】通过观察图形，分析出火柴棒根数的变化规律是解题的关键． 【详解】解： ∵图案①需根火柴棒， 图案②需根火柴棒，， 图案③需根火柴棒，，   每增加一个图案，火柴棒根数增加根，   第个图案需火柴棒根数为， 当时，（根）． 6. 点在反比例函数的图象上，则下列各点中，在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴，即， 选项，，该点在函数图象上； 选项，，该点不在函数图象上； 选项，，该点不在函数图象上； 选项，，该点不在函数图象上： 7. 下列四个数中，最大的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先比较10的指数，指数更大的数更大，指数相同时再比较的大小即可． 【详解】解：∵对科学记数法比较大小时，指数越大，对应数越大， 而A、C的指数为9，B、D的指数为10，， ∴B、D比A、C大； ∵B、D指数相同，比较得， ∴， ∴四个数中最大的是D． 8. 某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位4月份用纸量为1000张，6月份用纸量下降至640张．则该单位用纸量的月平均下降率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设月平均下降率为，根据初始量a和最终量b的关系“”列方程，舍去不符合实际意义的解即可得到结果． 【详解】解：设该单位用纸量的月平均下降率为， 根据题意，得， 解得 ，（舍去）， 该单位用纸量的月平均下降率为． 9. 如图，在正方形中，点与点分别为和上一点，．将沿翻折到正方形所在的平面内，得，且点恰好落在边上，点为上一点， ，则的面积为（ ）初中题，不用向量 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用折叠性质和勾股定理求出正方形边长及的位置．以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，连接，求出的坐标，确定直线的解析式．利用，确定直线的解析式．联立直线与的解析式，求出点的坐标，求出面积，即得面积． 【详解】解：∵， ∴． 由折叠性质得： 在中，， ∴． 在中，， ∴， ∴． 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴． 以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，连接， 则， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为． 由翻折知，， ∵， ∴， ∴点H在上， 设的解析式为， 则， 解得， ∴的解析式为， 联立得， 解得， ∴． ． 10. 已知整式，其中为正整数为整数，，且满足（为常数）．下列说法： ①若，则不存在满足条件的整式； ②若，则满足条件的所有整式中有且仅有2个单项式； ③若，，则所有满足条件的整式有且仅有10个； ④若，则当取任意实数时，其值一定为负数的整式有且仅有5个．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目给定条件，逐个判断四个说法，结合绝对值性质、整数性质和二次函数恒负的条件逐一验证，统计正确说法的个数即可 【详解】解：已知为正整数，为整数，，满足， ①若，则， ∴， ∵绝对值均非负， ∴所有，与矛盾，不存在满足条件的，①正确； ②若， ∴， ∵为正整数， ∴， ∵， ∴且， ∵， ∴， ∴满足条件的整式M为单项式， ∴对应单项式和，共个，②正确； ③若，，列举得： ：， 取时，，有1个整式，取时，，有2个整式， 取1时，，有1个整式，取时，，有1个整式，总计5个整式； ：， 取时，，有1个整式，取时，，，有1个整式， 取时，，，有1个整式，总计3个整式； ：， 取1时，，有1个整式，总计1个整式； 当时，， ∴，不符合题意，舍去， ∴所有满足条件的整式有且仅有个；故③错误； ④若，则， 恒负需要且， 当时，， ，不符合题意； 当时，取，，，满足题意； 当时，取，，，不符合题意； 当时，取，，，不符合题意； 当时，取，，，满足题意； 当时，取，，，不符合题意； 当时，取，，，不符合题意； 当时，取，，，满足题意； 当时，取，，，不符合题意； 当时，取，，，符合题意； 当时，取，，，不符合题意； 当时，取，，，满足题意； 当时，取，，，不符合题意； 当时，取，，，不符合题意； 当时，取，，，不符合题意； 当时，取，，，符合题意； 当时，取，，，不符合题意； 当时，取，，，符合题意； 综上可得：共有7个，故④错误； 综上，正确的个数为2． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如图， ，若，则的度数是_____． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，求出的同旁内角的度数，再根据对顶角相等即可求出的度数． 【详解】解：如图，设的同旁内角为， ∵ ，  ， ， ， ． 12. 已知n为整数，且，则n的值为________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据无理数的估算，进行求解即可． 【详解】解：∵，即， ∴n的值为7． 13. “二十四节气”是中国古代农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明购买了张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有张，“雨水”和“惊蛰”各张，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片的文字后放回洗匀，再从中抽取一张，则抽取的两张卡片上的文字都是“夏至”的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图，再根据树状图解答即可求解． 【详解】解：设夏至用表示，雨水用表示，惊蛰用表示，画树状图如下： 由树状图可知，共有等可能结果，其中抽取的两张卡片上的文字都是“夏至”的结果有种， ∴抽取的两张卡片上的文字都是“夏至”的概率为． 14. 若实数同时满足，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据第一个等式判断出的符号，去掉绝对值符号后，分情况讨论求出和的值，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ①， ②， 由①得，  ，  ，  ， 代入②得， 将代入， 得 ， 当时，， 原式变为， 解得， 符合， 此时， 当时，， 原式变为， 等式不成立，无解，  ，，  ． 15. 如图，是的直径，点在上，的边与相切于点．与相交于点，与相交于点，连接交于点，交于点， ，连接．若，则 _____， _____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据切线的性质及平行四边形的性质推出，利用垂径定理求出，在中利用勾股定理求出，再利用相似三角形求出；由圆周角定理得出，确定，证明，利用三角函数求出，进而求出、、，最后构造直角三角形利用勾股定理求出． 【详解】解：与相切于点，是直径，  ， 四边形是平行四边形，  ∴， 于点，  是直径，  ， 在中，，  ， 连接， ， 是直径，  ，  ，  ∴， ∵， ，  ，即 ，   ，  ；  ，是直径，  ，  ， ， 、、共线，  ，  是切线， ， ，   ， 又，  ，  ，即 ， 过点作 交的延长线于点， 则四边形 是矩形，  ，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ， 过点作 于点， 在 中，， ∴，，  ，  ， ，  ， 在 中， ． 16. 我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“双十一数”．例如：四位数，因为，所以是“双十一数”．按照这个规定，最大的“双十一数”是_____；一个“双十一数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均为整数，则满足条件的的值是_____． 【答案】 ①. ②. 和 【解析】 【分析】①根据四位数大小比较规则，千位、百位数字尽可能取最大值，结合即可求出结果；②根据定义用表示，再推导，结合两个分式为整数的条件，得到满足的整除关系，根据的取值范围枚举计算得到符合条件的． 【详解】解：要找最大的“双十一数”， 需千位数字最大，其次百位数字最大， ，为千位， 最大取，则， 最大取，则， 因此最大的“双十一数”是； 对于“双十一数”，可得，， 其中，， 因此，，得，，为整数， 所以， 调换后得到， ∴， ∴， 由为整数，代入， 得：， 因此是的倍数， 由为整数， 代入得：， ∵余6，余4，余4， ∴需要是8的倍数， 化简得是的倍数， 枚举从到的所有可能： 当时，是的倍数，得， 代入，是的倍数，符合条件， 此时，，； 当时，是的倍数，得，，不是的倍数，不符合； 当时，是的倍数，得或， 时，不符合； 时，是的倍数，符合条件， 此时，，； 当时，是的倍数，得，，不符合； 当时，是的倍数，得，，不符合； 当时，是的倍数，得，，不符合； 当时，是的倍数，得，，不符合； 当时，是的倍数，得，，不符合， 因此满足条件的为和． 三、解答题：（本大题共2个小题，每题8分，共16分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出不等式组中每个不等式的解集. 再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的最终解集 【详解】解： 解不等式① 得   解不等式② 得   ∴原不等式组的解集为． 18. 在学习了等腰三角形的相关知识后，数学小组进行了更深入的研究，他们发现，过顶角为的等腰三角形底边的中点作两腰的垂线，与等腰三角形两腰相交的两点和上述中点构成的三角形是等边三角形，可利用全等三角形的证明和等边三角形的判定得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造等边三角形 如图，在等腰中，，，点是的中点．过点作的垂线，与相交于点．请你利用尺规作图，过点作的垂线，与相交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用全等三角形的证明和等边三角形的判定证明上述猜想． 证明：在中，， ① ． ， ． ∵是的中点， ② ． ， ． ． ③ ． 在四边形中， ， 是等边三角形． 【答案】解：如图， ①；②；③ 【解析】 【分析】根据题意以及尺规作垂线的方法即可作图；根据题中思路证明，得出，再根据四边形内角和求出，即可证明是等边三角形． 【详解】解：作图如图： 证明：在中，， ． ， ． ∵是的中点， ． ， ． ． ． 在四边形中，， 是等边三角形． 四、解答题：（本大题共7个小题，每题10分，共70分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 今年是“十五五”开局之年，做好“三农”工作至关重要.为让学生深入了解我国农业相关情况，某校开展了农业知识科普竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(成绩为百分制且为整数)，并对数据进行整理、描述和分析(竞赛成绩均不低于80分，用表示，共分为四个等级：；；；，其中记为优秀)，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：80，80，81，82，83，85，85，85，85，85，86，86，87，87，88，90，91，92，94，96，97． 八年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据为：85，86，87，87，87，88，89． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 87 87 中位数 86 众数 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 _____， _____，_____； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生农业知识科普竞赛的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有800名学生，八年级有1000名学生参加了此次竞赛，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为优秀的学生共有多少名？ 【答案】（1）87.5，85，25 （2）八年级成绩更好，理由：七、八年级竞赛成绩的平均数相同，八年级的中位数和众数都高于七年级，说明八年级整体竞赛成绩更好（理由合理即可） （3）230名 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义解答即可；先求出八年级抽取学生B组的占比，再利用减去其余几组占比即可得到m； （2）比较两个年级的平均数、中位数和众数即可； （3）根据样本估计总体的方法解答即可； 【小问1详解】 解：七年级20个成绩中，85出现次数最多，故； 八年级B组共7人，占比， ∴； 八年级20个数据的中位数是第10、11个数据的平均数，八年级A等级有人，B等级共7人， ∴第10、11个数据都在B组，分别为87和88，中位数． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：七年级抽取的20人中，优秀（）共2人， ∴七年级优秀人数约为：（名）； 八年级优秀占比， ∴八年级优秀人数约为：（名）， ∴总优秀人数：（名）． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用多项式乘多项式法则，平方差公式化简整式部分，再根据分式的运算法则化简整个式子，计算出的值后代入化简结果求值即可． 【详解】解：                将代入得，原式． 21. 列方程解下列问题： 为迎接六一儿童节，某工厂安排90名工人制作玩具战车，1个玩具战车由1个车身和6个负重轮组成．1名工人每天可制作30个车身或20个负重轮．已知该工厂每天生产的车身和负重轮刚好配套． （1）该工厂每天安排多少人制作车身，安排多少人制作负重轮？ （2）每天甲、乙两个快递公司对该工厂当天生产的所有玩具战车进行揽收，运往不同城市．甲公司每天一共揽收个玩具战车，剩下的玩具战车由乙公司揽收．甲公司每小时揽收的玩具战车的数量比乙公司每小时揽收的玩具战车的数量多，每天甲公司都比乙公司少用小时完成揽收工作，求乙公司每小时揽收多少个玩具战车？ 【答案】（1）该工厂每天安排9人制作车身，安排81人制作负重轮. （2）乙公司每小时揽收个玩具战车. 【解析】 【分析】（1）设未知数表示制作两类部件的人数，根据1个车身配6个负重轮的配套关系得到等式，列一元一次方程求解； （2）先根据（1）的结果得到总生产玩具战车数量，得到乙公司的揽收总量，设乙的效率，根据效率关系表示出甲的效率，再根据甲乙的时间差列分式方程，检验后得到结果． 【小问1详解】 解：设该工厂每天安排人制作车身，则安排人制作负重轮， 根据题意得：   整理得  解得  则  答：该工厂每天安排9人制作车身，81人制作负重轮； 【小问2详解】 由（1）知该工厂每天生产玩具战车总数为（个），则乙公司每天揽收的玩具战车数量为（个） 设乙公司每小时揽收个玩具战车，则甲公司每小时揽收个玩具战车， 根据题意得：   化简得  解得  经检验是原分式方程的解，且符合题意. 答：乙公司每小时揽收120个玩具战车． 22. 如图，矩形的对角线与交于点，．分别为与上的一点（不与重合，不与重合），且，连接，过点作于点．用表示线段的长度，点与点的距离为，的周长为，的周长为，． （1）请直接写出关于的函数表达式，并写出的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）； （2）函数的图象如图， 函数的一条性质：当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而增大；函数的一条性质：随x的增大而减小； （3）当时， 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质求出，，根据，得出，分两种情况：当时，当时，根据相似三角形的性质和判定解答即可求出；根据题意可得的周长，证明，得出相似比为，则，即可得； （2）根据函数解析式画图即可，再根据函数图象写出性质； （3）根据图象写出的图象在下方时对应的自变量的取值范围即可； 【小问1详解】 解：在矩形中，， ∴， ∴， ∵不与重合，不与重合， ∴的范围为， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴​， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴​， ∴； 综上，； ∵的周长， ∴的周长， ∵，， ∴， ∴， ∴相似比为， ∴， ∴； 综上，；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：画出函数的图象如图， 根据函数图象可得当时，． 23. 如图，是海警舰艇指挥中心，是4处小岛．在的正东方向，在的正北方向，且在的西南方向．在的正西方向，且在的北偏东方向海里处．在的东北方向，且在的南偏东方向．（参考数据：） （1）求与之间的距离（结果保留根号）； （2）海警舰艇甲从出发沿方向巡防，海警舰艇乙从出发沿方向巡防，他们同时出发，且速度相等.当他们首次相距海里时，开始双舰协同巡防，求此时甲与的距离（结果精确到0.1海里） 【答案】（1）海里 （2）甲与的距离约为海里 【解析】 【分析】（1）过作交于点，则四边形是矩形，得出，根据在北偏东方向，得出，在中，解直角三角形求出海里，则海里，在中，求出，过作于，在中，解直角三角形求出海里，在中，解直角三角形求出海里， （2）设甲出发后走了海里，甲的位置为，即此时甲与的距离海里，根据甲乙速度相等，得出乙也走了海里，乙从沿向走，乙的位置为，，当海里时，过作，交的延长线于，则，在中： 解直角三角形求出，则，由勾股定理列方程求出，再结合题意即可解答； 【小问1详解】 解：由题意可知：海里， 过作交于点， 则四边形是矩形， ∴， ∵在北偏东方向， ∴， 在中，海里， ∴海里， 在中，，， ∴， 过作于， 在中，海里， 在中，， ∴海里， 即与之间的距离为海里； 【小问2详解】 解：设甲出发后走了海里，甲的位置为，即此时甲与的距离海里， ∵甲乙速度相等， ∴乙也走了海里，乙从沿向走，乙的位置为， ∴乙与的距离， 由方向可知：在的南偏西，在的南偏东， ∴， 当海里时， 过作，交的延长线于，则， 在中： ， ∴， 由勾股定理，即， 展开整理得：， 解得：， 出发时甲乙距离为，随着行走距离增大，距离先减小后增大，首次相距海里对应较小的根：， 即此时甲与的距离约为海里． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点为线段下方抛物线上的一动点，过点作轴交轴于点，交于点，点与点为轴上两动点（点在点左侧），．当取最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在(2)中取最大值的条件下，将抛物线和点都沿射线方向平移个单位长度后得到抛物线和点，点为点的对应点．点为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2），的最小值为​​​ （3） ， 解：根据（2）可得，， ∵， ∴抛物线和点都沿射线方向平移个单位长度，即为抛物线和点都先向右平移4个单位长度再向下平移4个单位长度， ∴，，原抛物线平移后得新抛物线为，且点在直线上， ∵时，，， ∴点在新抛物线上， 如图，∵， 又， ∴， 如图，当点在直线上方时，， 设直线的解析式为， 代入，得，解得：， ∴直线的解析式为：， ∴设直线的解析式为， 代入，得，解得：， ∴直线的解析式为， 直线的解析式与新抛物线联立得：，整理得， 解得：（舍去）​， 则， ∴； 如图，当点在直线下方时， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 直线的解析式与新抛物线联立得：，整理得， 解得：（舍去）​， 则， ∴； 综上，所有符合条件的坐标为：． 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出，再根据待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式设，则，表示出，则，故当时，最大，此时，取，连接，则，四边形是平行四边形，故，作关于轴的对称点，连接，则，从而得出，当时最小，勾股定理求出即可解答 （3）根据（2）可得，，求出，，原抛物线平移后得新抛物线为，且点在直线上，根据，，得出，分两种情况：如图，当点在直线上方时，，如图，当点在直线下方时，分别画图求解即可； 【小问1详解】 解：∵，则 ， ∵， ∴， ∵点在轴正半轴， 故， 将、代入， 得， 解得：​， ∴抛物线表达式为：． 【小问2详解】 解：抛物线，当时，， 则， 设直线的解析式为， 代入，，得，解得：， ∴直线的解析式为：， 设， 则， ∴， ∴， 故当时，最大， 此时， 取点，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作关于轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴当时最小， ∵， ∴的最小值为​​​． 【小问3详解】 略 25. 在等腰中，；，点D为上一点，点E为上一点． 　　　　图1　　　　　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　　　　　图3 （1）如图1，若，，连接，，求的度数； （2）如图2，若，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，．点G为延长线上一点，连接，，，求证：； （3）如图3，若，，H为线段上一点，．点E从点B移动到点C过程中，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接交于点K．当取最小值时，连接，将沿着所在直线翻折到所在平面内，得到，连接与，当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）证明：如图，连接，，过点B作，交于点H，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 过点H作交于点J， ∵，， ∴，， 在中，， 同理可得：， ∴， ∵，，， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）先得出是等边三角形，再证明，利用三角形外角的性质即可得解； （2）连接，，过点B作，交于点H，连接，利用等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形即可证得结论； （3）先确定点P，，的运动轨迹，再利用相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 如图，延长至点M，使得，连接，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点E在上运动时，点P在直线上运动， 此时， 如图，当时，取最小值， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵点B是的中点， ∴，即点K是的中点， 在和中， ， ∴， ∴，即点K是的中点， ∴， 在中，， ∵将沿着所在直线翻折得到， ∴，， ∴点的轨迹是以点K为圆心，长为半径的圆，点的轨迹是以点K为圆心，长为半径的圆， ∴当点K、B、三点共线时，取最小值， 如图，过点E作于点R，连接、、， 在和中， ， ∴， ∴点为与的交点， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图(包括作辅助线)请一律用黑色铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回. 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 有理数7的相反数是（ ） A. 7 B. C. D. 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解全国中学生的视力情况 B. 了解某品牌冰淇淋的质量情况 C. 了解某班同学投掷实心球的水平 D. 了解某批次烟花的燃放效果 4. 如图，点在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，图案③需22根火柴棒......按此规律，图案⑧需要火柴棒的根数为（ ） A. 56 B. 57 C. 63 D. 64 6. 点在反比例函数的图象上，则下列各点中，在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列四个数中，最大的是（） A. B. C. D. 8. 某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位4月份用纸量为1000张，6月份用纸量下降至640张．则该单位用纸量的月平均下降率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点与点分别为和上一点，．将沿翻折到正方形所在的平面内，得，且点恰好落在边上，点为上一点， ，则的面积为（ ）初中题，不用向量 A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为正整数为整数，，且满足（为常数）．下列说法： ①若，则不存在满足条件的整式； ②若，则满足条件的所有整式中有且仅有2个单项式； ③若，，则所有满足条件的整式有且仅有10个； ④若，则当取任意实数时，其值一定为负数的整式有且仅有5个．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如图， ，若，则的度数是_____． 12. 已知n为整数，且，则n的值为________． 13. “二十四节气”是中国古代农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明购买了张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有张，“雨水”和“惊蛰”各张，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片的文字后放回洗匀，再从中抽取一张，则抽取的两张卡片上的文字都是“夏至”的概率是_____． 14. 若实数同时满足，则的值为_____． 15. 如图，是的直径，点在上，的边与相切于点．与相交于点，与相交于点，连接交于点，交于点， ，连接．若，则 _____， _____． 16. 我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“双十一数”．例如：四位数，因为，所以是“双十一数”．按照这个规定，最大的“双十一数”是_____；一个“双十一数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均为整数，则满足条件的的值是_____． 三、解答题：（本大题共2个小题，每题8分，共16分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 18. 在学习了等腰三角形的相关知识后，数学小组进行了更深入的研究，他们发现，过顶角为的等腰三角形底边的中点作两腰的垂线，与等腰三角形两腰相交的两点和上述中点构成的三角形是等边三角形，可利用全等三角形的证明和等边三角形的判定得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造等边三角形 如图，在等腰中，，，点是的中点．过点作的垂线，与相交于点．请你利用尺规作图，过点作的垂线，与相交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用全等三角形的证明和等边三角形的判定证明上述猜想． 证明：在中，， ① ． ， ． ∵是的中点， ② ． ， ． ． ③ ． 在四边形中， ， 是等边三角形． 四、解答题：（本大题共7个小题，每题10分，共70分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 今年是“十五五”开局之年，做好“三农”工作至关重要.为让学生深入了解我国农业相关情况，某校开展了农业知识科普竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(成绩为百分制且为整数)，并对数据进行整理、描述和分析(竞赛成绩均不低于80分，用表示，共分为四个等级：；；；，其中记为优秀)，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：80，80，81，82，83，85，85，85，85，85，86，86，87，87，88，90，91，92，94，96，97． 八年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据为：85，86，87，87，87，88，89． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 87 87 中位数 86 众数 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 _____， _____，_____； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生农业知识科普竞赛的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有800名学生，八年级有1000名学生参加了此次竞赛，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为优秀的学生共有多少名？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列问题： 为迎接六一儿童节，某工厂安排90名工人制作玩具战车，1个玩具战车由1个车身和6个负重轮组成．1名工人每天可制作30个车身或20个负重轮．已知该工厂每天生产的车身和负重轮刚好配套． （1）该工厂每天安排多少人制作车身，安排多少人制作负重轮？ （2）每天甲、乙两个快递公司对该工厂当天生产的所有玩具战车进行揽收，运往不同城市．甲公司每天一共揽收个玩具战车，剩下的玩具战车由乙公司揽收．甲公司每小时揽收的玩具战车的数量比乙公司每小时揽收的玩具战车的数量多，每天甲公司都比乙公司少用小时完成揽收工作，求乙公司每小时揽收多少个玩具战车？ 22. 如图，矩形的对角线与交于点，．分别为与上的一点（不与重合，不与重合），且，连接，过点作于点．用表示线段的长度，点与点的距离为，的周长为，的周长为，． （1）请直接写出关于的函数表达式，并写出的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 如图，是海警舰艇指挥中心，是4处小岛．在的正东方向，在的正北方向，且在的西南方向．在的正西方向，且在的北偏东方向海里处．在的东北方向，且在的南偏东方向．（参考数据：） （1）求与之间的距离（结果保留根号）； （2）海警舰艇甲从出发沿方向巡防，海警舰艇乙从出发沿方向巡防，他们同时出发，且速度相等.当他们首次相距海里时，开始双舰协同巡防，求此时甲与的距离（结果精确到0.1海里） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点为线段下方抛物线上的一动点，过点作轴交轴于点，交于点，点与点为轴上两动点（点在点左侧），．当取最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在(2)中取最大值的条件下，将抛物线和点都沿射线方向平移个单位长度后得到抛物线和点，点为点的对应点．点为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 25. 在等腰中，；，点D为上一点，点E为上一点． 　　　　图1　　　　　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　　　　　图3 （1）如图1，若，，连接，，求的度数； （2）如图2，若，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，．点G为延长线上一点，连接，，，求证：； （3）如图3，若，，H为线段上一点，．点E从点B移动到点C过程中，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接交于点K．当取最小值时，连接，将沿着所在直线翻折到所在平面内，得到，连接与，当取最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $