精品解析：重庆市第八中学校2025-2026学年九年级下学期第二次模拟考试数学试卷

数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图(包括作辅助线)请一律用黑色铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回. 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 有理数7的相反数是（ ） A. 7 B. C. D. 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解全国中学生的视力情况 B. 了解某品牌冰淇淋的质量情况 C. 了解某班同学投掷实心球的水平 D. 了解某批次烟花的燃放效果 4. 如图，点在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，图案③需22根火柴棒......按此规律，图案⑧需要火柴棒的根数为（ ） A. 56 B. 57 C. 63 D. 64 6. 点在反比例函数的图象上，则下列各点中，在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列四个数中，最大的是（） A. B. C. D. 8. 某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位4月份用纸量为1000张，6月份用纸量下降至640张．则该单位用纸量的月平均下降率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点与点分别为和上一点，，，将沿翻折到正方形所在的平面内，得，且点恰好落在边上，点为上一点， ，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为正整数为整数，，且满足（为常数）．下列说法： ①若，则不存在满足条件的整式； ②若，则满足条件的所有整式中有且仅有2个单项式； ③若，，则所有满足条件的整式有且仅有10个； ④若，则当取任意实数时，其值一定为负数的整式有且仅有5个．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如图， ，若，则的度数是_____． 12. 已知n为整数，且，则n的值为________． 13. “二十四节气”是中国古代农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明购买了张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有张，“雨水”和“惊蛰”各张，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片的文字后放回洗匀，再从中抽取一张，则抽取的两张卡片上的文字都是“夏至”的概率是_____． 14. 若实数同时满足，则的值为_____． 15. 如图，是的直径，点在上，的边与相切于点．与相交于点，与相交于点，连接交于点，交于点， ，连接．若，则 _____， _____． 16. 我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“双十一数”．例如：四位数，因为，所以是“双十一数”．按照这个规定，最大的“双十一数”是_____；一个“双十一数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均为整数，则满足条件的的值是_____． 三、解答题：（本大题共2个小题，每题8分，共16分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组： 18. 在学习了等腰三角形的相关知识后，数学小组进行了更深入的研究，他们发现，过顶角为的等腰三角形底边的中点作两腰的垂线，与等腰三角形两腰相交的两点和上述中点构成的三角形是等边三角形，可利用全等三角形的证明和等边三角形的判定得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造等边三角形 如图，在等腰中，，，点是的中点．过点作的垂线，与相交于点．请你利用尺规作图，过点作的垂线，与相交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用全等三角形的证明和等边三角形的判定证明上述猜想． 证明：在中，， ① ． ， ． ∵是的中点， ② ． ， ． ． ③ ． 在四边形中， ， 是等边三角形． 四、解答题：（本大题共7个小题，每题10分，共70分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 今年是“十五五”开局之年，做好“三农”工作至关重要.为让学生深入了解我国农业相关情况，某校开展了农业知识科普竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(成绩为百分制且为整数)，并对数据进行整理、描述和分析(竞赛成绩均不低于80分，用表示，共分为四个等级：；；；，其中记为优秀)，下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：80，80，81，82，83，85，85，85，85，85，86，86，87，87，88，90，91，92，94，96，97． 八年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据为：85，86，87，87，87，88，89． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 87 87 中位数 86 众数 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 _____， _____，_____； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生农业知识科普竞赛的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有800名学生，八年级有1000名学生参加了此次竞赛，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为优秀的学生共有多少名？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列问题： 为迎接六一儿童节，某工厂安排90名工人制作玩具战车，1个玩具战车由1个车身和6个负重轮组成．1名工人每天可制作30个车身或20个负重轮．已知该工厂每天生产的车身和负重轮刚好配套． （1）该工厂每天安排多少人制作车身，安排多少人制作负重轮？ （2）每天甲、乙两个快递公司对该工厂当天生产的所有玩具战车进行揽收，运往不同城市．甲公司每天一共揽收个玩具战车，剩下的玩具战车由乙公司揽收．甲公司每小时揽收的玩具战车的数量比乙公司每小时揽收的玩具战车的数量多，每天甲公司都比乙公司少用小时完成揽收工作，求乙公司每小时揽收多少个玩具战车？ 22. 如图，矩形的对角线与交于点，．分别为与上的一点（不与重合，不与重合），且，连接，过点作于点．用表示线段的长度，点与点的距离为，的周长为，的周长为，． （1）请直接写出关于的函数表达式，并写出的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 如图，是海警舰艇指挥中心，是4处小岛．在的正东方向，在的正北方向，且在的西南方向．在的正西方向，且在的北偏东方向海里处．在的东北方向，且在的南偏东方向．（参考数据：） （1）求与之间的距离（结果保留根号）； （2）海警舰艇甲从出发沿方向巡防，海警舰艇乙从出发沿方向巡防，他们同时出发，且速度相等.当他们首次相距海里时，开始双舰协同巡防，求此时甲与的距离（结果精确到0.1海里） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点为线段下方抛物线上的一动点，过点作轴交轴于点，交于点，点与点为轴上两动点（点在点左侧），．当取最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在(2)中取最大值的条件下，将抛物线和点都沿射线方向平移个单位长度后得到抛物线和点，点为点的对应点．点为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 25. 在等腰中，；，点D为上一点，点E为上一点． （1）如图1，若，，连接，，求的度数； （2）如图2，若，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，．点G为延长线上一点，连接，，，求证：； （3）如图3，若，，H为线段上一点，．点E从点B移动到点C过程中，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接交于点K．当取最小值时，连接，将沿着所在直线翻折到所在平面内，得到，连接与，当取最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 命组卷网 数学试题 (全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答： 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回。 (b 4ac-b2 参考公式：抛物线y=ar2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为2a’4a 对称轴为 2a. 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代 号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所 对应的方框涂黑 1.有理数7的相反数是() 1 1 A.7 B.-7 C.7 D.7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，掌握知识点是解题的关键. 根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数， 【详解】解：有理数7的相反数是-7， 第1页/共52页 学科网丽组卷网 故选B 2.下列图案中，是轴对称图形的是() A.F B.P c.T D.G 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A的F,不是轴对称图形，不符合题意； 选项B的P,不是轴对称图形，不符合题意； 选项C的T,沿过图形中点的竖直线折叠，直线两侧部分可以完全重合，是轴对称图形，符合题意： 选项D的G,不是轴对称图形，不符合题意。 3.下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是() A.了解全国中学生的视力情况 B.了解某品牌冰淇淋的质量情况 C.了解某班同学投掷实心球的水平 D.了解某批次烟花的燃放效果 【答案】C 【解析】 【分析】根据调查范围大小，调查是否具有破坏性判断对应调查方式即可，普查适用于范围小，易操作， 无破坏性的调查 【详解】解：A、调查对象为全国中学生，调查范围过大，不适合普查； B、检测冰淇淋质量，调查具有破坏性，不适合普查； C、调查对象为一个班级的学生，范围小，调查易操作，适合普查，符合题意： D、测试烟花燃放效果，调查具有破坏性，会损坏被调查产品，不适合普查， 4.如图，点 4B,C,D在⊙0上，∠ADC=80,则∠ABC 在 的度数是() 6 B A.80o 81000 c1200 160° D. 第2页/共52页 6学科网 组卷网 【答案】B 【解析】 【分析】先判断四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得 ∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC ,代入 的度数即可求解. A,B,C,D⊙O 【详解】解：，点 在 上， ∴四边形ABCD是圆内接四边形， :.∠ADC+∠ABC=180°， .∠ABC=180°-∠ADC=180°-80°=100° 5.下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒， 图案③需22根火柴棒.按此规律，图案⑧需要火柴棒的根数为( ① ② ③ ④ A.56 B.57 C.63 D.64 【答案】B 【解析】 【分析】通过观察图形，分析出火柴棒根数的变化规律是解题的关键. 【详解】解：，图案①需8根火柴棒， 图案②需15根火柴棒，15=8+7， 图案③需22根火柴棒，22=8+7×2， 7 每增加一个图案，火柴棒根数增加根， 第”个图案需火柴棒根数为 +7(n-1)=7n+1 第3页/共52页 6学科网6组卷网 当n=8时，7×8+1=57（根）. 点2,3)在反比例函数y=欣≠0的图象上，则下列各点中，在北函数图象的是( A.（-6,) B.(6,) c（-3,-2) D.（6,-1) 【答案】A 【解析】 【f1:A(2)在反比而数-0的男家上， :3← -2 :k=（-2)x3=-6 x,即y=6, A选项(-6,1，y=(-6)×1=6,该点在函数图象上 B选项(6,1），y=6x1=6≠-6，该点不在函数图象上： C选项3，-2），y=(-3列×(-2)=6≠-6，该点不在函数图象上； D选项6，-，y=(6)x(-H)=6≠6 该点不在函数图象上： 7.下列四个数中，最大的是() A.7.26×10 B.7.26x100 c7.36x10 D.7.36x100 【答案】D 【解析】 【分析】先比较10的指数，指数更大的数更大，指数相同时再比较的大小即可. 第4页/共52页 学科网命组卷网 【详解】解：：对科学记数法a×10 比较大小时，指数”越大，对应数越大， 而A、C的指数为9，B、D的指数为10,10>9， B、D比A、C大； .B、D指数相同，比较a得7.36>7.26， :7.36×10>7.26×100 .四个数中最大的是D 8.某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公.据统计，该单位4月份用纸量 为1000张，6月份用纸量下降至640张.则该单位用纸量的月平均下降率是() 8% 10%: 15% 20% A. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设月平均下降率为x,根据初始量口和最终量b的关系“a(1-”=b”列方程，舍去不符合实 际意义的解即可得到结果. 【详解】解：设该单位用纸量的月平均下降率为x, 根据题意，得 000(1-x)2=640 解得 x=0.2=20%x2=1.8 （舍去)， .该单位用纸量的月平均下降率为20%. 9.如图，在正方形ABCD中，点E与点F分别为AD和BC上一点，AE=7,DE=2,将△CEF沿 EF ABCD △GEF 翻折到正方形 所在的平面内，得 ,且点G拾好落在边1B上，点H为EF上一点 ∠FGH=45°△GHF ,则 的面积为() 第5页/共52页 6学科网命组卷网 75 15 45 27 A.8 B.2 C.2 D.2 【答案】A 【解析】 G,F 【分析】利用折叠性质和勾股定理求出正方形边长及 的位置.以点B为原点， BC所在直线为x轴， BA AC,CH E,F EF 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，连接 ,求出”的坐标，确定直线 的解析式， 利用∠FGH=45°，确定直线AC的解析式，联立直线GH与EF的解析式，求出点H的坐标，求出 △CFH 面积，即得△FGH 面积 【详解】解：，AE=7,DE=2: ∴.AD=AE+DE=9 正方形ABCD, .'AB=BC=AD=9 由折叠性质得EG=EC,FG=FC, 在Rt△CDE中，EC2=DE2+DC2=2+9=85 中， :BG2=85 在RtAEG中，4G2=EG2-AE2=85-49=36 第6页/共52页 6学科网列组卷网 AG=6, .GB=AB-AG=3. 设BF=x,则FC=FG=9-x, 在R△GBF中，FG=GB2+BF2 即(9-2=32+x2 解得x=4, .BF=4,FG=FC=5. 以点B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，连接AC,CH, B(0,0),A(0,9),C(9,0),D(9,9) 则 E(7,9),F(4,0) H B C 设直线EF y=kx+b 解析式为 7k+b=9 则4k+b=0, [k=3 解得b=-12, :直线EF的解析式为 =3x-12 第7页/共52页 6学科网列组卷网 CH,CA 连接 由翻折知，∠FCH=∠FGH=45°， ∠FCA=45°， .∠FCH=∠FCA, 点H在AC上， 姿 y=mx+9 的解析式为 则9m+9=0. 解得m=-1, .4 的解析式为少=-x+9 y=3x-12 联立得y=-x+9, x-2 4 解得 15, y= 4 2115 1 1 S.GMF =S.CHE =CF.yn=x5x- 1575 2 2 48. 10已知整式M:a+ax+4t++a,t,其中”为正整数4,4，…，0为整数，a≠0 且满足 n+lal+la+…+a.=P(卫为常数).下列说法： 第8页/共52页 命学科网命组卷网 ①若P=n,则不存在满足条件的整式M: ②若P=2 ”=2,则满足条件的所有整式M中有且仅有2个单项式； ®若卫=4,4≤4≤…≤0，则所有满足条件的整式M有且仅有10个： ④若P=6,n=2 则当取任意实数时，其值一定为负数的整式M有且仅有5个.其中正确的个数是( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目给定条件，逐个判断四个说法，结合绝对值性质、整数性质和二次函数恒负的条件逐一 验证，统计正确说法的个数即可 【详解】解：已知n为正整数，a,a,,a为整数，a,≠0，满足n+a+a+…+a=p, ①若p=n,则n+a+a+…+a=n a+a+…+a=0 ·绝对值均非负， 所有4=4==0.=0，与0，≠0万 0矛盾，不存在满足条件的M,①正确： ②若P=2 n+l+++a,=2 ,n为正整数， .n≥l, :0,*0 第9页/共52页 6学科网列组卷网 n=1且ao+a=1 :.4*0 :4/=1 ∴.满足条件的整式M为单项式， ∴对应单项式x和一x,共2个，②正确： ③若D=4,4≤a≤…≤0，列举得： n=1:co+a=3 a取3时，4=0，有1个整式，a取2时，a=1,有2个整式， 4取1时，4=-2，有1个整式，a取1时，4=-之，有1个整式，总计5个整式 n=2:a+a+a=2 0取2时，%=4=0，有1个整式，“取时，4=1,4=0. ,有1个整式， 4取l时，4=0,4，=-1，有1个整式，总计3个整式： n=3:aotlata +la =1 凸取1时，4=0=a=0,有1个整武，总计1个整式 当n≥4时，n+a+a+…+a≥4 :.%=41=…=0n=0 ,不符合题意，舍去， ∴所有满足条件的整式M有且仅有5+3+1=9个：故③错误： ④若p=6,n=2,则1a+a+a=4, 第10页供52页 6学科网6组卷网 M=ar+ar+a恒负需要4，<0且A=4-4a,a<0 当4，=-4时，4，=a=0,△=-4aa,=0,不符合思意： 当4=-3时，取4=0,4=-1，△=4-4a,a<0,满足愿意 当4=-3时，取4=0.4=1，△=-4aa>0.不符合题意 当4=-3时，取4=1，a=0,A=4-4a,4>0 不符合题意： 当4=-2时，取4=0.4=-2，△=4-4a4,<0 ,满足题意； 当4=-2时，取4=0,4=2.△=4-4a,4>0,不符合题意： 当4=-2时，取4=2,4=0，△=4-4a,a,>0 不符合题意； 当4=-2时，取4=1,4，=-1，△=4-4a,4<0 满足题意： 当4=-2时，取4=1,4=1，△=4-4a,4>0,不符合题意： 当4=-2时，取4=-1,4=-1，△=4-4a,4<0 ,符合题意： 当4=-2时，取4=-1，，=1,4=4-4a,4>0 不符合题意： 当4=-时，取4=0.4=-3，△=G-4a,4<0 满足题意： 当4=-l时，取4=0,4=3,4=G听-4a>0,不符合图意， 当4=-1时，取4=2，a,=-1,△=心-4a,4=0,不符合题意： 当4=-时，取4=2,4=1，△=G-4a,4>0 ,不符合题意； 当4-l时，取4=1,4=-2，△=4-4a4,<0,符合圈意 第11页/共52页 学科网命组卷网 当4=-1时，取4=1,4，=2△=4-4a,4>0 不符合题意： 当4=-时，取4=-1，a=-2,A=4-40,4,<0 符合题意： 综上可得：共有7个，故④错误； 综上，正确的个数为2. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡 中对应的横线上. 11.如图， MBCD,若1=120°，则∠2的度数是 【答案】60°60度 【解析】 【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，求出∠1的同旁内角的度数，再根据对顶角相 等即可求出∠2的度数 【详解】解：如图，设∠1的同旁内角为∠3， AB‖CD ∴.∠1+∠3=180° .·∠1=120° .∠3=180°-120°=60° 第12页/共52页 6学科网6组卷网 .∠2=∠3=60° 12.已知n为整数，且n<V50<n+,则n的值为 【答案】7 【解析】 【分析】根据无理数的估算，进行求解即可. 【详解)解：：V49<V50<V64,即7<V50<8. ∴.n的值为7. 13.“二十四节气”是中国古代农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买 了4张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有2张，“雨水”和“惊蛰”各1张，将其背面朝上并洗 匀，从中随机抽取一张，记下卡片的文字后放回洗匀，再从中抽取一张，则抽取的两张卡片上的文字都是 “夏至”的概率是 1 【答案】4 【解析】 【分析】画出树状图，再根据树状图解答即可求解. A.B 【详解】解：设夏至用 表示，雨水用C表示，惊蛰用D表示，画树状图如下： 开始 ABCD ABCDABCD ABY仑D 由树状图可知，共有16等可能结果，其中抽取的两张卡片上的文字都是“夏至”的结果有4种， 41 ∴抽取的两张卡片上的文字都是“夏至”的概率为164· 14若实数y同时满足k-+y=0x+=5,则x的值为 【答案】 1 9 第13页/供52页 学科网命组卷网 【解析】 【分析】根据第一个等式判断出的符号，去掉绝对值符号后，分情况讨论求出和'的值，代入计算 即可得到结果。 【详解1解：K-1+y=0①.x+=5@, O得y=-x-1 x-1≥0 ∴y≤0 :.y=-y 代入②得-y=5 将y=-x-l代入x-y=5, 得x+x-1=5 当x21时，x-=x-1 原式变为x+x-1=5, 解得x=3, 符合x≥1， 此时y=-3-1=-2 当x<1时，x-=1-x 原式变为x+1-x=1=5, 等式不成立，无解， 第14页/供52页 6学科网命组卷网 .x=3y=-2 x=32=1 9. 15如图，4B是o0的直径，点C在O0上，DE的如4与O0制时于声4.D,0相交 点F,FD与OO相交于点G,连接CE交OO于点H,交AB于点K,M=B册，连接DH.若 DE=25,FG=V2,则AB=一，DH=一 H G D 10V2 V130 【答案】 ① 3 ②. 【解析】 【分析】根据切线的性质及平行四边形的性质推出AB⊥CD,利用垂径定理求出CF,在Rt△AFC中利 用勾股定理求出AF,再利用相似三角形求出AB;由圆周角定理得出∠ACH=45°，确定 ∠EAH=∠ACE △EAHECA ,证明 ,利用三角函数求出 CE、EH、CH,最后构 E,进而求出CE、 造直角三角形利用勾股定理求出DH. 【详解1解：B与O0相切于点4，B是直径， ∴.AB⊥AE, 四边形ACDE是平行四边形， .AE∥CD, 第15页/供52页 6学科网命组卷网 .AB⊥CDF 于点， AB是直径， .CF=FG=√2 在Rt△AFC中，AC=DE=2V5 .AF=√AC2-CF2=V(25)2-(W2)2=18=32, 连接BC,OH、AH, M E A B G D AB是直径， ∴.∠ACB=90° .CF⊥AB .∠ACB=∠AFC=90°， .∠CAF=∠BAC, ∴.△AFC∽AACB :4C、4 ABAC,即AC2=AF.AB, ∴(2WN5)2=3V2·AB 第16页/供52页 6学科网命组卷网 .AB= 2010W2 3√23： A=BH,AB是直径， ∴.∠AOH=90° ∴.∠ACH=45°∠OAH=45° .C H E 共线， ∴.∠ACE=∠ACH=45° AE ∠OAH=45° 是切线， ∴.∠EAH=45° ∴.∠EAH=∠ACE 又：∠E=∠E, ∴.△EAH∽AECA EA EH ECEA,即EA=EH·EC, 过点C作CM⊥AE交EA的延长线于点M,则四边形AFCM是矩形， CM=f-35,4M=CF=2.4B-102 3 :BF=② OF=42 3， 3, ∠A0H=∠CF0=900 第17页/供52页 6学科网列组卷网 .OH∥CF, .△NOHANFC, 5V2 00青号 :F=,3x425 -X- 3+532, ·tan∠EcD= 2 CM 1 'ME 2, ∴.ME=2CM=6v2 .AE ME-AM=62-2=52 ∴.EC=VCM2+ME2=V3W2)2+(62)2=90=3W10. .EA=EH·EC ∴.(5V2)2=EH310 EH=50-5V10 3103, .CHI=EC-EH=30-5/104/10 33, 过点D作DP⊥CE于点P, 第18页/供52页 6学科网列组卷网 在RtACDP中， tan∠ECD=I 2 cos∠DCP=cos∠ECD=5,sin☑Cp= 5, CD=AE=52 :.CP=CD-coSZDCP-5x=210 DP=CD-sinLDCP=52x .PH=CP-CH=2/10_410_210 33, 在0w1m=r+m-yio+(2-0-.. l6.我们规定：一个四位数M=abcd 若满足a+c=b+d=l1 则称这个四位数为“双十一数”.例 如：四位数7645，因为7+4=6+5=11，所以7645是“双十一数”.按照这个规定，最大的“双十一 数”是一：一个“双十一数"M=abcd 将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字 调换位置得个新的数N一b,记FM=二GM三90.若了0， 11, F(M)-G(M）+4 8 均为整数，则满足条件的M的值是一 【答案】 ①. 9922 ② 2893 4972 和 第19页/供52页 6学科网列组卷网 【解析】 【分析】①根据四位数大小比较规则，千位、百位数字尽可能取最大值，结合a+C=b+d=11即可求出 a,b M,N F(M),G(M) a,b 结果；②根据定义用表示，再推导 ，结合两个分式为整数的条件，得到满足 的整除关系，根据4b的取值花围枚举计算得到符合条件的 【详解】解：要找最大的“双十一数”M=abcd 需千位数字最大，其次百位数字最大， ..a+c=b+d=11 a ，为千位， 最大取a=9,则c=11-9=2, b ,b=9d=11-9=2 最大取，则 因此最大的“双十一数”是9922； 对于“双十一数"M=abd,可得c=l1-a,d=I1-b, 其中1≤a≤9,1≤b≤9， 因此l1-a≤9,11-b≤9，得2≤a≤9,2≤b≤9，a,b 为整数， 所以M=1000a+100b+10c+d=1000a+100b+1011-a)+11-b=990a+996+121 调换后得到V=dcba=1000d+100c+10b+a=-99a-990b+12100 M)=a+N-(990a+996+120+-99a-9906+12100=81a-81b+ 11 11 ,Gの=4M-N（990a+99b+12）-（-99a-990b+12100=1a+b=2 99 99 第20页/供52页 6学科网列组卷网 F(M)-10d 由7 为整数，代入d=11-b, F(）-10d_81a-81b+1111-10(11-b）_81a-71b+1001=11a-106+143+4a-b 得： 7 7 7 7 因此4a-b是7的倍数， F(M)-G(M)+4 必 8 为整数， F(M)-G(M)+4(81a-81b+1111)-(11a+11b-121)+4_70a-92b+1236 代入得： 8 8 8 .70÷8=8余6,92÷8=11余4,1236÷8=154余4， ∴需要6a-4b+4是8的倍数， 化简得3a-2b+2是4的倍数， 枚举a从2到9的所有可能： 当a=2时，4a-b=8-b是7的倍数，得b=8, 代入3a-2b+2=6-16+2=8,是4的倍数，符合条件， 此时c=9,d=3,M=2893: 当a=3时，12-b是7的倍数，得b=5,3a-2b+2=1,不是4的倍数，不符合： 当a=4时，16-b是7的倍数，得b=2或b=9, b=23a-2b+2=10 时 ,不符合： b=930-2b+2=4,是4的信数，符合条件： 时 第21页/供52页 学科网组卷网 此时c=7,d=2,M=4972； 当a=5时，20-b是7的倍数，得b=6,3a-2b+2=5,不符合； 当a=6时，24-b是7的倍数，得b=3,3a-2b+2=14,不符合： 当a=7时，28-b是7的倍数，得b=7,3a-2b+2=9,不符合： 当a=8时，32-b是7的倍数，得b=4,3a-2b+2=18,不符合： 当a=9时，36-b是7的倍数，得b=8,3a-2b+2=13,不符合， 因此满足条件的M为2893和4972. 三、解答题：（本大题共2个小题，每题8分，共16分）解答时每小题都必须写出必要的演 算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. x-1≤2x+1 17.解不等式组： 2x-3x+1 3 4 【答案】 -2≤x<3 【解析】 【分析】先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的最终 解集 x-1≤2x+1① 【详解】解： 2x-3<x+1② 3 解不等式①得x≥-2 解不等式②得x<3 第22页/供52页 6学科网 命组卷网 ∴原不等式组的解集为-2≤x<3. 18.在学习了等腰三角形的相关知识后，数学小组进行了更深入的研究，他们发现，过顶角为120°的等腰 三角形底边的中点作两腰的垂线，与等腰三角形两腰相交的两点和上述中点构成的三角形是等边三角形， 可利用全等三角形的证明和等边三角形的判定得到此结论.根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造等边三角形 如图，在等腰△ABC中，AB=AC,∠A=120°，点D是BC的中点.过点D作AC的垂线，与AC相 交于点E.请你利用尺规作图，过点D作AB的垂线，与AB相交于点F,连接EF(不写作法，保留作 图痕迹)· 第二步：利用全等三角形的证明和等边三角形的判定证明上述猜想. 证明：在△ABC中，AB=AC, ① ∠A=120°， ∠B=∠C=180°-120° =30° 2 :D是BC的中点， ② .DF⊥AB,DE⊥AC ·.∠DFB=∠DEC=90°，∠DFA=90°，∠DEA=90° :∴ADBF2aDCE(AAS) ® 第23页/供52页 6学科网 命组卷网 AFDE ∠FDE=360°-∠A-∠DFA-∠DEA=60° 在四边形 中， ∴△DEF是等边三角形 【答案】解：如图， ①∠B=∠C；②BD=CD:③DF=DE 【解析】 【分析】根据思意以及尺规作垂线的方法即可作图：根据题中思路证明△DBF≌△DCE(AAS),得出 DF=DE,再根据四边形内角和求出∠FDE=6O°，即可证明△DEF是等边三角形. 【详解】解：作图如图： 证明：在△ABC中，AB=AC, .∠B=∠C ∠A=120°. :∠B=∠C=180°-120°=30° 2 :D是BC的中点， .BD=CD DF⊥AB,DE⊥AC 第24页/供52页 命学科网命组卷网 ∴.∠DFB=∠DEC=90°，∠DFA=90°，∠DEA=90° .△DBF≌ADCE(AAS) ∴.DF=DE. AFDE,∠FDE=360°-∠A-∠DFA-∠DEA=60° 在四边形 中， △DEF是等边三角形， 四、解答题：（本大题共7个小题，每题10分，共70分)解答时每小题都必须写出必要的 演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19.今年是“十五五”开局之年，做好“三农”工作至关重要为让学生深入了解我国农业相关情况，某校 开展了农业知识科普竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整 数)，并对数据进行整理、描述和分析（竞赛成绩均不低于80分，用x表示，共分为四个等级： A:80≤x<85B:85≤x<90C:90≤x<95D:95≤x≤100 ..x295 ,其中 记为优秀)，下面给出了 部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：80,80,81,82,83,85,85,85,85,85,86,86,87,87,88,90， 91,92,94,96,97 八年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据为：85,86,87,87,87,88,89. 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 87 87 中位数 86 a 众数 b 87 第25页/供52页 命学科网命组卷网 八年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 0 15% C A m%o 25% B 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中a= ,b=,m= (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生农业知识科普竞赛的成绩更好？请说明理由 (写出一条理由即可)； (3)该校七年级有800名学生，八年级有1000名学生参加了此次竞赛，估计该校七、八年级参加此次竞 赛成绩为优秀的学生共有多少名？ 【答案】(1)87.5,85,25 (2)八年级成绩更好，理由：七、八年级竞赛成绩的平均数相同，八年级的中位数和众数都高于七年级， 说明八年级整体竞赛成绩更好（理由合理即可） (3)230名 【解析】 【分析】(1)根据众数和中位数的定义解答即可：先求出八年级抽取学生B组的占比，再利用100%减 去其余几组占比即可得到； (2)比较两个年级的平均数、中位数和众数即可： (3)根据样本估计总体的方法解答即可： 【小问1详解】 解：七年级20个成绩中，85出现次数最多，故b=85: 7 ×100%=35% 八年级B组共7人，占比20 .m=100-25-35-15=25: 八年级20个数据的中位数是第10、11个数据的平均数，八年级A等级有20×25%=5人，B等级共7人， 第26页/共52页 6学科网6组卷网 87+88=87.5 Q= ∴.第10、11个数据都在B组，分别为87和88，中位数2 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：七年级抽取的20人中，优秀(x≥95)共2人， 800×2=80 七年级优秀人数约为： 20 (名)； 八年级优秀占比15%， 八年级优秀人数约为：1000×15%=150（名）， 总优秀人数：80+150=230（名）· a无化你.用球a（-+3列42-2+H日引产22.中 2x2+119 【答案】x,3 【解析】 【分析】先利用多项式乘多项式法则，平方差公式化简整式部分，再根据分式的运算法则化简整个式子， 计算出x的值后代入化简结果求值即可. 【详解】解： 2)】 -(π-3)°=4-1=3 第27页/供52页 命学科网命组卷网 -x40-e(1z2 -e2a小-0 =2x+1+-x+2×x-1)2 x(x-1)x-2 =2x+1+-x-2)x-102 x(x-1)x-2 =2x+1-x-l =2x+1-1+1 1 =2x+ =2x2+1 2×32+119 将x=3代入得，原式3一=3. 21.列方程解下列问题： 为迎接六一儿童节，某工厂安排90名工人制作玩具战车，1个玩具战车由1个车身和6个负重轮组成.1 名工人每天可制作30个车身或20个负重轮.已知该工厂每天生产的车身和负重轮刚好配套. (1)该工厂每天安排多少人制作车身，安排多少人制作负重轮？ (2)每天甲、乙两个快递公司对该工厂当天生产的所有玩具战车进行揽收，运往不同城市.甲公司每天 -共揽收120个玩具战车，剩下的玩具战车由乙公司揽收.甲公司每小时揽收的玩具战车的数量比乙公司 第28页/供52页 学科网命组卷网 7 每小时揽收的玩具战车的数量多50%，每天甲公司都比乙公司少用12小时完成揽收工作，求乙公司每小 时揽收多少个玩具战车？ 【答案】(1)该工厂每天安排9人制作车身，安排81人制作负重轮 (2)乙公司每小时揽收120个玩具战车. 【解析】 【分析】(1)设未知数表示制作两类部件的人数，根据1个车身配6个负重轮的配套关系得到等式，列一 元一次方程求解； (2)先根据(1)的结果得到总生产玩具战车数量，得到乙公司的揽收总量，设乙的效率，根据效率关系 表示出甲的效率，再根据甲乙的时间差列分式方程，检验后得到结果. 【小问1详解】 解：设该工厂每天安排x人制作车身，则安排 90-x) 人制作负重轮， 6×30x=20(90-x) 根据题意得： 整理得180x=1800-20x 解得x=9 则90-x=90-9=81 答：该工厂每天安排9人制作车身，81人制作负重轮： 【小问2详解】 由(1)知该工厂每天生产玩具战车总数为30×9=270（个)，则乙公司每天揽收的玩具战车数量为 270-120=150 (个) y 1+50%)y=1.5y 设乙公司每小时揽收个玩具战车，则甲公司每小时揽收 个玩具战车， 1501207 根据题意得： y1.5y12 第29页/共52页 6学科网组卷网 707 化简得y12 y=120 解得 =120 经检验 是原分式方程的解，且符合题意： 答：乙公司每小时揽收120个玩具战车， 22.如图，矩形 ABCD 的对角线1C与BD交于点0，B=6D=8.EF分别为4C与BD 的一 点(B不与4C重合，F不与D,B重合)，且MB=DF,连接EF,过点E作BG⊥MD于点G.用 A,C 8C x表示线段AE的长度，点E与点F的距离为片，AABC的周长为G,A4BG的周长为C,片一5记. G D (4)请直接写出少关于x的函数表达式，并写出×的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数”的图象，并分别写出函数片，少的一条性质： 11 10 9 87 5 4 32 1 01234567891011x (3)结合函数图象，请直接写出片<片时*的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过02） 第30页/共52页 6学科网 命组卷网 8、8 (0<x<5) 【答案】(1)片= -85≤x<10)°与-16(0<x<10 8 (2)函数片的图象如图， yA 11 9 87 -- 6 5432 O1234567891011x 函数的一条性质：当x<5时，少随x的增大而减小，当x>5时，乃随x的增大而增大，函数片的一 条性质：片随x的增大而减小 (3)当0<x<6.5时，片< 【解析】 【分析】(1)根据矩形的性质求出AC=BD=I0,OA=OD=CO=DO=5,根据AE=DF=x,得 OE=5-x 出 分两种情况：当0<x<5时，当5S<10时，根据相似三角形的性质和判定解答即可 AE x 求出片；根据题意可得△ABC的周长C=24,证明△AEG∽△ACD,得出相似比为AC10,则 G12x s,即可得5C,=（0<x<10: (2)根据函数解析式画图即可，再根据函数图象写出性质； 第31页/共52页 6学科网命组卷网 (3)根据图象写出少的图象在h下方时对应的自变量的取值范围即可： 【小问1详解】 解：在矩形ABCD中， CD=AB=6,AD=BC=8,∠ADC=∠BAD=90°，AO=DO=CO=DO,AC=BD ·AC=BD=V62+82=10 .OA=OD=C0=D0=5, :2 A,C B,D 不与 ,C重合，F不与B,D重合， .x的范围为0<x<10, 当0<x<5时， G B .AE=DF=x, .OE=5-x, .OA=OD,AE=DF OE=OF, :∠EOF=∠AOD,B0=FO A0 DO. .△DEFAOAD. 第32页/供52页 6学科网6组卷网 EF OE 5-x .AD OA 5, :片=EF=88x x(0<x<5) 当5≤x<10时， A GD F E B AE=DF=x, ∴.OE=x-5, ·∠EOF=∠BOC,B0-FO BO CO, ∴.△OEF∽aOCB. EF OE x-5 .BC OC 5, 为=r-9x-85≤x<10) 5 8-8x0<x<5) 5 综上，= 5x-8(5≤x<10) 8 :△MBC的周长G=6+8+10=24 :△ACD的周长=G=24, 第33页/供52页 6学科网 命组卷网 :EG⊥AD,AD⊥CD, EGCD ∴.△AEGAACD AE x .相似比为AC10, :G=24×t=12x 105, 8C-160<x<10) :为 5C, [8-8x0<x<5) 5 综上，乃= 3x-85≤x<10)片-160<x<10) 8 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：画出函数片的图象如图， 11 10叶 2 987 6 54321 012345678910113 根据函数图象可得当0<x<6.5时，片<为 第34页/供52页 学科网命组卷网 A B,C,D,E 23.如图，1是海警舰艇指挥中心， 是4处小岛.B在1的正东方向，C在8的正北方向，且 D C 30°80 在C的西南方向.D在C的正西方向，且在4的北偏东30°方向80海里处.E在B的东北方向，且在 C的南偏东75°方向.（参考数据：V2≈1.414，V5≈1.732，V5≈2.236） 北 西→东 45 759 E南 309 459 B (1)求C与E之间的距离（结果保留根号）： (2)海警舰艇甲从C出发沿CA方向巡防，海警舰艇乙从E出发沿E℃方向巡防，他们同时出发，且速 度相等当他们首次相距50海里时，开始双舰协同巡防，求此时甲与C的距离（结果精确到0.1海里） 【答案】(1) 40N2海里 (2)甲与C的距离约为18.3海里 【解析】 【分析】(I)过A作AH⊥DC交CD于点H,则四边形AHCB是矩形，得出BC=AH,根据D在 A北偏东30°方向，得出∠DAH=30°，在R1aAD中，解直角三角形求出M=40V5海里，则 BC=AH=40V3海里，在△BCE中，求出∠CEB=60°，过C作CF1BE于F,在R△CBF中，解 直角三角形求出CF=20N6海里，在R1aCFE中，解直角三角形求出CE=40W2海里， 第35页/共52页 命学科网 命组卷网 (2)设甲出发后走了x海里，甲的位置为M,即此时甲与C的距离CM=x海里，根据甲乙速度相等， 得出乙也走了X海里，乙从E沿BC向C走，乙的位置为N,CN=CE-x=40V2-x,当MN=50 海里时，过M作MK⊥NC,交NC的延长线于K,则∠MCK=60°，在RIACMK中： 解直角三角 形求出M=3 2x,则K=402- ,由勾股定理列方程求出x=20√2±10，再结合题 意即可解答： 【小问1详解】 ∠ABC=∠DCB=90°，∠ACB=∠CBE=45°，∠BCE=75°，AD=80 解：由题意可知： 海里， 过A作AH⊥DC交CD于点H, 北 西 →东 南 759 450 B 则四边形AHCB是矩形， :BC=AH, .D在A北偏东30°方向， .∠DAH=30°， 在AAD中，MM=AD-cas30°=80x5=405 里， 第36页/供52页 命学科网命组卷网 :BC=AH=405海里， 在△BCE中，∠BCE=75°，∠CBE=45°， .∠CEB=180°-75°-45°=60° 过C作CF⊥BE于F, RICBE中CF=BCsm4S=40N3x220N6海里 2 在RtACFE中， sin60°=CF CE, CE=-CF_20/6 =402 sin60°√3 海里， 2 即C与E之间的距离 40、2海里： 【小问2详解】 解：设甲出发后走了x海里，甲的位置为M,即此时甲与C的距离CM=x海里， ,甲乙速度相等， ∴乙也走了x海里，乙从E沿EC向C走，乙的位置为N, ÷乙与C的距离CW=CE-x=40W2-x, 由方向可知：CA在C的南偏西45°，CE在C的南偏东75°， .∠MCN=45°+75°=120°. 当MW=50海里时， 过M作MK⊥C,交NC的延长线于K,则∠MCK=180°-120°=60°， 第37页/共52页 6学科网6组卷网 北 西 东 D N 75 E南 M 309 45o B 在RiACMK中： M哌=x:sin600=V ,CK=x·cos60°=1X 2 K=CK+Cv=+(405-刘=402- 由勾股定理 w,w-2jfoa- 展开整理得：x-402x+700=0 解得：X 40W2±V(40W2)2-4×700 =202±10， 出发时甲乙距离为CE=40√2≈56.56>50，随若行走距离×增大，距离先减小后增大，首次相距50海 里对应较小的根：x=20W2-10≈20×1.414-10≈18.3 即此时甲与C的距离约为18.3海里. 24如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=+br-4(a≠0)与x轴交于A(4,0）,B两点，与y轴 交于点C,OA=2OB,连接AC. 第38页/供52页 6学科网命组卷网 (1)求抛物线的表达式： (②)点P为线段4C下方抛物线上的一动点，过点P作PDV精交”轴于点D,交4C于点E,点F 与点G为x轴上两动点（点F在点G左侧），FG=1.当PE-DE取最大值时，求点P的坐标及 PG+CF 的最小值： (3)在②中PE-DE取最大值的条件下，将抛物线y=+br-4(a≠0)和点E都沿射线4C方向平 移4W2个单位长度后得到雅物线'和点E,点C为点C的对应点。点M为抛物线'上一动点，若 ∠C'E'M=∠CAB+∠ABC M M ,请直接写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点坐标的其中一种 情况的过程。 【答案】)y=)x2+x-4 2 2P3-,pG+Cr的龄小为2 V233 、3) 6+i3+a75,） 第39页/供52页 6学科网命组卷网 解，银②可两P3引.-). 0A=0C=4,AC=V20A=4v2 y= 日抛物线之x2+x=4 和点E都沿射线4C方向平移42个单位长度，即为抛物线2+x9 y= 和 点E都先向右平移4个单位长度再向下平移4个单位长度， .E'(L,-5),C(4,-8),原抛物线平移后得新抛物线为 ”-x-4+6x-4到-4-4-3x-4 C(4,-8) 且点 在直线4C上， :x=4时.y=-8y=-x-4=-8 时， C(4,-8) 点 在新抛物线上， 如图，：∠CAB+∠ABC=∠BCC, 又∠C"E'M=∠CAB+∠ABC, .∠C"E'M=∠BCC, 如图，当点M在直线AC上方时，E'MI∥BC, 第40页/供52页 6学科网命组卷网 BC y=kx-4 设直线 的解析式为 代入B(2,0）,得0=2N-4,解得：K=2, 的解析式为：y=2x-4 BC 直线 ∴设直线BM的解析式为=2x+d 代入B0-),有5=2x1+d,解得：=-了. ÷直线EM的解析式为 =2x-7 直线EM的解析式与新物线y联立得 2x-7=-3x-4 ,整理得x2-10x+6=0, 解得：￥=5+9,5=5-V19 （舍去)， 则y=2x-7=3+2√19 :M5+i9,3+2W9): 如图，当点M'在直线AC下方时， .∠C"E'M'=∠BCC',∠CE'M'+∠FE'C=∠BCC'+∠FCE'=180°， .∠FE'C=∠FCE', .FE'=FC, 设F(m,2n-4), +[2n-4-(4)]=(n-1+[2n-4-(-5订， 解得：n=-1, 第41页/供52页 6学科网列组卷网 :F(-1,6) 设直线FE'的解析式为'=kx+d, 代入F(-6),E(1,-5) 「6=-k+d 得-5=k+4, ,1 k2 解得： 4s、11, 2 111 直线FE的解析式为：少 2-2, 1.11=x-3x-4. 直线FE的解析式与新抛物线y联立得：2~22 ,整理得x2-7x+3=0, 7-377+37 解得：= 2(舍去)， 5 75） 4 合w体务++2)-5，） M 【解析】 B(2,0) 【分析】(1)根据题意先求出 ,再根据待定系数法求解即可； 第42页/供52页 6学科网命组卷网 (2)先求出直线AC的解析式设 mm+m-44<x<0,则B(m-m-4).表示 P 2m2-3m-4 PE=-1m2-2m.,DE=m+4PE-DE=- ,则 故当m=-3时，PE-DE最大，此 时3到.段P 连接P'P,P'F,则PP=FG,PP'I∥FG,四边形P'PGF是平行四边 形，故PF=PG,作C0,-)关于x铺的对称 点C0,用，连接PC,CF,则CF=C ，连接 ,从而得出 PG+CF-PF+CF2PCPG+CF-PC CP 时最小，勾股定理求出即可解答 8)银据内可网P3-马引.(3=小，求出0-5》.C4,-,原得线于移后的碳数 为yr-3x.且点C4,-8在直线4CE,根据ZCB+∠ABCC 2 ∠C'E'M=∠CAB+∠ABC ,.∠C'E'M=∠BCC' M AC ，得出 ，分两种情况：如图，当点“在直线上方时， E'MIBC ,如图，当点M'在直线1C下方时，分别国图求解即可， AC 【小问1详解】 .A(-4,0 解： ,则0A=4, .0A=20B, .OB=2, ,点B在x轴正半轴， 第43页/供52页 6学科网列组卷网 B(2,0) 故 将1-4,0)、B(2,0)代入y=+bx-4, 16a-4b-4=0 得4a+2b-4=0, 1 a=- 2 解得： b=1 凝物线花达式为加少护+4 【小问2详解】 解：抛物线y= 2+x-4,当x=0时，y=4: 则C(0,-4) 设直线1C的解析式为”=c+d. 0=-4k+d k=-1 代入A(4,0),C(0,4),得d=-4，解得：d=-4, 直线4C的解析式为： y=-x-4 则E(m,-m-4) PE=-m-4m+m-4=r-2m,DE=0-(m-4到=m+4. PE-DE=2m-2m-(m+4=2m-3m-4 第44页/供52页 6学科网命组卷网 -3 m= =-3 故当 29 时 最大， PE-DE #时3引。 4引 连接P'P,P'F, PP=FG=1,PP'IFG G ∴.四边形PPGF是平行四边形， .P'F=PG. 作C0,刊关于x轴的对称点 "(0,4)P'C',C"F ，连接 则CF=C"F, .PG+CF=P'F+CF≥P'C, .当PG+CF=P'C时最小， 第45页/供52页 6学科网命组卷网 √233 ∴PG+CF的最小值为2， 【小问3详解】 略 25.在等腰△ABC中，AB=BC:∠ABC=C,点D为AC上一点，点E为BC上一点. B E 图1 图2 图3 (1)如图1，若a=60°，AD=CE,连接AE,∠ABD=20°，求∠AEB的度数： (2)如图2，若90°<a<180°，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AF,∠ADB=120°.点 AC-BD+2EF G为BC延长线上一点，连接EF,FG,EG=FG=AB,求证： (3)如图3，若Q=90°，AB=12,H为线段AB上一点，AH=2.点B从点B移动到点C过程中，将 线段AE绕点A顺时针旋转9O°得到线段AP,连接CP交AB于点K.当PH取最小值时，连接KD, 将△APK沿着KD所在直线翻折到△ABC所在平面内，得到△A'PK,连接EA'与EP',当BP取最小 值时，请直接写出△A'EP'的面积. 【答案】(1)80° 第46页/供52页 6学科网6组卷网 (2)证明：如图，连接BF,CF,过点B作∠DBH=60°，交AC于点H,连接FH, B E .AB=AF,∠BAF=60°， :.△ABF是等边三角形， .∠ADB=120°，∠DBH=60° ∴.△BDH是等边三角形， ∴.BD=BH, 在△ABD和△FBH中， AB=FB ∠ABD=∠FBH=60°-∠DBF BD=BH :△MBD≌aFBH(SAS) ∴.FH=AD,∠BHF=∠BDA=120°. 在△ABD和△CBH中， ∠BDA=∠BHC=120° ∠BAD=∠BCH AB=CB :.△MBD≌aCBH(AAS) .CH=AD=FH. .∠FHC=360°-∠BHF-∠BHC=120°， .EG=FG=AB=FB=BC, 第47页/供52页 6学科网命组卷网 .∠FBE=∠FGC,BE=GC, 在△FBE和△FGC中， BF=FG ∠FBE=∠FGC BE=GC :△FBE≌aFGC(SAS) .CF=EF, 过点H作HJLFC交FC于点J, ,∠FHC=120°，HF=CH, :.∠FHW=∠C=∠CHF=60°，FJ=CI=,CF, 2 2 在RAW中，H--子5. sin60°-3 同理可得：CH=5C, 3 :FH-CH-5cF 3 AC-AD+DH+HC,AD-CH-FR=5CF 3 DH=BD, :MC=BD+子V5Er 3 202 (3)13 【解析】 第48页/供52页 6学科网命组卷网 【分析】（☑）先得出△ABC是等边=角形，再证明△ABD2aCME(SMS）,利用三角形外角的性质即可 得解： (2)连接BF,CF,过点B作∠DBH=6O°，交AC于点H,连接FH,利用等边三角形的判定与性 质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形即可证得结论： (3)先确定点P,A',P的运动轨迹，再利用相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定 与性质，等腰直角三角形的性质即可得解。 【小问1详解】 解：：AB=BC,∠ABC=a=60° .△ABC是等边三角形，AB=AC, 在△ABD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠ACE=60° AD=CE :△ABD≌aCAE(SAS) .∠CAE=∠ABD=20° △ACE,∠AEB=∠CAE+∠ACE=80° 在 中， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：AB=BC=12,∠ABC=a=90°， ∴.△ABC是等腰直角三角形， :AC=V2AB=12√2 第49页/供52页 学科网组卷网 如图，延长CB至点M,使得BM=BC,连接AM,PM, B :.△AMC是等腰直角三角形， .AM=AC,∠MAC=90°， 在△APM和△AEC中， AP=AE ∠PAM=∠EAC=90°-∠MAE AM=AC :.△APM≌aAEC(SMS) .PM=EC,∠AMP=∠ACE=45°， ∴点E在BC上运动时，点P在直线PM上运动， 此时PM⊥MC, 如图，当PH⊥AB时，PH取最小值， 0 BE :PM=BH=AB-AH =10,PH=BF=BC=12, .∠PMC=∠KBC=90°，∠KCB=∠PCM, .△KBC∽△PMC CB CK .CM CP 第50页/供52页 6学科网 命组卷网 :点B是CM的中点， CB CK 1 .CMCP2,即点K是CP的中点， 在△HKP和△BKC中， ∠PHK=∠CBK=90° ∠HIKP=∠BKC PK=CK :△HKP2aBKC(AAS) .KH=BK=5,即点K是BH的中点， .AK =AH+HK=7, 在RtAPHK中，PK=VPH2+HK2=13】 :将△APK沿着KD所在直线翻折得到△A'P'K, .'A'K=AK=7,P'K=PK=13. ∴，点A的轨迹是以点K为圆心，AK长为半径的圆，点P的轨迹是以点K为圆心，PK长为半径的圆， 当点K、B、P三点共线时，BP取最小值， 如图，过点E作ER⊥CK于点R,连接EK、EA'、EP, 第51页/供52页 6学科网组卷网 在△AKP和△A'KP'中， AK-A'K ∠AKP=∠A'KP' KP=KP' :.△MKP2aA'KP'(SMS) A'CK,⊙' 点为 与 的交点， .PM=CE=10 .BE=BC-CE=2=AH,CK=PK=P'K=13, ·∠KBC=∠ERC=90°，∠ECR=∠KCB, .△ERC∽△KBC. ER CE 10 BKCK13’ :ER=50 13’ .SA4EP=SAKPA-SAEKP-SAEK4=SAAKP-SAEKP-SAEKA K-m-PK版-KER 2×7x12-1× x13x2-1x7x 50 2 2 13 202 13· 第52页/供52页